誤差理論及數(shù)據(jù)處理_1

1、誤差理論及數(shù)據(jù)處理誤差理論及數(shù)據(jù)處理廣西CDC質(zhì)量管理科 鄧蓮芬二六年七月十八日一、誤差基礎(chǔ)知識 在各種測量領(lǐng)域，我們經(jīng)常使用一些術(shù)語，例如測量誤差、測量準(zhǔn)確度和測量不確定度等來表示測量結(jié)果質(zhì)量的好壞?，F(xiàn)我們從上述三個術(shù)語的定義出發(fā)，給出這些術(shù)語的基本概念，并指出它們之間的差別，以利于正確使用這些術(shù)語。一、誤差基礎(chǔ)知識（一）測量結(jié)果 測量結(jié)果的定義是“由測量所得到的賦予被由測量所得到的賦予被測量的值測量的值”，因此測量結(jié)果是通過測量得到的被測量的最佳估計值。由于任何測量都存在缺陷，因而通常測量結(jié)果并不等于真值。完整表述測量結(jié)果時，必須給出其測量不確定度，必要時還應(yīng)說明測量所處條件，或影響量影響

2、量的取值范圍。以便使用者可以正確地利用該測量結(jié)果。一、誤差基礎(chǔ)知識（一）測量結(jié)果 測量結(jié)果可能是單次測量的結(jié)果，也可能是由多次測量所得。對于前者，測得值就是測量結(jié)果；若為多次測量所得，則測得值的算術(shù)平均值才是測量結(jié)果。因此在給出測量結(jié)果時，通常說明它是示值、未示值、未修正測量結(jié)果或已修正測量結(jié)果修正測量結(jié)果或已修正測量結(jié)果，同時還應(yīng)表明它是否為幾個值的平均。一、誤差基礎(chǔ)知識（一）測量結(jié)果 測得值，有時也稱為觀測值，是指從一次觀測中由測量儀器或量具的顯示裝置中所得到的單一值。一般地說，它并不是測量結(jié)果。測量結(jié)果是指對測得值經(jīng)過恰當(dāng)?shù)奶幚恚ㄈ绨匆欢ǖ囊?guī)則確定并剔除測得值中的離群值）、修正（指必須加

3、上由各種原因引起的必要的修正值或乘以必要修正值或乘以必要的修正因子的修正因子）或經(jīng)過必要的計算而得到的最后提供給用戶的量值。因此測得值或觀測值是測量中得到的原始數(shù)據(jù)，是測量過程的一個中間環(huán)節(jié)。對于間接測量而言，測得值或觀測值往往具有和被測量不同的量綱量綱。而測量結(jié)果則是整個測量的最后結(jié)果。 在不會引起混淆的情況下有時也將測得值稱為測量結(jié)果。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差1、測量誤差的定義 測量誤差的定義是：測量結(jié)果減去被測量的真值。注：（1）由于真值不能確定，實際上用的是約定真值。 （2）當(dāng)有必要與相對誤差相區(qū)別時，此術(shù)語有時稱為測量的絕對誤差。注意不要與誤差的絕對值相混淆，后者為誤差的模

4、。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 根據(jù)誤差的定義，測量誤差是測量結(jié)果與被測量真值之差。一個量的真值，是在被觀測時本身所具有的真實大小，只有完善的測量才能得到真值。任何測量都存在缺陷，完善的測量是不存在的，因此真值是一個理想的概念。既然真值無法確切地知道，因此誤差也無法確切地知道。故在實際工作中，誤差只能用于已知約定真值的情況，但此時還必須考慮約定真值本身的不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 產(chǎn)生誤差的原因是測量過程的缺陷，而測量過程的缺陷可能是由各種各樣的原因引起的，因此測量結(jié)果的誤差往往是由多個分量組成的。 誤差與測量結(jié)果有關(guān)。而測量結(jié)果只有通過測量才能得到，因此誤差也只能通過

5、測量得到。通過分析評定的方法是無法得到誤差的。對于同一個被測量，當(dāng)在重復(fù)性條件下進行多次測量時，可能得到不同的測量結(jié)果，因此這些不同測量結(jié)果的誤差是不同的。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 由定義還可知誤差是兩個值之差，因此誤差表示的是一個差值，而不是區(qū)間。當(dāng)測量結(jié)果大于真值時誤差為正值，當(dāng)測量結(jié)果小于真值時誤差為負(fù)值。因此誤差既不可能、也不應(yīng)當(dāng)以 “”號的形式出現(xiàn)。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 測量誤差常稱為絕對誤差，這是為區(qū)別于相對誤差相對誤差而言的。相對誤差定義為測量誤相對誤差定義為測量誤差除以被測量的真值差除以被測量的真值，實際上只能用測量誤差除以被測量的約定真值，而在具體工作

6、中則通常用測量結(jié)果來代替約定真值得到相對誤差。絕對誤差的量綱與被測量的量綱相同，而相對誤差是無量綱量相對誤差是無量綱量，或者或者說其量綱為說其量綱為1。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差2、誤差的分類 誤差按其性質(zhì)，可以分為系統(tǒng)誤差和隨機誤差兩類。系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的定義為： 在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。注：（1）如真值一樣，系統(tǒng)誤差及其原因不能完全獲知。 （2）對測量儀器而言，其系統(tǒng)誤差也稱為測量儀器的偏移。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差系統(tǒng)誤差 由定義可知，由于系統(tǒng)誤差僅與無限多次測量結(jié)果的平均值有關(guān)，而與在重復(fù)性條件下得到的不同測量結(jié)

7、果無關(guān)。因此，在重復(fù)性條件下得到的不同測量結(jié)果應(yīng)該具有相同的系統(tǒng)誤差。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差系統(tǒng)誤差 由于系統(tǒng)誤差和真值有關(guān)，而真值是無法確切知道的，只能用約定真值代替，因而可能得到的只是系統(tǒng)誤差的估計值，并具有一定的不確定度。由于誤差等于負(fù)的修誤差等于負(fù)的修正值正值，因此系統(tǒng)誤差的不確定度就是修正值的不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差系統(tǒng)誤差 不宜按過去的說法將系統(tǒng)誤差分成已定系統(tǒng)誤差和未定系統(tǒng)誤差。也不宜說未定系統(tǒng)誤差按隨機誤差處理。未定系統(tǒng)誤差其實是不存在的，過去所說的未定系統(tǒng)誤差從本質(zhì)上說并不是誤差，而是不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差系統(tǒng)誤差 系統(tǒng)誤

8、差一般來源于影響量，它對測量結(jié)果的影響已經(jīng)被識別并可以定量地進行估算。這種影響稱之為“系統(tǒng)效應(yīng)”。若該效應(yīng)比較顯著，也就是說如果系統(tǒng)誤差比較大，則可在測量結(jié)果上加上修正值而予以補償，得到修正后的測量結(jié)果。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差 隨機誤差隨機誤差的定義為： 測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差。注：（1）隨機誤差等于誤差減去系統(tǒng)誤差。 （2）因為測量只能進行有限次數(shù)，故可能確定的只是隨機誤差的估計值。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差 在無限多次測量結(jié)果的平均值中，已經(jīng)不含有隨機誤差分量，故其只存在系統(tǒng)誤差。由于測量不可能進行無限

9、多次，因而在測量結(jié)果中隨機誤差和系統(tǒng)誤差分量都存在。在重復(fù)性條件下得到的不同測量結(jié)果具有不同的隨機誤差，但有相同的系統(tǒng)誤差。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差 1993年前，隨機誤差被定義為在同一量的多次測量過程中，以不可預(yù)知方式變化的測量誤差分量。這里所謂的不可預(yù)知分量是指在相同測量條件下的多次測量中，誤差的符號及其絕對值變化不定的分量。其大小用多次重復(fù)測量結(jié)果的實驗標(biāo)準(zhǔn)差實驗標(biāo)準(zhǔn)差表示。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差 1993年后，隨機誤差是按其本質(zhì)來定義的。但由于該定義中涉及無限多次測量所得結(jié)果的平均值，因此與系統(tǒng)誤差一樣，能確定的同樣只是隨機誤差的估計值。隨機誤

10、差一般來源于影響量的隨機變化，故稱之為“隨機效應(yīng)”。正是這種隨機效應(yīng)導(dǎo)致了測量結(jié)果的分散性。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差 就單個測量結(jié)果而言，隨機誤差的符號和絕對值是不可預(yù)知的。但就相同條件下多次測量結(jié)果而言，其總體上仍存在一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律性。隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性主要表現(xiàn)在下述三方面：一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性：（1）對稱性 對絕對值相等而符號相反的誤差，出現(xiàn)的次數(shù)大致相等。也就是說，測得值以其算術(shù)平均值為中心對稱地分布。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性：（2）有界性 指測得值的隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限。也

11、就是說，不會出現(xiàn)絕對值很大的隨機誤差。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差 隨機誤差的統(tǒng)計規(guī)律性：（3）單峰性 所有的測得值以其算術(shù)平均值為中心相對集中地分布，絕對值小的誤差出現(xiàn)的機會大于絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差： 由于隨機變量的數(shù)學(xué)期望值等于對該隨機變量進行無限多次測量的平均值，因此也可以說，隨機誤差是指測量誤差中數(shù)學(xué)期望值為零的誤差分量，而系統(tǒng)誤差則是指測量誤差中數(shù)學(xué)期望值不為零的誤差分量。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差隨機誤差： 根據(jù)定義，誤差、系統(tǒng)誤差和隨機誤差均表示兩個量值之差，因此隨機誤差和系統(tǒng)誤差也都應(yīng)該具有確定的符號，同樣也不應(yīng)當(dāng)

12、以“”號的形式出現(xiàn)。由于隨機誤差和系統(tǒng)誤差都是對應(yīng)于無限多次測量的理想概念，而實際上無法進行無限多次測量，只能用有限次測量的結(jié)果作為無限多次測量結(jié)果的估計值，因此可以確定的只是隨機誤差和系統(tǒng)誤差的估計值。 誤差經(jīng)常用于已知約定真值的情況，例如經(jīng)常用示值誤差來表示測量儀器的特性。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 由誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差的定義可知： 誤差 = 測量結(jié)果-真值 =（測量結(jié)果-總體均值）+（總體均值-真值） = 隨機誤差+系統(tǒng)誤差 或 測量結(jié)果 = 真值+誤差 = 真值+隨機誤差 +系統(tǒng)誤差一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差

13、和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 由此可知，誤差等于隨機誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和。既然誤差是一個差值，因此任何誤差的合成，不論隨機誤差或系統(tǒng)誤差，都應(yīng)該采用代數(shù)相加的方法。這一結(jié)論與我們過去常用的誤差合成方法不一致。過去在對隨機誤差進行合成時，通常都采用方和根法。兩者的區(qū)別在于隨機誤差定義的改變。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 1993年之前，隨機誤差用多次重復(fù)測量結(jié)果的實驗標(biāo)準(zhǔn)差表示，因此當(dāng)時隨機誤差用一個“區(qū)間”來表示。1993年國際上對“隨機誤差”一詞的定義作了原則性修改后，隨機誤差表示測量結(jié)果與多次測量所得結(jié)果的平均值（即總體均值）之差，因此隨機誤差已不再

14、表示一個“區(qū)間”，而是表示測量結(jié)果與總體均值之差。并且測量結(jié)果是真值、系統(tǒng)誤差和隨機誤差三者的代數(shù)和。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 由于誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差都是兩個量值之差，因此不論它們是否能確切地知道，任何誤差的合成都應(yīng)該采用代數(shù)相加的方法，而不能采用過去常用的方和根法合成。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 過去人們常常會誤用“誤差”這一術(shù)語。例如，通過經(jīng)典的誤差分析方法給出的結(jié)果往往是被測量值不能確定的范圍，而不是真正的誤差值。按定義，誤差與測量結(jié)果有關(guān)，即不同的測量結(jié)果有不同的誤差。合理賦予被測量的

15、每一個值各有其自己的誤差，而并不存在一個共同的誤差。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 也有人將誤差分為四類：系統(tǒng)誤差、隨系統(tǒng)誤差、隨機誤差、漂移和粗差機誤差、漂移和粗差。但主要還是前面兩類。漂移是由不受控的影響量的系統(tǒng)影響漂移是由不受控的影響量的系統(tǒng)影響所引起的，常常表現(xiàn)為時間效應(yīng)或磨損效所引起的，常常表現(xiàn)為時間效應(yīng)或磨損效應(yīng)應(yīng)。因此漂移可以用單位時間內(nèi)的變化或使用一定次數(shù)后的變化來表示。從實質(zhì)上來說，漂移是一種隨時間或隨使用次數(shù)而變化的系統(tǒng)誤差。一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 測量結(jié)果中還可能存在粗差，粗差是由

16、粗差是由測量過程中不可重復(fù)的突發(fā)事件所引起的測量過程中不可重復(fù)的突發(fā)事件所引起的。電子噪聲或機械噪聲可以引起粗差。產(chǎn)生粗差的另一個經(jīng)常出現(xiàn)的原因是操作人員在讀數(shù)和書寫方面的疏忽以及錯誤地使用測量設(shè)備。必須將粗差和其他幾種誤差相區(qū)分，粗差是不可能再進一步描述的。粗粗差是不可能再進一步描述的。粗差既不可能被定量地描述，也不能成為測差既不可能被定量地描述，也不能成為測量不確定度的一個分量量不確定度的一個分量。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 由于粗差的存在，使測量結(jié)果中可能存在異常值。在計算測量結(jié)果和進行測量不確定度評定之前，必須剔除測量結(jié)果中的異常值。在測

17、量過程中，如果發(fā)現(xiàn)某個測量條件不符合要求，或者出現(xiàn)了可能影響到測量結(jié)果的突發(fā)事件，可以立即將該數(shù)據(jù)從原始記錄中剔除，并記錄下剔除原因。在計算測量結(jié)果和進行不確定度評定時，異常值的剔除應(yīng)通過對數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臋z驗，并按一定的規(guī)則進行。 一、誤差基礎(chǔ)知識（二）測量結(jié)果誤差3、誤差、隨機誤差和系統(tǒng)誤差之間的關(guān)系 無論隨機誤差或系統(tǒng)誤差，所有的誤差從無論隨機誤差或系統(tǒng)誤差，所有的誤差從本質(zhì)上來說均是系統(tǒng)性的本質(zhì)上來說均是系統(tǒng)性的。如果發(fā)現(xiàn)某一誤差是非系統(tǒng)性的，則主要是因為產(chǎn)生誤差的原因沒有找到，或是對誤差的分辨能力不夠所致，因此，可以說隨機誤差是由隨機誤差是由不受控的隨機影響量所引起的。由隨機效不受控的隨

18、機影響量所引起的。由隨機效應(yīng)引入的不確定度可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差以及分應(yīng)引入的不確定度可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差以及分布類型來表示。多次測量結(jié)果的平均值常布類型來表示。多次測量結(jié)果的平均值常常作為估計系統(tǒng)誤差的基礎(chǔ)常作為估計系統(tǒng)誤差的基礎(chǔ)。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 測量結(jié)果的準(zhǔn)確度常常簡稱為測量準(zhǔn)確度，其定義為： 測量結(jié)果與被測量的真值之間的一致程度。注：（1）不要用術(shù)語精密度代替準(zhǔn)確度。 （2）準(zhǔn)確度是一個定性的概念。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 由于無法知道真值的確切大小，因此準(zhǔn)確度被定義為測量結(jié)果與被測量的真值之間的接近程度，于是準(zhǔn)確度就成為一個定性的概念。既然準(zhǔn)確度是一個定性的概念

19、，就不應(yīng)該將其定量化。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 所謂“定性”，意味著可以說：準(zhǔn)確度為0.25級、準(zhǔn)確度為3等及準(zhǔn)確度符合標(biāo)準(zhǔn)等。也就是說，準(zhǔn)確度只是指出符合某一等別或級別的技術(shù)指標(biāo)要求，或符合某技術(shù)規(guī)范的要求。不應(yīng)該用具體的量值來表示準(zhǔn)確度，例如，盡量不使用下述各種表示方式：準(zhǔn)確度為0.25%、16mg、16mg及16mg等，即準(zhǔn)確度后不要和具體數(shù)值連用。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 既然準(zhǔn)確度是一個定性的概念，因此準(zhǔn)確度不是一個量。它是不能作為一個量來進行運算的。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 定義還指出，不要用精密度來代替準(zhǔn)確度。其原因是過去在不同領(lǐng)域中對“

20、精密度”這一術(shù)語的用法各不相同而無法統(tǒng)一，因此在國際通用計量學(xué)基本術(shù)語（VIM）第二版中未對術(shù)語“精密度”下定義。既然沒有定義，那就無法準(zhǔn)確地使用這一術(shù)語。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 過去常將精密度理解為反映在規(guī)定條件下各獨立測量結(jié)果間的分散性。多次測量結(jié)果間的分散性可能很小，但并不表明測得值與真值之間的差值一定很小，也就是說，其誤差不一定很小。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 至今，在化學(xué)分析領(lǐng)域中“精密度”這一術(shù)語仍在經(jīng)常采用。在該領(lǐng)域中，“精密度”一詞定義為：在規(guī)定條件下所獲得的測量結(jié)果之間的一致程度。由定義可知，精密度只取決于隨機誤差的分布，而與真值或約定真值無關(guān)。精

21、密度用測量結(jié)果的實驗標(biāo)準(zhǔn)差來定量表示。較大的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示較小的精密度。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 因此可以說實際上是用“不精密度”這一術(shù)語來定量表示“精密度”。由于在國際通用計量學(xué)基本術(shù)語 VIM第二版中和通用計量術(shù)語及定義JJF1001-1998中沒有給出“精密度”這一術(shù)語的定義，因此建議除化學(xué)分析領(lǐng)域以外，一般不要使用“精密度”這一術(shù)語。一、誤差基礎(chǔ)知識（三）測量結(jié)果的準(zhǔn)確度 過去習(xí)慣使用的“精度”和“精密度”也同樣不要再定量使用，因為在前述兩個文件中也沒有給出它們的定義。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 測量結(jié)果的不確定度的定義為： 表征合理地賦予被測量之值的分散性，

22、與測量表征合理地賦予被測量之值的分散性，與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。注：（1）此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)，或說明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度。 （2）測量不確定度由多個分量組成。其中一些分量可用測量列結(jié)果的統(tǒng)計分布估算，并用實驗標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。另一些分量則可用基于其它信息的假定概率分布估算，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。 （3）測量結(jié)果應(yīng)理解為被測量之值的最佳估計，而所有的不確定度分量均貢獻給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的（如，與修正值和參考測量標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的）分量。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 首先要注意定義中“被測量之值”這一說法的含義。一般說來，“被測量之值”可以理解為被

23、測量的真值，但在這里不能直接將“被測量之值”理解為“真值”，因為“真值的分散性”的說法無法理解。由于通用計量術(shù)語及定義JJF1001-1998中給出“測量結(jié)果”的定義為：由測量所得到的賦予被測量的值，將兩者進行比較可以發(fā)現(xiàn)這里的“被測量之值”似乎應(yīng)該可以理解為“測量結(jié)果”，但它與我們通過測量所得到的“測量結(jié)果”仍有差別。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 在對被測量進行測量時，最后給出一個測量結(jié)果，它是被測量的最佳估計值（可能是單次測量的結(jié)果，也可能是重復(fù)性條件下多次測量的平均值）。而這里“被測量之值”應(yīng)理解為許多個測量結(jié)果，其中不僅包括通過測量得到的測量結(jié)果，還應(yīng)包括測量中沒有得到但

24、又是可能出現(xiàn)的測量結(jié)果。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 例如，用一臺電壓表測量某一電壓，且電壓表讀數(shù)不加修正值修正值，若對于該測量點電壓表的最大允許誤差為1V，用該電壓表進行了20次重復(fù)測量，則該20個讀數(shù)的平均值就是測量結(jié)果，還可以由它們得到測量結(jié)果的分散性。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 但“被測量之值”的分散性就不同了，它除了包括測量結(jié)果的分散性外，還應(yīng)包括在受控范圍內(nèi)改變測量條件（例如溫度）所可能得到的測量結(jié)果，當(dāng)電壓表的示值誤差在最大允許誤差范圍內(nèi)變化時所可能得到的測量結(jié)果，以及所有系統(tǒng)效應(yīng)對測量結(jié)果的影響。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 由于后者不

25、可能在“測量結(jié)果的分散性”中出現(xiàn)，因此“被測量之值的分散性”應(yīng)比“測量結(jié)果的分散性”大，也包含更多的內(nèi)容。這就是在定義的注（3）中所說的在分散性中包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)所引起的不確定度分量，而系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度分量在測量結(jié)果的分散性中并沒有反映出來。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 根據(jù)定義，測量不確定度表示被測量之值的分散性，因此不確定度表示一個區(qū)間，即被測量之值可能的分布區(qū)間。而測量誤差是一個差值，這是測量不確定度和測量誤差的最根本的區(qū)別。在數(shù)軸上，誤差表示為一個“點”，而不確定度則表示為一個“區(qū)間”。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 測量不確定度是測量者合理賦予給測量結(jié)

26、果的，因此測量不確定度將或多或少與評定者有關(guān)，例如與評定者的經(jīng)驗，知識范圍和認(rèn)識水平等有關(guān)。因此測量不確定度評定將或多或少帶有一些主觀色彩。定義中的“合理”是指應(yīng)該考慮各種因素對測量結(jié)果的影響所做的修正，特別是測量應(yīng)處于統(tǒng)計控制狀態(tài)下，即處于隨機控制過程中。也就是說測量應(yīng)在重復(fù)性重復(fù)性條件或復(fù)現(xiàn)性復(fù)現(xiàn)性條件下進行。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 為了表征這種分散性，測量不確定度可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差，或標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)，或說明了置信水準(zhǔn)區(qū)間的半寬度來表示。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 當(dāng)測量不確定度用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示時，稱為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)不確定度準(zhǔn)不確定度，統(tǒng)一規(guī)定用小寫拉丁字母“u”表示，這

27、是測量不確定度的第一種表示方式。但由于標(biāo)準(zhǔn)偏差所對應(yīng)的置信水準(zhǔn)（也稱為置信概率）通常還不夠高，在正態(tài)分布情況下僅為68.27%，因此還規(guī)定測量不確定度也可以用第二種方式來表示，即可以用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)k來表示。這種不確定度稱為擴展不確定度，統(tǒng)一規(guī)定用大寫拉丁字母U 表示。于是可得標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴展不確定度之間的關(guān)系： U kku （21）式中，k 為包含因子（有時也稱為覆蓋因子）。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 擴展不確定度U 表示具有較大置信水準(zhǔn)區(qū)間的半寬度。包含因子有時也寫成kP的形式，它與合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc（y）相乘后，得到對應(yīng)于置信水準(zhǔn)為p 的擴展不確定度UPkP uc（y）

28、。 在不確定度評定中，有關(guān)各種不確定度的符號均是統(tǒng)一規(guī)定的，為避免他人的誤解，一般不要自行隨便更改。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 在實際使用中，往往希望知道測量結(jié)果的置信區(qū)間，因此還規(guī)定測量不確定度也可以用第三種表示方式，即用說明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度a 來表示。實際上它也是一種擴展不確定度，當(dāng)規(guī)定的置信水準(zhǔn)為p 時，擴展不確定度可以用符號Up表示。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 測量不確定度的第二種和第三種表示方式給出的實際上都是擴展不確定度。當(dāng)已知包含因子k時，擴展不確定度U 是從其中包含多少個（k個，k 即為包含因子）標(biāo)準(zhǔn)不確定度u的角度出發(fā)所描述的擴展不確定。而

29、當(dāng)已知p時，擴展不確定度UP則是從該區(qū)間所對應(yīng)的置信水準(zhǔn)p的角度出發(fā)來描述的擴展不確定度。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 對于前者，已知k而不知道p，后者則正好相反，已知p而不知道k。兩者各自分別從不同的角度出發(fā)來描述擴展不確定度，因此包含因子k與置信水準(zhǔn)p之間應(yīng)該存在某種函數(shù)關(guān)系，但它們之間的關(guān)系與被測量的概率密度分布有關(guān)。也就是說，只有在知道被測量分布的情況下，才可以由k確定p，或由p確定k。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 而在測量不確定度評定中，經(jīng)常會遇到已知置信水準(zhǔn)p而需要確定包含因子k的情況，這就是為什么在測量不確定度評定中經(jīng)常需要考慮各輸入量以及被測量分布的

30、原因。而在過去的誤差評定中一般不討論分布問題。 JJF1059-1999測量不確定度評定與表示規(guī)定，當(dāng)置信水準(zhǔn)p為0.99和0.95時，UP可分別簡單地以U99和U95表示。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 誤差可以用絕對誤差和相對誤差兩種形式來表示，不確定度也同樣可以有絕對不確定度和相對不確定度兩種形式。絕對形式表示的不確定度與被測量有相同的量綱。相對形式表示的不確定度，其量綱為1，或稱為無量綱。絕對不確定度常簡稱為不確定度，而相對不確定度則往往在其不確定度符號“U”或“u”上加上腳標(biāo)“rel”以示區(qū)別。被測量x的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x）和相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度urel（x）之間的關(guān)系為： u

31、（x） urel（x） （22） x一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 擴展不確定度也同樣可以有絕對和相對兩種形式，絕對擴展不確定U（x）和相對擴展不確定度Urel（x）之間也有同樣關(guān)系： U（x） Urel（x） （23） x式中（22）和式（23）中的x應(yīng)取其真值。由于真值無法知道，實際上用的是約定真值。而在實際工作中一般常以該量的最佳估計值，即測量結(jié)果來代替。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 由式（22）和式（23）可知，若隨機變量x 的值有可能為零，則不能采用相對誤差或相對不確定度的表示形式。由于測量結(jié)果會受許多因素的影響，因此通常不確定度由多個分量組成。對每一個分量都要

32、評定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度。評定方法分為A，B兩類。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 測量不確定度的測量不確定度的A類評定是用對觀類評定是用對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法進行的評定，測列進行統(tǒng)計分析的方法進行的評定，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度用實驗標(biāo)準(zhǔn)差表征其標(biāo)準(zhǔn)不確定度用實驗標(biāo)準(zhǔn)差表征；而測量不確定度的測量不確定度的B類評定則是指用不類評定則是指用不同于對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法進同于對觀測列進行統(tǒng)計分析的方法進行的評定行的評定。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 因此可以說所有與A類評定不同的其他評定方法均稱為B類評定，它可以由根據(jù)經(jīng)驗或其他信息的假定概率分布估算其不確定度，也以估計的標(biāo)準(zhǔn)偏差表

33、征。所有各不確定度分量的合成稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，規(guī)定以符號uc表示，它是測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計值。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 由于不論A類評定或B類評定，它們的標(biāo)準(zhǔn)不確定度均以標(biāo)準(zhǔn)偏差表示，因此兩種評定方法得到的不確定度實質(zhì)上并無區(qū)別，只是評定方法不同而已。在對各不確定度分量進行合成得到合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度時，兩者的合成方法也無區(qū)別。因此在進行不確定度評定時，過分認(rèn)真地討論每一個不確定度分量究竟屬于A類評定或是B類評定是沒有必要的。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 不少人習(xí)慣上將由A類評定和B類評定得到的不確定度分別方便地稱為A類不確定度和B類不確定度。這一說法也未嘗不

34、可，但不能由此而得到一個不恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)論：不確定度分為A類不確定度和B類不確定度兩類。對不確定度本身并不分類，每一個分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度都要用標(biāo)準(zhǔn)偏差表示，而所謂的A類和B類僅是為了敘述方便起見而對其按評定方法進行的分類，而不是對不確定度本身的分類。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 根據(jù)定義，測量不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，意指測量不確定度是一個與測量結(jié)果“在一起”的參數(shù)，在測量結(jié)果的完整表述測量結(jié)果的完整表述中應(yīng)該包括測量不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 既然測量不確定度是與測量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)，就是說只有測量結(jié)果才有不確定度，或者說不是測量結(jié)果就沒有不確定度。因此

35、一般不用測量不確定度來表示測量儀器的特性，因為沒有對測量儀器的不確定度下過定義，只有用測量儀器得到的測量結(jié)果才有不確定度。而測量儀器的特性用儀器的示值誤差或最大允許誤差等術(shù)語來描述。一般盡可能不要使用“測量儀器的不確定度”或“計量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度”這種說法。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 但我們在不少場合仍能經(jīng)常見到“測量儀器的不確定度”或“計量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度”這種說法。這時可以將測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度理解為它們所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值的不確定度。測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)所提供的標(biāo)準(zhǔn)量值是上級部門進行校準(zhǔn)或檢定時得到的測量結(jié)果，因此它應(yīng)該有不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 當(dāng)

36、用測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)對一測量對象進行測量時，測量結(jié)果的不確定度可能來自于許多方面。其中有一部分分量來自于測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)，因此也可以將測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)的不確定度理解為在測量結(jié)果的不確定度中，由測量儀器或計量標(biāo)準(zhǔn)所引入的那部分不確定度分量。因此更確切地說，應(yīng)該是“測量儀器所引入的不確定度”，而不是“測量儀器的不確定度”。一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 對于經(jīng)過校準(zhǔn)而已給出的其示值誤差的測量儀器，有時也簡單地將該示值誤差的不確定度叫做測量儀器的不確定度。實際上它們還是測量結(jié)果的不確定度，因為示值誤差就是對該儀器進行校準(zhǔn)時的測量結(jié)果。 一、誤差基礎(chǔ)知識（四）測量結(jié)果的不確定度 在測量不

37、確定度的發(fā)展歷史中，曾將不確定度理解為“表征被測量真值所處范圍的一個參數(shù)”和“由測量結(jié)果給出的被測量估計值的可能誤差的度量”。這些在歷史上曾經(jīng)使用過的定義從概念上來說與現(xiàn)有定義并不矛盾，但由于在定義中分別使用了真值和誤差這兩個理想化的概念，使得該定義變得實際上難以操作。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別 由于過去的“誤差”一詞使用上的混亂，因此準(zhǔn)確地區(qū)分誤差和不確定度的概率是十分重要的。測量誤差和測量不確定度的主要區(qū)別如下：（1）測量誤差和測量不確定度兩者最根本的區(qū)別在于定義上的差別。誤差表示測量結(jié)果對真值的偏離量，因此它是一個確定的差值，在數(shù)軸上表示為一個點。而測量不確定

38、度表示被測量之值的分散性，它以分布區(qū)間的半寬度表示，因此在數(shù)軸上它表示一個區(qū)間。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（2）按出現(xiàn)于測量結(jié)果中的規(guī)律，誤差通常分為隨機誤差和系統(tǒng)誤差兩類。隨機誤差表示測量結(jié)果與無限多次測量結(jié)果的平均值（也稱為總體均值）之差，而系統(tǒng)誤差則是無限多次測量結(jié)果的平均值與真值之差，因此它們都是對應(yīng)于無限多次測量的理想概念。由于實際上只能進行有限次測量，因此只能用有限次測量的平均值，即樣本均值作為無限多次測量結(jié)果平均值的估計值。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別 也就是說，在實際工作中我們只能得到隨機誤差和系統(tǒng)誤差的估計值。而不確定度

39、是根據(jù)對標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評定方法不同而分成A類評定和B類評定兩類，它們與“隨機誤差”和“系統(tǒng)誤差”的分類之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系?！半S機”和“系統(tǒng)”表示兩種不同的性質(zhì)，而“A類”和“B類”表示兩種不同的評定方法。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別 目前，國際上一致認(rèn)為，為避免誤解和混淆，不再使用“隨機不確定度”和“系統(tǒng)不確定度”這兩個術(shù)語（這兩個術(shù)語在采用不確定度概念的初期，曾被許多人經(jīng)常使用，并且至今還有不少人在不正確地使用）。在進行測量不確定度評定時，一般不必區(qū)分各不確定度分量的性質(zhì)。若必須要區(qū)分時，也應(yīng)表示為“由隨機效應(yīng)引入的不確定度分量”或“由系統(tǒng)效應(yīng)引入的不確定度

40、分量”。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（3）誤差的概念與真值相聯(lián)系，而系統(tǒng)誤差和隨機誤差又與無限多次測量的平均值有關(guān)，因此它們都是理想化的概念。實際上只能得到它們的估計值，因而誤差的可操作性較差。而不確定度則可以根據(jù)實驗、資料、經(jīng)驗等信息進行評定，從而是可以定量操作的。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（4）根據(jù)誤差的定義，誤差表示兩個量的差值。當(dāng)測量結(jié)果大于真值時誤差為正值，當(dāng)測量結(jié)果小于真值時誤差為負(fù)值。因此誤差既不應(yīng)當(dāng)也不可能以“”號的形式出現(xiàn)。而根據(jù)規(guī)定，不確定度以分散性區(qū)間的半寬度表示，且恒為正值，故在不確定度之前也不能冠以“”號。即使不

41、確定度是由方差經(jīng)開方后得到，也僅取其正值。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（5）誤差和不確定度的合成方法不同。誤差是一個確定的值，因此對各誤差分量進行合成時，采用代數(shù)相加的方法。而不確定度表示一個區(qū)間，因此當(dāng)對應(yīng)于各不確定度分量的輸入量彼此不相關(guān)時，用方和根法進行合成（也稱為幾何相加），否則應(yīng)考慮加入相關(guān)項。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（6）已知系統(tǒng)誤差的估計值時，可以對測量結(jié)果進行修正，達到已修正的測量結(jié)果。修正值即為系統(tǒng)誤差的反號。但不能用不確定度對測量結(jié)果進行修正。對已修正測量結(jié)果進行不確定度評定時，應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量，即

42、應(yīng)考慮修正值的不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（7）測量結(jié)果的不確定度表示在重復(fù)性或復(fù)現(xiàn)性條件下被測量之值的分散性，因此測量不確定度僅與測量方法有關(guān)、而與具體測得的數(shù)值大小無關(guān)。此處所述的測量方測量方法應(yīng)包括測量原理、測量儀器、測量環(huán)境法應(yīng)包括測量原理、測量儀器、測量環(huán)境條件、測量程序、測量人員、以及數(shù)據(jù)處條件、測量程序、測量人員、以及數(shù)據(jù)處理方法等理方法等。而根據(jù)定義，測量結(jié)果的誤差僅與測量結(jié)果以及真值有關(guān)，而與測量方法無關(guān)。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別例如，用鋼板尺測量某一物體的長度，得到測量結(jié)果為14.5mm。如果為測量得更為準(zhǔn)

43、確而改用卡尺進行測量，并假設(shè)得到的測量結(jié)果仍為14.5mm。不少人可能會認(rèn)為由于卡尺的測量準(zhǔn)確度較高，而測量誤差更小一些。但實際上由于兩者的測量結(jié)果相同，真值也相同，因此它們的測量誤差是相同的。兩者的測量不確定度則是不相同的，因為如果分別用兩種方法進行多次重復(fù)測量的話，它們的測量結(jié)果的分散性無疑是不同的。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（8）測量結(jié)果的誤差和測量結(jié)果的不確定度兩者在數(shù)值上沒有確定的關(guān)系。 雖然測量誤差和測量不確定度都可用來描述測量結(jié)果，測量誤差是描述測量結(jié)果對真值的偏離，而測量不確定度則描述被測量之值的分散性，但兩者在數(shù)值上并無確定的關(guān)系。測量結(jié)果可能非常

44、接近于真值，此時其誤差很小，但由于對不確定度來源認(rèn)識不足，評定得到的不確定度可能很大。也可能測量誤差實際上較大，但由于分析估計不足，評定得到的不確定度可能很小，例如當(dāng)存在還未發(fā)現(xiàn)的較大誤差時。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（9）誤差是通過實驗測量得到的，而不確定度是通過分析評定得到的。 由于誤差等于測量結(jié)果減去被測量的真值，因此只有在已知約定真值的條件下才能通過測量結(jié)果得到誤差，因此誤差是由測量得到的，而不可能由分析評定得到。不確定度則可以通過分析評定得到，當(dāng)然有時還得輔以必要的實驗測量。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（10）誤差和不確定度是兩個

45、不同的概念，測量得到的誤差肯定不會有不確定度。反之也是一樣，評定得到的不確定度可能存在誤差。例如，在測量儀器的檢定或校準(zhǔn)中，主要的目的是給出測量儀器的示值誤差。換句話說，示值誤差就是檢定或校準(zhǔn)的測量結(jié)果，這時不確定度評定的目的就是要估算出所測得的示值誤差的不確定度。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別 反之，評定得到的不確定度也會存在誤差，當(dāng)知道不確定度的約定真值時，就可以得到不確定度的誤差。文件測量不確定度表示指南（GUM）給出了評定測量不確定度的基本方法，任何領(lǐng)域的測量不確定度評定都應(yīng)按GUM給出的方法進行。但在某些情況下也可以采用本領(lǐng)域內(nèi)約定的簡化或近似方法來評定測量不

46、確定度。 一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別 例如，文件ISO/TS14253-2就給出了幾何量測量領(lǐng)域評定測量不確定度的簡化方法。該文件定義用GUM方法評定得到的不確定度為約定真值不確定度，即不確定度的約定真值，而用該文件給出的近似方法評定得到的不確定度稱為近似不確定度，因此它與約定真值不確定度之差就是所得測量不確定度的誤差。一、誤差基礎(chǔ)知識（五）測量誤差和測量不確定度的重要區(qū)別（11）對觀測列進行統(tǒng)計分析得到的實驗標(biāo)準(zhǔn)差表示該觀測列中任一個被測量估計值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，并不表示被測量估計值的隨機誤差。（12）自由度是表示測量不確定度評定可靠程度的指標(biāo)，它與評定得到的不確定

47、度的相對標(biāo)準(zhǔn)不確定度有關(guān)。而誤差則沒有自由度的概念。（13）當(dāng)了解被測量的分布時，可以根據(jù)置信概率求出置信區(qū)間，而置信區(qū)間的半寬度則可以用來表示不確定度，而誤差則不存在置信概率的概念。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（1）有效數(shù)字 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這些數(shù)碼叫數(shù)字，一個以上的數(shù)字組合構(gòu)成一個數(shù)值。在一個數(shù)值中每個數(shù)字所占位置叫數(shù)位，小數(shù)點后的第一位叫十分位，以下依次為百分位、千分位；小數(shù)點前的第一位叫個位，其前位依次為十位、百位、千位。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（1）有效數(shù)字 一個數(shù)值中每個數(shù)位上的數(shù)字都應(yīng)是有效的，只有末位數(shù)允許是估計數(shù)字，但其波動輻度不得大于1

48、。例如末位數(shù)字為5時可能是4 或6，而其余的各個數(shù)字都是可信的數(shù)字（定位的0例外）。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（1）有效數(shù)字 表達一個數(shù)值中由幾個數(shù)字組成的，叫有效數(shù)字位數(shù)。位數(shù)多少，除了反映量值的大小之外，在分析領(lǐng)域中還反映該數(shù)值的準(zhǔn)確程度。例如0.670 5g草酸鈉，這個數(shù)值在量值上為0.60.7g之間，在準(zhǔn)確程度上，可信數(shù)字截取在千分位上的0，在萬分位的數(shù)字5是可疑的，但其波動范圍小于0.000 2g。 數(shù)碼“0”的作用變化比較多，一個數(shù)值中“0”是否為有效數(shù)字，要根據(jù)“0”的位置及其前后的數(shù)字狀況而定。常見的有以下四種情況：二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（1）有效數(shù)字位于非

49、“0”數(shù)字之間的“0”，如2.005，1.025兩個數(shù)值中的三個“0”都是有效數(shù)字。位于非“0”數(shù)字后面的一切“0”都是有效數(shù)字（全整數(shù)尾部“0”除外）， 如 2.250 0，1.025 0。前面不具非零數(shù)字的“0”，如0.002 5中的三個“0”都不是有效數(shù)字，只起定位作用。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（1）有效數(shù)字整數(shù)中最后的“0”可以是有效數(shù)字，也可以不是。例如用普通天平稱取1.5g試劑，若必須用mg表示，則要寫成1 500mg，此數(shù)值中最后兩個“0”從表觀上是有效數(shù)字，但實際上不是，因為粗天平不能達到如此高的準(zhǔn)確度。為了避免誤解，可用指數(shù)形式表示，上例可記為1.5103mg，或記

50、為 1 500mg100mg這便明白地表示出只有兩位有效數(shù)字。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（2）數(shù)據(jù)的原始記錄 數(shù)值的有效數(shù)字的位數(shù)是反映其準(zhǔn)確程度的主要標(biāo)志。為了確保數(shù)據(jù)應(yīng)有的準(zhǔn)確度，從正確地記錄原始數(shù)據(jù)開始，對任何一個有計算意義的數(shù)據(jù)都要審慎地估量，正確地記載有效數(shù)字的位數(shù)。 二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（2）數(shù)據(jù)的原始記錄 例如50 ml滴定管的最小分度值為0.1ml，又因為允許增加一位估計數(shù)字，可以記錄到兩位小數(shù)，如12.34ml。記下這一數(shù)值表明十分位上的3是刻度指示值，確切可信；百分位的4則是估計判讀的，是可疑數(shù)字，并知其波動范圍為0.02ml，其相對誤差為（0.02/

51、12.34）100%=0.16%。若在原始記錄中僅記為12.3ml，則表示可能產(chǎn)生 1.6的相對誤差。 二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（2）數(shù)據(jù)的原始記錄 由于原始記錄不合理致使數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度下降一個數(shù)量級。但也不可能任意增加有效數(shù)字的位數(shù)。如前例記成12.340則是明顯失真，因為不可能估計出兩位數(shù)字。原始記錄的有效數(shù)字位數(shù)，即不可少，也不可多。記取的原則是根據(jù)儀器、儀表指示的最小分度值如實記錄并允許增加一位估計數(shù)字。 二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（2）數(shù)據(jù)的原始記錄 實驗室通用的計量儀表可記取的位數(shù)如下： 萬分之一天平 小數(shù)點后第四位即萬分位。 上皿天平 小數(shù)點后第二位即百分位。 分

52、光光度計 吸收值記到小數(shù)點后第三位即千 分位。 玻璃量器記取的有效數(shù)字位數(shù)須根據(jù)量器的允許誤差和讀數(shù)誤差決定。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（2）數(shù)據(jù)的原始記錄如：一等無分度吸管（移液管）250ml的容量記取的準(zhǔn)確容量應(yīng)為保留小數(shù)點后兩位，100ml的記取小數(shù)點后一位； 一等量入式量瓶，容量1050ml的記取準(zhǔn)確容量應(yīng)為保留小數(shù)點后兩位， 1002 000ml 的應(yīng)為保留小數(shù)點后一位。 在一系列操作中，使用多種計量儀器時，有效數(shù)字以最少的一種計量儀器的位數(shù)表示。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（3）表示精密度的有效數(shù)字根據(jù)分析方法和待測物的濃度不同，一般只取12位有效數(shù)字。（4）分析結(jié)果有效數(shù)字所能達到的位數(shù)不能超過方法最低檢測質(zhì)量濃度的有效位數(shù)所能達到的位數(shù)。例如，一個方法的最低檢測質(zhì)量濃度為0.02mg/L，則分析結(jié)果報0.088mg/L就不合理，應(yīng)報0.09mg/L。二、數(shù)據(jù)處理1、有效數(shù)字和數(shù)值修約（5）校準(zhǔn)曲線相關(guān)系數(shù)只舍不入，保留到小數(shù)點后出現(xiàn)非9的一位，如0.999 89時取值為0.999 8。如果小數(shù)點后都是9時，最多保留小數(shù)點后4位。校準(zhǔn)曲線斜率b的有效位數(shù)，應(yīng)與自變量x的有效數(shù)字位數(shù)相等，或多比x多保留一位。截距a的最后一位數(shù)