線性代數(shù)課件修改ch2改425

1、CH2.41n 維向量與線性方程組維向量與線性方程組CH2.42定義定義 2 2. .4.14.1 n n 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)naaa,21組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 ),(21naaa或或naaa21 稱為稱為 n n 維行維行( (或列或列) )向量向量, ,數(shù)數(shù)ia叫做此叫做此 n n 維向量的第維向量的第i個(gè)個(gè)分量分量. .如果如果ia是實(shí)數(shù)是實(shí)數(shù), ,稱其為稱其為實(shí)向量實(shí)向量; ; 如如ia是復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù), ,稱稱其為其為復(fù)向量復(fù)向量; ; 記記nR為實(shí)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域 R R 上上 n n 維向量的全體構(gòu)成的集合維向量的全體構(gòu)成的集合. . 2.4 n維向量空間維向量空間2.4.1 n維向量的定

2、義維向量的定義CH2.43定定義義 設(shè)設(shè) ),(),(2121nnbbbaaa 都是都是 n n 維向量維向量, ,當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)), 2 , 1(nibaii時(shí)時(shí), ,稱向量稱向量與與相等相等, ,記作記作. 分量都是分量都是 0 0 的向量稱為零向量的向量稱為零向量, ,記作記作 0.0.即即 0=0=（0,0,0,0,0,0） 若若),(21naaa, ,則稱則稱 ),(21naaa為為的負(fù)向量的負(fù)向量, ,記為記為 . . CH2.44 若若nmijaA)(, ,則則 A A 的每一行的每一行( (列列) )可表示可表示一個(gè)行一個(gè)行( (列列) )向量向量, ,因此由分塊陣的定義因此

3、由分塊陣的定義,A,A 有有兩種兩種特殊的向量表示形式特殊的向量表示形式: : (1)(1) 當(dāng)向量當(dāng)向量 ),(21iniiiaaa為矩陣為矩陣 A A 的第的第), 2 , 1(mii行時(shí)行時(shí), , 矩陣矩陣 A A 可以表示為可以表示為: : mA21 CH2.45(2)(2) 當(dāng)向量當(dāng)向量 ), 2 , 1(21njaaamjjjj 為矩陣為矩陣 A A 的第的第), 2 , 1(njj列時(shí)列時(shí), , 矩陣矩陣 A A 可以表示為可以表示為: : nA21 CH2.46定義定義 設(shè)設(shè) ),(),(2121nnbbbaaa 都是都是 n n 維向量維向量, ,那么那么, , n n 維向

4、量維向量: : ),(2211nnbababa 叫做向量叫做向量與與的和的和, ,記做記做, ,即即 ),(2211nnbababa 利用負(fù)向量利用負(fù)向量, ,可規(guī)定向量的減法可規(guī)定向量的減法: : ),(2211nnbababa CH2.47定義定義 設(shè)設(shè)),(21naaa是是n n維向量維向量, ,k k是數(shù)是數(shù), , 那么那么, , n n維向量維向量: :),(21nkakaka 叫做叫做k k與向量與向量 的乘積的乘積, ,記做記做k, ,即即 ),(21nkakakak 向量的加法與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的加法與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。向量的線性運(yùn)算。 n n維向量的線性運(yùn)算

5、滿足下面的八條性維向量的線性運(yùn)算滿足下面的八條性質(zhì)質(zhì): : CH2.48(1)(1) (2)(2) )()( (3)(3) 0 (4)(4) 0)( (5)(5) ) 1(,1 (6)(6) )()(kllk (7)(7) kkk)( (8)(8) lklk )(. . 定理定理2.4.12.4.1對(duì)任意對(duì)任意n n 維向量維向量,和數(shù)和數(shù) k及及 l, ,有：有： CH2.49定義定義 2.4.2 2.4.2 數(shù)域數(shù)域 K K 上的上的全體全體 n n 維向量依照向量的維向量依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘組加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘組成成的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)稱為數(shù)域域 K K 上的向量上

6、的向量空間，記為空間，記為nK。 定義定義 2 2. .4.34.3 設(shè)設(shè) V V 是是n維向量的非空集合，如果對(duì)維向量的非空集合，如果對(duì)于向量的加法和于向量的加法和數(shù)數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，即乘運(yùn)算是封閉的，即 ,RkV VkV)2(,) 1 ( 則稱則稱 V V 是一個(gè)向量是一個(gè)向量子子空間。空間。 CH2.410一些向量一些向量子子空間的例子空間的例子 例例 1 1 （1 1）設(shè)）設(shè) n n 維實(shí)向量的集合維實(shí)向量的集合RxxxxxVnn,03221 依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成向量依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成向量子子空間。空間。 （2 2）設(shè)）設(shè) n n 維實(shí)向量的集合維實(shí)向

7、量的集合RxxxxxVnn,13222 依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘不構(gòu)成向量依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘不構(gòu)成向量子子空間。空間。 CH2.411證證 （1 1）若）若 122,(0,.,) ,(0,.,) ,TTnnVxxyy 則則221(0,)TnnxyxyV即加法封閉。即加法封閉。 （2 2）若）若kR， 則則21(0,)TnkkxkxV即數(shù)乘封閉，即數(shù)乘封閉， 因此因此1V是向量子空間。是向量子空間。 同理可證同理可證2V不是向量子空間不是向量子空間 CH2.412解解 由于由于0W，因此，因此 W W 非空，非空， 設(shè)設(shè)1112222,klkl則則 （1 1）1211221

8、212()()klklkkll （2）1111()klkl 因此，因此，W W 是向量子空間。是向量子空間。 例例 2 2 設(shè)設(shè), 是兩個(gè)是兩個(gè) n n 維向量，則維向量，則 ,Wklk lR依照向量的加法和向量與數(shù)的依照向量的加法和向量與數(shù)的乘乘法法構(gòu)成向量構(gòu)成向量子子空間。空間。稱為稱為 , 的生成子空間。的生成子空間。 CH2.413定理定理 2.4.32.4.3 設(shè)設(shè)12,s 是是 n n 維向量維向量組組，則，則 121122,sssiLkkkkK 依照向量依照向量的加法和向量與數(shù)的乘的加法和向量與數(shù)的乘法法構(gòu)成向量構(gòu)成向量子子空間?？臻g。稱為稱為 12,s 的生成子空間。的生成子空

9、間。 CH2.414例例 3 3 三維向量集合三維向量集合 A=A=0),(3321xxxx B=B=0),(321321xxxxxx 都是向量空間都是向量空間3R的子空間。的子空間。 證證 （1）若）若 ),0 ,(),0 ,(,2121yyxxA 則則Ayxyx)0 ,(2211 即加法封閉。即加法封閉。 CH2.415（2）若）若Rk ，則則Akxkxk)0 ,(21 即數(shù)乘封閉，因此即數(shù)乘封閉，因此 A A 是子空間。是子空間。 下面下面證證 B B 是子空間是子空間 證證 （1）若）若 0, 0),(),(,321321321321yyyxxxyyyxxxB CH2.416則則 11

10、2233112233123123(,)()()(),xy xyxyxyxyxyxxxyyyB 即加法封閉。即加法封閉。 （2）若）若Rk ，則則 123123123(,),()0kkx kx kxkxkxkxk xxxkB 即數(shù)乘封閉，因此即數(shù)乘封閉，因此 B B 是子空間。是子空間。 CH2.4175.15.1 線性空間的定義線性空間的定義 定義定義 設(shè)設(shè) V V 是非空集合，是非空集合，P P 是數(shù)域。在是數(shù)域。在 V V 的元素間定的元素間定義了一種運(yùn)算義了一種運(yùn)算 “+ +”， 稱為加法： 對(duì)， 稱為加法： 對(duì)V,， 有唯一的， 有唯一的V與他們對(duì)應(yīng)，稱為與他們對(duì)應(yīng)，稱為和和的和，記為

11、的和，記為； 加法“加法“+ +”滿足：”滿足： （1 1）; ; （2 2）)()(; ; （3 3）V V 中有一個(gè)零元素中有一個(gè)零元素 0 0，對(duì)，對(duì)V，有，有 0; ; （4 4）V，存在，存在V，稱為，稱為的負(fù)元素，記為的負(fù)元素，記為， 使得使得 0)(. . CH2.418 在在 P P 和和 V V 之間還定義了一個(gè)運(yùn)算稱為數(shù)乘， 對(duì)之間還定義了一個(gè)運(yùn)算稱為數(shù)乘， 對(duì)V和和Pk ，有唯一的元素，有唯一的元素V與之對(duì)應(yīng)，稱為與之對(duì)應(yīng)，稱為 k k 與與的數(shù)量乘的數(shù)量乘積，記為積，記為k； 數(shù)乘滿足：數(shù)乘滿足： ( (5) 5) )1( ,1; ; ( (6 6）)()()(klkl

12、lk; ; (7) (7) lklk )(; ; （8 8）;)(kkk CH2.419以上的基本律（以上的基本律（1 1） （8 8）中，）中， 是集合是集合 V V 中的中的任意元素，任意元素，k , lk , l 是是 P P 中任意數(shù)；稱定義了這樣兩種運(yùn)算中任意數(shù)；稱定義了這樣兩種運(yùn)算的集合的集合 V V 為數(shù)域?yàn)閿?shù)域 P P 上的線性空間。上的線性空間。 （1 1） 零元素是唯一的零元素是唯一的, ,記為記為 0;0; （2 2） V，的負(fù)元素是唯一的；的負(fù)元素是唯一的； （3 3） V，Pk ，有，有00, 00k和和 ) 1(； （4 4） 若若0k，則有，則有 k=0k=0 或

13、或=0=0 CH2.420一些線性空間的例子一些線性空間的例子 例例全體全體 n n 維實(shí)向量依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)維實(shí)向量依照向量的加法和向量與實(shí)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間，記為的數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間，記為nR。 例例 全體全體nm階實(shí)矩陣， 依照矩陣的加法和矩陣與階實(shí)矩陣， 依照矩陣的加法和矩陣與數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間。記為數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成實(shí)線性空間。記為nmM。 CH2.421 命命題題設(shè)設(shè) V V 是數(shù)域是數(shù)域 P P 上的線性空間，如果上的線性空間，如果 V V 的非的非空子集合空子集合 W W 對(duì)于對(duì)于 V V 的加法和乘法運(yùn)算是封閉的，的加法和乘法運(yùn)算是封閉的，則則 W W 是是 V

14、V 的一個(gè)子空間。的一個(gè)子空間。 CH2.422習(xí)題二習(xí)題二B類類P170頁頁22,23,24,CH2.423 定義定義 2.5.12.5.1 對(duì)于對(duì)于 n n 維向量組維向量組m,21及及 n n 維維 向量向量 如果有一組數(shù)如果有一組數(shù)mkkk,21使得使得 mmkkk2211成立成立 則稱向量則稱向量是向量組是向量組m,21的的線性組合線性組合, , 或稱或稱 可由向量組可由向量組m,21線性表示線性表示, , 此時(shí)稱此時(shí)稱mkkk,21為組合系數(shù)或?yàn)榻M合系數(shù)或表示系數(shù)表示系數(shù). . CH2.424例如例如，n n 維向量組維向量組 100,010,001,2121nnaaa 顯然顯然

15、nnaaa2211 即即可由向量組可由向量組n,21線性表示線性表示, , 且表示系數(shù)且表示系數(shù)為為 的的n n個(gè)分量個(gè)分量. .稱向量組稱向量組n,21為為n n維維( (標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)) )單位向量組單位向量組. . CH2.425cba,1,0,00, 1,00,0, 1321 則則 321cba 即即可由向量組可由向量組321,線性表示線性表示, , 且表示系數(shù)是且表示系數(shù)是的分量的分量 a,b,c.a,b,c. 例例 7114,1132,312121 顯然顯然 212即即可由向量組可由向量組,21線性表示線性表示, , 且表示系數(shù)是且表示系數(shù)是:2,1.:2,1. CH2.426例例如如,

16、 ,對(duì)于線性方程組對(duì)于線性方程組 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 (1)(1) 記系數(shù)陣記系數(shù)陣 ),(21212222111211nmnmmnnaaaaaaaaaAnmxxxXbbb2121,則線性方程組則線性方程組(1)(1)可以用向量的形式表示為可以用向量的形式表示為: : nnxxx2211 (2)(2) CH2.427定理定理 2 2. .5.15.1 設(shè)設(shè) n n 維向量組維向量組m,21, ,則則 可由可由 n n維向量組維向量組m,21線性表示的充要條件為線性方程線性表示的充要條件為線性方程組組 mmxxx

17、2211 (3) (3) 有解。有解。 對(duì)于對(duì)于 n n 維零向量維零向量 0 0 可由任意可由任意 n n 維向量組維向量組m,21線性線性表示表示. .事實(shí)上事實(shí)上: : m000021 注注: :這里的表示系數(shù)全部為零這里的表示系數(shù)全部為零. .如果限定表示系數(shù)如果限定表示系數(shù)不全為零不全為零, ,有些有些 n n 維向量組就不能表示維向量組就不能表示 n n 維零向量維零向量了了. .因此因此, ,存在不全為零的系數(shù)表示存在不全為零的系數(shù)表示 n n 維零向量是維零向量是某些某些 n n 維向量組特有的屬性維向量組特有的屬性. .這個(gè)性質(zhì)引出了向量這個(gè)性質(zhì)引出了向量組的線性相關(guān)性定義組

18、的線性相關(guān)性定義. . CH2.4282 2. .5 5. .3 3向量組的向量組的極大無關(guān)組及秩極大無關(guān)組及秩 定義定義 3.63.6 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組 (I) (I) m,21; (II); (II)s,21 若向量組若向量組(I)(I)中每個(gè)向量都可由向量組中每個(gè)向量都可由向量組(II)(II)線性表示線性表示, ,則則稱向量組稱向量組(I)(I)可由向量組可由向量組(II)(II)線性表示線性表示; ;若兩個(gè)向量組若兩個(gè)向量組(I)(I)與與(II)(II)可互相線性表示可互相線性表示, , ,則稱向量組則稱向量組(I)(I)與向量組與向量組(II)(II)等價(jià)等價(jià). .

19、向量組的等價(jià)向量組的等價(jià)CH2.429補(bǔ)充定理補(bǔ)充定理 設(shè)有兩個(gè)向量組設(shè)有兩個(gè)向量組 (I) (I) m,21; (II); (II)s,21 則則向量組向量組(I)(I)可由向量組可由向量組(II)(II)線性表示線性表示的充要條件的充要條件是存在矩陣是存在矩陣 A A 使得使得 1212(,)(,)msA CH2.430命題命題 向量組向量組s,21可由可由m,21線性表線性表示示的充要條件是的充要條件是 r r（A A）=r=r（B B） 其中其中 121212AB,mms （， ，），=（， ，） 例例 設(shè)向量設(shè)向量 12312121311 ,0 ,1,3 ,301123 問問1212

20、3121,1 ,0 ,1011 能否由線性表示 CH2.431解解 1231212123B=,121311213112131101330220201101011230112300224r(A)r(B)3,121311002101101010110022400112 行行行知故能由線性表示，而因1212311232123,2,2，得由線性表示為=-。 CH2.432命題命題 向量組的線性表示具有傳遞性向量組的線性表示具有傳遞性. .即：即： 設(shè)有三個(gè)向量組設(shè)有三個(gè)向量組 (I) (I) m,21; ; (II) (II) s,21; ; (III) (III) t,21. . CH2.433定義

21、定義 2.5.32.5.3 設(shè)有設(shè)有 n n 維向量組維向量組m,21，如，如果存在一組不全為零的數(shù)果存在一組不全為零的數(shù)mkkk,21使得使得 02211mmkkk （3 3） 則稱向量組則稱向量組m,21線性相關(guān)。否則稱向線性相關(guān)。否則稱向量組量組m,21線性無關(guān)，線性無關(guān)， 即即m,21線性無關(guān)線性無關(guān)僅當(dāng)僅當(dāng)mkkk,21全部為全部為零時(shí)零時(shí)(3)(3)式才成立式才成立. . 2.5.2 向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)CH2.434例如，例如，向量組向量組 114,132,121321 線性相關(guān)線性相關(guān). . 事實(shí)上，由于事實(shí)上，由于2132， 故有一組不全為零的

22、數(shù)故有一組不全為零的數(shù) 2 2，1 1 ，- -1 1 使得使得 0) 1(2321. . CH2.435又例如，又例如，向量組向量組 2, 1, 0,2, 3, 2,1, 1, 1321線性無關(guān)。線性無關(guān)。 事實(shí)上，設(shè)事實(shí)上，設(shè)0332211kkk，即，即 022030232132121kkkkkkkk 由系數(shù)行列式由系數(shù)行列式 014221131021D 故方程組只有零解故方程組只有零解 000321kkk 因此該向量組線性無關(guān)。因此該向量組線性無關(guān)。 CH2.436定理定理 2.5.52.5.5 n n 維列向量組維列向量組m,21線性相線性相( (無無) )關(guān)的充要條件是齊次線性方程組

23、關(guān)的充要條件是齊次線性方程組 02211mmxxx 有非零解有非零解( (只有零解只有零解).). 推論推論1 1 設(shè)設(shè)n n 維向量組維向量組m,21, ,如果以如果以m,21為為列構(gòu)成矩陣列構(gòu)成矩陣 A,A,則則 (1)(1) 向量組向量組m,21線性相關(guān)的充要條件是線性相關(guān)的充要條件是 mAr)( (2)(2) 向量組向量組m,21線性無關(guān)的充要條件是線性無關(guān)的充要條件是 mAr)( CH2.437此推論給出了判斷向量組此推論給出了判斷向量組m,21線性相線性相( (無無) )關(guān)的一關(guān)的一種方法種方法-矩陣秩數(shù)法矩陣秩數(shù)法: : (1)(1) 以以 m,21為列構(gòu)成矩陣為列構(gòu)成矩陣 A

24、A； (2)(2) 用初等行變換化用初等行變換化A A為階梯形矩陣為階梯形矩陣, ,即即AKA ( (階梯形階梯形矩陣矩陣),),得得rAr)(； (3)(3) 當(dāng)當(dāng)mrAr)(時(shí)時(shí), , m,21線性相關(guān)，線性相關(guān)， 當(dāng)當(dāng)mrAr)(時(shí)時(shí), , m,21線性無線性無關(guān)。關(guān)。 選例選例 1 1 判別向量組判別向量組 214,132,121321的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性 CH2.438解：解：將以將以321,為列的矩陣為列的矩陣 A A 化為階梯陣化為階梯陣: : ArKA10011012111324212123321 得得3)(Ar。 因此因此321,線性無關(guān)線性無關(guān). . CH2.439推論

25、推論 2 2 （1 1）n n 個(gè)個(gè) n n 維向量維向量n,21線性相關(guān)的線性相關(guān)的 充要條件是充要條件是0A； （2 2）n n 個(gè)個(gè) n n 維向量維向量n,21線性無關(guān)的線性無關(guān)的 充要條件是充要條件是0A。 選例選例 2 2 判別向量組判別向量組 2, 1, 0,2, 3, 2,1, 1, 1的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性. . 解解 由于由于 014221131021TTTA 故故,線性無關(guān)線性無關(guān). . CH2.440推論推論 3 3 若若向量組中向量組中向量的個(gè)數(shù)大于其向量的維數(shù)向量的個(gè)數(shù)大于其向量的維數(shù)，則則向量組向量組必線性相關(guān)。必線性相關(guān)。 即即 nR中任意中任意 m (mn)

26、m (mn)個(gè)向量的個(gè)向量的向量組向量組 m,21必線性相關(guān)。必線性相關(guān)。 選例選例 3 3 判別向量組判別向量組 741,214,132,1214321 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性. . 解解 由于由于, 4, 3nmmn故故 4321,線性相關(guān)線性相關(guān). . CH2.441例例 設(shè)有向量組設(shè)有向量組 k, , 2, 2, 4,2, 4, 0, 1,3, 1, 1, 2 討論討論k取何值時(shí)取何值時(shí),線性相關(guān)線性相關(guān)? ? k取何值時(shí)取何值時(shí),線性無關(guān)線性無關(guān)? ? 解解 以以,為列構(gòu)造矩陣為列構(gòu)造矩陣: : ArrrrrrrrrrrrrrKkkkkA 000600010201600000010

27、20162004001020123241201412432423114132212432 CH2.442故故 6k時(shí)時(shí), , ,線性無關(guān)；線性無關(guān)； 6k時(shí)，時(shí)，,線性相關(guān)。線性相關(guān)。 由于由于. 6, 2; 6, 3)(kkAr 例例 證明證明 n n 維單位向量組維單位向量組n,21線性無關(guān)。線性無關(guān)。 證證 方法方法 1 1（定義法）（定義法）: : 設(shè)有數(shù)的數(shù)設(shè)有數(shù)的數(shù)nkkk,21使得使得 02211nnkkk 即有即有0001000100012121nnkkkkkk 因此因此021nkkk, , 由定義向量組由定義向量組n,21線性無關(guān)。線性無關(guān)。 CH2.443方法方法 2 2

28、（矩陣秩數(shù)法）（矩陣秩數(shù)法） : :由于以向量由于以向量n,21為為列的矩陣為列的矩陣為 111nE, ,nErn)(故 由 推 論故 由 推 論 1 1 向 量 組向 量 組n,21線性無關(guān)線性無關(guān). . 方法方法 3 3（行列式法）（行列式法）: :由于向量組由于向量組n,21的矩陣的矩陣為為111nE其行列式為其行列式為01111nE, , 由推論由推論 2 2 向量組向量組n,21線性無關(guān)。線性無關(guān)。 CH2.444方法方法 4 4（方程組法）（方程組法） : :由于以向量由于以向量n,21的矩的矩陣為系數(shù)陣的方程組陣為系數(shù)陣的方程組 02211nnxxx 只有零解只有零解, , 由定

29、理由定理 3.23.2 向量組向量組n,21線性無關(guān)。線性無關(guān)。 例例 設(shè)設(shè),線性無關(guān)線性無關(guān), ,若令若令 , 問問 向量組向量組,是否線性相關(guān)是否線性相關(guān)? ? 解解 設(shè)有數(shù)設(shè)有數(shù)321,kkk使得使得 0321kkk 0)()(321kkk 0)()(332321kkkkkk CH2.445由于由于,線性無關(guān)線性無關(guān), ,故有故有 000332321kkkkkk 即即 , 0321kkk 因此，向量組因此，向量組,線性無關(guān)。線性無關(guān)。 例例 討論下列向量組的線性相關(guān)性討論下列向量組的線性相關(guān)性: : (1) 109,359,099,1114321 (2) 8203,2501,6701,4

30、1024321 CH2.446解解 (1) (1) 由于由于4321,是是 4 4 個(gè)個(gè) 3 3 維向量維向量, , 由由nm 知該向量組線性相關(guān)。知該向量組線性相關(guān)。 （2 2）由于由于4321,的矩陣的矩陣 8264257100003112),(4321B 因?yàn)橐驗(yàn)?B, ,故向量組故向量組4321,線性相關(guān)線性相關(guān). . CH2.447例例 若向量組若向量組m,21中有部分向量線性相關(guān)中有部分向量線性相關(guān), , 則該向量組則該向量組m,21必線性相關(guān)必線性相關(guān). . 證證 設(shè)有部分向量設(shè)有部分向量)(,21mss線性相關(guān)線性相關(guān), ,于是存在不全為零的于是存在不全為零的s個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)skkk

31、,21使得使得 02211sskkk 從而有不全為零的從而有不全為零的m個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)0 , 0 ,21skkk 使得使得 0000212211msssskkk 因此因此m,21必線性相關(guān)必線性相關(guān). . 等價(jià)地等價(jià)地, ,本例的結(jié)論也可敘述為本例的結(jié)論也可敘述為: :若向量組若向量組m,21線性無關(guān)線性無關(guān), ,則其任一部分向量組都線性則其任一部分向量組都線性無關(guān)無關(guān). . CH2.448例如例如, , 8203,161534,6701,41324321 由于由于02321 故故321,線性相關(guān)線性相關(guān), , 因此因此4321,線性相關(guān)線性相關(guān). . CH2.449例例 設(shè)設(shè)msnsRR,2121

32、都為列都為列向量向量. .令令mn 維列向量維列向量 siiii, 2 , 1 試證明試證明: : 若若 n n 維向量組維向量組s,21線性無關(guān)線性無關(guān), ,則則 n+mn+m 維向量組維向量組 s,21 也線性無關(guān)也線性無關(guān). . 證證 方法一方法一 令矩陣令矩陣),(21sA ),(21sB ),(21sC CH2.450因?yàn)橐驗(yàn)閟,21線性無關(guān)的充要條件是線性無關(guān)的充要條件是sAr)( 故故 sAr)( 又由于又由于 sCrsCrArBACs)()()(),(21 即即 sCr)( 因此因此s,21線性無關(guān)線性無關(guān) CH2.451方法二方法二 構(gòu)造兩個(gè)齊次線性方程組構(gòu)造兩個(gè)齊次線性方程

33、組: : (I)(I) 0),(2121ssxxxAX (II)(II) 0),(2121ssxxxCX CH2.452 由于方程組由于方程組(II)(II)的前的前n n個(gè)方程就是方程組個(gè)方程就是方程組(I),(I),所以所以(II)(II)的解必是的解必是(I)(I)的解的解 即即 (II)(II)的解集的解集 (I)(I)的解集的解集 當(dāng)當(dāng)s,21線性無關(guān)時(shí)線性無關(guān)時(shí), , 方程組方程組(I)(I)只有零解只有零解, ,因此方程組因此方程組(II)(II)也只有零解也只有零解, ,從而從而s,21線性無線性無關(guān)。關(guān)。 CH2.453注注: :常稱此例中定義的常稱此例中定義的s,21為為s

34、,21的截的截短向量組短向量組, ,或或s,21為為s,21的接長(zhǎng)向量組的接長(zhǎng)向量組. .該例說明該例說明: :若截短向量組線性無關(guān)若截短向量組線性無關(guān), ,則接長(zhǎng)向量組則接長(zhǎng)向量組仍線性無關(guān)。仍線性無關(guān)。 CH2.454 證：證： 必要性必要性 設(shè)向量組設(shè)向量組)2(,21mm線性相關(guān)線性相關(guān), ,即有一即有一組不全為零的數(shù)組不全為零的數(shù)mkkk,21使得使得 02211mmkkk 不妨設(shè)不妨設(shè)0mk, ,則有則有 )(1112211mmmmkkkk 即即 m可由其余可由其余1m個(gè)向量個(gè)向量121,m線性表示線性表示. . 線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系線性組合與線性相關(guān)的關(guān)系 定理定理 2.5.

35、4 2.5.4 向量組向量組)2(,21mm線性相關(guān)的充分線性相關(guān)的充分必要條件是必要條件是m,21中至少有一個(gè)向量可由其余中至少有一個(gè)向量可由其余1m個(gè)向量線性表示。個(gè)向量線性表示。 CH2.455充分性充分性 若若m,21中至少有一個(gè)向量可由其余中至少有一個(gè)向量可由其余1m個(gè)向量線性表示個(gè)向量線性表示. . 不妨設(shè)不妨設(shè)1可由其余可由其余1m個(gè)向量個(gè)向量m,2線性表示為線性表示為: : mmkk221 則則 0) 1(221mmkk 因此因此, ,m,21線性相線性相關(guān)關(guān). . 注注:(1):(1)只只含一個(gè)向量的向量組含一個(gè)向量的向量組1線性相關(guān)的充要線性相關(guān)的充要條件是條件是01; ;

36、 (2) (2)只含兩個(gè)向量的向量組只含兩個(gè)向量的向量組21,線性相關(guān)的充線性相關(guān)的充要條件是要條件是1與與2成比例成比例. .且兩個(gè)幾何向量且兩個(gè)幾何向量21,線線性相關(guān)的幾何意義是它們共線性相關(guān)的幾何意義是它們共線; ; (3) (3) 三個(gè)向量的向量組三個(gè)向量的向量組321,線性相關(guān)的幾何線性相關(guān)的幾何意義是它們共面意義是它們共面; ; CH2.456定理定理 ( (線性表示唯一性定理線性表示唯一性定理) ) 若 向 量 組若 向 量 組m,21線 性 無 關(guān)線 性 無 關(guān) , , 而 向 量 組而 向 量 組,21m線性相關(guān)線性相關(guān), ,則向量則向量可由向量組可由向量組m,21線性表示

37、線性表示, ,且表示法唯一且表示法唯一. . 證證 由向量組由向量組,21m線性相關(guān)線性相關(guān), ,則有一組不全為零則有一組不全為零的數(shù)的數(shù) kkkkm,21, , 使得使得 02211kkkkmm。 如果如果0k, ,則有不全為零的數(shù)則有不全為零的數(shù) ,21mkkk 使得使得 02211mmkkk。 這與向量組這與向量組m,21線性無關(guān)矛盾線性無關(guān)矛盾, ,因此因此0k, ,故有故有 )(12211mmkkkk 下面證下面證 表示法唯一表示法唯一: : 如果有兩種表示法如果有兩種表示法, , CH2.457即即: : mmmmtttkkk22112211 上兩式相減得上兩式相減得 0)()()(222111mmmtktktk 因?yàn)橐驗(yàn)?m,21 線性無關(guān)線性