mopneAAA初中幾何輔助線大全(很詳細哦)

1、初中幾何輔助線一克勝秘籍 等腰三角形1 .作底邊上的高，構(gòu)成兩個全等的直角三角形，這是用得最多的一 種方法；2 .作一腰上的高；3 .過底邊的一個端點作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構(gòu)成 直角三角形。梯形1 .垂直于平行邊2 .垂直于下底，延長上底作一腰的平行線3 .平行于兩條斜邊4 .作兩條垂直于下底的垂線5 .延長兩條斜邊做成一個三角形菱形1.連接兩對角 2. 做高 平行四邊形1 .垂直于平行邊2 .作對角線一一把一個平行四邊形分成兩個三角形3 .做高一一形內(nèi)形外都要注意矩形1.對角線 2. 作垂線很簡單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD.這類的就是想辦法作

2、出另一條AB等長的線段，再證全 等說明AC+BD=一條AB,就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A字形等。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗 三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。解幾何題時如何畫輔助線見中點引中位線，見中線延長一倍在幾何題中，如果給出中點或中線，可以考慮過中點作中位線或把中 線延長一倍來解決相關(guān)問題。在比例線段證明中，常作平行線。作平行線時往往是保留結(jié)論中的一個比， 然后通過一

3、個中間比與結(jié)論 中的另一個比聯(lián)系起來。對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有1、過上底的兩端點向下底作垂線2、過上底的一個端點作一腰的平行線3、過上底的一個端點作一對角線的平行線4、過一腰的中點作另一腰的平行線5、過上底一端點和一腰中點的直線與下底的延長線相交6、作梯形的中位線 7、延長兩腰使之相交四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線初中數(shù)學輔助線的添加淺談人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的，當問 題的條件不

4、夠時，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散 的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決 的問題，這是解決問題常用的策略。一 添輔助線有二種情況：（ 按定義添輔助線：如證明二直線垂直可延長使它們, 相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。（ 按基本圖形添輔助線：每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們 把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時補完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：（ 1）平行線是個基本圖形：當幾何中出現(xiàn)平行線時

5、添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線（ 2）等腰三角形是個簡單的基本圖形：當幾何問題中出現(xiàn)一點發(fā)出的二條相等線段時往往要補完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。（ 3）等腰三角形中的重要線段是個重要的基本圖形：出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段 的基本圖形。（ 4）直角三角形斜邊上中線基本圖形出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊 上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。（ 5）三角形中位

6、線基本圖形幾何問題中出現(xiàn)多個中點時往往添加三角形中位線基本圖形進行證明當有中點沒有中位線時則添中位線，當有中位線三角形 不完整時則需補完整三角形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有 公共端點的線段帶一個中點則可過這中點添倍線段的平行線得三 角形中位線基本圖形；當出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點是某線段的中點，則可過帶中點線段的端點添半線段的平行線得三 角形中位線基本圖形。（ 6）全等三角形：全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于

7、一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點兩兩連結(jié)或過二端點添平行線（ 8）特殊角直角三角形當出現(xiàn)30， 45， 60， 135， 150 度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1:1:，2; 30度角直角三角形三邊比為 1:2:，3進行證明二基本圖形的輔助線的畫法1. 三角形問題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，

8、從而利用全等三角形的知識解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目， 常采用截長法或補短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分， 證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。2. 平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：（ 1

9、）連對角線或平移對角線：（ 2）過頂點作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（ 3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（ 4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（ 5）過頂點作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3. 梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識的綜合，通過添加適當?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（ 1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（ 2）梯形外平移一腰（ 3）梯形內(nèi)平移兩腰（ 4）延長兩腰（ 5）過梯形上底

10、的兩端點向下底作高（ 6）平移對角線（ 7）連接梯形一頂點及一腰的中點。（ 8）過一腰的中點作另一腰的平行線。（ 9）作中位線當然在梯形的有關(guān)證明和計算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。作輔助線的方法 一：中點、中位線，延線，平行線。如遇條件中有中點，中線、中位線等，那么過中點，延長中線或中位線作輔助線，使延長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點作已知邊或線段的平行線，以達到應(yīng)用某個定理或造成全等的目的。二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱

11、的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180 度，得到全等形，這時輔助線的做法就會應(yīng)運而生。其對稱軸往往是垂線或角的平分線。三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實驗。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時輔助線的做法仍會應(yīng)運而生。其對稱中心，因題而異，有時沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。四 : 造角、平、相似，和、差、積、商見。如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個三角形相似時，一般地，有兩種方法：第一，造一個輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進行平移。故作歌訣： “造角

12、、平、相似，和差積商見。 ”托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代 表）九：面積找底高，多邊變?nèi)叀Ｈ缬銮竺娣e，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為 求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考 的關(guān)鍵。如遇多邊形，想法割補成三角形；反之，亦成立。另外，我國明清數(shù)學家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法， 即“割補”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀?。三角形中作輔助線的常用方法舉例一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個或幾 個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證

13、明，如：例1:已知如圖1-1: D> E為4ABC內(nèi)兩點，求證:AB + AOBA D今 CE.證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB AC于M N,在AMN , A爪 AN > MD+ D曰 NE; (1)在BDM , MB MD> BR在CEN= , CM NE> CE;由（1） + （2） + （3）得:AM + ANNr ME MD CW NE> MD D曰 NE+ BD- CEAB+AG BAD日 EC（法二：）如圖1-2 , 延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,在 zAB可口 GFG 口 zGD即有：AB +AF> BD+DG GF （三角形

14、兩邊之和大于第三邊）（1）GF +FG G曰 CE（同上）（2）DG +GE> DE（同上）（3）由（1） + （2） + （3）得：AB +AF+ GR FO DG GE> BA DG GR G日 C日 DE/. ABAO BAD日 EG、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接證不出 來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上， 再利用外角定理： 例如：如圖2-1 :已知D為ABCft的任一點,求證.：.乙BD6/ BAC伊利 因為/ BDC與/ BAC不在同一個三角形中， 沒有直接的聯(lián)系，可適當添加

15、輔助線構(gòu)造新的三角 形，使/ BDC處于在外角的位置，/ BAC處于在內(nèi)角的位置； 證法一：延長BD交AC于點E,這時/ BDO£(!勺外角,/BDC> /DEC 同理/ DEC> /BAC / BDC> /BAC證法二：連接AD并延長交BC于F./ BDF是ABD勺外角 /BDF>/BAD 同理，/ CDF>/CAD / BD斗 / CDF> / BAA / CAD即：Z BDO/BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時，通常將大角放在某三角 形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、有角平分線時，通常在角的兩

16、邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如： 例如：如圖3-1 :已矢n.AD>AABC的中線，且Z.1.=./.2,/ 3,=./4，,求證二,B.E十 ca EFo分析：要證BE+ CF> EF ,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BECF, EF移到同一個三角形中，而由已知/ 1 = /2, /3=/4?可在 角的兩邊截取相等的線段“利用三角形全等對應(yīng)邊相等“把 EN FN, EF移到同一個三角形中。 I - -=_. ，一 - -. ="=-4- - -.-,-=- -證明：在口截取DN= DR連接NE NF,則DN= DC在DBEfi! ADNE :DN DB （輔助

17、線的作法）: 12（已知）ED ED（公共邊）.DB。ADNE (SAS . BE= NE （全等三角形對應(yīng)邊相等） 同理可得：CF= NF在4EFN中EM FNb> EF （三角形兩邊之和大于第三邊）B曰 CF> ER注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段 構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構(gòu)造全等三 角形。例如：如圖4-1 : AD為 ABC勺中線，且/1 = /2, /3=/4,求證:BE+ CF> EF證明：延長ED至M 使DM=DE連接CM MF 在 BD臣口/XCDW,BD

18、 CD（中點的定義）1 CDM （對頂角相等）ED MD （輔助線的作法）；：JBD國 ACDM （SAS又: /1 = /2, /3=/4 （已知）/1 + /2+/3+/4= 180° （平角的定義）/3+/2=90 ,即：/EDF= 90 /FD陣 / EDF =90在 ED可口 AMDFFED MD （輔助線的作法） EDFFDM （已證）DF DF （公共邊） AEDIF AMDF （SAS .EF= MF （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在ACM沖，C斗CM> MF （三角形兩邊之和大于第三邊）BE+ CF> EF注：上題也可加倍FD,證法同上。注意：當涉及到有以線

19、段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線 段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。例如：如圖5-1 : AD為 ABC的中線，求證：AB+ AG 2AD分析：要證 AB+ AG2AR由圖想至U： AB+BD>AD,AOCD>A口 所 以有 AB+ AO BD + CD> AD+ AD= 2AD 左邊比要證結(jié)論多 BDDr CD故不能直接證出此題，而由 2AD想到要構(gòu)造 2AD即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個三角形中去。證明：延長 AD至E,使DE=AD連接BE則A& 2AD. AD為 ABC的中線（已知）.B

20、D= CD （中線定義）在MC麗4EBD中BD CD（已證）ADC EDB （對頂角相等）AD ED（輔助線的作法） .ACD2 AEBD （SAS . BE= CA （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在4ABE中有：AB+ BE> AE （三角形兩邊之和大于第三邊）. AB+ AG 2AD（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）練習：已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖 5-2,求證EF= 2AD六、截長補短法作輔助線。例如:旦知如圖6-1：倉.ABCL.A.B> AG./.1=/.2 2P為,.AD 上任一點。求證：AB- AO PB

21、- PG分析：要證：AB- AO PB- PC想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因為欲證的是線段之差I(lǐng)故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB- AC,故可在AB上截取AN等于AC彳# AB- AG= BN 再連接PN則PG= PNN又在4PN沖，PB- PN< BN 即：AB- AO PB- PG證明：（截長法）在AB上截取AN= AC連接PN , 在 AP明口 AAPCAN AC（輔助線的作法）:12（已知）AP AP （公共邊） .AP*AAPC （SAS .PC= PN （全等三角形對應(yīng)邊相等） 在BPN+,有PBPN< BN （三角形兩邊之差小于第三邊） .BP PC

22、X AB- AC證明：（補短法）延長AC至M 使AM= AR連接PM在 AB所口 AM/AB AM （輔助線的作法） 12（已知）AP AP （公共邊）.ABPA AMP （SAS. PB= PM （全等三角形對應(yīng)邊相等）又.在PCMfr有：CM>PM- PC（三角形兩邊之差小于第三邊）AB- AO PB- PC七、延長已知邊構(gòu)造三角形: 例如：如圖7-1 :已知AC= BR AM AC于A , BC! BD于B, 求證:AD= BC分析：欲證AD= BC先證分別含有AD BC的三角形全等，有幾種方案：ADCWABCID AODWABOC ABDWABA(c 但根據(jù)現(xiàn)有條 件，均無法證全

23、等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角 作為兩個三角形的公共角。證明：分別延長DA CR它們的延長交于圖7 1CE點,VADL AC BCXBD （已知） / CAIE= / DBE = 90（垂直的定義）在 ZXDBE與 ZXCAE 中EE（公共角）DBECAE（已證）BD AC（已知）.DB自 A CAE （AAS .ED= EC EB=EA （全等三角形對應(yīng)邊相等） .ED- EA= EC- EB即：AD BG.（當條件不足時,.可通過添加輔助線得出新的條件.，為證題創(chuàng)造條 件。）八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。例如：如圖 8-1 : AB/1 CQ

24、AD/1 BC 求證：AB=CD 分析：圖為四邊形，我們只學了三角形的有關(guān)知識，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。證明：連接AC（或BD. AB/ CD AD/ BC （已知）./1 = /2, /3=/4 （兩直線平行，內(nèi)錯角相等）在ABCW ACDA1 2（已證） AC CA（公共邊）3 4（已證） .AB（C ACDA （ASA . AB= CD （全等三角形對應(yīng)邊相等）九、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長 例如：如圖 9-1 :在 RtzABC中.AB= AC / BAC= 90 , /1 =CU BD的延長于E 。求證：BD= 2CE分析：要證 BD= 2CE,想到要構(gòu)造線段2

25、CE同時CE與/ ABC勺平分線垂直，想證明：分別延長BA CE交于點F到要將其延長。 Bn CF （已知） . / BEF= / BEC= 90（垂直的定義）在 4BEF與 BEC,1 2（已知） BE BE（公共邊）BEF BEC（已證） BEH BEC （ASA. CE=FE1 CF （全等三角形對應(yīng)邊 相等）. /BAC=90 BE ±CF （已知）./BAC= / CAF= 90/1 + /BDA= 90 / 1 + / BFC=90. / BDA= / BFC在 AABDW aacf 中BACCAF （已證）BDA BFC （已證）AB = AC（已知）.AB乎AACF

26、（AAS BD= CF （全等三角形對應(yīng)邊相等）BD=2CE十、連接已知點，構(gòu)造全等三角形。例如：已知：如圖10-1 ; AC BD相交于。點，且AB= DC AO BD - -,-11. 1-1- - 1. -I - - - 1-.- - - - - -I-.1- - - - - - I -i求證：/ A= Z Do分析：要證/ A= /D,可證它們所在的三角形 ABOffizDC健等而只有AB= DC和對頂角兩個條件，差一個條件,?.難以證其金等?只有另尋其它的三角形全等，由 AB= DC AC= BD若連接BC則4證明：連接BQ在ABCF口ADCB+圖10 1ABCf口DCEr等，所以，

27、證得/ A= /D。 nWWWWWWWWMWMWMWW'WWWWWWWWWWWWV.'VWb'AW'WWWW'WmWWVWWWWUWWWWWWWWWWWWWWMWIWWWWWMMWWWWWSAB DC （已知） AC DB （已知） BC CB（公共邊）.ABg ADCB (SSS) . / A= / D （全等三角形對應(yīng)邊相等、取線段中點構(gòu)造全等三有形。例如：如圖 11-1: AB= DC /A= /D 求證：/ ABC= / DCB分析：由AB= DC /A= / D,想到如取AD的中點N,連接NB NC再由SAS公理有 AB*ADCNL故BN= C

28、h£ / ABN= / DCN下面只需證/ NBC= / NCB再取BC的中點M,連接MN則由SS鈴理有NB陣NCM所以/ NB（C= /NCB問題得證。證明：取AD, BC的中點N、M連接NR NMNG 貝U AN=DN BM=CMftA ABNA DCN 中AN DN （輔助線的作法）丁 A D（已知）AB DC （已知）.AB* A DCN （SAS./ABN= /DCN NB =NC （全等三角形對應(yīng)邊、角相等）在NBMff ANCMINB=NC（已證）丁 BM = CM （輔助線的作法）NM = NM（公共邊）. NMB2A NCM （SSS）NBC= / NCB （全等三

29、角形對應(yīng)角相等） / NBGH / ABN = / NCBH / DCN 即 / ABC= / DCB巧求三角形中線段的比值例 1.如圖 1,在4ABC中，BD DC= 1: 3, AEED= 2: 3,求 AF: FC22 AF=-DG-DG , 一解：過點D作DG 33 如圖2, BC=CD AF= FC,求 EF: FDSF=-OC；2解：過點C作122GC-GC= -GC22如圖 3, BD DG= 1: 3, AE:EB=2: 3,求 AF: FQ解：過點B作BG43223DF = -BG AF = -BG -BCr= 8- 9如圖4, BD解：過點D作DG :EE = 1H3 4D

30、G- 1dG = DGAF: FBoRFCDG= 1: 3, AF= FD,求 EF: FG17-DG. -DG22 如圖 5 BD= DQ AE ED= 1: 5。2. .Mffl.6.,.AD., D.B 1： 3r AE EC= 3： 1,求 BE：FCo答案：1、 1： 10；2. 9初中幾何輔助線一初中幾何常見輔助線口訣人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗。三角形圖中有角平分線,可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線,等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線,常向兩端把線連。線段和差

31、及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式,移到同一三角去。三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線, 延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹推揭蒲?，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點，細心連上 中位線。上述方法不奏效，過腰中點全等造。證相似，比線段，添線平行 成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換 少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多 也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。二 由角平分線想到的輔助線口訣：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后

32、關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線 合一試試看。角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點到角兩 邊的距離相等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。從角平分線上一點向兩邊作垂線；利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取 短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時，一般考慮作垂線； 其它情況下考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形 和已知條件。與角有關(guān)的輔助線（一）、截取構(gòu)全等幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種 嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的， 希望同學們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地去猜 想，按一定的規(guī)律去

33、嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助 線作以介紹。如圖1-1 , /AOCNBOC如取 OE=OF并連接 DE DF,則有 OEMAOFD從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。如圖 1-2, ABAC3.已知：如圖 2-5, ZBAC= CAD,AB>AD, CJ AB,1AE=5 (AB+AD.求證：ZD+Z B=180 。4.已知：如圖2-6,在正方形ABCM, E為CD的中點，F(xiàn)為BC上的點，/ FAE=： DAE 求證：AF=AD+CF例1.已如圖2-7,在ABCfr, / AC 0 ,CD± AB1垂足為D, AE平分/ CA皎 CDF F,過F作FH2證：BD

34、=2CE分析：給出了角平分線給出了邊上的一點作角平分線的垂線， 可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3.已知：如圖3-3在 ABC中，AD AE分別/ BAC勺內(nèi)、外角平分線，過頂由B作BFAN 圖 3-3D,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長交AE于M求證：AM=ME已知，如圖，/ C=2Z A, AC=2BC求證： AB混直角三角形2,已知：如圖，AB=2AC /1 = /2, DA=DB 求證：DCLAC3 .已知CE AD是 ABC的角平分線，/ B=60° ,求證：AC=AE+CD4 .已知：如圖在 ABC中，/ A=90° , AB=AC BD是

35、/ ABC的平分線，求證：BC=AB+AD三 由線段和差想到的輔助線口訣：線段和差及倍半，延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一 三角去。遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時， 一般方法是截長補短法：1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明 剩下部分等于另一條；2、補短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然 后證明新線段等于長線段。對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段 之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個三角形中證 明。1、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時，如直接證不 出來，可連接兩點或廷長某邊構(gòu)成三角形， 使結(jié)論中出現(xiàn)的線

36、段在一 個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、已知如圖1-1E為ABCft兩點，求證:AB+AC>BD+DE+CE.在BDK, MB+MD>BD2)在CEN, CN+NE>CE(3)由(1) + (2) + (3)得:AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE.AB+AC>BD+DE+EC（法二：圖 1-2）延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在 AB林口 GFCF 口 zGD即有:AB+AF>BD+DG+GF角形兩邊之和大于第三邊）（DGF+FC>GE+耐上)DG+GE>DE同上)(3)由(1)

37、+ (2) + (3)得:AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DEAB+AC>BD+DE+EC2、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時如直接 證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在 某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的內(nèi)角位置上， 再 利用外角定理：例如：如圖2-1 :已知D為AABCrt的任一點，求證：/ BDC>BAC囹可：因為/BDCW/BA"在同個三角形中，沒有直接的聯(lián)系, 可適當添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使/ BDCt于在外角的位置，/ BACM于在內(nèi)角的位置；證法一：延長BD交AC于

38、點E,這時/ BDB/£口。勺外角, / BDCX DEC 同理/ DECV BAC. / BDCE BAC證法二：連接 AD并廷長交BC于F,這時/ BDF是ABD勺外角，/ BDF/ BAD 同理，/ CDFV CAD/ BDF+/ CDF* BAD廿 CAD 即：/ BDCV BAC注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時， 通常將大角放在某 三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的內(nèi)角位置上， 再利用不 等式性質(zhì)證明。有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1:已知AD為ABC勺中線,且/1=/ 2,/3=/ 4,求證：BE+CF>E

39、F分析|要證 BE+CF>EF可禾1J用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把 BE, CF, EF移到同一個三角形中，而由已知/ 1 = /2,/3=/ 4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng) 邊相等，把EN FN, EF移到同個三角形中。證明：ft DN±取 DN=DB 連接 NE NF 則 DN=DC在 4DB臣口 ANDE:DN=DB輔助線作法）/ 1=/ 2 （已知）ED=ED（公共邊）.DB國 ANDE （SAS . BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同理可得：CF=NF在 EFN中EN+FN>EF三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF注意：當證題

40、有角平分線時，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線 段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。四、截長補短法作輔助線。例如：已知如圖6-1:在ABC, AB>AC /1=/ 2, P為AD上 任一點求證：AB-AC>PB-PCw要證：AB-AC>PB-PC想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證 之，因為欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造 第三邊AB-AC故可在AB上截取AN等于AC,彳# AB-AC=BN再連接 PN 貝U PC=PN 又在 PNB中，PB-PN<BN即：AB-AC>PB-PC證明：（截長法）在 AB上截取 AN=ACi接 P

41、N,在AAPNffnAAPC'AN=AC（輔助線作法）/ 1=/ 2 （已知）AP=AP（公共邊） .AP*AAPC（SAS ,PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等） 在 BPN,有PB-PN<BN三角形兩邊之差小于第三邊）BP-PC<AB-AC證明：（補短法）延長AC至M 使AM=AB連接PM在4AB所口/XAM沖，AB=AM（輔助線作法）1 Z 1=2 2 （已知）AP=AP（公共邊）/. AABFAAMP（SA9 PB=PM全等三角形對應(yīng)邊相等）又.在 PCW有：CM>PM-P（5角形兩邊之差小于第三邊） AB-AC>PB-PC例 1.如圖，AC平分/BAD

42、CJAB,且/B+/D=18。，求證:AE=AD+BE例2如圖，在四邊形ABCB,AC平分/ BAD cn AB于 E, AD+AB=2AE求證：/ ADC廿 B=1800例3已知：如圖，等腰三角形ABC 中，AB=AC A=108 , BD平分 ABC求證：BC=AB+DCC D B例4如圖，已知RtAABC, /ACB=90 , AD是/ CAB勺平分線,DML AB于 M 且 AM=MB求證：CD=2 DB1 .如圖，AB/CD AB DE分另U平分/ BAD各/ADE求證：AD=AB+CD2 .如圖，ABCt / BAC=90 , AB=AC AE是過 A.的一條直線, 且B, C在A

43、E的異側(cè)，BD）± AE于 D, CEL AE于 E。求證：BD=DE目CE四由中點想到的輔助線口訣：三角形中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線 等中線。在三角形中，如果已知一點是三角形某一邊上的中點， 那么首先 應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直 角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索， 找到解決問題的方法。（一）、中線把原三角形分成兩個面積相等的小三角形即如圖1, AD是 ABC的中線，貝U S"bd=S"cd=，S“bc （因為 A ABD與AACDM等底同高的）例1.如圖2, AABg, AD是

44、中線，延長 AD到E,使DE=AD DF是ADCE的中線。已知 ABC勺面積為2,求： CDF勺面積。解：因為AD是"BC的中線，所以院總,ABC=1 X2=1，又因CD是 ACE的中線，故 SacdfS“cD=1,因DF是ACDE勺中線，所以Sacdf=1Sa cde=- X 1=Z 2.CDF的面積為，（二）、由中點應(yīng)想到利用三角形的中位線例2.如圖3,在四邊形 ABCD+, AB=CD E、F分別是BG AD的中點，BA CD的延長線分別交 EF的延長線 G H。求證：/ BGE= /CHE證明：連結(jié)BD,并取BD的中點為M連結(jié)ME MF: M虛 BCD勺中位線，. ME ,CD / MEF=CHE MF是 ABD的中位線,.MF AB, ./ MFE=BGE; AB=CD. ME=MF. / MEF= MFE從而/ BGE= CHE（三）、由中線應(yīng)想到延長中線例3.圖4,已知 AABC, AB=5 AC=3連BC上的中線AD=2 求BC的長。解：延長 AD至（J E,使 DE=AD 貝U AE=2AD=X2=4。在AAC麗AEBD中，AD=ED / ADCM EDB CD=BD. ACD2 EBD AC=BE從而 BE=AC=3在 AABE中，因 AU+BU=42+32=25=AB,故/ E=90 ,BD=T+力工=正十/ =m,故BC=2BD