正定矩陣的判定

1、泰 山 學(xué) 院畢業(yè)論文材料匯編正定矩陣的判定 所 在 學(xué) 院 專 業(yè) 名 稱 申請學(xué)士學(xué)位所屬學(xué)科 年 級 學(xué)生姓名、學(xué)號 指導(dǎo)教師姓名、職稱 裝 訂 日 期 2021 年 6 月 30 日 材料匯編目錄一、開題報告二、任務(wù)書三、論文1. 封面2. 中文摘要 3. 英文摘要 4. 目錄5. 正文6. 參考文獻(xiàn)7. 致謝 四、成績評定書 泰山學(xué)院畢業(yè)論文開題報告 題 目 正定矩陣的判定 學(xué) 院 年 級 專 業(yè) 姓 名 學(xué) 號 指導(dǎo)教師簽字 學(xué)生簽字 2021 年 12 月 15 日題目來源指導(dǎo)教師推薦 自選 其它 題目類別根底研究 應(yīng)用研究 其它 各位老師好，我的論文題目是“正定矩陣的判定。為了

2、到達(dá)學(xué)校對論文的要求，同時保證論文的準(zhǔn)確性、邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，所以在寫論文之前，我做了大量的準(zhǔn)備工作。一方面我從學(xué)校圖書館借閱了一些和論文內(nèi)容相關(guān)的書籍，另一方面上網(wǎng)搜集了大量相關(guān)的材料，經(jīng)過近一個月的仔細(xì)審讀、思考與完善，我一定能夠按時交出一份滿意的論文。我將全力以赴、克服困難，用大學(xué)四年所學(xué)得的專業(yè)知識廣泛調(diào)研，去組織、完善論文，使論文的層次更加清晰、論證更加充分，更重要的是使自己各方面的能力得到提高，給大學(xué)生活交上一份滿意的答卷。 一、選題依據(jù)和目的一選題依據(jù)二次齊次多項(xiàng)式在實(shí)際工作和理論研究中是一種重要的多項(xiàng)式，其中實(shí)二次型中的正定二次型占有特殊的位置，正定二次型的系數(shù)矩陣就是正定矩陣。

3、因此，對正定矩陣的討論無論在矩陣?yán)碚摲矫?，還是實(shí)際應(yīng)用方面都有重要的意義。因而對正定矩陣的討論是必要的，本文給出了正定矩陣的根本概念、性質(zhì)，意在給出正定矩陣的判定方法。代數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)中的一個重要的根底分支,而正定矩陣又是高等代數(shù)中的重中之重，特別是正定矩陣局部的應(yīng)用很廣泛。正定矩陣是計算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理、控制論等領(lǐng)域中具有廣泛應(yīng)用的重要矩陣類,其應(yīng)用引起人們極大的研究興趣。目前對正定矩陣的研究,主要集中在理論研究與工程應(yīng)用方面。最重要的是，在大學(xué)期間我們開設(shè)的主修課目?高等代數(shù)?就有關(guān)于正定矩陣的學(xué)習(xí)，所以對這個課題更容易找到切入點(diǎn)，并且也提高了自己的知識水平，使自己組織語言的等的能力得到很大的提

4、高。（2） 選題目的復(fù)方陣的正定性在數(shù)學(xué)理論或應(yīng)用中具有重要意義和應(yīng)用價值，正定矩陣的判定是矩陣論中重要的熱門課題之一。本文從正定矩陣的定義出發(fā),對正定矩陣性質(zhì)進(jìn)行了深刻的討論并從這些性質(zhì)出發(fā)給出了一系列關(guān)于矩陣正定的判定條件且利用這些判定條件證明了矩陣、不等式以及函數(shù)極值的相關(guān)問題。從而提高運(yùn)用矩陣正定性思想解決問題證明問題的能力。希望能夠通過對正定矩陣的判定的研究熟練掌握矩陣的判定性質(zhì)及運(yùn)用矩陣正定的思想解決問題的方法和技巧。 1、 主要研究內(nèi)容及研究方法（1） 研究內(nèi)容我通過老師的講解、自己查閱資料得出以下幾種正定矩陣的判定方法：方法一定義法用正定矩陣的定義進(jìn)行判定。方法二標(biāo)準(zhǔn)形法實(shí)對稱

5、矩陣A正定的充要條件是A與單位矩陣E合同。方法三順序主子式法對稱矩陣A正定的充要條件是A的所有順序主子式全大于零。方法四特征值法對稱矩陣A正定的充要條件是A的特征值全大于0。方法五矩陣分解法如果矩陣有分解式：,那么 列滿秩時，正定。>（2） 研究方法主要運(yùn)用理論知識與舉例相結(jié)合的方法、經(jīng)驗(yàn)總結(jié)法來研究求一元函數(shù)極限的方法。3、 進(jìn)度安排1. 調(diào)研、收集資料務(wù)必于2021年12月10日前完成。2. 寫作初稿務(wù)必于2021年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印務(wù)必于2021年5月30日前完成。4、 主要參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高

6、等代數(shù)新方法M.濟(jì)南：山東教育出版社，1989.3 毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1993.4 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹M.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室. 高等代數(shù)( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 于增海.高等代數(shù)考研選講M.北京：國防工業(yè)出版社，2021. 7 楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集M.濟(jì)南：山東科技出版社，2003.評委評語及其建議： 評委簽字：學(xué)院蓋章： 2021年12月20日泰 山 學(xué) 院畢業(yè)論文任務(wù)書 題 目 正定矩陣的判定 學(xué) 院 年 級 專 業(yè) 姓 名 學(xué) 號 指導(dǎo)教師簽字 學(xué)生簽字 20

7、21 年 12 月 20 日你的畢業(yè)論文開題報告已通過，現(xiàn)將畢業(yè)論文工作任務(wù)下達(dá)給你,請按照要求認(rèn)真完成。主要內(nèi)容如下：題 目正定矩陣的判定基本要求論文寫作前必須充分收集關(guān)于“正定矩陣的判定的相關(guān)資料；在參考已有文獻(xiàn)的根底上，矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，要有一定的新見解；論文的文字要通順、書寫標(biāo)準(zhǔn)、表述準(zhǔn)確. 倡導(dǎo)獨(dú)立思考、杜絕抄襲和盡可能減少雷同；文字?jǐn)?shù)控制在6000字左右。應(yīng)收集的資料及主要參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高等代數(shù)新方法M.濟(jì)南：山東教育出版社，1989.3

8、毛綱源.線性代數(shù)解題方法技巧歸納M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1993.4 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹M.北京：中央民族大學(xué)出版社，2002.5北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室. 高等代數(shù)( 第三版)M.北京：高等教育出版社，2003.6 張禾瑞，郝炳新. 高等代數(shù)(第四版)M.北京：高等教育出版社，1999. 進(jìn)度安排1. 調(diào)研、收集資料務(wù)必于2021年12月10日前完成。2. 寫作初稿務(wù)必于2021年4月10日前完成。3. 修改、定稿、打印務(wù)必于2021年5月30日前完成。本畢業(yè)論文完成期限任務(wù)書下達(dá)于2021年12月20日。任務(wù)完成后，2021年6月5日前按照規(guī)定格式打印交至學(xué)院，由指導(dǎo)教師

9、評閱后提交畢業(yè)論文辯論委員會。泰 山 學(xué) 院本科畢業(yè)論文正定矩陣的判定所 在 學(xué) 院 專 業(yè) 名 稱 申請學(xué)士學(xué)位所屬學(xué)科 年 級 學(xué)生姓名、學(xué)號 指導(dǎo)教師姓名、職稱 完 成 日 期 二一五年六月 摘 要矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最重要的根本概念之一，是代數(shù)學(xué)研究的主要對象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個局部。并且矩陣?yán)碚撛趲缀螌W(xué)、物理學(xué)、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門課題。矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、工程技術(shù)、自然科學(xué)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握好矩陣?yán)碚撌菍W(xué)好線性代數(shù)必不可少的條件 。正定矩陣作為一類特殊的矩陣在

10、矩陣?yán)碚撝姓加蟹浅Ｖ匾牡匚?，而正定矩陣的判定又是正定矩陣研究的重要?nèi)容，接下來文中文中給出了定義法、標(biāo)準(zhǔn)型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種判斷實(shí)對稱矩陣正定的方法，并舉例說明如何判斷一個實(shí)對稱方陣是否正定。關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；正定矩陣；根本概念；性質(zhì)；判定方法ABSTRACTMatrix theory is the core content of linear algebra, is one of the most important basic concepts in mathematics, is an important tool for the main research o

11、bject algebra and its application, it runs through every part of linear algebra. And the matrix theory in geometry, physics, probability theory and the optimization theory and other disciplines is widely used and has been a hot topic of. Matrix is an important tool of scientific research, play an im

12、portant role in the field of mathematics,engineering technology, natural science and economic management, master matrix theory is essential to learn linear algebra.Positive definite matrix as a kind of special matrix plays a very important role in matrix theory, and determine the positive definite m

13、atrix and positive definite matrix is an important content of the research. This paper gives the definition of Chinese method, standard method, sequence analysis, eigenvalue method, matrix decomposition method of five kinds of methods to judge the positive real symmetric matrix, and an example is gi

14、ven to illustrate how to judge whether a real symmetric positive definite matrix.Key words: Linear algebra , Positive definite matrix, The basic concept, Nature, Judging method目 錄1 引言.12 正定矩陣的根本概念.13 正定矩陣的性質(zhì).24 正定矩陣的判定方法.3 4.1定義法. 3 4.2標(biāo)準(zhǔn)形法.4 4.3順序主子式法.5 4.4特征值法.64.5矩陣分解法.85 參考文獻(xiàn)106 致謝111 引 言矩陣?yán)碚撌蔷€性

15、代數(shù)的核心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)中最重要的根本概念之一，是代數(shù)學(xué)研究的主要對象及應(yīng)用的重要工具，它貫穿于線性代數(shù)的各個局部。并且矩陣?yán)碚撛趲缀螌W(xué)、物理學(xué)、概率論及最優(yōu)化理論等諸多學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用而且一直都是重要的熱門課題。矩陣作為科學(xué)研究的一項(xiàng)重要工具，在數(shù)學(xué)、自然科學(xué)、工程技術(shù)以及經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用，掌握矩陣?yán)碚撌菍W(xué)好線性代數(shù)必不可少的條件 。正定矩陣作為一類特殊的矩陣在矩陣?yán)碚撝姓加惺种匾牡匚?，而正定矩陣的判定又是正定矩陣研究的重要?nèi)容，接下來文中文中給出了定義法、標(biāo)準(zhǔn)型法、順序主子式法、特征值法、矩陣分解法五種判斷實(shí)對稱矩陣正定的方法，并舉例說明如何判斷一個實(shí)對稱方陣是否正定。2

16、 正定矩陣的根本概念定義1 實(shí)二次型稱為正定的，如果對于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)，有定義2 假設(shè)實(shí)數(shù)域上的一個元二次型是正定二次型，那么稱為正定矩陣。其中，注：1正定二次型和正定矩陣是一一對應(yīng)的關(guān)系。 2經(jīng)非退化的線性替換，新二次型的矩陣和原二次型的矩陣合同。3 正定矩陣的性質(zhì)1、與正定矩陣合同的矩陣一定是正定矩陣。實(shí)際上由合同的傳遞性、正定矩陣均與單位矩陣合同可知結(jié)論成立。2、正定矩陣的主對角線上的元素全大于零。事實(shí)上當(dāng)實(shí)對稱矩陣是正定矩陣時，由它確定的二次型必為正定二次型。不妨假設(shè)，取，代入上式得，這與正定矛盾，所以假設(shè)不成立，即。3、正定矩陣的行列式大于零。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆

17、矩陣，使得，由此還可看出：正定矩陣一定是可逆矩陣。4、正定矩陣的元素的絕對值的最大者一定是主對角線上的元素。設(shè)是正定矩陣，其中為絕對值最大者，那么，又知道所有主子式都大于零，與假設(shè)矛盾，正定矩陣中元素的絕對值的最大者一定是主對角線上的元素。注：這個結(jié)論常用于判定某些實(shí)對稱矩陣不是正定的矩陣。這是因?yàn)橹灰幸粋€非主對角線上的元素的絕對值不小于主對角線上元素的絕對值的最大者，那么這個實(shí)對稱矩陣必定不是正定矩陣。5、正定矩陣乘積的特征根都大于零。設(shè)均為正定矩陣，那么有可逆矩陣，使得，可逆，又是正定矩陣，從而與正定矩陣相似，而相似矩陣的特征根相同，所以的特征根都大于零。注：不一定是對稱矩陣。6、假設(shè)是

18、一個階正定矩陣，那么其中是主對角線上元素全大于零的上三角形矩陣。事實(shí)上有可逆矩陣,使得(其中是正交矩陣， 是一個上三角矩陣且主對角線上的元素均為正數(shù))。7、正定矩陣的逆矩陣必為正定矩陣。正定矩陣與單位矩陣合同，存在可逆矩陣，使得，取逆矩陣，即有，那么與單位矩陣合同， 是正定矩陣。4 正定矩陣的判定方法正定矩陣是一類特殊重要的矩陣，正定矩陣的判定又是正定矩陣討論的重要內(nèi)容，以下給出了五種正定矩陣的判定方法。4.1 定義法階實(shí)對稱矩陣稱為正定矩陣，如果對于任意的維實(shí)非零列向量，都有.正定的實(shí)對稱矩陣簡稱為正定矩陣，記作：。例1 設(shè)是正定矩陣，是非奇異實(shí)方陣，那么也是正定矩陣。證明 是實(shí)對稱矩陣，

19、也是實(shí)對稱矩陣，又對任何實(shí)的非零列向量，由于，即是正定矩陣 例2 設(shè)都是階正定矩陣，證明：也是正定矩陣。證明 顯然矩陣是實(shí)對稱矩陣，任取 知，由，知存在階可逆矩陣，使得,即，所以對任意的，因?yàn)?，所以總存在一個，使得，又有：對以上的成立。所以，即。注：用定義證明矩陣正定需證明兩點(diǎn)：1為實(shí)對稱矩陣。2對任何的非零實(shí)列向量，4.2標(biāo)準(zhǔn)形法合同變換法 下面五個陳述是等價的： 1階實(shí)對稱矩陣是正定的； 2正慣性指數(shù)等于； 3合同于單位矩陣； 4存在可逆矩陣，使得； 5的特征值全大于零。推論 與正定矩陣合同的實(shí)對稱矩陣也是正定矩陣。例2 證明：假設(shè)是正定矩陣，那么也是正定矩陣。證明 是正定矩陣，是實(shí)對稱矩

20、陣，可逆，且，即也是實(shí)對稱矩陣。例3 設(shè)是階實(shí)對稱矩陣，證明：為正定矩陣的充要條件為對所有的正定矩陣恒有證明 必要性 由正定，那么存在實(shí)可逆矩陣，使得，于是充分性 設(shè)不是正定的，由，必有負(fù)特征值，設(shè)為由實(shí)對稱,那么存在正交矩陣,使得,這里令那么正定.令,那么正定,但是,矛盾.4.3 順序主子式法1的所有順序主子式全大于零。2的所有主子式全大于零。注：類似的我們可以得到半正定矩陣的7個等價命題：a階實(shí)對稱矩陣是半正定的；b)負(fù)慣性指數(shù)為零；c)合同于；d)存在階矩陣,使得；e)的特征值全非負(fù)。例4 判斷二次型是否正定。解 二次型的矩陣為三角矩陣的任意的階順序主子式=，所以矩陣為正定矩陣，原二次型

21、為正定二次型。例5 取何值時，二次型是正定二次型。解 二次型對應(yīng)的矩陣為要使二次型正定，那么的各階順序主子式全大于零，即滿足： 得到， 時，二次型為正定二次型。4.4 特征值法 的特征值全大于零，于是存在正交矩陣，使得，即存在正交線性替換，使得，例6 證明：二次型為正定二次型。證 設(shè)的矩陣為，那么由，可知的特征值，由于特征值全為正數(shù)，所以是正定矩陣，從而為正定二次型。例7 設(shè),問滿足什么條件正定。解 1當(dāng)變元的個數(shù)為偶數(shù)時，的矩陣為，于是，故的特征值為均為重，故正定2當(dāng)變元的個數(shù)為奇數(shù)時，故的特征值為正定綜上所述，4.5矩陣分解法如果矩陣有分解式:，那么列滿秩時，正定；行滿秩時，半正定。一般地

22、，如果矩陣能分解成假設(shè)干個簡單矩陣的和、積等，那么可能將問題化難為易，矩陣分解也是一種解決問題的方法。例8 證明：是半正定矩陣。證明：因?yàn)椋渲惺切袧M秩的，所以是半正定矩陣。例9 設(shè)階實(shí)對稱矩陣，而且正定，求證：存在正定矩陣，使，且是唯一的。證明 由正定，那么存在正交矩陣，使得 ，這里令 ，那么是正定矩陣，且下證唯一性。設(shè)存在正定矩陣使得,那么是反對稱矩陣，于是的特征值為零和純虛數(shù)。假設(shè)能證明的特征值全為零，那么。由正定，那么存在正定矩陣，使得，于是由實(shí)對稱，那么其特征值皆為實(shí)數(shù)，又知的特征值皆為實(shí)數(shù)，于是的特征值皆為實(shí)數(shù)。由的特征值為和純虛數(shù)，那么的特征值全為，故，注意到可逆，所以可得，故，唯一性得證。 參考文獻(xiàn)1 王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，1996.2 王品超.高