高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問(wèn)題的題型與方法

1、僅供個(gè)人參考高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)教案數(shù)列問(wèn)題的題型與方法二(3課時(shí))一、考試內(nèi)容數(shù)列；等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式。二、考試要求1 .理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義，了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)。2 .理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解答簡(jiǎn)單的問(wèn)題。3 .理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能運(yùn)用公式解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1 .能靈活地運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式解題；2 .能熟練地求一些特殊數(shù)列

2、的通項(xiàng)和前n項(xiàng)的和；3 .使學(xué)生系統(tǒng)掌握解等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題的規(guī)律，深化數(shù)學(xué)思想方法在解題實(shí)踐中的指導(dǎo)作用，靈活地運(yùn)用數(shù)列知識(shí)和方法解決數(shù)學(xué)和實(shí)際生活中的有關(guān)問(wèn)題；4 .通過(guò)解決探索性問(wèn)題，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.5 .在解綜合題的實(shí)踐中加深對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)，溝通各類知識(shí)的聯(lián)系，形成更完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.6 .培養(yǎng)學(xué)生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應(yīng)新的背景，新的設(shè)問(wèn)方式，提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法.四、雙基透視

3、7 .可以列表復(fù)習(xí)等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念、有關(guān)公式和性質(zhì)8 .判斷和證明數(shù)列是等差(等比)數(shù)列常有三種方法：(1)定義法：對(duì)于n>2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證anan(an/an)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法：若勺="1+(n-1)d="2+(n-k)d,則仙>為等差數(shù)列；若=殖=?；?，則an為等比數(shù)列。中項(xiàng)公式法：驗(yàn)證2久J二%+k(乩=%/匕N都成立。9 .在等差數(shù)列an中，有關(guān)$的最值問(wèn)題一一常用鄰項(xiàng)變號(hào)法求解：(1)當(dāng)al>0,d<0時(shí)，滿足區(qū)+1-°的項(xiàng)數(shù)m使得%取最大值."(2)當(dāng)“l(fā)<0,d>0時(shí)，滿足氏+1-

4、0的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí)，注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。10 數(shù)列求和的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。五、注意事項(xiàng)1 .證明數(shù)列蟲(chóng)n1是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過(guò)證明an書-an=an-an口或a土=旦而得。anan4“基本量法”是常用的方法，但有時(shí)靈活地2 .在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問(wèn)題時(shí),不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考運(yùn)用性質(zhì)，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。3 .對(duì)于一般數(shù)列的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解。4 .注意一些特殊數(shù)列的求和方法。如:nan = ai +£ ak).k -25 .注意sn與an之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化。51, n=1an=&q

5、uot;，Sn-SnjL，n之26,數(shù)列極限的綜合題形式多樣，解題思路靈活，但萬(wàn)變不離其宗，就是離不開(kāi)數(shù)列極限的概念和性質(zhì)，離不開(kāi)數(shù)學(xué)思想方法，只要能把握這兩方面，就會(huì)迅速打通解題思路.7.解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來(lái)龍去脈，透過(guò)給定信息的表象，抓住問(wèn)題的本質(zhì),揭示問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向，形成解題策略.8,通過(guò)解題后的反思，找準(zhǔn)自己的問(wèn)題，總結(jié)成功的經(jīng)驗(yàn)，吸取失敗的教訓(xùn)，增強(qiáng)解綜合題的信心和勇氣，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中占有重要的地位。高考對(duì)本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會(huì)遺漏。解答

6、題多為中等以上難度的試題，突出考查考生的思維能力，解決問(wèn)題的能力，試題大多有較好的區(qū)分度。有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識(shí)和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和不等式的知識(shí)綜合起來(lái)，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起。探索性問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)。本章中還蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法。應(yīng)用問(wèn)題考查的重點(diǎn)是現(xiàn)實(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)化，常需構(gòu)造數(shù)列模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決。六、范例分析例1.已知數(shù)列an是公差dw0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.ssS求證：點(diǎn)P

7、QT）禺（2,年），玲*）在同一條直線h上；1z口（2）過(guò)點(diǎn)Q1（1,a1）,Q2（2,a2）作直線12,設(shè)l1與l2的夾角為。，求證：慟84d（提常數(shù)），即證明：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差dw0,所以=%+3T=a當(dāng)k32(kCN)時(shí)，-V-T-Kp1pk是常數(shù)（k=2,3,，n）.所以%，璋都在過(guò)點(diǎn)&）且斜率為常數(shù)£的直線h上.忖|111M2 + d2 2 4 .麗 2桐忖|（2）直線l2的方程為y-a1=d（x-1），直線l2的斜率為d.dd-tan§=d1+d*2當(dāng)且僅當(dāng)=|d|,即|d|二點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.尸例2.已知數(shù)列。0中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn由

8、=4an+2（n=1,2,川）,a1 =1 ,設(shè)數(shù)列bn =an書-2an（n =1,2,）,求證：數(shù)列是等比數(shù)列；2不得用于商業(yè)用途僅供個(gè)人參考設(shè)數(shù)列冊(cè)=a_,(n=1,2,)，求證：數(shù)列g(shù)是等差數(shù)列；2n求數(shù)列Qn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。分析：由于bn和cn中的項(xiàng)都和an中的項(xiàng)有關(guān)，an中又有Sn¥=4an+2,可由Sn426n書作切入點(diǎn)探索解題的途徑.解：由Sn.=4an我，$0拳=4%書+2,兩式相減，得Sn426n中=4(an中-an)，即an書=4an書-4an.(根據(jù)bn的構(gòu)造，如何把該式表示成bn卡與bn的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強(qiáng)恒等變形能力的訓(xùn)練)an書-2an省=

9、2(an書-2an)，又口=%+-2a門，所以bn+=2bn已知S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3由和得，數(shù)列bn是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，故bn=3-2n-1.因?yàn)?=今西蚓，所以十景逢三有江三圣A3=211+1=4*又故數(shù)列%是首項(xiàng)為公差是;的等差數(shù)列，乙乙乙1不得用于商業(yè)用途因?yàn)?=%,又%=所以%=(%)2儲(chǔ).當(dāng)n>2時(shí)，Sn=4an+2=2n(3n-4)+2;當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1也適合上式.綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n(3n-4)+2.說(shuō)明：1.本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個(gè)數(shù)列為等差，等比數(shù)

10、列，求數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和。解決本題的關(guān)鍵在于由條件Sn+=4an+2得出遞推公式。2.解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問(wèn)的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過(guò)程中適時(shí)應(yīng)用.例3.已知數(shù)列an是首項(xiàng)a1>0,q>-1且qw。的等比數(shù)列，設(shè)數(shù)列bn的通項(xiàng)bn=an41-kan42(nCN),數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn.如果Tn>kSn對(duì)一切自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.分析：由探尋Tn和Sn的關(guān)系入手謀求解題思路。解：因?yàn)閍n是首項(xiàng)a1>0,公比q>-1且qw。的等比數(shù)列，故所以an4f=an,4，an%=an.Q2bn=an由-kan=

11、an(q-k-q2)-依題意，由Tn >kSn ,得S 當(dāng)q>0時(shí)，由a1>0,知a當(dāng)-1vqv0時(shí)，因?yàn)閍1>0,綜合上面兩種情況，當(dāng) q>-1Tn=b1+b2+-+bn=(a/a2+-+a°)(q-k-q2)=Sn(q-kq2).(q-kq2)>kSn,對(duì)一切自然數(shù)n都成立.>0,所以Sn>0；1-q>0,1-qn>0,所以Sn二4且qw0時(shí)，Sn>0總成立.,_曰2即k，（i+q2）<q，由式可得q-kq2>k,l+q2q2故k的取值范圍是k<g,例4.（2001年全國(guó)理）從社會(huì)爰益和經(jīng)濟(jì)效益出

12、發(fā)，某地投入資金進(jìn)行生態(tài)環(huán)境建設(shè)，并以此發(fā)展旅游產(chǎn)業(yè).根據(jù)規(guī)劃，本年度投入800萬(wàn)元，以后每年投入將比上年減少.本年度當(dāng)?shù)芈?游業(yè)收入彳t計(jì)為400萬(wàn)元，由于該項(xiàng)建設(shè)對(duì)旅游業(yè)的促進(jìn)作用，預(yù)計(jì)今后的旅游業(yè)收入每年會(huì).,1一一、一一一、.比上年增加-O（I）設(shè)n年內(nèi)（本年度為第一年）總投入為an萬(wàn)元，旅游業(yè)總收入為bn萬(wàn)元.寫4出an,b的表達(dá)式（n）至少經(jīng)過(guò)幾年旅游業(yè)的總收入才能超過(guò)總投入？解析：第1年投入800萬(wàn)元，第2年投入800X（1-彳）萬(wàn)元，第n年投入800X（1f）1萬(wàn)元11i所以總投入an=800+800（1彳）+800x（1彳）n1=4000：1-（5）n1同理：第1年收入400

13、萬(wàn)元，第2年收入400X（1+彳）萬(wàn)元，第n年收入400X（1+4）一萬(wàn)元£5bn=400+400X（1+4）+400X（1+4）n1=1600X（4）n154（2）bn-an>0,1600（彳）n-14000X1（）n>04J化簡(jiǎn)得，5X（I）n+2X（4）n-7>04242設(shè)x=（5）n,5x27x+2>0.-x<5,x>1（舍）即（5）nv5,n而，說(shuō)明：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式，數(shù)列求和，不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解數(shù)學(xué)問(wèn)題應(yīng)用題重點(diǎn)在過(guò)好三關(guān)：（1）事理關(guān)：閱讀理解，知道命題所表達(dá)的內(nèi)容；（2）文理關(guān)：將

14、“問(wèn)題情景”中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)關(guān)系式表述事件；（3）數(shù)理關(guān)：由題意建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，并解答這一數(shù)學(xué)模型，得出符合實(shí)際意義的解答。例5.設(shè)實(shí)數(shù)a#0,數(shù)列an）是首項(xiàng)為a,公比為-a的等比數(shù)列，記bn=an1g|an|(n=N),Sn=b1+b2+bn，求證：當(dāng)a01時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)n都有Sn=alga1+(1)n*(1+n+na)an】(1a)2解：an=a1qn4=a(a)n4=(1)n4an。bn=anlg|an|=(T)n4anlg|(7)nJ1an|=(-1)n"nanlg|a|Sn=alg|a|-2a2lg|a|3a3lg|a|(-1)E

15、(n-1)an"lg|a|(-1)n"nanlg|a|=a2a23a3(1)T(n1)an(-1)n4nanlg|a|僅供個(gè)人參考記S=a-2a2+3a3+(-1)n-(n-1)an_1+(_1)n,nanas=a2-2a3+(1)心(n2)an，+(-1)n-(n-1)an+(1)n,nan*+得(1+a)s=a-a2+a3+(_1)n/an,+(-1)匕an+(1)n'nan41d:a -:-1,. (1 - a)S =G a (一1尸an1S 二n J n 1a (-1) a1 -(1 - a)(1a) (-1)n 1n：；1(-1)n a2(1 a)2a+(

16、1+n+na)1)nJ1an*a1+(1+n+na)(1)n*an(1 a)2(1 a)2二Sn 二：魯"十 J1嚴(yán)(1 +n +na)an說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)利用錯(cuò)位相減解決差比數(shù)列的求和問(wèn)題。關(guān)鍵是先研究通項(xiàng)，確定 Cn =2口 0,2口是等差數(shù)列，0等比數(shù)列。例6設(shè)鼠是等差數(shù)列%的前n項(xiàng)和，已知Jsm與:S.的等比中項(xiàng)為!邑，;務(wù)與的等差中項(xiàng)為i,求等差數(shù)列%)的通項(xiàng)也.解法二：設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)a1=a,公差為d,則其通項(xiàng)為+ (n-l)d.前n項(xiàng)和為5=na +n(n -1)根據(jù)等比數(shù)列的定義知S5w0,由此可得3* 24*d - 4a "!-d = 5a +整理

17、得由此得當(dāng)% = 1時(shí),3 22J 41 ifd + 4氐 +J 4f3ab + 5d = 0,52a + d = 2.2d = 0；-12% =1，或5 =4 -58-D =2512.5* 4-da. - 4»1232 12T-Tn-32 12Ss =5i當(dāng)%".彳口時(shí)，S§ = 4均適合題意.“3212故所求的等差數(shù)列的通項(xiàng)為1=1,或=蓑-£口.(對(duì)給定的信息木傭鼠二則署進(jìn)例瑯結(jié)第塞物的性質(zhì)進(jìn)一步加工，有下面的解法)解法二：_3（即+亞）_3,273一22一4（a,+a4）&二U，=20+%）,1依題意，得5（即 +$5）5 2as-2=

18、21a孫 $（螞 +%） = %,|1_|1町+§（藥+藥）=2.ill12即可得d = Cd =-丁.以下同解法一.例 7.設(shè)二次方程 anx2- an+1x+1=0（n C N）有兩根a和 3 ,且滿足6a-2 a 3 +63=3.不得用于商業(yè)用途試用an表示an書；求證：數(shù)列11是等比數(shù)列,7(3)當(dāng)?shù)?(時(shí)，求數(shù)列%的通項(xiàng)公式.解根據(jù)韋達(dá)定理，得Q+6=汕，。b=.由6a.2。B+68=3,得6*F=；=3,故即*二;題+：%23_20111(ati41""J1證明因?yàn)?54=5打一寸所以r=5,%3故數(shù)列(儆-,J是公比為:的等比數(shù)列.3 乙(r-(r于

19、也羽+提例8.在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列Px=yJP2(x2,y2廠，Pn(xn,yn)，對(duì)一切正整數(shù)n,僅供個(gè)人參考135點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=3x+的圖象上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)4 2列Q。求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；設(shè)拋物線列C1，C2，C3,，Cn，中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于X軸，第n條拋物線Cn的頂點(diǎn)為Pn,且過(guò)點(diǎn)Dn(0,n2+1),記與拋物線品相切于Dn的直線的斜率為心，求：kk2k 2k3kn jkn設(shè) S=x|x=2xn,nw N,n >1);T =y|y=4yn,n>11,等差數(shù)列n 的任一項(xiàng)an W SCT ,其中a1是ScT中的最大數(shù)，265(為。&l

20、t;-125 ,求An 的通項(xiàng)公式。53斛：(1) xn =+(n-1)m(-1) =n 2213535yn = 3 xn '二-3n -,. R (-n - -，-3n 一 一)4424 2n3 o(2)丁 Cn的對(duì)稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為Pn.J.設(shè)品的方程為：y=a(x+)2212n 54把 Dn(0, n2 +1)代入上式，得 a=1, ,a 的方程為：y = x2+(2n+3)x + n2+1111/11、|xz0 =2n 3，二二一(_)knkn(2n 1)(2n 3) 2 2n 1 2n 3111111111(-)(-)(-)k2k3kndkn2 5 77 92n 1 2

21、n 31、11) =2n 310 4n 6kn = yk1 k2= 1,1(2 5(3) S =x|x =-(2n+3),n w N,n ± 1,T = y | y = -(12n 5), n N, n _ 1 =y | y = -2(6n 1) -3,n N,n -1 二 S|T =T,T 中最大數(shù) a1 =-17 .設(shè)an公差為 d ,貝U a1o = -17 +9d = (-265,-125),由此得248一 *<d < -12,又丫 an WT: d = -12m(mw N ),.d = -24,. an =7 - 24n(n N ).說(shuō)明：本例為數(shù)列與解析幾何的

22、綜合題，難度較大(1)、(2)兩問(wèn)運(yùn)用幾何知識(shí)算出(3)的關(guān)鍵在于算出 SpT及求數(shù)列an的公差。例 9.數(shù)列 gn 中，a1 = 8, a4 = 2 且滿足 an 七=2an4an n £ N求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；設(shè) Sn 斗aj+|a2l+|anl,求 Sn；kn ,解決1設(shè)bn =1 n(12 -an)(nW N ),Tn =b +b2 +bn(n£ N ),是否存在最大的整數(shù) m使得對(duì)任意n w N ,均有Tn > W成立？右存在，求出 m的值；右不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 32解：(1)由題意，an2 an+ =an# an，/. an為等差數(shù)列，設(shè)公差為 d ,

23、由題意得 2 =8 +3d = d = 2 ,二 an = 8 2(n 1) =10 2n .(2)若 10-2n 20 則 n <5, n W5 時(shí)，& =|a1 | + | a2/+ | an I810-2n-2=qa2an=n=9n-n,n至6時(shí)，Sn=a+a2+a5a6a7_an故Snbn=S5 -X Sn9n - n22n -9n 4012S5) = 2 S5 Sn = n -9n 40n三5n _61n(12 -an) 2n(n 1)1(-)2 n n 11111111111Tn=2(1W (2飛)(3-4)(目不)(丁釬)n2(n 1)m*若Tn > 對(duì)任意n

24、 W N成立，即 32n , 一*、-1:(nw N )的最小值是一，n 12n>n 1m 1m -一對(duì)任息nw N成立, 16一:二 一,16 2二m的最大整數(shù)值是7。m即存在最大整數(shù)m=7,使對(duì)任意nWN，均有Tn下山.32說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)數(shù)列通項(xiàng)，數(shù)列求和以及有關(guān)數(shù)列與不等式的綜合問(wèn)題。例10.如圖，在y軸的正半軸上依次有點(diǎn) A，A2,，An, A(0,1),A2(0,10),且| AnAn |=3|AnAn"(n =2,3,4，) y =x(x20)上依次有點(diǎn)B1，B2,，Bn,點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(且 |OBn|=|OBn| 2、.2(n =2,3,4,)用含n的式子表示|

25、AnAn 4 | ；用含n的式子表示 An, Bn的坐標(biāo)；求四邊形 AnAn書B(niǎo)n書B(niǎo)n面積的最大值。解：(1 廣1 AnAnK =1，且 | A1A2 |=10_1 =9,二| AnAn 書 |=|AnAn|31 n |AA |1) 1n 4(2)由(1)得 | A1A2 | +| A2A3 | 十一十| AnAn |=9 +3+1 +(-) 31 nd = 9(-)32711、n二n -427，點(diǎn)An的坐標(biāo)(0, 2n -4,|OBn |-|OBn|=2,2且 |OB1 |=3、. 2丁|OBn|是以3近為首項(xiàng)，2J2為公差的等差數(shù)列.|OBn|=3.2(n-1)2,2=(2n1)一2二B

26、n的坐標(biāo)為(2n+1,2n+1)(3)連接AnBn4，設(shè)四邊形AnAn由Bn由Bn的面積為0,則Sn=S.AAn1Bn1S.BnBn1Al=:(""(2n3)1221弓(1/一2322232=空十_9nlSn+一Sn=36n<0,即Sn由<Sn,二Sn單調(diào)遞減.23n3n二Sn的最大值為Si =29 八 479說(shuō)明：本例為數(shù)列與幾何的綜合題。由題意知| AnAn由|為等比，| OBn |為等差，(3)利用僅供個(gè)人參考函數(shù)單調(diào)性求最值。例11.設(shè)正數(shù)數(shù)列a n為一等比數(shù)列，且 a 2=4,5版一人/'"+3解設(shè)數(shù)列勺）的公比為q，顯然q?M,-

27、= 由于,0,正N,故q = 2.于是V彳=2,故州q*】=2,因此坨2宜騎+ lg2M3+lg2Mn3(n+1)+(n+2)+2nn3原式=lim m4g3n + n3n2 + n 坨2 zn寸旭(3n2 +n) 4lim 2n4g)說(shuō)明：這是2000年全國(guó)高考上海試題，涉及對(duì)數(shù)、數(shù)列、極限的綜合題，主要考查等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，對(duì)數(shù)計(jì)算，求數(shù)列極限等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.例12.已知拋物線x2=4y,過(guò)原點(diǎn)作斜率1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點(diǎn)Pi,又過(guò)點(diǎn)Pi11,作斜率為一的直線交拋物線于點(diǎn)P2,再過(guò)P2作斜率為一的直線交拋物線于點(diǎn)P3,，如此繼

28、241,續(xù)，一般地，過(guò)點(diǎn)Pn作斜率為齊的直線交拋物線于點(diǎn)Pn書，設(shè)點(diǎn)R（xn,yn）.（I）令bn=X2n+X2n，求證：數(shù)列4是等比數(shù)列.31.（n）設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，試比較一Sn十1與的大小.43n1022解：（1）因?yàn)镻n（Xn，yn）、巳*（2書，5#）在拋物線上，故xn=4,書=4y書，又因?yàn)橹本€PnPn+的斜率為工，即y"yn=1,代入可得2nXn1-Xn24 Xn 1 - Xn bn = X2n 1=j=%1.Xn=.X2n4)-X2nx=(X2n1,X2n)-他2口二-1一金1=3,故皿二工二bn是以'為公比的等比數(shù)歹u；2222bn444131(2

29、)Sn=(1=)=Sn+1=，故只要比較4n與3n+10的大小.34n44n方法(一)4n=(1+3)n=1+C：3+C232+IH>1+3n+n(n-1)32>1+3n+9=3n+10(n>3),2一3131當(dāng)n=1時(shí)，一Sn+1A;當(dāng)n=2時(shí)一Sn+1=;43n1043n10*3一1當(dāng)n23,nwN時(shí)，一Sn+1<.43n10方法(二)用數(shù)學(xué)歸納法證明，其中假設(shè)n=k(k之3,kwN)時(shí)有4k>3k+10,則當(dāng)n=k+1時(shí)，4k中=44k>4(3k+10)=3(k+1)+10+9k+27a3(k+1)+10.例13在數(shù)列aj中斯電二,且腕式3螞-ajog

30、式3aMan),3io是公差為-1的等差數(shù)列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an41-an,是等I；蹶列，公比為q.|q|<b這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和等于發(fā)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)計(jì)算，蟲(chóng)(a1+a2+-+an).分析：由于題設(shè)中的等差數(shù)列和等比數(shù)列均由數(shù)列an的相關(guān)項(xiàng)構(gòu)成，分別求出它們的通項(xiàng)公式構(gòu)造關(guān)于an的方程組.解：(1)設(shè)bn=log2(3an書-an),因?yàn)閎n是等差數(shù)列，d=-1.b1=log2511丁日(3町-logj(3*歷-京二陽(yáng)""/丁足"瓦-1十(口-1)(-1)a即log式3a同-4)=必所以3an+-an=2q, |q

31、| v 1,設(shè)cn=2an+-an,cn是等比數(shù)列，公比為512c=2a-ad=,"-1 21-隙3-由廣一=；解得q="1-q33于是,寺2由，解得 = 22&爐%=7*3+皿耳與弁G一升=211tn|(+-+1-1+-+-1-n-gl2232nJ333滑例14.等比數(shù)列an中，已知a1w0,公比q>0,前n項(xiàng)和為Sn,自然數(shù)b,c,d,e滿足bvcwdve,且b+e=c+d.求證：Sb凡7Sd.分析：凡是有關(guān)等比數(shù)列前n項(xiàng)Sn的問(wèn)題，首先考慮q=1的情況，證明條件不等式時(shí)，正僅供個(gè)人參考確適時(shí)地應(yīng)用所給的條件是成敗的關(guān)鍵.證明當(dāng)q = 1時(shí)，* Se =b

32、a1 , eax = bc a. Sc * Sa d * 5 = cd a；.al(證明不等式首選方法是差比較法，即作差一變形一判定符號(hào)，變形要有利于判定符be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)因?yàn)?c<e, dve,所以 c-ev0, e-d >0,于是(c-e)(e-d) a/Q,承>0,所以<0.又同理(要比較 運(yùn)用差比較法.ai1-qi-q*$(! =1-qSb Se與Sc Sd的大小，只要比較(1-qb)(1-qe) 與(1-qc)(1-qd) 的大小，仍然 )(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+

33、qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)(能否將qc-qb用qe-qd表示是上式化成積的關(guān)鍵，利用給定的c+d=b+e,尋求變形的途徑,c=b+e-d , d、e 出現(xiàn)了，于是 qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd).恒等變形只有目標(biāo)明確，變形才能有方向.)上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd) q-d >0.(運(yùn)用函數(shù)的思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判別乘積的符號(hào) ve, q>0,當(dāng) 0V q<1 時(shí)，y=qx 是減函數(shù)，qevqd, qb&g

34、t;qd,即 qe-qd < 0.因?yàn)閝>0.所以)事實(shí)上，由 bvdqb-qd >0;當(dāng)q>1時(shí)，y=qx是增函數(shù)，qe>qd,qbvqd,即qe-qd>0,qb-qd<0.所以無(wú)論0vqv1還是q>1,都有qe-qd與qb-qd異號(hào)，即(qe-qd)(qb-qd)<0.>0,所以SJS綜上所述，無(wú)論q=1還是qw1,都有Sb-Se<Sc-Sd.說(shuō)明：復(fù)習(xí)課的任務(wù)在于對(duì)知識(shí)的深化，對(duì)能力的提高、關(guān)鍵在落實(shí).根據(jù)上面所研究的問(wèn)題，進(jìn)一步提高運(yùn)用函數(shù)的思想、方程的思想解決數(shù)列問(wèn)題的能力.(I)證明：記rn為圓。的半徑,則lim (

35、出 + 劭 +A +&)(n)求l的值.(I)證明J是等比數(shù)列;例15.(2003年北京春季高考)如圖，在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中，圓。為4ABC的內(nèi)切圓,圓O2與圓O外切，且與AB,BC相切，圓Q+1與圓Q外切，且與AB,BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓O的面積為/(即加.僅供個(gè)人參考僅供個(gè)人參考所以一 '72_ 19故MJ成等比數(shù)列.(n)解：因?yàn)?amp;所以lim + & +A + 冊(cè)）=y =132I一9說(shuō)明：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)列極限、三角函數(shù)等基本知識(shí)，考查邏輯思維能力七、強(qiáng)化訓(xùn)練1 .設(shè)Sn和Tn分別為兩個(gè)等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和，若對(duì)任意nC N,都有1=

36、1與，則第一個(gè)數(shù)列的第11項(xiàng)與第二個(gè)嬲的第11項(xiàng)的比是.1k 411 + 27" ( )A. 4 ： 33 ： 2 C . 7 ： 4 D . 78 ： 712 . 一個(gè)首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列中，前 時(shí)，n等于.A. 5B . 63 .若數(shù)列以中，a1=3,且an#4 .設(shè)在等比數(shù)列 n中，ai+an3項(xiàng)的和等于前11項(xiàng)的和，當(dāng)這個(gè)數(shù)列的前 (C .7D . 89._* . =an (n之N ),則數(shù)列的通項(xiàng)an = 66,a2=128,Sn =126，求 n 及qn項(xiàng)和最大 )5 .根據(jù)下面各個(gè)數(shù)列an的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式，.、 * a1 =1,an 1 =an 2n(n

37、N )-n* a =1冏 1an(n N )n 11* a1 二1,an 1 = an 1 (n N )26 .數(shù)列an 的前n項(xiàng)和Sn =1 +ran(r為不等于0,1的常數(shù))，求其通項(xiàng)公式an7 .某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到 2001年底全縣的綠化率已達(dá)30%從2002年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16%各被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4雙被沙化。3(1)設(shè)全縣面積為1, 2001年底綠化面積為a1=一，經(jīng)過(guò)n年綠化總面積為an書.10求證an 14a25 5(2)至少需要多少年(年取整數(shù),lg 2 =0.3010)的努力，才能使全縣

38、的綠化率達(dá)到60%8 .(2002年春招試題)已知點(diǎn)的序列4(k0),用cN,其中11=0,匹=刈>0),A3是線錢AA2的中點(diǎn)，A4是線段AA3的中點(diǎn)，An是線段4-34-1的中點(diǎn)，。(I)寫出%與Q、M之間的關(guān)系式(H>3)（ii）設(shè)4=1腫1一4，計(jì)算"1,電，勺，由此推測(cè)數(shù)列M的通項(xiàng)公式，并加以證明。9 .（94年全國(guó)理）設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為并且對(duì)所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于$與2的等比中項(xiàng).（1）寫出數(shù)列a的前三項(xiàng)；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（寫出推證過(guò)程）；令bn=21%+】J(nCN),求：b+b2+bn-n.參考答案解：設(shè)這兩個(gè)等差

39、數(shù)列分別為an和bn.因?yàn)樗裕?%+國(guó)")=TT(bl +b2n.l)_ 包 _ 兀一£"- A K 11-1 一】丸+犯M)(2口-1)121 + b2n-l)(2n -1)7* 21 + 14* 21 + 274一.故選擇A.3說(shuō)明：注意巧妙運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)來(lái)反映等差數(shù)列的通項(xiàng) 在聯(lián)系.2 .解：依題意知.數(shù)列單調(diào)遞減，公差 d<0.因?yàn)镾3=S11=S3+a4+a5+ +a10+a11所以a4+a5+ +a7+a8+a10+a11=0即a4+a11= ,=a7+a8=0,故當(dāng) n=7 時(shí)，a7>0, a8<0.選擇 C.解選擇題注意發(fā)揮

40、合理推理和估值的作用.an與前2n-1項(xiàng)和S2n-1的內(nèi)3 .解:cc cc2多次運(yùn)用迭代,可得an =(an)-(an -2) =(anN)on 1n 1=III = (al)= 34 .解:；a2 a=128,a1an =128,又 a1 +an =66,由以上二式得ai= 2,an =64或ai =64冏=2 ；由此得 n=6,g=2 或1.2不得用于商業(yè)用途說(shuō)明：本例主要復(fù)習(xí)數(shù)列的基本運(yùn)算和方程思想的應(yīng)用。5.解：（Dan+=an+2n,二20士20=2門，- an = a1 (a2 - a1), (a3 - a2) ,' (an - an J )=121222(n-1)2.=

41、1n(n-1)=n-n1（2）丁an土an又解：由題意,1a2a3.-an=a1'aa2（n+1）an由=nan對(duì)一切自然數(shù)a=1an4n成立，.nann-11nn=(n-1)an4=1a=1（3） 丁 an由1,一2=(an-2)an-2是首項(xiàng)為a1一2=T1,一公比為一的等比數(shù)歹u,2n-11n-4,an=2-(-)2說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)求通項(xiàng)公式的幾種方法：迭加法、迭乘法、構(gòu)造法。6.解：由Sn=1+ran可得當(dāng)n22時(shí)Snl=1+rani,，SnSnl=r(ananv),an=ranran，an(r1)=ran，；r=1,:r=0,，m是公.r.比為的等比數(shù)列.又當(dāng)n=1時(shí)，S1=1

42、十ra1r-1an匕（土尸。說(shuō)明：本例復(fù)習(xí)由有關(guān)Sn與an遞推式求an,關(guān)鍵是利用Sn與Hn的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化。7.(1)證明：由已知可得_4即an1=80%an+16%5an確定后,4an+25an中表示如下：an邛=an414%)+(1an)6%一，4(2)斛：由an+=-an+514故有an1=-一（）25兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得25444,4、，4、2,=(an)=(一)(a什3414n4,右an平2一.則有（一）十一525553>-54、_/4n4、ny)=(5)-)1/4n.即一之(一)25-lg2_(n_1)(2lg2g5)=(n1)(3lg2-1), lg 2.故 n 1L 、 1, 1 、 一舄二一5（巧演）二一1=-a4_*.>4,故使得上式成立的最小nwN為5,1-3lg2故最少需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%.8 .(I)解：