第1節(jié)多元函數(shù)的基本概念

1、教學目的：學習并掌握關于多元函數(shù)的區(qū)域、極限以及多元函數(shù)概念，掌握多元函數(shù)的連續(xù)性定理，能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，能夠求出連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點的極限。教學重點：多元函數(shù)概念和極限，多元函數(shù)的連續(xù)性定理。教學難點：計算多元函數(shù)的極限。教學內容：第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一區(qū) 域討論一元函數(shù)時，經常用到鄰域和區(qū)間的概念。由于討論多元函數(shù)的需要，我們首先把鄰域和區(qū)間概念加以推廣，同時還要涉及其它一些概念。1 鄰域設是平面上的一個點，是某一正數(shù)。與點距離小于的點的全體，稱為點的鄰域，記為，即=， 也就是= 。在幾何上，就是平面以上點為中心、為半徑的圓的內部的點的全體。2 區(qū)域設E是平面上的一個點集，P是平

2、面上的一個點。如果存在點的某一鄰域，則稱為的內點（畫圖8-1顯示）。顯然，的內點屬于。如果的點都是內點，則稱為開集。例如，點集中每個點都是1的內點，因此1為開集。如果點的任一鄰域內既有屬于的點，也有不屬于的點（點本身可以屬于，也可以不屬于），則稱為的邊界點（可畫圖8-2顯示）。的邊界點的全體稱為的邊界。例如上例中，1的邊界是圓周和 =4。設D是開集。如果對于D內任何兩點，都可用折線連結起來，且該折線上的點都屬于D，則稱開集D是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如，及都是區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，例如 0及14都是閉區(qū)域。對于點集，如果存在正數(shù)K，使一切點與某一定點A間的距離

3、|A|不超過K，即 |AP|k, 對一切成立，則稱為有界點集，否則稱為無界點集。例如，14是有界閉區(qū)域，0是無界開區(qū)域。3 維空間我們知道，數(shù)軸上的點與實數(shù)有一一對應關系，從而實數(shù)全體表示數(shù)軸上一切點的集合，即直線。在平面上引入直角坐標系后，平面上的點與二元數(shù)組一一對應，從而二元數(shù)組全體表示平面上一切點的集合，即平面。在空間引入直角坐標系后，空間的點與三元數(shù)組（）一一對應，從而三元數(shù)組（）全體表示空間一切點的集合，即空間。一般地，設為取定的一個自然數(shù)，我們稱元數(shù)組（）的全體為維空間，而每個元數(shù)組稱為維空間中的一個點，數(shù)xi稱為該點的第i個坐標。維空間記為Rn。維空間中兩點及間的距離規(guī)定為。容易

4、驗知，當=1，2，3時，由上式便得解析幾何中關于直線（數(shù)軸），平面，空間內兩點的距離。前面就平面點集來陳述的一系列概念，可推廣到維空間中去。例如，設，是某一正數(shù)，則維空間內的點集=就定義為點的鄰域。以鄰域概念為基礎，可定義內點、邊界點、區(qū)域、聚點等一系列概念。二多元函數(shù)概念在很多自然現(xiàn)象以及實際問題中，經常遇到多個變量之間的依賴關系，舉例如下：例1 圓柱體的體積V和它的底半徑、高之間具有關系。這里，當、在集合內取定一對值時，的對應值就隨之確定。例2 一定量的理想氣體的壓強、體積和絕對溫度之間具有關系=，其中為常數(shù)。這里，當、在集合時，的對應值就隨之確定。例3 設是電阻、并聯(lián)后的總電阻，由電學知

5、道，它們之間具有關系對應值就隨之確定。上面三個例子的具體意義雖各不相同，但它們卻有共同的性質，抽象出這些共性就可得出以下二元函數(shù)的定義。定義一 設是平面上的一個點集。如果對于每個點，變量按照一定法則總有確定的值和它對應，則稱是變量的二元函數(shù)（或點的函數(shù)），記為（或）。點集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，也稱為因變量。數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。是的函數(shù)也可記為 ，等等。類似地可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。一般的，把定義1中的平面點集換成維空間內的點集，則可類似地可以定義元函數(shù)。元函數(shù)也可簡記為，這里點。當時，元函數(shù)就是一元函數(shù)。當時，元函數(shù)就統(tǒng)稱為多元函數(shù)。關于多元函數(shù)定義域，與一元函數(shù)類似，

6、我們作如下約定：在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)時，就以使這個算式有確定值u的自變量所確定的點集為這個函數(shù)的定義域。例如，函數(shù)的定義域為（圖8-3），就是一個無界開區(qū)域。又如，函數(shù)的定義域為（圖8-4），這是一個閉區(qū)域。x+y=0圖 8-4圖 8-3設函數(shù)的定義域為。對于任意取定的點，對應的函數(shù)值為。這樣，以為橫坐標、為縱坐標、為豎坐標在空間就確定一點 。當遍取上的一切點時，得到一個空間點集，這個點集稱為二元函數(shù)的圖形（圖8-5）。通常我們也說二元函數(shù)的圖形是一張曲面。例如，由空間解析幾何知道，線形函數(shù) 的圖形是一張平面；由方程 所確定的函數(shù)的圖形是球心在圓點、半徑的為球面，它的定義域是圓形閉

7、區(qū)域。 在D的內部任一點處，這函數(shù)有兩個對應值，一個為，另一個為。因此，這是多值函數(shù)。我們把它分成兩個單值函數(shù)：及，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了對多元函數(shù)另做聲明外，總假定所討論的函數(shù)是單值的；如果遇到多值函數(shù)，可以把它拆成幾個單值函數(shù)后再分別加以討論。三多元函數(shù)的極限我們先討論二元函數(shù)當，即時的極限。這里表示點以任何方式趨于點，也就是點與點間的距離趨于零，即 。與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在的過程中，對應的函數(shù)值無限接近一個確定的常數(shù)，我們就說A是函數(shù)，時的極限。下面用“”語言描述這個極限概念。定義2 設函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內有定義，是的內點或邊界點。如果對于任意給定的

8、正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式 的一切點，都有 成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當，時的極限，記作 ，或 （），這里 。為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。例4 設 （），求證 。證 因為，可見，對任給，取，則當 時，總有 成立所以 我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于A。因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在。但是反過來，如果當以不同方式趨于時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。下面用例子來說明這種情形。考察函數(shù)顯然，當點沿軸趨于點時，；又

9、當點沿軸趨于點時，。 雖然點以上述兩種特殊方式(沿x軸或沿y軸)趨于原點時函數(shù)的極限存在并且相等,但是并不存在.這是因為當點沿著直線趨于點時,有 ， 顯然它是隨著的值的不同而改變的.以上關于二元函數(shù)的極限概念,可相應的推廣到元函數(shù)即上去。關于多元函數(shù)極限的運算,有與一元函數(shù)類似的運算法則.例5 求 .解：這里在區(qū)域和區(qū)域內都有定義，同時為及的邊界點。但無論在內還是在內考慮，下列運算都是正確的：。四多元函數(shù)的連續(xù)性明白了函數(shù)極限的概念，就不難說明多元函數(shù)的連續(xù)性，定義3 設函數(shù)在開區(qū)域（閉區(qū)域）內有定義，是的內點或邊界點且。如果,則稱函數(shù)在點連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內的每一點連續(xù)，那么

10、就稱函數(shù)在內連續(xù)，或者稱是內的連續(xù)函數(shù)。以上關于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應地推廣到元函數(shù)上去。若函數(shù)在點不連續(xù)，則稱為函數(shù)的間斷點。這里順便指出：如果在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內某些孤立點，或者沿D內某些曲線，函數(shù)沒有定義，但在內其余部分都有定義，那么這些孤立點或這些曲線上的點，都是函數(shù)的不連續(xù)點，即間斷點。前面已經討論過的函數(shù)當，時的極限不存在，所以點是該函數(shù)的一個間斷點。二元函數(shù)的間斷點可以形成一條曲線，例如函數(shù)在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點都是間斷點。與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質。性質1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，

11、在上一定有最大值和最小值。這就是說，在上至少有一點及一點，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD, 有.性質2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。特殊地，如果是函數(shù)在上的最小值和最大值之間的一個數(shù)，則在上至少有一點，使得。一元函數(shù)中關于極限的運算法則，對于多元函數(shù)仍然適用；根據(jù)極限運算法則， 可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)函數(shù)。多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。與一元的初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是可用一個式子所表示的多元函數(shù)，而這個式子是由多元多項式及基本初

12、等函數(shù)經過有限次的四則運算和復合步驟所構成的（這里指出，基本初等函數(shù)是一元函數(shù)，在構成多元初等函數(shù)時，它必須與多元函數(shù)復合）。例如，是兩個多項式之商，它是多元初等函數(shù)。又例如是由基本初等函數(shù)與多項式復合而成的，它也是多元初等函數(shù)。根據(jù)上面指出的連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的復合的連續(xù)性，再考慮到多元多項式及基本初等函數(shù)的連續(xù)性，我們進一步可以得出如下結論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點處的極限，而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內，則極限值就是函數(shù)在該點的函數(shù)值，即.例6 求.解 函數(shù) 是初等函數(shù)，它的定義域為。因不是連通的，故不是區(qū)域。但是區(qū)域，且 ，所以是函數(shù)的一個定義區(qū)域。因, 故.如果這里不引進區(qū)域，也可用下述方法判