微分幾何(第一課)

1、劉曉春 武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院天衣豈無(wú)縫，匠心剪接成。渾然歸一體，廣邃妙絕倫。造化愛(ài)幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。微分幾何學(xué)是運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論研究曲線或曲面在它一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，換句話說(shuō)，微分幾何是研究一般的曲線和曲面在“小范圍”上的性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引進(jìn)了平面曲線的內(nèi)在坐標(biāo)這一概念，即以曲線弧長(zhǎng)這一幾何量作為曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，從而開始了曲線的內(nèi)在幾何的研究。將曲率描述為某一特殊角的變化率也是Euler的工作。他在曲面論方面也有重要貢獻(xiàn)，特別值得一提的是他在測(cè)地線方面的一些工作，最早把測(cè)地線描述為某些微分方程組的解。G. Mon

2、ge（法國(guó),1746-1818）：在筑城壘這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的推動(dòng)下，他1771年開始寫了關(guān)于空間曲線論的論文，發(fā)表于1785年，他用的是幾何方法，并反映了他對(duì)偏微分方程的興 趣。Monge寫了第一本微分幾何課本分析 在 幾何學(xué)上的應(yīng)用 ，這是微分幾何最早的 一 本著作。1807年出版，這課本共印了五 版，一直發(fā)行到Monge逝世后三十年，足見(jiàn)該 書在當(dāng)時(shí)的重要作用。 F.Frenet(18161868)與J.Serret(18191885)分別于1847年和1851年獨(dú)立地得出現(xiàn)在通稱的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空間曲線論才最后統(tǒng)一起來(lái)。高斯高斯（德國(guó)，（德國(guó)，177

3、7-18551777-1855，）：）：18271827年，發(fā)表了年，發(fā)表了關(guān)于曲面的一般研究關(guān)于曲面的一般研究的著作，這在微分幾何的著作，這在微分幾何的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代的歷史上有重大的意義，它的理論奠定了現(xiàn)代形形式式曲面論曲面論的基礎(chǔ)。的基礎(chǔ)。 微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了微分幾何發(fā)展經(jīng)歷了150150年之后，高斯抓住了微年之后，高斯抓住了微分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立分幾何中最重要的概念和帶根本性的內(nèi)容，建立了曲面的內(nèi)在了曲面的內(nèi)在幾何學(xué)幾何學(xué)。其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面其主要思想是強(qiáng)調(diào)了曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，例如曲面上只依賴于第一基本形式的一些性質(zhì)，

4、例如曲面上曲面的長(zhǎng)度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)上曲面的長(zhǎng)度、兩條曲線的夾角、曲面上的一區(qū)域的面積、測(cè)地線、測(cè)地線曲率和總曲率等等。域的面積、測(cè)地線、測(cè)地線曲率和總曲率等等。他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)他的理論奠定了近代形式曲面論的基礎(chǔ)。R.RiemannR.Riemann（1826186618261866）才進(jìn)一步發(fā)展了）才進(jìn)一步發(fā)展了GaussGauss的內(nèi)在幾何學(xué)的內(nèi)在幾何學(xué)，18541854年他在哥丁根大學(xué)就職演講中深刻地揭示了空間與幾年他在哥丁根大學(xué)就職演講中深刻地揭示了空間與幾何兩者之間的差別。何兩者之間的差別。RiemannRiemann將曲面本身看成一個(gè)獨(dú)立的幾何將曲面

5、本身看成一個(gè)獨(dú)立的幾何實(shí)體，而不是僅僅把它看作歐氏空間中的一個(gè)幾何實(shí)體，從實(shí)體，而不是僅僅把它看作歐氏空間中的一個(gè)幾何實(shí)體，從而他認(rèn)識(shí)到二次微分形式（現(xiàn)稱為黎曼測(cè)度）是加到流形上而他認(rèn)識(shí)到二次微分形式（現(xiàn)稱為黎曼測(cè)度）是加到流形上去的一個(gè)結(jié)構(gòu)，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼測(cè)度。去的一個(gè)結(jié)構(gòu)，因此在同一流形上可以有眾多的黎曼測(cè)度。RiemannRiemann意識(shí)到這件事是非凡的重要，把誘導(dǎo)測(cè)度與外加的黎意識(shí)到這件事是非凡的重要，把誘導(dǎo)測(cè)度與外加的黎曼測(cè)度兩者區(qū)分開來(lái)，從而開創(chuàng)了黎曼幾何，作出了杰出的曼測(cè)度兩者區(qū)分開來(lái)，從而開創(chuàng)了黎曼幾何，作出了杰出的貢獻(xiàn)。其后，貢獻(xiàn)。其后，Levi-Civi

6、taLevi-Civita等人進(jìn)一步豐富了經(jīng)典的黎曼幾何等人進(jìn)一步豐富了經(jīng)典的黎曼幾何?？巳R因（德國(guó)）：克萊因（德國(guó)）：18721872年在年在德國(guó)德國(guó)埃爾朗根大學(xué)埃爾朗根大學(xué)作就職演講時(shí)，闡述了作就職演講時(shí)，闡述了埃爾朗根綱領(lǐng)埃爾朗根綱領(lǐng)，用，用變換群對(duì)已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。變換群對(duì)已有的幾何學(xué)進(jìn)行了分類。 在在埃爾朗根綱領(lǐng)埃爾朗根綱領(lǐng)發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，發(fā)表后的半個(gè)世紀(jì)內(nèi)，它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)它成了幾何學(xué)的指導(dǎo)原理原理，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)，推動(dòng)了幾何學(xué)的發(fā)展，導(dǎo)致了展，導(dǎo)致了射影射影微分幾何、仿射微分幾何、共微分幾何、仿射微分幾何、共形微分幾何的建立。形微分幾何的建立。射影微分幾何起始于射影

7、微分幾何起始于18781878年阿爾方的學(xué)位論文，后來(lái)年阿爾方的學(xué)位論文，后來(lái)19061906年年起經(jīng)以起經(jīng)以威爾辛斯基威爾辛斯基為代表的為代表的美國(guó)學(xué)派美國(guó)學(xué)派所發(fā)展，所發(fā)展，19161916年起又經(jīng)年起又經(jīng)以富比尼為首的以富比尼為首的意大利意大利學(xué)派所發(fā)展。學(xué)派所發(fā)展。二十世紀(jì)二、三十年代二十世紀(jì)二、三十年代E.CartanE.Cartan開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法，建立起李群與微分幾何之間的聯(lián)系，從而為微活動(dòng)標(biāo)架法，建立起李群與微分幾何之間的聯(lián)系，從而為微分幾何的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)且開辟了廣闊的園地，影響極分幾何的發(fā)展奠定了重要基礎(chǔ)且開辟了廣闊的園地，影響

8、極為深遠(yuǎn)。陳省身將為深遠(yuǎn)。陳省身將CartanCartan的方法發(fā)揚(yáng)光大，他關(guān)于纖維叢和的方法發(fā)揚(yáng)光大，他關(guān)于纖維叢和示性類的理論，建立了微分幾何與拓?fù)涞穆?lián)系，是一個(gè)光輝示性類的理論，建立了微分幾何與拓?fù)涞穆?lián)系，是一個(gè)光輝的里程碑。的里程碑。 2020世紀(jì)世紀(jì)3030年代起中國(guó)蘇步青及其學(xué)生們以及蘇聯(lián)年代起中國(guó)蘇步青及其學(xué)生們以及蘇聯(lián).菲尼菲尼科夫等進(jìn)一步發(fā)展了射影微分幾何科夫等進(jìn)一步發(fā)展了射影微分幾何。由于由于黎曼幾何黎曼幾何的發(fā)展和愛(ài)因斯坦廣義的發(fā)展和愛(ài)因斯坦廣義相對(duì)論相對(duì)論的的建立，微分幾何在建立，微分幾何在黎曼幾何學(xué)黎曼幾何學(xué)和廣義相對(duì)論中和廣義相對(duì)論中得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成

9、為獨(dú)具特得到了廣泛的應(yīng)用，逐漸在數(shù)學(xué)中成為獨(dú)具特色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。色、應(yīng)用廣泛的獨(dú)立學(xué)科。微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問(wèn)題方面有廣微分幾何在力學(xué)和一些工程技術(shù)問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)泛的應(yīng)用，比如，在彈性薄殼結(jié)構(gòu)方面，在機(jī)械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微械的齒輪嚙合理論應(yīng)用方面，都充分應(yīng)用了微分幾何學(xué)的理論。分幾何學(xué)的理論。從局部微分幾何到黎曼幾何、微分流形與纖維從理論的發(fā)展過(guò)程可以看到，除了微分幾何本身研究中所產(chǎn)生的研究問(wèn)題外，其他數(shù)學(xué)學(xué)科及物理學(xué)、力學(xué)等也推動(dòng)了微分幾何的發(fā)展。微分幾何學(xué)以光滑曲線微分幾何學(xué)以光滑曲線( (曲面曲面) )作為研究對(duì)象

10、，所以整個(gè)微作為研究對(duì)象，所以整個(gè)微分幾何學(xué)是由曲線的弧線長(zhǎng)、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展分幾何學(xué)是由曲線的弧線長(zhǎng)、曲線上一點(diǎn)的切線等概念展開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性開的。既然微分幾何是研究一般曲線和一般曲面的有關(guān)性質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率質(zhì)，則平面曲線在一點(diǎn)的曲率和空間的曲線在一點(diǎn)的曲率等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲等，就是微分幾何中重要的討論內(nèi)容，而要計(jì)算曲線或曲面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。面上每一點(diǎn)的曲率就要用到微分的方法。在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離和角。比如，在曲面上有兩條重要概念，就是曲面上的距離

11、和角。比如，在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最在曲面上由一點(diǎn)到另一點(diǎn)的路徑是無(wú)數(shù)的，但這兩點(diǎn)間最短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線。在微短的路徑只有一條，叫做從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的測(cè)地線。在微分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的分幾何里，要討論怎樣判定曲面上一條曲線是這個(gè)曲面的一條測(cè)地線，還要討論測(cè)地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面一條測(cè)地線，還要討論測(cè)地線的性質(zhì)等。另外，討論曲面在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在每一點(diǎn)的曲率也是微分幾何的重要內(nèi)容。在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域在微分幾何中，為了討論任意曲線上每一點(diǎn)鄰域的性質(zhì)，常常用所謂的性質(zhì)，常

12、常用所謂“活動(dòng)標(biāo)形的方法活動(dòng)標(biāo)形的方法”。對(duì)任。對(duì)任意曲線的意曲線的“小范圍小范圍”性質(zhì)的研究，還可以用拓?fù)湫再|(zhì)的研究，還可以用拓?fù)渥儞Q把這條曲線變換把這條曲線“轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化”成初等曲線進(jìn)行研究成初等曲線進(jìn)行研究。在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可在微分幾何中，由于運(yùn)用數(shù)學(xué)分析的理論，就可以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜以在無(wú)限小的范圍內(nèi)略去高階無(wú)窮小，一些復(fù)雜的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過(guò)程也可的依賴關(guān)系可以變成線性的，不均勻的過(guò)程也可以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方以變成均勻的，這些都是微分幾何特有的研究方法。法。近代由于對(duì)高維空間的微分幾何和對(duì)曲線、曲近代由

13、于對(duì)高維空間的微分幾何和對(duì)曲線、曲面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同面整體性質(zhì)的研究，使微分幾何學(xué)同黎曼幾何黎曼幾何、拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)、變分學(xué)變分學(xué)、李群代數(shù)李群代數(shù)等有了密切的關(guān)系，等有了密切的關(guān)系，這些數(shù)學(xué)分支和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)這些數(shù)學(xué)分支和微分幾何互相滲透，已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)代數(shù)學(xué)的中心問(wèn)題之一。的中心問(wèn)題之一。 微分方程微分方程：達(dá)布的曲面論一書就包含了豐達(dá)布的曲面論一書就包含了豐富的古典微分方程的內(nèi)容。富的古典微分方程的內(nèi)容。.嘉當(dāng)和凱勒所發(fā)嘉當(dāng)和凱勒所發(fā)展的外微分方程理論，對(duì)于解析函數(shù)領(lǐng)域的一展的外微分方程理論，對(duì)于解析函數(shù)領(lǐng)域的一大類局部微分幾何問(wèn)題，給出了一般的有效的大類局部微

14、分幾何問(wèn)題，給出了一般的有效的方法。方法。整體微分幾何的發(fā)展，需要運(yùn)用更深入的，現(xiàn)整體微分幾何的發(fā)展，需要運(yùn)用更深入的，現(xiàn)代化的分析工具，特別是偏微分方程理論以及代化的分析工具，特別是偏微分方程理論以及與之有關(guān)的非線性分析。與之有關(guān)的非線性分析。在線性理論中，一個(gè)突出的成果是在線性理論中，一個(gè)突出的成果是AtiyahAtiyah和和SingerSinger的指標(biāo)定理的指標(biāo)定理：緊致微分流形上的一個(gè)線性緊致微分流形上的一個(gè)線性橢圓算子的零空間的維數(shù)與象空間的維數(shù)都是有橢圓算子的零空間的維數(shù)與象空間的維數(shù)都是有限數(shù)，其差稱為指標(biāo)，這個(gè)定理指出，這種指標(biāo)限數(shù)，其差稱為指標(biāo)，這個(gè)定理指出，這種指標(biāo)可以

15、表示為和流形（或纖維叢）及橢圓算子有關(guān)可以表示為和流形（或纖維叢）及橢圓算子有關(guān)的拓?fù)洳蛔兞?，的拓?fù)洳蛔兞?，而過(guò)去的黎曼而過(guò)去的黎曼- -羅赫定理，希策羅赫定理，希策布魯赫的指標(biāo)定理等都是它的特殊情形。布魯赫的指標(biāo)定理等都是它的特殊情形。這個(gè)定理對(duì)于確定楊這個(gè)定理對(duì)于確定楊- -米爾斯方程的解的存在性米爾斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一個(gè)重要方面。普拉斯算子的特征值的研究也是一個(gè)重要方面。微分幾何學(xué)所遇到的偏微分方程大多是非線性的，調(diào)和函數(shù)的概念微分幾何學(xué)所遇到的偏微分方程大多是非線性的，調(diào)和函

16、數(shù)的概念被推廣成黎曼流形間的調(diào)和映射，它聯(lián)系于一個(gè)推廣的狄利克雷積被推廣成黎曼流形間的調(diào)和映射，它聯(lián)系于一個(gè)推廣的狄利克雷積分的變分問(wèn)題，其歐拉方程是非線性的橢圓型方程組，分的變分問(wèn)題，其歐拉方程是非線性的橢圓型方程組，J.J.伊爾斯等伊爾斯等人用了多種分析的技巧證明了各種存在性和不存在性定理人用了多種分析的技巧證明了各種存在性和不存在性定理近年來(lái)，近年來(lái)，R.R.舍恩和舍恩和K.K.K.K.烏倫貝克又對(duì)廣義解的奇性作了深入的分析。烏倫貝克又對(duì)廣義解的奇性作了深入的分析。極小曲面理論近年來(lái)得到更深入的發(fā)展，研究范圍日趨廣泛，而且極小曲面理論近年來(lái)得到更深入的發(fā)展，研究范圍日趨廣泛，而且對(duì)流形的

17、拓?fù)湟约皬V義相對(duì)論中的數(shù)學(xué)問(wèn)題均有重要應(yīng)用。在調(diào)和對(duì)流形的拓?fù)湟约皬V義相對(duì)論中的數(shù)學(xué)問(wèn)題均有重要應(yīng)用。在調(diào)和映射、極小曲面，以及其他許多微分幾何問(wèn)題上，大范圍變分方法映射、極小曲面，以及其他許多微分幾何問(wèn)題上，大范圍變分方法成了重要工具，非線性泛函的極小元素或臨界元素的正則性和存在成了重要工具，非線性泛函的極小元素或臨界元素的正則性和存在性起了很大作用。性起了很大作用。如果考慮洛倫茨流形到黎曼流形的調(diào)和映射，就歸結(jié)為雙曲型偏微如果考慮洛倫茨流形到黎曼流形的調(diào)和映射，就歸結(jié)為雙曲型偏微分方程的整體解的存在性問(wèn)題，這方面成果國(guó)際上較少，谷超豪證分方程的整體解的存在性問(wèn)題，這方面成果國(guó)際上較少，谷超

18、豪證明了閔科夫斯基平面到完備黎曼流形的調(diào)和映射的柯西問(wèn)題的整體明了閔科夫斯基平面到完備黎曼流形的調(diào)和映射的柯西問(wèn)題的整體存在性定理，某些調(diào)和映射在物理學(xué)中稱為非線性存在性定理，某些調(diào)和映射在物理學(xué)中稱為非線性模型，是物理模型，是物理學(xué)家獨(dú)立地提出的。學(xué)家獨(dú)立地提出的。有些微分幾何學(xué)問(wèn)題還必須求解有些微分幾何學(xué)問(wèn)題還必須求解“真正真正”非線性非線性偏微分方程，這是比擬線性方程的非線性程度更偏微分方程，這是比擬線性方程的非線性程度更高的偏微分方程，其難度更大，突出的事項(xiàng)是丘高的偏微分方程，其難度更大，突出的事項(xiàng)是丘成桐解決了由卡拉皮所提出的一個(gè)猜想，證明了成桐解決了由卡拉皮所提出的一個(gè)猜想，證明了

19、某種愛(ài)因斯坦某種愛(ài)因斯坦- -凱勒流形的存在定理，這需要求凱勒流形的存在定理，這需要求解復(fù)蒙日解復(fù)蒙日- -安培方程，它的非線性程度更高，需安培方程，它的非線性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐還解決了一系列的要有高度的分析技巧。丘成桐還解決了一系列的其他的與非線性偏微分方程有關(guān)的幾何問(wèn)題。其他的與非線性偏微分方程有關(guān)的幾何問(wèn)題。具有復(fù)結(jié)構(gòu)的微分流形特別具有復(fù)結(jié)構(gòu)的微分流形特別是凱勒是凱勒流形在多元復(fù)流形在多元復(fù)變函數(shù)和代數(shù)幾何中起著重要的作用。變函數(shù)和代數(shù)幾何中起著重要的作用。本課程主要講授三維空間中經(jīng)典的曲線和曲面的局部理論，主要內(nèi)容有： （1）曲線論。包括參數(shù)曲線，曲線的弧長(zhǎng)，曲線的

20、曲率和Frenet標(biāo)架，撓率與Frenet公式，曲線論基本定理，曲線在一點(diǎn)處的標(biāo)準(zhǔn)展開，平面曲線。 （2）曲面論。包括曲面的定義，切平面與法線，曲面的第一基本形式，曲面上正交參數(shù)網(wǎng)的存在性，保長(zhǎng)對(duì)應(yīng)，保角對(duì)應(yīng)，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射與Weingarten映射，主曲率和主方向的計(jì)算，Dupin標(biāo)形和曲面在一點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)展開，某些特殊曲面，曲面論基本定理。 （3）曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何，包括測(cè)地曲率和測(cè)地?fù)下?，測(cè)地線，測(cè)地坐標(biāo)系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。 本書共10章，第1章第5章為第一部分，系統(tǒng)講述了三維歐氏空間中曲線、曲面的局部幾何理論和曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)，這

21、部分內(nèi)容可作為數(shù)學(xué)專業(yè)本科生微分幾何必修課教材；第6章第10章為第一部分，介紹有關(guān)曲面整體理論的一些基本結(jié)果，是整體微分幾何一些經(jīng)典問(wèn)題選講，它涉及數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域，可作為高年級(jí)本科生的專業(yè)課教材或課外閱讀材料。這是我們的教材這是我們的教材陳維恒編著的微分幾何是北京大學(xué)微分幾何課程教材，并為普通高等教育“十五”國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材，其前身微分幾何初步曾于1995年獲教育部?jī)?yōu)秀教材一等獎(jiǎng)。本書主要介紹了微分幾何方面的基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論和基本方法。主要內(nèi)容有：Euclid空間的剛性運(yùn)動(dòng)，曲線論，曲面的局部性質(zhì)，曲面論基本定理，曲面上的曲線，高維Euclid空間的曲面等，除第一章外其余各章均配有習(xí)題，以鞏固

22、知識(shí)并訓(xùn)練解題技巧與鉆研數(shù)學(xué)的能力。本書可作為大學(xué)數(shù)學(xué)各專業(yè)本科生的教學(xué)用書，也可供數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)工作者參考。 M.貝爾熱 著名法國(guó)數(shù)學(xué)家，法國(guó)微分幾何老前輩。曾任法國(guó)科學(xué)高等研究所（IHES）所長(zhǎng)。貝爾熱教授撰寫過(guò)多本成功的幾何著作，并以書的精巧論述而見(jiàn)長(zhǎng)。 本書主要由法國(guó)資深微分幾何學(xué)家貝爾熱在巴黎大學(xué)多年講授微分幾何課程講稿的基礎(chǔ)上編纂而成。 本書強(qiáng)調(diào)幾何與分析的有機(jī)結(jié)合，始終堅(jiān)持對(duì)于分析，揭露其幾何實(shí)質(zhì)，而對(duì)于幾何，則洞察其分析精髓。本書對(duì)于常微分方程、單位分解、臨界點(diǎn)、拓?fù)涠群土餍紊系奈⒎e分等研究微分幾何的各種工具做了相當(dāng)充分的講解。內(nèi)容重點(diǎn)是曲線的局部和整體理論，對(duì)于曲面的局部和整

23、體理論則做了比較全面的概述，而對(duì)于其詳盡的證明則推薦相關(guān)的文獻(xiàn)供讀者查閱。書中配備了豐富的習(xí)題。 本書是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)系本科生乃至其他理工科學(xué)生學(xué)習(xí)微分流形和微分幾何的優(yōu)秀參考書。本書介紹曲線和曲面幾何的入門知識(shí)，主要內(nèi)容包括歐氏空間上的積分、幀場(chǎng)、歐氏幾何、曲面積分、形狀算子、曲面幾何、黎曼幾何、曲面上的球面結(jié)構(gòu)等。修訂版擴(kuò)展了一些主題，更加強(qiáng)調(diào)拓?fù)湫再|(zhì)、測(cè)地線的性質(zhì)、向量場(chǎng)的奇異性等。更為重要的是，修訂版增加了計(jì)算機(jī)建模的內(nèi)容，提供了Mathematica和Maple程序。此外，還增加了相應(yīng)的計(jì)算機(jī)習(xí)題，補(bǔ)充了奇數(shù)號(hào)碼習(xí)題的答案，更便于教學(xué)。本書適合作為高等院校本科生相關(guān)課程的教材，也

24、適合作為相關(guān)專業(yè)研究生和科研人員的參考書。本書是（英文版）一本關(guān)于曲線和曲面微分幾何的導(dǎo)論，介紹微分幾何這兩個(gè)方面的局部特性與整體特性。同傳統(tǒng)的微分幾何教材不同，本書更廣泛地應(yīng)用初等線性代數(shù)的知識(shí)，并把重點(diǎn)放在基本的幾何論據(jù)上。 為取得概念與實(shí)際材料之間的適度平衡，本書還包含大量的例子，并合理安排習(xí)題，其中包含經(jīng)典微分幾何的某些實(shí)際題材。Manfredo P.do Carmo 1963年于加利福尼亞大學(xué)伯克利分校獲得博士學(xué)位，目前就職于巴西國(guó)家數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所(IMPA)。本書系統(tǒng)地論述了微分幾何的基本知識(shí)。全書共八章并兩個(gè)附錄。作者以較大的篇幅，即前三章和第六章介紹了流形、多重線性函數(shù)、向量場(chǎng)、外微分、李群和活動(dòng)標(biāo)架法等基本知識(shí)和工具。在有了上述寬廣而堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之后，論述微分幾何的核心問(wèn)題，即聯(lián)絡(luò)、黎曼幾何以及曲面論等。第七章復(fù)流形，既是當(dāng)前十分活躍的研究領(lǐng)域，也是第一作者研究成果卓著的領(lǐng)域之一，包含有作者獨(dú)到的見(jiàn)解和簡(jiǎn)捷的方法。第八章Finsler幾何是本書第二版新增的一章，它是第一作者近來(lái)提倡的研究課題，其中Chefn聯(lián)絡(luò)具有突出