正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí)回顧

1、正、余弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的復(fù)習(xí)回憶湖南祁東育賢中學(xué) 周友良 421600衡陽縣三中 曾新華一.根底知識(shí)回憶1y=sinx，xR和y=cosx，xR的圖象，分別叫做正弦曲線和余弦曲線 2用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖描點(diǎn)法：正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象中，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函數(shù)yxo1-1y=cosx xÎ0,2p的五個(gè)點(diǎn)關(guān)鍵是(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3.圖象和性質(zhì)圖表解函數(shù)正弦函數(shù)余弦函數(shù)正切函數(shù)圖象定義域RR值域 最大值為1，最小值為-1 最大值為1，最小值為-1R無最大值，最小值

2、周期性最小正周期為最小正周期為最小正周期為奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上都是增函數(shù)；在上都是減函數(shù)kZ在上都是增函數(shù)；在都是減函數(shù)在上都是增函數(shù)對(duì)稱性既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形對(duì)稱軸對(duì)稱中心坐標(biāo)，以上的既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形對(duì)稱軸對(duì)稱中心坐標(biāo)為，以上的是中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心坐標(biāo),(kZ)二、講解范例：例1 求函數(shù)ysin的單調(diào)增區(qū)間誤解：令ysin在2k，2k(kZ)上遞增2k2k解得4kx4k2原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k，4k2(kZ)分析：上述解答貌似正確，實(shí)那么錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是，令，無視了是x的減函數(shù)，未考慮復(fù)合后單調(diào)性的變化正解如下：解法一：令，那么u是x的減函數(shù)又ysin在

3、2k，2k(kZ)上為減函數(shù)，原函數(shù)在2k，2k(kZ)上遞增設(shè)2k2k解得4k2x4k(kZ)原函數(shù)在4k2，4k(kZ)上單調(diào)遞增解法二：將原函數(shù)變形為ysin因此只需求siny的減區(qū)間即可為增函數(shù)只需求sin的遞減區(qū)間2k2k解之得：4k+2x4k+4(kZ)原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為4k2，4k4(kZ)例2 a、b是不相等的正數(shù)求y的最大值和最小值解：y是正值，故使y2到達(dá)最大(或最小)的x值也使y到達(dá)最大(或最小)y2acos2xbsin2x2·asin2xbcos2xabab，(ab)20，0sin22x1當(dāng)sin2x±1時(shí)，即x(kZ)時(shí)，y有最大值；當(dāng)sinx

4、0時(shí)，即x (kZ)時(shí)，y有最小值評(píng)析:利用三角函數(shù)的有界性如sinx1，cosx1來求三角函數(shù)的最值例3 在0x條件下，求ycos2xsinxcosx3sin2x的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的變形公式，有y2sin2x3·2(cos2xsin2x)12 (cos2xcossin2xsin)12cos(2x)10x，2xcos(2x)在0，上是減函數(shù)故當(dāng)x0時(shí)有最大值當(dāng)x時(shí)有最小值1cos(2x)在，上是增函數(shù)故當(dāng)x時(shí)，有最小值1當(dāng)x時(shí)，有最大值綜上所述，當(dāng)x0時(shí)，ymax1當(dāng)x時(shí)，ymin21評(píng)析:如果f(x)在，上是增函數(shù)，那么f(x)在，上有最大值f()，最小值f()

5、；如果f(x)在，上是減函數(shù)，那么f(x)在，上有最大值f()，最小值f()例4求f(x)sin4x2sin3xcosxsin2xcos2x2sinxcos3xcos4x的最大值和最小值解：f(x)(sin2xcos2x)22sin2xcos2x2sinxcosx(sin2xcos2x)sin2xcos2x=12sinxcosxsin2xcos2x令sin2x f()122(1)22 在的范圍內(nèi)求的最值當(dāng)，即xk(kZ)時(shí)，f(x)max當(dāng)，即xk(kZ)時(shí)，f(x)min評(píng)析:利用變量代換，我們可把三角函數(shù)最值問題化成代數(shù)函數(shù)最值問題求解例5.對(duì)函數(shù)y=lg(2sinx)，答復(fù)以下問題1求定

6、義域； 2當(dāng)x分別為何值時(shí)，y=0、y最大，并求出3當(dāng)x從0逐漸增加到時(shí)，函數(shù)怎樣變化？4y是否是周期函數(shù)，假設(shè)是求其周期。分析與解答：1根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，須真數(shù)2sinx>0解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椤?要使y=0，須2sinx=1，解得或。當(dāng)或時(shí)，y=0。令u=2sinx，那么y=lgu，函數(shù)y=lgu在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)sinx=1,u=2sinx=2時(shí)y最大。3令u=2sinx，那么y=lgu，函數(shù)y=lgu在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)x由0逐漸增加到時(shí)，u=2sinx由0增加到2，y=lgu由增加到lg2。當(dāng)x由逐漸增加到時(shí)，u=2sinx由2減小到0，y=lgu由lg2減小到。4lg,y=lg(2sinx)是周期函數(shù)，且周期與函數(shù)sinx的相同，周期T=2例6 試判斷以下各函數(shù)的奇偶性：解 1的定義域，因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù)。2先考慮函數(shù)的定義域：即有，因此，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)無奇偶性。例如令無意義，因此，并且，故是非奇非偶函數(shù)。小結(jié) 研究函數(shù)性質(zhì)之前應(yīng)考慮函數(shù)的定義域。處理有關(guān)函數(shù)問題時(shí)，化簡必須是等價(jià)變換，否那么可能發(fā)生錯(cuò)