石墨烯能帶結(jié)構(gòu)的

1、石墨烯能帶結(jié)構(gòu)的緊束縛近似計算基本介紹能帶理論是固體物理學(xué)中的一個重要理論基礎(chǔ)部分，對微電子技術(shù)的發(fā)展起了重要的作用。在能帶的計 算方法中，緊束縛近似方法的理論形式相對比較簡結(jié)，解決問題的思路也非常明確，有利于加深對本征方程 求解、基矢選擇、倒空間以及能帶圖的理解，是一個重要的知識點。石墨烯2010 年的諾貝爾物理學(xué)獎授予了兩位發(fā) 現(xiàn)石墨烯的科學(xué)家，主要是由于這種材料具有特殊的結(jié)構(gòu)和電學(xué)性質(zhì)，在未來具有巨大的潛在應(yīng)用前景。 自從被發(fā)現(xiàn)以來，石墨烯就已成為備受矚目的國際前沿和研究熱點。因此，在這我們將展示固體物理學(xué)中 的緊束縛近似方法在石墨烯能帶結(jié)構(gòu)研究上的應(yīng)用，這樣既加深了對所學(xué)知識的理解，同

2、時還展示了所學(xué)知 識在前沿科學(xué)上的應(yīng)用，進而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的積極性石墨烯結(jié)構(gòu)分析石墨烯是由碳六元環(huán)組成的二維周期蜂窩狀點陣結(jié)構(gòu)，如圖所示。每個碳原子都具有四個價電子， 并按平面正三角形等距離的和 3 個碳原子相連，每個碳原子以 sp 2 雜化和周圍的 3 個碳原子形成 3 個 鍵。碳原子的波函數(shù)形式為：式中 (2s) c 、 ( 2 p) c i 分別為 2s、i 方向上 2p 軌道的波函數(shù)。在垂直于石墨層的方向上還剩余的一個 2pz 軌道和一個價電子與近鄰原子相互作用形成貫穿于整個石墨層的離域 鍵。由于位于平面內(nèi) 鍵的 3 個電子 并不參與導(dǎo)電，因此我們在計算石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)時只考慮位于

3、 鍵上的那一個電子。石墨烯的每個原胞包含兩個不等價的碳原子 A 和 B，它們之間的鍵長 a=1.42 。如下圖所示，取晶 格的基矢為： 那么對應(yīng)的石墨烯晶格 K 空間的倒格子基矢為： 由此，可以計算出石墨烯倒空間中第一布里淵區(qū)六個頂點的坐標位置，分別為：如下圖所示。與晶格 相對應(yīng)，倒空間的每個原胞也包含兩個不等價的點，即圖 所標示的 K 和 K點。ss其中 c1 和 c2為組合系數(shù)。系統(tǒng)波函數(shù)滿足薛定諤方程 ，故將上式代入有：經(jīng)變換得到如下方程：最后推出石墨烯的能量本征值表達式為：式中的正負號分別對應(yīng)導(dǎo)帶和價帶，kx和 ky是倒格矢 k 在(x, y)上的分量。根據(jù)石墨烯的能量本征值表達式，

4、利用 Matlab 程序可畫出石墨烯的能帶結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示。從能帶結(jié)構(gòu)圖可以發(fā)現(xiàn)，石墨烯的能帶在 E=0 的六個點上連續(xù)，這六個點就是石墨烯第一布里淵區(qū)的六個頂點，這些點亦稱為狄拉克點。 第二個圖就是其中一個 狄拉克點附近的能帶放大圖。 將第一布里淵區(qū)六個頂點的數(shù)值代入石墨烯的能量本征值表達式中，可以計算出這些點處的能量E=0， 這也證明了石墨烯的能帶相交于石墨烯第一布里淵區(qū)的六個頂點處。由于每個碳原子貢獻一個電子，因此 石墨烯的價帶恰好填滿，而導(dǎo)帶全空，這樣費米面（在課本中定義為k空間占有電子與不占有電子區(qū)域的分界面）就剛好處于價帶和導(dǎo)帶相交的頂點處，由此可知石墨烯是 一帶隙（價帶頂與導(dǎo)帶底之間的能量范圍）為零的半導(dǎo)體。 結(jié)論我們在本次展示中介紹了緊束縛近似方法在石墨烯能帶結(jié)構(gòu)計算上的詳細過程，通過分析可知石墨烯的價帶與導(dǎo)帶相 交于第一布里淵區(qū)的六個頂點上，說明石墨烯是一種零帶隙的半導(dǎo)體，為石墨烯具有獨特的電學(xué)性質(zhì)提供了 理論上的解釋，同時也為石墨烯性能的