流體力學(xué) 第八章 氣體的一元流動

1、第8章 氣體的一元流動一、 學(xué)習(xí)的目的和任務(wù)1掌握可壓縮氣體的伯努利方程2理解聲速和馬赫數(shù)這兩個概念3掌握一元氣體的流動特性，能分析流速、流通面積、壓強和馬赫數(shù)等參數(shù)的相互關(guān)系4掌握氣體在兩種不同的熱力管道（等溫過程和絕熱過程）的流動特性。二、 重點、難點1重點：聲速、馬赫數(shù)、可壓氣體的伯努利方程、等溫管道流動、絕熱管道流動2難點：聲速的導(dǎo)出、管道流動參數(shù)的計算由于氣體的可壓縮性很大，尤其是在高速流動的過程中，不但壓強會變化，密度也會顯著地變化。這和前面研究液體的章節(jié)中，視密度為常數(shù)有很大的不同。氣體動力學(xué)研究又稱可壓縮流體動力學(xué)，研究可壓縮性流體的運動規(guī)律及其應(yīng)用。其在航天航空中有廣泛的應(yīng)用

2、，隨著研究技術(shù)的日益成熟，氣體動力學(xué)在其它領(lǐng)域也有相應(yīng)的應(yīng)用。本章將簡要介紹氣體的一元流動。8.1 氣體的伯努利方程在氣體流動速度不太快的情況下，其壓力變化不大，則氣體各點的密度變化也不大，因此可把其密度視為常數(shù)，即把氣體看成是不可壓縮流體。這和第四章研究理想不可壓縮流體相似，所以理想流體伯努利方程完全適用，即(8.1-1)上式中流體氣體兩點的壓強； 流動氣體兩點的平均流速在氣體動力學(xué)中，常以乘以上式（8.1-1）后氣體伯努利方程的各項表示稱壓強的形式，即(8.1-2)由于氣體的密度一般都很小，在大多數(shù)情況下和很相近，故上式(8.1-2)就可以表示為(8.1-3)前面已經(jīng)提到，氣體壓縮性很大，

3、在流動速度較快時，氣體各點壓強和密度都有很大的變化，式(8.1-3)就不能適用了。必須綜合考慮熱力學(xué)等知識，重新導(dǎo)出可壓縮流體的伯努利方程,推導(dǎo)如下。如圖8-1所示，設(shè)一維穩(wěn)定流動的氣體，在上面任取一段微小長度，兩邊氣流斷面1、2的斷面面積、流速、壓強、密度和溫度分別為、；、。圖8-1 微元流段取流段1-2作為自由體，在時間內(nèi)，這段自由體所作的功為(8.1-4)根據(jù)恒流源的連續(xù)性方程式，有（常數(shù)），所以上式(8.1-4)可寫成由于在微元內(nèi)，可認為和很相近，則上式可化簡為(8.1-5)又對1-2自由體進行動能分析，其動能變化量為 (8.1-6)同樣地根據(jù)恒流源的連續(xù)性方程式（常數(shù)），故有上式就可

4、以寫成(8.1-7)根據(jù)功能原理有,化簡得(8.1-8)該式就是一元氣體恒定流的運動微分方程對上式(8.1-8)進行積分，就得一元氣體恒定流的能量方程(8.1-9)式中為常數(shù)。上式表明了氣體的密度不是常數(shù)，而是壓強（和溫度）的函數(shù)，氣體流動密度的變化和熱力學(xué)過程有關(guān)，對上式的研究取要用到熱力學(xué)的知識。下面簡要介紹工程中常見的等溫流動和絕熱流動的方程。（1） 等溫過程等溫過程是保持溫度不變的熱力學(xué)過程。因，其中定值，則有（常數(shù)），代入式(8.1-9)并積分，得(8.1-10)（2） 絕熱過程絕熱過程是指與外界沒有熱交換的熱力學(xué)過程?？赡?、絕熱過程稱為等熵過程。絕熱過程方程（常數(shù)），代入式(8.1

5、-9)并積分，得(8.1-11)式中為絕熱指數(shù)。圖8-2 微小擾動波的傳播8.2 聲速和馬赫數(shù)8.2.1 聲速微小擾動波在介質(zhì)中的傳播速度稱為聲速。如彈撥琴弦，使弦振動了空氣，其壓強和密度都發(fā)生了微弱的變化，并以波的形式在介質(zhì)中傳播。由于人耳能接收到的振動頻率有限，聲速并不限于人耳能接收的聲音傳播速度。凡在介質(zhì)中的擾動傳播速度都稱為聲速。如圖8-2所示，截面面積為的活塞在充滿靜止空氣的等徑長管內(nèi)運動，時（），管內(nèi)壓強為，空氣密度為，溫度為;若以微小速度向右推進時間，壓縮空氣后，壓強、密度和溫度分別變成了，和?；钊麖挠乙苿恿?，活塞微小擾動產(chǎn)生的聲速傳播了，就為聲速。取上面的控制體，列連續(xù)性方程得

6、(8.2-1)化簡并略去高階無窮小項，得 (8.2-2)又由動量定理，得(8.2-3)同樣化簡并略去高階無窮小項，得(8.2-4)聯(lián)立式(8.2-2)和式(8.2-4)，得(8.2-5)上式就為聲速方程式的微分形式。密度對壓強的變化率反映了流體的壓縮性，越大，則越小，聲速也越?。环磩t聲速越大。由此可知，聲速反映了流體的可壓縮性，即聲速越小，流體越容易壓縮；聲速越大，流體也越不易壓縮。由于微小擾動波的傳播速度很快，其引起的溫度變化也很微弱，在研究微小擾動時，可認為其壓縮或膨脹過程是絕熱且可逆的，這就是熱力學(xué)中的等熵過程。則有絕熱方程為（常數(shù)）(8.2-6)式中為絕熱指數(shù)。 可寫為(8.2-7)上

7、式兩邊對求導(dǎo)，得(8.2-8)又由理想氣體狀態(tài)方程和上式(8.2-8)、式(8.2-5)聯(lián)立，得(8.2-9)綜合上述分析，有（1） 由式(8.2-5)得，密度對壓強的變化率反映了流體的壓縮性，越大，則越小，聲速也越小；反則聲速越大。由此可知，聲速反映了流體的可壓縮性，即聲速越小，流體越容易壓縮；聲速越大，流體也越不易壓縮。（2）特別的，對于空氣來說，則空氣中的聲速為(8.2-10)（3）從式(8.2-9)可看出，聲速不但和絕熱指數(shù)有關(guān)，也和氣體的常數(shù)和熱力學(xué)溫度有關(guān)。所以不同氣體聲速一般不同，相同氣體在不同熱力學(xué)溫度下的聲速也不同。8.2.2 馬赫（Ma）數(shù)為了研究的方便，引入氣體流動的當?shù)?/p>

8、速度與同地介質(zhì)中聲速的比值，稱為馬赫數(shù)，以符號表示(8.2-10)馬赫數(shù)是氣體動力學(xué)中最采用的參數(shù)之一，它也反映了氣體在流動時可壓縮的程度。馬赫數(shù)越大，表示氣體可壓縮的程度越大，為可壓縮流體；馬赫數(shù)越小，表示氣體可壓縮性小，當達到一定程度時，可近似看作不可壓縮流體。根據(jù)馬赫數(shù)的取值，可分為（1），即時，稱為聲速流動；（2），即時，稱為超聲速流動；（3），即時，稱為亞聲速流動。圖8-3 微小擾動傳播規(guī)律圖下面討論微小擾動波的傳播規(guī)律，可分為四種情況：(1) 如圖8-3所示，擾動源靜止。擾動波將以聲速向四周對稱傳播，波面為一同心球面，不限時間，擾動波布滿整個空間。(2) 如圖8-3所示，擾動源以亞

9、聲速向右移動。擾動波以聲速向外傳播，由于擾動源移動速度小于聲速，只要時間足夠，擾動波也能布滿整個空間。(3) 如圖8-3所示，擾動源以聲速向右移動。由于擾動源移動速度等于聲速，所以擾動波只能傳播到擾動源的下游半平面。(4) 如圖8-3所示，擾動源以超聲速向右移動。由于擾動源移動速度大于聲速，擾動波的球形波面被整個地帶向擾動源的下游，所以擾動波只能傳播到擾動源的下游區(qū)域，其區(qū)域為一個以擾動源為頂點的圓錐面內(nèi)。稱該圓錐為馬赫錐。錐的半頂角稱為馬赫角，從圖中可以看出(8.2-11)上面分析了擾動源分別在靜止以及亞聲速、聲速和超聲速從右移動時，微小擾動波的傳播規(guī)律。由此可知，即在振源靜止或以亞聲速移動

10、的情況下，擾動波能傳播到整個空間；而，即在振源以聲速或超聲速移動時，擾動波只能傳播到半空間或一圓錐面內(nèi)。8.3 一元氣流的流動特性在引入了聲速和馬赫數(shù)的概念后，對于可壓縮氣體的流動有一些自己的特性。這里我們介紹兩個重要特性。8.3.1氣體流速與密度的關(guān)系由第一節(jié)的式(8.1-7)和第兩節(jié)的式(8.2-5)，得(8.3-1)將馬赫數(shù)代入上式，有(8.3-2)上式表明了密度相對變化量和速度相對變化量之間的關(guān)系。從該式可以看出，等式中有個負號，表示兩者的相對變化量是相反的。即加速的氣流，密度會減小，從而使壓強降低、氣體膨脹；反則，減速氣流，密度增大，導(dǎo)致壓強增大、氣體壓縮。馬赫數(shù)為兩者相對變化量的系

11、數(shù)。因此，當時，即超聲速流動，密度的相對變化量大于速度的相對變化量；當時，即亞聲速流動，密度的相對變化量小于速度的相對變化量。以下再分析流速與斷面積的關(guān)系8.3.2氣體流速與流道斷面積的關(guān)系對一元氣流得連續(xù)性方程（常數(shù)）兩邊取對數(shù)，得對上式微分，得或 (8.3-3)將式(8.2-13)代入上式，得(8.3-4)從上式我們可以看到，是一個臨界點。下面討論其在亞聲速和超聲速流動下的情況。（1） 亞聲速流動時，即。面積相對變化量和速度相對變化量反向發(fā)展，說明了氣體在亞聲速加速流動時，過流斷面逐漸收縮；減速流動時，過流斷面積逐漸擴大。（2） 超聲速流動時，即。這種情況正好和亞聲速流動相反，沿流線加速時

12、，過流斷面逐漸擴大；減速流動時，過流斷面逐漸收縮。上式就表明，亞聲速和超聲速流動在加速或減速流動的情況截然相反。8.4 氣體在管道中的等溫流動實際工程中，許多工業(yè)輸氣管道，如天然氣、煤氣等管道，管道很長，且大部分長期暴露在外界中，管道中的氣體能和外界進行充分的熱交換，所以其溫度基本與周邊環(huán)境一樣。該類氣體管道可視為等溫管道。8.4.1基本方程氣體在實際管道中流動要受到摩擦阻力，故存在流程損失，但在流動中，氣體壓強、密度都有所改變，所以不能直接應(yīng)用達西公式，只能在微小段上應(yīng)用。即(8.4-1)對于前面推導(dǎo)出的可壓縮流體方程式(8.1-7)，在工業(yè)管道中加上摩擦損失后就可以寫成(8.4-2)式中為

13、沿程阻力系數(shù)，上式就是氣體運動微分方程。根據(jù)連續(xù)性方程，有,對于等徑管道因,得(8.4-3)又由熱力學(xué)等溫過程方程即和，有 或和(8.4-4)將式(8.4-4)代入式(8.4-2)并改寫為(8.4-5)圖8-3 微元管流如圖8-3所示，設(shè)在等溫管道中，取一微小流段，在1-2段對上式(8.4-5)進行定積分，得上式積分得(8.4-6)若管道較長，且氣流速度變化不大，則可以認為,略去對數(shù)項，上式可寫成 (8.4-7) (8.4-8)質(zhì)量流量公式為(8.4-9)上面各項就是計算等溫管道壓強、流速和流量的計算公式。8.4.2流動特征分析前面已經(jīng)給出了氣體連續(xù)性方程,其中不變，則有，對該式取對數(shù)并積分，

14、得(8.4-10)由熱力學(xué)方程，積分得(8.4-11)聯(lián)立上面兩式(8.4-10)和(8.4-11)，以及聲速公式，馬赫數(shù)并整理。得(8.4-11)從上式我們可以看出，如果,，即，則；又對于大多數(shù)氣體的指數(shù)常數(shù)，且實際工程等溫管道中氣流的速度不可能無限增大，不可能等于或小于0，所以只有時，計算式才有效；時，只能按（極限值）計算，該極限值計算的管長又稱為最大管長，即實際管長超過最大管長時，進口斷面的流速將受到阻滯，必須減小管長。8.5 氣體在絕熱管道中的流動在實際的氣體輸送管道中，常常在管道外面包有良好的隔熱材料，管內(nèi)氣流與外界不發(fā)生熱交換，這樣的管道可以當作絕熱管流來處理。8.5.1基本方程和

15、分析等溫管道一樣的，引入連續(xù)性方程和運動微分方程，并結(jié)合絕熱過程方程進行分析。改寫運動微分方程式(8.4-2)為(8.5-1)由（常數(shù)）和連續(xù)性方程(常數(shù))（面積不變）得(8.5-2)代入上式得(8.5-3)對如圖8-3所示在1-2間對上式定積分(8.5-4)可得(8.5-5)考慮到管道較長，流速變化也不大，,略去對數(shù)項，可寫成(8.5-6)(8.5-7)質(zhì)量流量為(8.5-8)8.5.2 流動特征分析和等溫管流相似的推導(dǎo)，可以得到(8.5-9)以上各式就是絕熱管流的壓強、速度和流量等計算公式。同樣地，與等溫管流一樣，如果時，可直接用公式計算；否則時，實際流動只能按來計算。計算得出的管長稱為絕

16、熱管流的最大管長，如實際管長大于最大管長，流動將發(fā)生阻滯，必須較小管長。8.6氣體的兩種狀態(tài)8.6.1滯止參數(shù)在氣體流動的計算中,一般都是由一個已知斷面上的參數(shù),求出另一個斷面上的參數(shù)。為了計算的方便，我們假定在流動過程中的某個斷面，氣流的速度以無摩擦的絕熱過程（即等熵過程）降低至零，該斷面的氣流狀態(tài)就稱為滯止狀態(tài)，相應(yīng)的氣流參數(shù)稱為滯止參數(shù)。如氣體從大容器流入管道，由于容器斷面相對于管道斷面大很多，可認為容器中的氣流速度為零，氣流參數(shù)可認為是滯止參數(shù)，或氣體繞過物體時，駐點的速度也為零，駐點處的流動參數(shù)也可認為是滯止參數(shù)。滯止參數(shù)常用下標“”標識，如分別表示滯止壓強、滯止密度、滯止溫度。由絕

17、熱過程方程式（8.1-11），按滯止參數(shù)的定義，可得滯止參數(shù)和某一斷面的運動參數(shù)間的關(guān)系為(8.6-1)又由完全氣體狀態(tài)方程得，上式可寫為(8.6-2)即 (8.6-3)又聲速上式改寫成馬赫數(shù)的形式為(8.6-4)上式就是滯止溫度和斷面上的溫度參數(shù)的計算式。由絕熱過程方程（常數(shù)）和完全氣體狀態(tài)方程，代入上式就可以導(dǎo)出斷面上的壓強、密度和滯止壓強、滯止密度的關(guān)系如下(8.6-5)(8.6-6)在等熵條件下溫度降到絕對零度時，速度達到最大（）的狀態(tài)，稱為最大速度狀態(tài)。由于在地面上不可能制造絕對零度的環(huán)境，最大速度狀態(tài)只具有理論意義，反映氣流的總能量大小。將代入式(8.6-2)得(8.6-7)式中稱

18、為滯止聲速，上式表示了極限流速和滯止聲速的關(guān)系。根據(jù)上面的式子，只需已知滯止參數(shù)和某一斷面的馬赫數(shù)，就可以求該斷面的運動參數(shù)。例題：8.6.2臨界狀態(tài)參數(shù)氣體從當?shù)貭顟B(tài)等熵地改變速度達到聲速時（即），所具有的狀態(tài)稱為與該當?shù)貭顟B(tài)對應(yīng)的臨界狀態(tài)，相應(yīng)的狀態(tài)參數(shù)稱為臨界參數(shù)，與滯止狀態(tài)一樣，臨界狀態(tài)可以是流動中實際存在的，也可以是假想的狀態(tài)。臨界狀態(tài)參數(shù)常用下標“”表示。如、分別稱為臨界溫度、臨界壓強等。在等熵流中所有的臨界參數(shù)都是常數(shù)，因此可作為參考狀態(tài)參數(shù)。根據(jù)臨界狀態(tài)的定義，代入式(8.6-5),得臨界溫度比為(8.6-8)代入式(8.6-5)，就可以得出臨界壓比、臨界密度比為(8.6-9)

19、(8.6-10)從上面公式可以看出,對于一定的氣體, 臨界狀態(tài)參數(shù)與滯止參數(shù)的比值是定值?？諝猓瑒t、。根據(jù)這些臨界比值就可以判斷流場中是否在臨界截面。臨界截面上的聲速稱為臨界聲速。由式(8.6-7) 和得(8.6-11)或(8.6-12)上式(8.6-11)為臨界聲速和極限速度的關(guān)系式，從式(8.6-12)可以看出，對于一定的氣體，臨界聲速決定于總溫。式中的臨界聲速即是時的當?shù)芈曀?。是研究氣體流動中的一個重要參數(shù)?！纠?-1】 空氣在管道中作絕熱無摩擦流動，某截面上的流動參數(shù)為，試求臨界參數(shù)、，?！窘狻?絕熱、無摩擦流動就是等熵流動。先求馬赫數(shù)M，再求、，?？諝獾模?.7噴管的計算和分析圖1

20、收縮噴管工程中采用的噴管有兩種，一種是可獲得亞聲速流或聲速流的收縮噴管，另一種是能獲得超聲速的拉瓦爾噴管。本節(jié)將以完全氣體為研究對象，研究收縮噴管和拉瓦爾噴管在設(shè)計工況下的流動問題。8.7.1收縮噴管如圖所示，氣體從一大容器通過收縮噴管出流，由于容器比出流口要大得多，可將其中的氣流速度看作零，則容器內(nèi)的運動參數(shù)表示為滯止參數(shù)，分別為、，噴管出口處的氣流參數(shù)分別為、。由滯止參數(shù)中得出的能量方程式(8.3-5)得(8.7-1)即(8.7-2)又由絕熱過程方程（常數(shù)）和完全氣體狀態(tài)方程，上式可寫成(8.7-3)上式就是噴管出流的速度公式，也稱圣維南（Saint Venant）定律。此式對超聲速也同樣

21、成立。通過噴管的質(zhì)量流量(8.7-4)代入上式得(8.7-5)從上面的各個公式可以看出，對于一定的氣體，在收縮噴管出口未達到臨界狀態(tài)前，壓降比越大，出口速度越大，流量也越大。且收縮噴管出口處的氣流速度最高可達到當?shù)芈曀?，即出口氣流處于臨界狀態(tài)（即）。此時的出口處壓強為(8.7-6)此時氣流速度也達到極限速度(8.7-7)則流過噴管的極限質(zhì)量流量為(8.7-8)8.7.2拉瓦爾噴管如圖8-3所示為拉瓦爾噴管，其作用是能使氣流加速到超聲速，拉瓦爾噴管廣泛應(yīng)用于蒸氣輪機、燃氣輪機、超聲速風(fēng)洞、沖壓式噴氣發(fā)動機和火箭等動力裝置中。本小節(jié)將討論拉瓦爾噴管出口流速和流量的計算。假定拉瓦爾噴管內(nèi)的氣體作絕能

22、等熵流動，噴管進口的氣流處在滯止狀態(tài)。按照和收縮噴管同樣的推導(dǎo)方法，推導(dǎo)出的噴管出口處的氣流速度同收縮噴管氣流速度式(8.7-2)，即同樣用圣維南定律。拉瓦爾噴管的質(zhì)量流量公式也可仍然采用式(8.7-8)，需要注意的，(8.7-8)式中的截面積要用喉部截面積代替。即通過噴管的流量就是喉部能通過的流量的最大值 (8.7-9)由連續(xù)性方程得 (8.7-10)式中為噴管出口處截面積。根據(jù)式(8.7-10)就可以在已知出口截面積的情況下求喉部截面積?！纠?-2】空氣在縮放噴管內(nèi)流動，氣流的滯止參數(shù)為，出口截面積，背壓。如果要求喉部的馬赫數(shù)達到M1=0.6，試求候部面積。【解】管內(nèi)為亞音速流動，出口壓強

23、等于背壓：。利用喉部和出口的質(zhì)量流量相等的條件確定喉部面積A1。出口參數(shù)：， 喉部參數(shù)：，本 章 小 結(jié)1視為不可壓縮氣體的伯努利方程可壓縮一元氣體恒定流的運動微分方程（1）等溫過程（2）絕熱過程2在介質(zhì)中的擾動傳播速度都稱為聲速，公式為馬赫數(shù) 有時，稱為聲速流動；時，稱為超聲速流動；時，稱為亞聲速流動。3 氣體流速與密度的關(guān)系氣體流速與流道斷面積的關(guān)系4 等溫流動的基本方程壓強速度流量以上各式只有時，才能直接計算；時，按計算，并此時算出的管長稱為等溫過程的最大管長。5 絕熱流動的基本方程壓強速度流量和等溫過程類似的，以上各式只有時，才能直接計算；時，按計算，此時算出的管長稱為絕熱過程的最大管長。思考與練習(xí)8-1 分析理想氣體絕熱流動的伯努利方程各項意