第2章 2.2.2 第2課時

1、第2課時橢圓的幾何性質(zhì)及應用學習目標1.進一步鞏固橢圓的簡單幾何性質(zhì).2.掌握直線與橢圓位置關系等相關知識.知識點一點與橢圓的位置關系思考類比點與圓的位置關系的判定，你能給出點P(x0，y0)與橢圓1(ab0)的位置關系的判定嗎？答案當P在橢圓外時，1；當P在橢圓上時，1；當P在橢圓內(nèi)時，b0)，則點P與橢圓的位置關系如下表所示：位置關系滿足條件P在橢圓外1P在橢圓上1P在橢圓內(nèi)b0)的位置關系？答案聯(lián)立消去y得關于x的一元二次方程.梳理直線與橢圓的三種位置關系位置關系解的個數(shù)的取值相交兩解0相切一解0相離無解0知識點三直線與橢圓的相交弦思考若直線與橢圓相交，如何求相交弦弦長？答案有兩種方法：

2、一種方法是聯(lián)立直線方程與橢圓方程求出交點坐標，利用兩點間距離公式可求得；另一種方法是利用弦長公式可求得.梳理弦長公式：(1)AB|x1x2|；(2)AB |y1y2| (直線與橢圓的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，k為直線的斜率).其中，x1x2，x1x2或y1y2，y1y2的值，可通過由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y或x后得到關于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根與系數(shù)的關系而得到.1.橢圓y21的長軸長為4.()2.橢圓1的離心率為.()3.若橢圓1的離心率為，則m的值等于3.()類型一直線與橢圓的位置關系例1當m取何值時，直線l：yxm與橢圓9x216y2144.(1)無

3、公共點；(2)有且僅有一個公共點；(3)有兩個公共點.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題解由消去y，得25x232mx16m21440，(32m)2100(16m2144)576(m225).(1)由0，解得m5.(2)由0，解得m5.(3)由0，解得5m5.反思與感悟判斷直線與橢圓的位置關系的方法跟蹤訓練1若直線ykx1與焦點在x軸上的橢圓1總有公共點，求m的取值范圍.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題解因為直線ykx1恒過定點(0,1)，點(0,1)在橢圓1上或其內(nèi)部就能滿足題意，所以解得1m0；(2)直線與橢圓相切0；(3)直線與橢圓相離0.此時直

4、線的方程為y2(x4)，即x2y80.方法二設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減，得0，整理得kAB.由于P(4,2)是AB的中點，x1x28，y1y24，于是kAB.于是直線AB的方程為y2(x4)，即x2y80.反思與感悟處理直線與橢圓相交的關系問題的通法是通過解直線與橢圓構成的方程.利用根與系數(shù)的關系或中點坐標公式解決，涉及弦的中點，還可使用點差法：設出弦的兩端點坐標，代入橢圓方程，兩式相減即得弦的中點與斜率的關系.跟蹤訓練3已知橢圓ax2by21(a0，b0且ab)與直線xy10相交于A，B兩點，C是AB的中點，若AB2，OC的斜率為，求橢圓的方程.考點直線與橢圓的位置關

5、系題點中點弦問題解方法一設A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.A，B為直線xy10上的點，1.由已知得kOC，代入式可得ba.直線xy10的斜率為k1，又AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.聯(lián)立ax2by21與xy10，消去y，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.將ba代入式，解得a，b.所求橢圓的方程是1.方法二由消去y，得(ab)x22bxb10.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

6、x1x2，x1x2，且直線AB的斜率為k1.AB.AB2，2，1.設C(x，y)，則x，y1x.OC的斜率為，將其代入式，得a，b.所求橢圓的方程為1.類型三橢圓中的最值(或范圍)問題例4已知橢圓4x2y21及直線yxm.若設直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，求AOB面積的最大值及AOB面積最大時的直線方程.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的最值問題解由消去y，得5x22mxm210，由4m220(m21)0，得m，x1x2，x1x2，則AB|x1x2|.又O到AB的距離d.所以SAOBABd，當且僅當m2m2時，等號成立，此時m，即AOB的面積最大為，此時直

7、線方程為xy0.反思與感悟解析幾何中的綜合性問題很多，而且可與很多知識聯(lián)系在一起出題，例如不等式、三角函數(shù)、平面向量以及函數(shù)的最值問題等.解決這類問題需要正確地應用轉化思想、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結合思想.其中應用比較多的是利用方程根與系數(shù)的關系構造等式或函數(shù)關系式，這其中要注意利用根的判別式來確定參數(shù)的限制條件.跟蹤訓練4直線yb與橢圓y21交于A，B兩點，記AOB的面積為S.求在0b0，m1或m0且m3，m1且m3.2.過橢圓y21的右焦點且與橢圓長軸垂直的直線與橢圓相交于A，B兩點，則AB_.考點直線與橢圓的位置關系題點中點弦問題答案1解析由題意知AB為通徑，則AB1.3.橢圓1的左、右焦

8、點分別為F1，F(xiàn)2，弦AB過F1，若ABF2的內(nèi)切圓周長為，A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|y1y2|的值為_.考點直線與橢圓的位置關系題點中點弦問題答案解析易知ABF2內(nèi)切圓的半徑r，根據(jù)橢圓的性質(zhì)結合ABF2的特點，可得ABF2的面積Slr2c|y1y2|，其中l(wèi)為ABF2的周長，且l4a，代入數(shù)據(jù)解得|y1y2|.4.過點P(1,1)的直線交橢圓1于A，B兩點，若線段AB的中點恰為點P，則AB所在的直線方程為_.考點直線與橢圓的位置關系題點中點弦問題答案x2y30解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又兩式相減得.AB所在的直線方程為x2y30.5.直線l

9、：ykx1與橢圓y21交于M，N兩點，且MN，求直線l的方程.考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程解設直線l與橢圓的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).由消去y并化簡，得(12k2)x24kx0，所以x1x2，x1x20.由MN，得(x1x2)2(y1y2)2，所以(1k2)(x1x2)2，所以(1k2)(x1x2)24x1x2，即(1k2)2，化簡得k4k220，所以k21，即k1.所以所求直線l的方程是yx1或yx1.1.直線與橢圓相交弦長的有關問題(1)當弦的兩端點的坐標易求時，可直接求出交點坐標，再用兩點間距離公式求弦長.(2)當弦的兩端點的坐標不易求時，可用弦長公式.

10、設直線與橢圓交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則有AB (k為直線斜率).(3)如果直線方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情況.2.解決橢圓中點弦問題的二種方法(1)根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決.(2)點差法：利用端點在曲線上，坐標滿足方程，將端點坐標分別代入橢圓方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系.一、填空題1.若直線x2y20經(jīng)過橢圓的一個焦點和一個頂點，則該橢圓的標準方程為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的其他問題答案y21或1解析直線與坐標軸的交點為(0,1)，(2,

11、0)，由題意知當焦點在x軸上時，c2，b1，a25，所求橢圓的標準方程為y21.當焦點在y軸上時，b2，c1，a25，所求橢圓的標準方程為1.2.直線xa與橢圓1恒有兩個不同的交點，則a的取值范圍為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題答案(，)3.若直線axby40和圓x2y24沒有公共點，則過點(a，b)的直線與橢圓1的公共點個數(shù)為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題答案2解析直線與圓沒有交點，d 2，a2b24，即1，b0)的左焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A，B兩點，連結AF，BF.若AB10，AF6，cosABF，則橢圓C的離心率e_.

12、考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的其他問題答案解析設橢圓的右焦點為F1，在ABF中，由余弦定理可解得BF8，所以ABF為直角三角形，又因為斜邊AB的中點為O，所以OFc5，連結AF1，因為A，B關于原點對稱，所以BFAF18，所以2a14，a7，所以離心率e.6.若點O和點F分別為橢圓y21的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則OP2PF2的最小值為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的最值問題答案2解析設P(x0，y0)，而F(1,0)，OP2PF2xy(x01)2y.又y1，OP2PF2x2x03(x01)222.OP2PF2的最小值為2.7.過點M(1,1)作

13、斜率為的直線與橢圓C：1(ab0)相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則橢圓C的離心率為_.考點直線與橢圓的位置關系題點中點弦問題答案解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則又A，B兩點在橢圓上，則0，.，x1x22，y1y22，a22b2.又b2a2c2，a22(a2c2)，a22c2，e.8.若直線ykx交橢圓y21于A，B兩點，且AB，則k的取值范圍為_.考點直線與橢圓的位置關系題點弦長問題答案解析由得x2.不妨設由兩點間距離公式得AB210，解得k2.k的取值范圍為.9.如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c，若直線y(xc)與橢圓的一個交點M滿足MF1

14、F22MF2F1，則該橢圓的離心率為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的其他問題答案1解析由直線方程y(xc)，得直線與x軸的夾角MF1F2，且過點F1(c,0).MF1F22MF2F1，MF1F22MF2F1，即F1MF2M.在RtF1MF2中，F(xiàn)1F22c，F(xiàn)1Mc，F(xiàn)2Mc，由橢圓定義，可得2acc，離心率e1.10.若橢圓C：1的左、右頂點分別為A1，A2，點P在橢圓C上，且直線PA2的斜率的取值范圍是2，1，則直線PA1的斜率的取值范圍為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的其他問題答案解析設P(x，y)，直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2.則k1k2

15、.因為k22，1，所以k1.二、解答題11.設直線yxb與橢圓y21相交于A，B兩個不同的點.(1)求實數(shù)b的取值范圍；(2)當b1時，求|.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓的公共點個數(shù)問題、弦長問題解(1)將yxb代入y21，消去y，整理得3x24bx2b220.因為直線yxb與橢圓y21相交于A，B兩個不同的點，所以16b212(2b22)248b20，解得b0，b0)與直線x3y20的交點，點M是AB的中點，且點M的橫坐標為，若橢圓C的焦距為8，求橢圓C的方程.考點直線與橢圓的位置關系題點中點弦問題解設A(xA，yA)，B(xB，yB)，M(xM，yM).由題意得kAB0.點M，0

16、，a23b2.又c4，a224，b28，經(jīng)檢驗，a224，b28符合題意，橢圓C的方程為1.13.已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2,0)為其右焦點.(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.考點直線與橢圓的位置關系題點求橢圓中的直線方程解(1)依題意，可設橢圓C的方程為1(ab0)，知左焦點為F(2,0).從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的方程為1.(2)假設存在符合題意的直線l，由題意知直線l的斜率與直線OA的斜率相等，故可設直線l的

17、方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓C有公共點，所以(3t)243(t212)0，解得4t4.另一方面，由直線OA與l的距離d4，可得4，從而t2，由于24，4，所以符合題意的直線l不存在.三、探究與拓展14.已知橢圓1(ab0)的離心率為.設A為橢圓的左頂點，O為坐標原點，若點Q在橢圓上且滿足AQAO，則直線OQ的斜率為_.考點直線與橢圓的位置關系題點直線與橢圓相交時的其他問題答案解析設直線OQ的斜率為k，則其方程為ykx.設點Q的坐標為(x0，y0).由條件得消去y0并整理得x.(*)由AQAO，A(a,0)及y0kx0，得(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入(*)式，整理得(1k2)24k24.由離心率為知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直線OQ的斜率k.15.已知兩點F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)，曲線C上的動點M滿足MF1MF22F1F2，直線MF2與曲線C交于另一點P.(1)求曲線C的方程及離心率；(2)設N(4,0)，若SMNF2SPNF232，求直線MN的方程.考