第二章 4.1~4.2

1、§4平面向量的坐標(biāo)4.1平面向量的坐標(biāo)表示4.2平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個(gè)向量和、差及數(shù)乘向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.3.正確理解向量坐標(biāo)的概念，要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi)來(lái).知識(shí)點(diǎn)一平面向量的正交分解思考如果向量a與b的夾角是90°，則稱(chēng)向量a與b垂直，記作ab.互相垂直的兩個(gè)向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？答案互相垂直的兩個(gè)向量能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底.梳理把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示思考1如圖，向量i，j是兩個(gè)互相垂直的單位向量，向量a與i

2、的夾角是30°，且|a|4，以向量i，j為基底，如何表示向量a?答案a2i2j.思考2在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，給定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1，1)，則A點(diǎn)位置確定了嗎？給定向量a的坐標(biāo)為a(1，1)，則向量a的位置確定了嗎？答案對(duì)于A點(diǎn)，若給定坐標(biāo)為A(1，1)，則A點(diǎn)位置確定.對(duì)于向量a，給定a的坐標(biāo)為a(1，1)，此時(shí)給出了a的方向和大小，但因?yàn)橄蛄康奈恢糜善瘘c(diǎn)和終點(diǎn)確定，且向量可以任意平移，因此a的位置還與其起點(diǎn)有關(guān)，所以不確定.思考3設(shè)向量(1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若將向量平移到，則的坐標(biāo)是多少？A點(diǎn)坐標(biāo)是多少？答案向量的坐標(biāo)為(1，1)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1).梳理(1)平面向量的坐標(biāo)在平

3、面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底.對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得axiyj.我們把實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)叫作向量a的坐標(biāo)，記作a(x，y).在平面直角坐標(biāo)平面中，i(1，0)，j(0，1)，0(0，0).(2)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別表示形式不同向量a(x，y)中間用等號(hào)連接，而點(diǎn)A(x，y)中間沒(méi)有等號(hào)意義不同點(diǎn)A(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時(shí)應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或

4、向量(x，y)聯(lián)系當(dāng)平面向量的始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同知識(shí)點(diǎn)三平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算思考設(shè)i，j是分別與x軸，y軸同向的兩個(gè)單位向量，若設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ax1iy1j，bx2iy2j，根據(jù)向量的線性運(yùn)算性質(zhì)，向量ab，ab，a(R)如何分別用基底i，j表示？答案ab(x1x2)i(y1y2)j，ab(x1x2)i(y1y2)j，ax1iy1j.梳理設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，A(x1，y1)，B(x2，y2).數(shù)學(xué)公式文字語(yǔ)言表述向量加、減法a±b(x1±x2，y1±y2)向量和與差的坐標(biāo)分別等于各向量相應(yīng)坐標(biāo)

5、的和與差向量數(shù)乘a(x1，y1)實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)分別等于實(shí)數(shù)與向量的相應(yīng)坐標(biāo)的乘積向量坐標(biāo)(x2x1，y2y1)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于其終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的相應(yīng)坐標(biāo)1.相等向量的坐標(biāo)相等.()2.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則向量(x1x2，y1y2).(×)提示(x2x1，y2y1).3.與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量分別為：i(1，0)，j(0，1).()類(lèi)型一平面向量的坐標(biāo)表示例1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA4，AB3，AOx45°，OAB105°，a，b.四邊形OABC為平行四邊形.(1)求向量a，b的坐標(biāo)；(2)求

6、向量的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo).考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求點(diǎn)或向量的坐標(biāo)解(1)如圖，作AMx軸于點(diǎn)M，則OMOA·cos 45°4×2，AMOA·sin 45°4×2.A(2，2)，故a(2，2).AOC180°105°75°，AOy45°，COy30°.又OCAB3，C，即b.(2).(3)(2，2).反思與感悟在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)的定義求坐標(biāo).一般利用不等式思想求解，即把問(wèn)題條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再解

7、不等式(組)就可以求得參數(shù)的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練1已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC，頂點(diǎn)A在坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊在x軸上，點(diǎn)C在第一象限，D為AC的中點(diǎn)，分別求向量，的坐標(biāo).考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)解如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則頂點(diǎn)A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，C(1，)，D.(2，0)，(1，)，(12，0)(1，)，.類(lèi)型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4).設(shè)a，b，c.(1)求3ab3c；(2)求滿(mǎn)足ambnc的實(shí)數(shù)m，n的值.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的綜合問(wèn)題解由

8、已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8).(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42).(2)mbnc(6mn，3m8n)a(5，5)，解得反思與感悟向量坐標(biāo)運(yùn)算的方法(1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和、差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行.(2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算.(3)向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類(lèi)比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行.跟蹤訓(xùn)練2已知a(1，2)，b(2，1)，求：(1)2a3b；(2)a3b；(3)ab.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解(1)2a3b2(1，2)3(2，1)(2，4

9、)(6，3)(4，7).(2)a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，3)(7，1).(3)ab(1，2)(2，1).類(lèi)型三平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用例3已知點(diǎn)A(2，3)，B(5，4)，C(7，10).若(R)，試求當(dāng)為何值時(shí)：(1)點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上；(2)點(diǎn)P在第三象限內(nèi).考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)(2，3)(x2，y3)，(5，4)(2，3)(7，10)(2，3)(3，1)(5，7)(35，17).，則(1)若點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上，則5547，.(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則<1.

10、反思與感悟(1)待定系數(shù)法是最基本的數(shù)學(xué)方法之一，實(shí)質(zhì)是先將未知量設(shè)出來(lái)，建立方程(組)求出未知數(shù)的值，是待定系數(shù)法的基本形式，也是方程思想的一種基本應(yīng)用.(2)坐標(biāo)形式下向量相等的條件：相等向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等；對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等的向量是相等向量.由此可建立相等關(guān)系求某些參數(shù)的值.跟蹤訓(xùn)練3已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn).考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求點(diǎn)的坐標(biāo)解當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí)，設(shè)D(x，y)，由(1，2)，(3x，4y)，且，得D(2，2).當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí)，設(shè)D(x，y)

11、，由(1，2)，(x3，y4)，且，得D(4，6).當(dāng)平行四邊形為ACBD時(shí)，設(shè)D(x，y)，由(5，3)，(1x，3y)，且，得D(6，0)，故D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，2)或(4，6)或(6，0).1.設(shè)平面向量a(3，5)，b(2，1)，則a2b等于()A.(7，3) B.(7，7) C.(1，7) D.(1，3)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A2.已知向量(3，2)，(5，1)，則向量的坐標(biāo)是()A. B.C.(8，1) D.(8，1)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)答案A解析(8，1)，.3.已知四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(0，2)，B(1，2)，C(3，1)，且2，則

12、頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為()A. B. C.(3，2) D.(1，3)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)答案A解析設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則(4，3)，(x，y2)，由2，得D.4.已知點(diǎn)A(0，1)，B(3，2)，向量(4，3)，則向量等于()A.(7，4) B.(7，4) C.(1，4) D.(1，4)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案A解析(3，1)，(4，3)，(4，3)(3，1)(7，4).5.如圖，在6×6的方格紙中，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿(mǎn)足cxayb(x，yR)，則xy .考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案解析建

13、立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)小方格的邊長(zhǎng)為1，則可得a(1，2)，b(2，3)，c(3，4).cxayb，解得因此xy.1.向量的正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù).向量的坐標(biāo)表示，溝通了向量“數(shù)”與“形”的特征，使向量運(yùn)算完全代數(shù)化.2.要區(qū)分向量終點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo).由于向量的起點(diǎn)可以任意選取，如果一個(gè)向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，這個(gè)向量終點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)向量的坐標(biāo)；若向量的起點(diǎn)不是原點(diǎn)，則向量的終點(diǎn)坐標(biāo)不是向量的坐標(biāo)，若A(xA，yA)，B(xB，yB)則(xBxA，yByA).3.向量和、差的坐標(biāo)就是它們對(duì)應(yīng)向量坐標(biāo)的和、差，數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于這個(gè)實(shí)數(shù)

14、與原來(lái)向量坐標(biāo)的積.一、選擇題1.已知向量a(1，2)，b(1，0)，那么向量3ba的坐標(biāo)是()A.(4，2) B.(4，2)C.(4，2) D.(4，2)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D解析3ba3(1，0)(1，2)(3，0)(1，2)(31，02)(4，2)，故選D.2.已知ab(1，2)，ab(4，10)，則a等于()A.(2，2) B.(2，2)C.(2，2) D.(2，2)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D3.已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(3，4)，且c1a2b，則1，2的值分別為()A.2，1 B.1，2 C.2，1 D.1，2考點(diǎn)平面

15、向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案D解析由解得4.在ABCD中，已知(3，7)，(2，3)，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，則的坐標(biāo)是()A. B.C. D.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案B解析()×(2，3)×(3，7)，故選B.5.如果將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到，則的坐標(biāo)是()A. B.C.(1，) D.考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)表示題點(diǎn)求向量的坐標(biāo)答案D解析因?yàn)樗谥本€的傾斜角為30°，繞原點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)120°得到所在直線的傾斜角為150°，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，由此可知B

16、點(diǎn)坐標(biāo)為，故的坐標(biāo)是，故選D.6.若，是一組基底，向量xy(x，yR)，則稱(chēng)(x，y)為向量在基底，下的坐標(biāo).現(xiàn)已知向量a在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐標(biāo)為(2，2)，則a在另一組基底m(1，1)，n(1，2)下的坐標(biāo)為()A.(2，0) B.(0，2)C.(2，0) D.(0，2)考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的坐標(biāo)答案D解析a在基底p，q下的坐標(biāo)為(2，2)，a2p2q2(1，1)2(2，1)(2，4).令axmyn(xy，x2y)，解得a在基底m，n下的坐標(biāo)為(0，2).7.設(shè)向量a(1，3)，b(2，4)，c(1，2)，若表示向量4a，4b2c，2(

17、ac)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A.(2，6) B.(2，6) C.(2，6) D.(2，6)考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案D解析由題意知4a4b2c2(ac)d0，d6a4b4c6(1，3)4(2，4)4(1，2)(684，18168)(2，6).二、填空題8.已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，0)，D(x，y)，且2，則xy .考點(diǎn)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量坐標(biāo)運(yùn)算及向量相等求參數(shù)答案解析(2，0)(1，2)(1，2)，(x，y)(2，3)(x2，y3)，又2，即(2x4，2y6)(1，2)，解得xy.9.已知點(diǎn)A(4，0)，B(

18、4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)求點(diǎn)的坐標(biāo)答案(3，3)解析方法一由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)(4，4)，則(44，4).又(2，6)，由與共線，得(44)×64×(2)0，解得，所以(3，3)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則(x，y)，因?yàn)?4，4)，且與共線，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且與共線，所以(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).10.已知點(diǎn)A(3，4)與B(1，2)，點(diǎn)P在直線AB上，且|2|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .考點(diǎn)平面向量的坐

19、標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算答案或(5，8)解析設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x，y)，|2|.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，2，即(x3，y4)2(1x，2y)，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，2.(x3，y4)2(1x，2y)，即解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，8).綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或(5，8).11.已知A(2，3)，B(1，4)，且(sin ，cos )，則 .考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用題點(diǎn)利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求參數(shù)答案或解析因?yàn)?1，1)(sin ，cos )，所以sin 且cos ，因?yàn)?，所以，或，所以?三、解答題12.已知點(diǎn)A(1，2)，B(2，8)，且，求點(diǎn)C，D和的坐標(biāo).考點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算題點(diǎn)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算解設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由題意可得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，2y2)，(3，6).，(x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，