幾何圖形的計(jì)數(shù)

1、在數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題和中考中，經(jīng)常出現(xiàn)一些幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題，所謂幾何計(jì)數(shù)是指在數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題和中考中，經(jīng)常出現(xiàn)一些幾何計(jì)數(shù)問(wèn)題，所謂幾何計(jì)數(shù)是指計(jì)算滿足一定條件的圖形的個(gè)數(shù)它的內(nèi)容比較新穎有趣，為了準(zhǔn)確計(jì)數(shù)，計(jì)算滿足一定條件的圖形的個(gè)數(shù)它的內(nèi)容比較新穎有趣，為了準(zhǔn)確計(jì)數(shù)，必須要有一套計(jì)數(shù)的方法，否則越數(shù)頭緒越雜亂，很難得出準(zhǔn)確的結(jié)果必須要有一套計(jì)數(shù)的方法，否則越數(shù)頭緒越雜亂，很難得出準(zhǔn)確的結(jié)果本講將較系統(tǒng)地介紹初中數(shù)學(xué)中所使用的一些計(jì)數(shù)方法本講將較系統(tǒng)地介紹初中數(shù)學(xué)中所使用的一些計(jì)數(shù)方法學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)方法不僅僅使我們獲得一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，更重要的是使我們學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)方法不僅僅使我們獲得一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，更重

2、要的是使我們感受到數(shù)學(xué)中的一些重要思想的運(yùn)用，感受到數(shù)學(xué)中的一些重要思想的運(yùn)用，如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和和轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化的思想，化的思想，分類討論思想在這里尤其突出，我們所使用的所有計(jì)數(shù)方法都離分類討論思想在這里尤其突出，我們所使用的所有計(jì)數(shù)方法都離不開(kāi)分類不開(kāi)分類 下面讓我們通過(guò)例題研究和熟悉幾何計(jì)數(shù)的方法吧！下面讓我們通過(guò)例題研究和熟悉幾何計(jì)數(shù)的方法吧！ AB、例例1數(shù)線段時(shí)，可以線段的左端點(diǎn)進(jìn)行分類，逐類分別數(shù)出線段條數(shù)后相加數(shù)線段時(shí)，可以線段的左端點(diǎn)進(jìn)行分類，逐類分別數(shù)出線段條數(shù)后相加AC、AD、AE、AF 共共5條條BC、BD、BE、BF共共4條條CD、CE

3、、CF共共3條條DE、DF共共2條條EF共共1條條合計(jì)有合計(jì)有5+4+3+2+1=15（條）（條）（一）數(shù)（一）數(shù) 線線 段段基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練 1 共有共有6(6+1)2=21（條）（條）注意：這里涉及到數(shù)學(xué)中很重要的思想方注意：這里涉及到數(shù)學(xué)中很重要的思想方法法分類的思想方法。分類的思想方法。在幾何計(jì)數(shù)中怎在幾何計(jì)數(shù)中怎樣分類？本例所介紹的是方法（樣分類？本例所介紹的是方法（1）：按照）：按照包含同一圖形進(jìn)行分類；（包含同一圖形進(jìn)行分類；（2）先劃分出基）先劃分出基本圖形，再按照包含基本圖形的數(shù)目分本圖形，再按照包含基本圖形的數(shù)目分類類你是怎樣數(shù)的？你是怎樣數(shù)的？如果一條線段上有如果一條線段

4、上有n+1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn)(包括兩個(gè)端點(diǎn)包括兩個(gè)端點(diǎn))（或含有（或含有n個(gè)個(gè)“基本線段基本線段”），那么，那么這這n+1個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為個(gè)點(diǎn)把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1= . 2) 1( nnAB 、BC 、 CD 、 DE 、 EF; AC 、 BD 、 CE 、 DF；AD 、 BE 、 CF；AE 、 BF；AF共共16條條（二）數(shù)（二）數(shù) 角角例例2BACDEO數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點(diǎn)類似于角圖形中的邊以以O(shè)A為一條邊的角有：為一條邊的角有：AOBAOCAODAOE共共4個(gè)個(gè)同樣還有：同樣還有：

5、BOC，BOD，BOE共共3個(gè)個(gè)COD ，COE共共2個(gè)個(gè)DOE共共1個(gè)個(gè)合計(jì)有合計(jì)有4+3+2+1=10（個(gè)）（個(gè)）（三）數(shù)三角形（三）數(shù)三角形可用數(shù)線段的方法數(shù)如圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法）可用數(shù)線段的方法數(shù)如圖所示的三角形（對(duì)應(yīng)法）因?yàn)橐驗(yàn)镈E上有上有15條線段，每條線段的兩端點(diǎn)條線段，每條線段的兩端點(diǎn)與點(diǎn)與點(diǎn)A相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有相連，可構(gòu)成一個(gè)三角形，共有15個(gè)個(gè)三角形，同樣一邊在三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有上的三角形也有15個(gè)，所以圖中共有個(gè)，所以圖中共有30個(gè)三角形。個(gè)三角形。上面我們采用的方法是分類法上面我們采用的方法是分類法這里采用的方法是這里采用的方法是“對(duì)應(yīng)法

6、對(duì)應(yīng)法”，這也是計(jì)數(shù)中，這也是計(jì)數(shù)中常用的方法，這種方法實(shí)際上是數(shù)學(xué)的另一思常用的方法，這種方法實(shí)際上是數(shù)學(xué)的另一思想想轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用使用對(duì)應(yīng)法時(shí)，總是在原圖形中（有時(shí)需添加使用對(duì)應(yīng)法時(shí)，總是在原圖形中（有時(shí)需添加輔助線）找出它的某一部分作對(duì)應(yīng)圖形輔助線）找出它的某一部分作對(duì)應(yīng)圖形本題的解決，既有分類法又有對(duì)應(yīng)法本題的解決，既有分類法又有對(duì)應(yīng)法BACDEOA1B1C1D1E14(4+1)2=10 4個(gè)基本角的和個(gè)基本角的和=90；兩個(gè)相鄰基本角組成的；兩個(gè)相鄰基本角組成的3個(gè)角的個(gè)角的和和=90+45=135； 三個(gè)相鄰基本角組成的三個(gè)相鄰基本角組成的2個(gè)角的和個(gè)角的和=135；

7、4個(gè)相鄰基個(gè)相鄰基本角組成的本角組成的1個(gè)角個(gè)角=90，所以所有角的和，所以所有角的和=90+135+135+90=450BACDEO頂點(diǎn)為頂點(diǎn)為O，且，且一邊在一邊在AB上的三角形有上的三角形有342=6（個(gè)）；（個(gè)）；一邊在一邊在BC上的三角形有上的三角形有452=10（個(gè)）；（個(gè)）；一邊在一邊在AC上的三角形有上的三角形有 342=6（個(gè)），（個(gè)），再加再加ABC，所以共有所以共有23個(gè)三角形個(gè)三角形基礎(chǔ)訓(xùn)練基礎(chǔ)訓(xùn)練5 下圖中共有下圖中共有 個(gè)三角形個(gè)三角形 ABCO（四）數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形（四）數(shù)長(zhǎng)方形、平行四邊形和正方形AM與與EB對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形EPNB, AM與

8、與GB對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形GQNB. 就是說(shuō)就是說(shuō)AM與與AB邊的邊的6條線段都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)長(zhǎng)方形，共條線段都分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)長(zhǎng)方形，共6個(gè)長(zhǎng)方形個(gè)長(zhǎng)方形AD邊上共有邊上共有3條線段，其余兩條線段條線段，其余兩條線段AD和和MD也都分別對(duì)應(yīng)著也都分別對(duì)應(yīng)著6個(gè)長(zhǎng)方形，個(gè)長(zhǎng)方形，所以共有所以共有36=18個(gè)長(zhǎng)方形個(gè)長(zhǎng)方形ABCDEFGHQPMN圖中共有圖中共有-個(gè)長(zhǎng)方形個(gè)長(zhǎng)方形一般的，類似于這樣的長(zhǎng)方形（平行四邊形），若其橫邊上共有一般的，類似于這樣的長(zhǎng)方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，條線段，縱邊上共有縱邊上共有m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平

9、行四邊形）mn個(gè)個(gè)線段線段AM與與AE對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形AMPE，AM與與AG對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形AMQG，AM與與AB對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形AMNB，AM與與EG對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形對(duì)應(yīng)著長(zhǎng)方形EPQG,例例4橫邊上有橫邊上有8(8+1)2=36條線段，縱邊上有條線段，縱邊上有7(7+1)2=28條線段，條線段，所以共有所以共有3628=1008個(gè)平行四邊形個(gè)平行四邊形例例6 （雨露招生試題）如圖，圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（雨露招生試題）如圖，圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為 思考：能否像例思考：能否像例4那樣數(shù)平行四邊形？那樣數(shù)平行四邊形？可以將圖形分割成幾部分，使每一部分都像例可以將圖形分割成幾

10、部分，使每一部分都像例4那樣的圖形那樣的圖形但分割的塊數(shù)越少越好但分割的塊數(shù)越少越好3021442122）（）（思考：原圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是否等于思考：原圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是否等于60？假設(shè)分為如下圖所示的兩塊，那么每塊中的假設(shè)分為如下圖所示的兩塊，那么每塊中的平行四邊形的個(gè)數(shù)都是平行四邊形的個(gè)數(shù)都是思考：如最右側(cè)的圖形中也有思考：如最右側(cè)的圖形中也有30個(gè)平行四邊形，個(gè)平行四邊形， 那么原圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是否是那么原圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)是否是330=90？不是不是90，還應(yīng)減去如下圖所示的兩個(gè)，還應(yīng)減去如下圖所示的兩個(gè)“田字格田字格”中的各中的各9個(gè)平行四邊形，因?yàn)檫@個(gè)平行四邊形，因

11、為這18個(gè)個(gè)平行四邊形已經(jīng)包含在前平行四邊形已經(jīng)包含在前60個(gè)之中個(gè)之中所以，原圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)是所以，原圖形中平行四邊形的個(gè)數(shù)是9018=72注意：在使用分類計(jì)數(shù)法時(shí)，一定要注意是否有遺漏或重復(fù)計(jì)數(shù)的！注意：在使用分類計(jì)數(shù)法時(shí)，一定要注意是否有遺漏或重復(fù)計(jì)數(shù)的！例例5 如左、中、右三圖，各包含多少個(gè)正方形？如左、中、右三圖，各包含多少個(gè)正方形？ 為便于敘述，我們?cè)O(shè)一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為為便于敘述，我們?cè)O(shè)一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么，那么左圖中邊長(zhǎng)為左圖中邊長(zhǎng)為1的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是 32=6邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是21=2所以左圖中共有正方形所以左圖中共

12、有正方形 32+21=8（個(gè)）（個(gè)）中圖中邊長(zhǎng)為中圖中邊長(zhǎng)為1的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是43=12邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是32=6邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為3的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是21=2所以中圖中共有正方形所以中圖中共有正方形 43+32+21=20（個(gè)）（個(gè)） 右圖中邊長(zhǎng)為右圖中邊長(zhǎng)為1的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是64=24邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為2的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是53=15邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為3的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是42=8邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為4的正方形的個(gè)數(shù)是的正方形的個(gè)數(shù)是31=3所以中圖中共有正方形所以中圖中共有正方形 64+54+42+31=50（個(gè)）（

13、個(gè)） 如果一橫行有如果一橫行有m個(gè)小正方形，一豎行有個(gè)小正方形，一豎行有n個(gè)（假設(shè)個(gè)（假設(shè)mn）小正方形，）小正方形，那么圖中正方形的個(gè)數(shù)是那么圖中正方形的個(gè)數(shù)是mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) 這里所采用的方法是分類這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：法中的另一種，是：（3）按照?qǐng)D形的大小分類）按照?qǐng)D形的大小分類例例7ABCKDEFGHL第第1類：與三角形類：與三角形ABE形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)你打算怎樣數(shù)圖中的三角形？你打算怎樣數(shù)圖中的三角形？5第第2類：與三角形類：與三角形ABF形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)5第第3

14、類：與三角形類：與三角形ABG形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)10第第4類：與三角形類：與三角形ACD形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)5第第5類：與三角形類：與三角形AFL形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)55第第6類：與三角形類：與三角形AGD形狀有某些相似的三角形有形狀有某些相似的三角形有個(gè)個(gè)所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有3535個(gè)個(gè)這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：這里所采用的方法是分類法中的另一種，是：（4）按照?qǐng)D形的形狀分類）按照?qǐng)D形的形狀分類也可以說(shuō)是也可以說(shuō)是（5）按照?qǐng)D形所處的位置分類）按照?qǐng)D形所處的位置

15、分類 例例8（華羅庚金杯競(jìng)賽題）下圖中有（華羅庚金杯競(jìng)賽題）下圖中有 個(gè)正方形，有個(gè)正方形，有 個(gè)三角形個(gè)三角形能否將圖中的正方形分類，按照不同類型分別數(shù)能否將圖中的正方形分類，按照不同類型分別數(shù)出其中的正方形個(gè)數(shù)？出其中的正方形個(gè)數(shù)？66+55+44+33+22+11=91除上一類為，還有除上一類為，還有 個(gè)正方形個(gè)正方形4 共有共有95個(gè)正方形個(gè)正方形這里所使用的方法是分類法中的（這里所使用的方法是分類法中的（4）按照?qǐng)D形的形狀分類）按照?qǐng)D形的形狀分類662=72個(gè)個(gè)直角邊長(zhǎng)為直角邊長(zhǎng)為1的三角形有的三角形有1-2行行 2-3行行3-4行行4-5行行5-6行行 直角邊長(zhǎng)為直角邊長(zhǎng)為2的三角

16、形的三角形8個(gè)個(gè),6個(gè)個(gè),2個(gè)個(gè),8個(gè)個(gè), 6個(gè)個(gè),共共30個(gè)個(gè)4個(gè)個(gè),2個(gè)個(gè)直角邊長(zhǎng)為直角邊長(zhǎng)為3的三角形的三角形 1-2行行3-5行行4-6行行4個(gè)個(gè),共共10個(gè)個(gè)思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？各各4個(gè)個(gè),共共12個(gè)個(gè)3個(gè)個(gè)1個(gè)個(gè)斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為2的三角形的三角形1-3行行第第4行行第第5行行第第6行行 4個(gè)，共計(jì)個(gè)，共計(jì)20個(gè)個(gè)1-6列依次列依次3+3+3+2+3+3=17（個(gè)）（個(gè)） 思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？思考：還有漏數(shù)的三角形嗎？斜邊長(zhǎng)為斜邊長(zhǎng)為4的三角形的三角形直角邊長(zhǎng)為直角邊長(zhǎng)為4的三角形的三角形3-6

17、行行2個(gè)個(gè)所以圖中的三角形共計(jì)所以圖中的三角形共計(jì)72+30+10+2+20+17+4=155（個(gè)）（個(gè)）這里用了分類法中的（這里用了分類法中的（3）按照?qǐng)D形的大小分類（之后又按圖形所處位置分類）按照?qǐng)D形的大小分類（之后又按圖形所處位置分類）1-4行行1個(gè)個(gè) ,2-5行行2個(gè)，個(gè)， 4-5行行1個(gè)，共個(gè)，共4個(gè)個(gè)分為兩類，一類是有一組對(duì)邊在水平方向的正分為兩類，一類是有一組對(duì)邊在水平方向的正方形，如左圖方形，如左圖 這類正方形的個(gè)數(shù)是這類正方形的個(gè)數(shù)是課后反思總結(jié)課后反思總結(jié)計(jì)數(shù)方法：計(jì)數(shù)方法： 1分類計(jì)數(shù)法分類計(jì)數(shù)法 （1）按照包含同一圖形分類；）按照包含同一圖形分類； （2）按照?qǐng)D形所包含

18、的）按照?qǐng)D形所包含的“基本圖形基本圖形”的個(gè)數(shù)分類。的個(gè)數(shù)分類。 （3）按照?qǐng)D形的大小分類；）按照?qǐng)D形的大小分類； （4）按照?qǐng)D形的形狀分類；）按照?qǐng)D形的形狀分類； （5）按照?qǐng)D形所處的位置分類）按照?qǐng)D形所處的位置分類 2對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)法對(duì)應(yīng)計(jì)數(shù)法 幾個(gè)計(jì)算公式：幾個(gè)計(jì)算公式： 1線段、角的計(jì)數(shù)公式：線段、角的計(jì)數(shù)公式： 2長(zhǎng)方形、平行四邊形的計(jì)數(shù)公式：長(zhǎng)方形、平行四邊形的計(jì)數(shù)公式：橫邊上共有橫邊上共有n條線段，條線段，縱邊上共有縱邊上共有m條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）條線段，則圖中共有長(zhǎng)方形（平行四邊形）mn個(gè)個(gè) 3正方形的計(jì)數(shù)公式：正方形的計(jì)數(shù)公式：如果一橫行有如果一橫行有m個(gè)小正方形

19、，一豎行有個(gè)小正方形，一豎行有n個(gè)（假個(gè)（假設(shè)設(shè)mn）小正方形，那么圖中正方形的個(gè)數(shù)是）小正方形，那么圖中正方形的個(gè)數(shù)是 mn+(m1)(n1)+(mn+1)(nn+1) = mn+(m1)(n1)+(mn+1)12) 1( nn圖形個(gè)數(shù)問(wèn)題解答在問(wèn)題解答在http:/ 說(shuō)出你是怎樣數(shù)的說(shuō)出你是怎樣數(shù)的BCDEFGA與數(shù)長(zhǎng)方形和正方形的方法類似與數(shù)長(zhǎng)方形和正方形的方法類似長(zhǎng)方體有長(zhǎng)方體有個(gè)個(gè)(3+2+1)(2+1)(2+1)=54正方體有正方體有個(gè)個(gè)322+211=147如圖，圖中的三角形共有多少個(gè)？請(qǐng)把它們都用記號(hào)表示出來(lái)如圖，圖中的三角形共有多少個(gè)？請(qǐng)把它們都用記號(hào)表示出來(lái)MBCDEFGN

20、A(1)一邊在一邊在AB上的三角形有上的三角形有ABC, ABE,ABN,ABF,ADM,ADC,BDG,BDC(2)一邊在一邊在BC上而另一邊上而另一邊 不在不在AB上的三角形有上的三角形有BCA, BCD,BCF,BCG,BEA,BEN,ECA,ECM(3)一邊在一邊在CA上而另一邊既上而另一邊既不在不在AB上也不在上也不在BC上的三角形有上的三角形有CAB, CAD, CAE,CAM,CFB , CFG, AFB, AFN(4)三邊不在三邊不在AB、BC、CA上的有上的有MNG所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有8+5+3+1=17個(gè)個(gè)共計(jì)共計(jì)8+5+3=16個(gè)嗎？個(gè)嗎？3(4+3+

21、2+1)（4+3+3+1）=100圖中共有直線圖中共有直線6條，設(shè)為條，設(shè)為a, b,c,d,e,f, 每每3條一組，列表如下條一組，列表如下abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef 計(jì)計(jì)10組組bfcedabcd bce bcf bde bdf bef 計(jì)計(jì)6組組cde cdf cef計(jì)計(jì)3組組def 計(jì)計(jì)1組組 這里采用的是對(duì)應(yīng)法，但是也要注意計(jì)數(shù)中是否有遺漏或重復(fù)這里采用的是對(duì)應(yīng)法，但是也要注意計(jì)數(shù)中是否有遺漏或重復(fù)def 計(jì)計(jì)1組組 ，合計(jì)，合計(jì)10+6+3+1=20組組但是經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的三條直線不能圍成三角形，但是經(jīng)過(guò)同一點(diǎn)的三條直線不能圍成三角形

22、，所以圖中的三角形共有所以圖中的三角形共有203=17（個(gè)）（個(gè)）提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練3圖中共有多少個(gè)三角形？圖中共有多少個(gè)三角形？顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為角形的個(gè)數(shù)相等尖向上的三角形又可分為6類類（1）最大的三角形最大的三角形1個(gè)個(gè)(即即ABC)，（2）第二大的三角形有）第二大的三角形有 1+2=3（個(gè)）（個(gè)）（3）第三大的三角形有）第三大的三角形有 1+2+3=6（個(gè)）（個(gè)）（4）第四大的三角形有）第四大的三角形有 1+2+3+4=10（個(gè)）（個(gè)）（5）第五大的三角形有）第五大的三角形有 1

23、+2+3+4+5=15（個(gè)）（個(gè)）（6）最小的三角形有）最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24（個(gè)）（個(gè)）最后加的最后加的3個(gè)是哪個(gè)是哪3個(gè)？個(gè)？所以尖向上的三角形共有所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（個(gè)）（個(gè)）圖中共有三角形圖中共有三角形259=118（個(gè)）（個(gè)）提高訓(xùn)練提高訓(xùn)練4 在在88的方格棋盤中，取出一個(gè)由三個(gè)小方格組成的的方格棋盤中，取出一個(gè)由三個(gè)小方格組成的“L”形形（如圖），一共有多少種不同的方法？（如圖），一共有多少種不同的方法？ 注意：數(shù)注意：數(shù)“不規(guī)則幾何圖形不規(guī)則幾何圖形”的個(gè)數(shù)時(shí)，常用對(duì)應(yīng)法的個(gè)數(shù)時(shí)，常用對(duì)應(yīng)法第第1步：找對(duì)應(yīng)圖形步：找對(duì)應(yīng)圖形 每一種取法，有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，每一種取法，有一個(gè)點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)，這就是圖中的這就是圖中的A點(diǎn)，它是棋盤上橫線與豎線的交點(diǎn)，且不點(diǎn)，它是棋盤上橫線與豎線的交點(diǎn)，且不在棋盤邊上。在棋盤邊上。第第2步：明確對(duì)應(yīng)關(guān)系步：明確對(duì)應(yīng)關(guān)系從下圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一從下圖可以看出，棋盤內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)著4個(gè)不同的取法（個(gè)不同的取法（“L”形的形的“角角”在在22正方正方形的不同