第四章不定積分學習指導

1、第四章 不定積分學習指導一、知識脈絡(luò)二、基本要求1理解原函數(shù)和不定積分的概念2牢記基本積分公式3熟練掌握第一換元法（湊微分法）和分部積分法三、重點和難點1重點：第一換元積分法，分部積分法2難點：第二換元積分法、特殊函數(shù)的積分四、問題與分析1由不定積分的定義可知，求已知函數(shù)的不定積分是找它的全體原函數(shù)。而找全體原函數(shù)的關(guān)鍵是求一個原函數(shù)，這個原函數(shù)的導數(shù)恰為已知函數(shù)。所以，積分法是微分法的逆運算，積分是否正確，可求出其導數(shù)來驗證。2不定積分的幾何意義：不定積分是的一族積分曲線，這些曲線可以通過其中任何一條沿著軸上下平移得到。而且這些曲線在橫坐標相同的點處的切線斜率都相同，均為。3由可導與不定積分

2、之間的關(guān)系知，求導數(shù)與求不定積分是互為逆運算，所以對一個函數(shù)先求導再求不定積分，其結(jié)果是該函數(shù)加上一個任意常數(shù)；而對一個函數(shù)先求不定積分，再求導數(shù)，其結(jié)果是原被積函數(shù)。即，4積分不變性定理：若，則，其中是的可微函數(shù)。5第二換元法是在難以或不可能應(yīng)用第一換元法時，先采用一次適當?shù)淖兞刻鎿Q，使所求不定積分恒等變?yōu)橄鄬θ菀追e分或處理的不定積分的所謂“緩一著”的方法。第二換元法中常用的變量替換形式如下表所示：代換名稱被積函數(shù)換元形式三角函數(shù)，無理函數(shù)同時含有和6運用分部積分公式求不定積分時應(yīng)注意以下幾點：分部積分法與直接積分法，換元積分法在同一題目中可交替使用；運用部分積分公式前，需將所求不定積分化為

3、的形式，即需要選定，之中的某一個為，另一個則為。恰當?shù)剡x擇哪一個作，哪一個作是至關(guān)重要的。一般地，選擇和的原則是(1)由易求出其中一個原函數(shù)；(2)比原積分容易計算；(3)連續(xù)兩次或兩次以上應(yīng)用分部積分公式時，再一次選擇的，須是前一次選擇的同類函數(shù)（即若第一次選擇指數(shù)函數(shù)為，則第二次仍選擇指數(shù)函數(shù)為），以免積分還原。常見的選擇，的方法如下表，供大家參考，表中是多項式：不定積分類型和的選擇，7有理函數(shù)的積分解題程序用多項式除法，把被積函數(shù)代為一個整式與一個真分式之和；把真分式分解成部分分式之和。所謂部分分式是指：分母為質(zhì)因式或一質(zhì)因式的若干次冪，而分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)：(1)若分母中有因式，則其部分分式相應(yīng)地有個，即其中，為常數(shù)。(2)若分母中有因式，則部分分式相應(yīng)的有個，即其中，（）為常數(shù)。五、解