正余弦定理解三角形教案

1、個性化教案教師姓名學(xué)生姓名填寫時間學(xué)科數(shù)學(xué)年級上課時間 課題名稱正余弦定理解三角形課時方案 教學(xué)目標(biāo)1正、余弦定理解三角形2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用靈活運(yùn)用教學(xué)重點難 點1掌握利用正、余弦定理解任意三角形的方法2正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積【知識梳理】1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形為：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解決不同的三角形問題2余弦定理：a2b2c22bccos_A

2、，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以變形為：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)·r(R是三角形外接圓半徑，r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計算R，r.4.三角形內(nèi)角和為，故有sin A >0 sin Asin(B+ C)，cos Acos(B+ C)5.三角形大邊對大角，或者說大角對大邊。即：假設(shè)a>b, A> B,sin A> sin B 知一推二6.正弦值(不是1)的情況下，對應(yīng)角度有兩個，而余弦值與角度一一對應(yīng)?！境？伎键c】1考查利用正、余弦定理解任意三

3、角形的方法2考查利用正、余弦定理判斷三角形的形狀以及計算三角形的面積3.正余弦定理的實際應(yīng)用靈活運(yùn)用【解題關(guān)鍵】1三角函數(shù)及三角恒等變換的根底2正弦定理、余弦定理實現(xiàn)邊角互化。通過正、余定理變形技巧實現(xiàn)三角形中的邊角轉(zhuǎn)換，解題過程中做到正余弦定理的正確選擇3.能利用三角形的判定方法準(zhǔn)確判斷解三角形的情況。4.三角形的邊角關(guān)系大邊對大角、三角形內(nèi)角和180度。5兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，注意解的情況如a，b，A，那么A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式absin Aabsin Absin Aabababab解的個數(shù)無解一解兩解一解一解無解【一條規(guī)律】在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的

4、正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在ABC中，ABabsin Asin B.【兩類問題】在解三角形時，正弦定理可解決兩類問題：(1)兩角及任一邊，求其它邊或角；(2)兩邊及一邊的對角，求其它邊或角情況(2)中結(jié)果可能有一解、兩解、無解，應(yīng)注意區(qū)分余弦定理可解決兩類問題：(1)兩邊及夾角求第三邊和其他兩角；(2)三邊，求各角【兩種途徑】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種途徑：(1)化邊為角；(2)化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實施邊、角轉(zhuǎn)換雙基自測1(人教A版教材習(xí)題改編)在ABC中，A60°，B75°，a10，那么c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC1

5、80°，知C45°，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，假設(shè)，那么B的值為()A30° B45° C60° D90°解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45°.答案B3(2021·鄭州聯(lián)考)在ABC中，a，b1，c2，那么A等于()A30° B45° C60° D75°解析由余弦定理得：cos A，0A，A60°.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，那么ABC的面積為()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsi

6、n C×3×2×4.答案C5ABC三邊滿足a2b2c2ab，那么此三角形的最大內(nèi)角為_解析a2b2c2ab，cos C，故C150°為三角形的最大內(nèi)角答案150°考點一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45°.求角A，C和邊c.審題視點 兩邊及一邊對角或兩角及一邊，可利用正弦定理解這個三角形，但要注意解的判斷解由正弦定理得，sin A.ab，A60°或A120°.當(dāng)A60°時，C180°45°60°75°，c；當(dāng)A120°時，C180

7、76;45°120°15°，c. (1)兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)兩邊和一邊對角，解三角形時，利用正弦定理求另一邊的對角時要注意討論該角，這是解題的難點，應(yīng)引起注意【訓(xùn)練1】 (2021·北京)在ABC中，假設(shè)b5，B，tan A2，那么sin A_；a_.解析因為ABC中，tan A2，所以A是銳角，且2，sin2Acos2A1，聯(lián)立解得sin A，再由正弦定理得，代入數(shù)據(jù)解得a2.答案2考點二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且.(1)求角B的大?。?2)假設(shè)b，a

8、c4，求ABC的面積審題視點 由，利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.將上式代入得：·，整理得：a2c2b2ac.cos B.B為三角形的內(nèi)角，B.(2)將b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B. (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答此題的關(guān)鍵(2)熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用【訓(xùn)練2】A，B，C為ABC的三個內(nèi)角，其所對的邊分別為a，b，c，且2cos2 cos A0.(1

9、)求角A的值；(2)假設(shè)a2，bc4，求ABC的面積解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，那么a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，那么bc4，故SABCbcsin A.考點三利用正、余弦定理判斷三角形形狀【例3】在ABC中，假設(shè)(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，試判斷ABC的形狀審題視點 首先邊化角或角化邊，再整理化簡即可判斷解由(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos

10、 Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的內(nèi)角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC為等腰三角形或直角三角形 判斷三角形的形狀的根本思想是；利用正、余弦定理進(jìn)行邊角的統(tǒng)一即將條件化為只含角的三角函數(shù)關(guān)系式，然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見的化簡變形得出三邊的關(guān)系【訓(xùn)練3】 在ABC中，假設(shè)；那么ABC是()A直角三角形 B等邊三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin

11、B，c2Rsin C(R為ABC外接圓半徑).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考點四正、余弦定理的綜合應(yīng)用【例3】在ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，c2，C.(1)假設(shè)ABC的面積等于，求a，b；(2)假設(shè)sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面積審題視點 第(1)問根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理列出關(guān)于a，b的方程，通過方程組求解；第(2)問根據(jù)sin Csin(BA)2sin 2A進(jìn)行三角恒等變換，將角的關(guān)系轉(zhuǎn)換為邊的關(guān)系，求出邊a，b的值即可解決問題解(1)由余弦定理及條件，得a2b2ab4.又因為ABC的面積等于，所以absin C，得a

12、b4，聯(lián)立方程組解得(2)由題意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.當(dāng)cos A0，即A時，B，a，b；當(dāng)cos A0時，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.聯(lián)立方程組解得所以ABC的面積Sa bsin C. 正弦定理、余弦定理、三角形面積公式對任意三角形都成立，通過這些等式就可以把有限的條件納入到方程中，通過解方程組獲得更多的元素，再通過這些新的條件解決問題【訓(xùn)練3】 (2021·北京西城一模)設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cos B，b2.(1)當(dāng)A30°時，求a的值；

13、(2)當(dāng)ABC的面積為3時，求ac的值解(1)因為cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因為ABC的面積Sac·sin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.閱卷報告4無視三角形中的邊角條件致錯【問題診斷】 考查解三角形的題在高考中一般難度不大，但稍不注意，會出現(xiàn)“會而不對，對而不全的情況，其主要原因就是無視三角形中的邊角條件.,【防范措施】 解三角函數(shù)的求值問題時，估算是一個重要步驟，估算時應(yīng)考慮三角形中的邊角條件.【例

14、如】(2021·安徽)在ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，a，b，12cos(BC)0，求邊BC上的高錯因無視三角形中“大邊對大角的定理，產(chǎn)生了增根實錄由12cos(BC)0，知cos A，A，根據(jù)正弦定理得：sin B，B或.以下解答過程略正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根據(jù)正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A××.BC邊上的高為bsin C×.【試一試】ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，

15、c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)假設(shè)c2b2a2，求B.嘗試解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45°.【穩(wěn)固練習(xí)】1 在銳角中，角所對的邊長分別為.假設(shè)A. B. C. D.2 設(shè)ABC的內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c, 假設(shè), 那么ABC的形狀為A直角三角形B銳角三角形C鈍角三角形D不確定3 在,內(nèi)角所對的邊長分別為ABCD 4 的內(nèi)角的對邊分別為，那么的面積為 A B C D5.的內(nèi)角的對邊分別是,假設(shè),那么AB2CD16設(shè)的內(nèi)角所對邊的長分別為,假設(shè),那么角=ABCD7銳角的內(nèi)角的對邊分別為,那么ABCD8.在ABC中,那么ABCD19.的內(nèi)角、所對的邊分別是,.假設(shè),那么角的大小是_10設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為,.(I)求(II)假設(shè),求11.在ABC中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別是a, b, c. , a = 3, . () 求b的值; () 求的值. 12在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b