乘法公式(題型擴(kuò)展)

1、乘法公式的復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí):(a+b)(a-b)=a 2-b2(a+b) 2=a2+2ab+b 2(a-b) 2=a2-2ab+b(a+b)(a2-ab+b 2)=a3+b3(a-b)(a 2+ab+b 2)=a3 b3歸納小結(jié)公式的變式，準(zhǔn)確靈活運(yùn)用公式： 位置變化，x y y x x2 y2 符號(hào)變化，xyxyx 2 y2x 2 y2 指數(shù)變化，x2y2x2y2x4 y4 系數(shù)變化，2ab2ab4a 2 b 2 換式變化，xyzmxyz mxy 2 z m 2x2y2 z m z mx2y2 z2 zm zm m 2x2y2 z2 2zm m2增項(xiàng)變化，x y z x y zx y 2 z22

2、 xyxy zx2 xy xy y2 z2x2 2xy y2 z2連用公式變化，x y x y x2 y2x2 y2 x2 y2 逆用公式變化，x y zxyzxyz xyz xyz xyz2x 2y 2z4xy 4xz例1.已知ab2 ,ab1,求a2 b2的值。解：, (ab)2a22abb2a a2 b2=(ab)22ab. ab2,ab 1. a2 b2= 222 12例2.已知ab8,ab2,求(a b)2的值。解：(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 a2 2ab b2 .(a b)2 (a b)2 4ab (a b)2 4ab= (a b)2. a b 8, ab 2.(

3、a b)2 82 4 2 56例 3:計(jì)算 1999 2-2000 X 1998正好符合平方差公式。2000=1999+1 ， 1998=1999-1=1999 2-( 1999 2-1 2)=1999 2-1999 2+1 =1解：1999 2-2000 X 1998=1999 2- (1999+1 ) 乂 ( 1999-1 )例 4：已知 a+b=2 , ab=1 ,求 a2+b2 和(a-b)2 的值。解析此題可用完全平方公式的變形得解。解：a2+b2=(a+b) 2-2ab=4-2=2( a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5：已知 x-y=2 ， y-z=2 ， x+

4、z=14 。求x2-z2 的值。K解析R此題若想根據(jù)現(xiàn)有條件求出x、y、z的值，比較麻煩，考慮到x2-z2是由x+z 和 x-z 的積得來的，所以只要求出x-z 的值即可。解：因?yàn)?x-y=2 , y-z=2，將兩式相加得 x-z=4，所以 x2-z2= （x+z ） （x-z）=14 x 4=56。例6:判斷( 2+1 ) (22+1 ) (24+1 )(2 2048 +1 ) +1的個(gè)位數(shù)字是幾？解析此題直接計(jì)算是不可能計(jì)算出一個(gè)數(shù)字的答案，故有一定的規(guī)律可循。觀察到 1= ( 2-1 )和上式可構(gòu)成循環(huán)平方差。解：(2+1 ) (22+1 ) (24+1 )(2 2048 +1 ) +1

5、=(2-1 ) (22+1 ) (24+1 ) ( 2 2048 +1 ) +14096=1610246，因?yàn)楫?dāng)一個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)字是6 的時(shí)候，這個(gè)數(shù)的任意正整數(shù)冪的個(gè)位數(shù)字都是所以上式的個(gè)位數(shù)字必為6。例 7 運(yùn)用公式簡便計(jì)算（ 1 ） 103 2（ 2） 198 2解： （1 ）103 2 100 3 2100 2 2 100 33210000600 9 10609（2）1982 200 2 22002 2 200 22240000800 4 39204例 8計(jì)算（ 1 ） a 4b 3c a 4b 3c （ 2） 3x y 2 3x y 2解： （ 1 ）原式a 3c 4b a 3c4ba

6、 3c 2 4b2 a2 6ac 9c216 b2（ 2）原式3x y 2 3x y 29x2 y 2 4y 49x2 y2 4y 4例 9 解下列各式(1 )已知 a2 b2 13 , ab 6,求 a b 2, a b 2 的值(2)已知 a b 2 7, a b 2 4,求 a2 b2, ab 的值。2 卜2(3)已知 a a 1 a2 b 2,求 a一- ab 的值。 2(4)已知x - 3,求x4 的值。 xx分析：在公式a b 2 a2 b2 2ab中，如果把a(bǔ) b, a2 b2和ab分別看作是一個(gè)整體，則公式中有三個(gè)未知數(shù)，知道了兩個(gè)就可以求出第三個(gè)解：(1) ; a2 b2 1

7、3 , ab 6a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 25a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 1. a b 2 7 , a b 2 4a2 2ab b2 7a2 2ab b2 4得 2 a2 b2 11 ,即 a2 b2 -2得4ab 3,即ab -42.2a bab2(3)由 a a 1 a2 b 2122-a b 2ab2(4)由 x 1 3 ,得 x 19xx即x211x2 4121 即 x4 42 121xx41x 4 119x例10.四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上1 , 一定是平方數(shù)嗎？為什么?分析：由于1 2 3 4 1 25 522 3 4 5 1 121113 4

8、5 6 1 36119得猜想：任意四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積加上 1,都是平方數(shù)。解：設(shè) n ， n 1 ， n 2， n 3 是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)數(shù)。x23m2np分析：兩數(shù)和的平方的推廣nn 12n31nn3n1n2 13n 2 2 n2n 是整數(shù)，3nn 2， 3n 都是整數(shù)n2 3n n23n 2 1n 2 3n 1 一定是整數(shù)n2 3n12n 2 3n 1 是一個(gè)平方數(shù)個(gè)平方數(shù)的和必是個(gè)完全平方例 11 計(jì)算1 )x2123m n2 12 22x2 1 2x4 x2 1x4 2x3p 2 3m 2a b c22x3 2x2 2x3x2 2x 1p 2 2 3m n 2 3mab c2ab22a

9、bp 9m22ab b2p2 6mn6mp2ac 2bc c2a2 b 2 c2 2ab2bc 2aca2 b2c2 2ab 2bc 2ac幾個(gè)數(shù)的和的平方，等于它們的平方和加上每兩個(gè)數(shù)的積的2 倍。二、乘法公式的用法（一 ）、套用:這是最初的公式運(yùn)用階段，在這個(gè)環(huán)節(jié)中，應(yīng)弄清乘法公式的來龍去脈，準(zhǔn)確地掌握其特征，為辨認(rèn)和運(yùn)用公式打下基礎(chǔ)，同時(shí)能提高學(xué)生的觀察能力。22例 1. 計(jì)算：5x2 3y2 5x2 3y2解：原式5x23y225x4 9y4（二 ）、連用:連續(xù)使用同一公式或連用兩個(gè)以上公式解題。例 2. 計(jì)算： 1 a a 1 a21 a4 1解：原式1 a2 1 a2 1 a41

10、a4 1 a41 a8例 3. 計(jì)算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式2y 5z 3x 1 2y 5z 3x 1222y 5z 3x 12224y 9x 25z 20yz 6x 1三、逆用 :學(xué)習(xí)公式不能只會(huì)正向運(yùn)用，有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得出公式的逆向形式，并運(yùn)用其解決問題。有時(shí)還需要將公式左、右兩邊交換位置，得8c 22例 4. 計(jì)算： 5a 7b 8c 2 5a 7b解：原式5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c 5a 7b 8c10a 14b 16c140ab 160ac四、變用: 題目變形后運(yùn)用公式解題。例 5. 計(jì)算： x y 2z

11、x y 6z解：原式x y 2z 4z x y 2z 4z22x y 2z 4z222x y 12z 2xy 4xz 4yz五、活用 : 把公式本身適當(dāng)變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經(jīng)過變形或重新組合，可得如下幾個(gè)比較有用的派生公式：2221. ab2aba b2222. ab2aba2 b222223. abab2 a2b2224. abab4ab靈活運(yùn)用這些公式，往往可以處理一些特殊的計(jì)算問題，培養(yǎng)綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。例6.已知a b 4, ab 5,求a2 b2的值。解： a2 b2a b 2 2ab 42 2 5 26例7.計(jì)算：a b c db c d a22斛：原式 b

12、eadbead222 b ca d_2_2_2_22a2b2c 2d 4bc 4ad例8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x y 5, z2 xy y 9,那么x 2y 3z (解：由兩個(gè)完全平方公式得：ab 1a b2 a b 24從而 z21 52 x y 2 y 94251 l c 2仁5 2 y y 944y2 6y 9y2 6y 92y 322z y 30z 0, y 3x 2x 2y 3z 2 2 3 0 8三、學(xué)習(xí)乘法公式應(yīng)注意的問題(一)、注意掌握公式的特征，認(rèn)清公式中的“兩數(shù)”.例 1 計(jì)算(-2x2-5)(2x2-5)分析：本題兩個(gè)因式中“-5”相同，“2x2”符號(hào)相反，因而“-5”

13、是公式(2+3儂時(shí)=22d2 中的a,而“2x2”則是公式中的b.解：原式=(-5-2 x2)(-5+2 x2)=(-5) 2-(2 x2)2=25-4 x4.例 2 計(jì)算(-a2+4b)2分析：運(yùn)用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時(shí)，“-a2”就是公式中的a, “4b”就是公式 中的b;若將題目變形為(4b-a2)2時(shí)，則“4b”是公式中的a,而“a2”就是公式中的 b.(解略)(二)、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計(jì)算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5)分析：粗看不能運(yùn)用公式計(jì)算，但注意觀察，兩個(gè)因式中的“2x”、“5”兩項(xiàng)同號(hào)，“y”、“z”兩項(xiàng)異號(hào)，因而，可運(yùn)用添括號(hào)的技巧使

14、原式變形為符合平方差公式 的形式解：原式= (2x+5)+( y-z)(2x+5)-( y-z)=(2x+5)2-(y-z)2=4x2+20x+25- y+2yz-z2例 4 計(jì)算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2分析：若先用完全平方公式展開，運(yùn)算十分繁冗，但注意逆用冪的運(yùn)算法則，則可利用乘法公式，使運(yùn)算簡便解：原式=( a-1)( a2+a+1)(a6+a3+1)2=(a3-1)(a6+a3+1)2=(a9-1)2=a18-2a9+1例 5 計(jì)算 (2+1)(2 2+1)(24+1)(28+1)分析：此題乍看無公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一項(xiàng)( 2-1 )，則可運(yùn)用公 式

15、，使問題化繁為簡解：原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(24+1)(2 8+1)=(22-1)(2 2+1)(24+1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)= ( 2 8 -1 )(2 8 +1 )=216-1(三)、注意公式的推廣計(jì)算多項(xiàng)式的平方，由(a + b)2=a2+2ab + b2,可推廣得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為：多項(xiàng)式的平方，等于各項(xiàng)的平方和，加上每兩項(xiàng)乘積的2 倍例 6 計(jì)算 (2x+y-3)2解：原式=(2x)2+y2+(-3)2+2 2x y+2 - 2x(-3)+2 - y(-3)=4x2+y2+9+4 x

16、y -12 x-6 y(四)、注意公式的變換，靈活運(yùn)用變形公式例 7 已知 x+y=10 , x3+y3=100 ,求 x2+y2 的值；(2)已知：x+2y=7 , xy =6 ,求(x-2y)2 的值.分析：粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式的下列變形：x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy (x+y), (x+y)2-(x-y)2=4xy ,問題則十分簡單.解：(1) ,. x3+y3=(x+y)3-3xy (x+y),將已知條件代入得 100=10 3-3 xy 10, .xy=30 M：x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2 X 30=40 .(x-

17、2y)2=(x+2y)2-8xy=72-8X6=1 .例 8 計(jì)算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2分析：直接展開，運(yùn)算較繁，但注意到由和及差的完全平方公式可變換出(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2),因而問題容易解決.解：原式=(a+b)+c2+(a+b)-c2+c+(a-b)2 +c-(a-b)2=2(a+b)2+c2+2c2+(a-b)2=2(a+b)2+(a-b)2+4c2=4a2+4b2+4c2(五)、注意乘法公式的逆運(yùn)用例 9 計(jì)算 (a-2 b+3c)2-(a+2b-3c)2分析：若按完全平方公式展開，再相減，運(yùn)算繁雜，但逆用平方差公式，

18、則能使運(yùn)算簡便得多解：原式=(a-2 b+3c)+(a+2b-3c)(a-2b+3c)-(a+2b-3c)=2 a(-4 b+6c)=-8 ab +12 ac例 10 計(jì)算(2a+3b)2-2(2 a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2分析：此題可以利用乘法公式和多項(xiàng)式的乘法展開后計(jì)算，但逆用完全平方公式，則運(yùn)算更為簡便解：原式=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5 b)+(4a-5b)2=(2a+3b)+(4a-5b)2=(6a-2 b)2=36a2-24 ab+4b2四、怎樣熟練運(yùn)用公式：(1) 、明確公式的結(jié)構(gòu)特征這是正確運(yùn)用公式的前提，如平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是：符號(hào)左邊是兩

19、個(gè)二項(xiàng)式相乘，且在這四項(xiàng)中有兩項(xiàng)完全相同，另兩項(xiàng)是互為相反數(shù)；等號(hào)右邊是乘式中兩項(xiàng)的平方差，且是相同項(xiàng)的平方減去相反項(xiàng)的平方明確了公式的結(jié)構(gòu)特征就能在各種情況下正確運(yùn)用公式(2) 、理解字母的廣泛含義乘法公式中的字母a、 b 可以是具體的數(shù)，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式理解了字母含義的廣泛性，就能在更廣泛的圍正確運(yùn)用公式如計(jì)算(x+2y 3z) 2，若視x+2y為公式中的a , 3z為b ,則就可用(a-b) 2=a2 2ab+b2來解了。(3) 、熟悉常見的幾種變化有些題目往往與公式的標(biāo)準(zhǔn)形式不相一致或不能直接用公式計(jì)算，此時(shí)要根據(jù)公式特征，合理調(diào)整變化，使其滿足公式特點(diǎn)常見的幾種變化是：1、位置

20、變化 如(3x+5y) (5y3x)交換3x和5y的位置后即可用平方差公式計(jì)算了2、符號(hào)變化 如(-2m-7n) (2m 7n)變?yōu)橐?2m+7n) (2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、數(shù)字變化 如 98 X 102, 992, 912等分別變?yōu)?100 2) (100+2 ), (100 1)2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、系數(shù)變化 如(4m + n) (2m n)變?yōu)? (2m + - ) (2m 1)后即可用平 2444方差公式進(jìn)行計(jì)算了.5、項(xiàng)數(shù)變化 如(x+3y+2z) (x 3y+6z)變?yōu)?x+3y+4z 2z) (x

21、3y+4z+2z) 后再適當(dāng)分組就可以用乘法公式來解了.(四)、注意公式的靈活運(yùn)用有些題目往往可用不同的公式來解， 此時(shí)要選擇最恰當(dāng)?shù)墓揭允褂?jì)算更簡便.如計(jì)算(a2+1) 2 (a2-1) 2,若分別展開后再相乘，則比較繁瑣，若逆用積的乘方法 則后再進(jìn)一步計(jì)算，則非常簡便.即原式=(a2+1) (a2-1) 2= (a4-1) 2=a8-2a4+1 .對(duì)數(shù)學(xué)公式只會(huì)順向(從左到右)運(yùn)用是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要注意逆向(從右到左)運(yùn)用.如計(jì)算(1 )(1 工)(1 ，)(1 4) (1 ，)，若分別算出各因式 234910的值后再行相乘，不僅計(jì)算繁難，而且容易出錯(cuò).若注意到各因式均為平方差的形式而

22、逆用平方差公式，則可巧解本題.即原式=(11) (1+1) (11)(1+)X-X (1 )(1+工)22331010= 1x3xNx X 1x11 =1x11 = 11.2233101021020有時(shí)有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變式，乘法公式的變 式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab , a2+b2= (a b) 2+2ab 等.用這些變式解有關(guān)問題常能收到事半功倍之效.如已知 m +n=7 , mn = -18 ,求 m2+n2, m2 mn + n2 的值.面對(duì)這樣的問題就可用上述變式來解，即 m2+n2= (m+n) 2-2mn =72-2 x ( 1

23、8 ) =49+36=85 ,m2 mn + n2= (m+n) 2 3mn =72 3 x ( 18) =103 .下列各題，難不倒你吧？ ！1、若 a+1=5,求(1) a2+, (2) (a- - ) 2 的值. aaa2、求(2+1 ) (22+1 ) (24+1 ) (28+1 ) (216+1 ) (232+1 ) (264+1 ) +1 的末位數(shù)字.(答案：1. (1) 23 ; (2) 21 . 2. 6 )五、乘法公式應(yīng)用的五個(gè)層次乘法公式：(a + b)(a b)=a2 b2, (a b)=a2 2ab + b2, (a b)(a2 ab + b2)=a3 b3.第一層次正

24、用即根據(jù)所求式的特征，模仿公式進(jìn)行直接、簡單的套用.例1計(jì)算(2)(-2x-y)(2x-y).(2)原式二(一y) 2x( y) + 2x=y 2 4x2.第二層次逆用，即將這些公式反過來進(jìn)行逆向使用.例2計(jì)算(1)1998 2 1998 - 3994 + 1997 2;卜斕(1斕(1-小(14)卜-2)解(1)原式=1998 2-2 1998 1997 +1997 2 =(1998 -1997) 2=1原式=撲撲和寸卜撲卜臥3132481091111=t = * 一 .* 一. * *= _223399101020第三層次活用：根據(jù)待求式的結(jié)構(gòu)特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復(fù)使用乘法公式;有時(shí)根據(jù)需

25、要?jiǎng)?chuàng)造條件，靈活應(yīng)用公式.例 3 化簡：(2+ 1)(22+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1 .分析直接計(jì)算繁瑣易錯(cuò)，注意到這四個(gè)因式很有規(guī)律，如果再增添一個(gè)因式“2-1 便可連續(xù)應(yīng)用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1) + 1二(22 1)(22+ 1)(24+ 1)(28 + 1) + 1=2 16.例 4 計(jì)算：(2x-3y-1)(-2x-3y+5)分析仔細(xì)觀察，易見兩個(gè)因式的字母部分與平方差公式相近，但常數(shù)不符.于是可 創(chuàng)造條件一“拆”數(shù)：1=23, 5=2+3,使用公式巧解.解原式二(2x 3y

26、3 + 2)( 2x 3y + 3 + 2)=(2 3y) + (2x 3)(2 3y) - (2x 3)=(2 - 3y)2 - (2x -3)2=9y2-4x2 + 12x 12y -5.第四層次變用：解某些問題時(shí)，若能熟練地掌握乘法公式的一些恒等變形式, 如 a2 + b2=(a + b)2 2ab , a3+b3=(a+b)3 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.例 5 已知 a+ b=9 , ab=14 ,求 2a 2+ 2b2 和 a3 + b3 的值.解： va + b=9 , ab=14 , 2 2a2 + 2b2=2(a + b)2-2ab=2(9 2-2 14)=

27、106 , a3+b3=(a + b)3 3ab(a +b)=93 3 14 9=351第五層次綜合后用：將(a+b)2=a2+2ab +b2和(ab)2=a22ab +b2綜合,可得(a+b)2+(a b)2=2(a2 + b2)； (a + b)2(a b)2=4ab ；等，合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計(jì)算：(2x +y-z + 5)(2x -y + z+5).解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- - (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)2=(2x + 5)2 (y z)2=4x2 + 20x +25 y2 + 2yz z2六、正確認(rèn)

28、識(shí)和使用乘法公式1、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)乘法公式：對(duì)于學(xué)習(xí)的兩種(三個(gè))乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a 2-b2、完全平方公 式：(a+b)2=a2+2ab+b 2； (a-b)2=a2-2ab+b 2,可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法來區(qū)分 它們。假設(shè)a、b都是正數(shù)，那么可以用以下圖形所示意的面積來認(rèn)識(shí)乘法公式。如圖1,兩個(gè)矩形的面積之和(即陰影部分的面積)為 (a+b)(a-b),通過左右兩圖 的對(duì)照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2;圖2中的兩個(gè)圖陰影部分面積分別為 (a+b)2與(a-b)2,通過面積的計(jì)算方法，即可得到兩個(gè)完全平方公式：(a+b)2

29、=a2+2ab+b , 與(a-b) 2=a2-2ab+b 2。2、乘法公式的使用技巧:以避免負(fù)號(hào)多帶來的麻煩。2-(3x) 2=1-9x 2.提出負(fù)號(hào)：對(duì)于含負(fù)號(hào)較多的因式，通常先提出負(fù)號(hào)，例1、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (-1+3x)(-1-3x) ;(2) (-2m-1) 2解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=1(2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1) 2= 4m 2+4m+1.改變順序：運(yùn)用交換律、結(jié)合律，調(diào)整因式或因式中各項(xiàng)的排列順序，可以使公 式的特征更加明顯.例2、運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1) (1a-

30、1b )(-1b -a );(2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+2)3 443解：(1) (1a-1b )(1ba)=(：b+1a)(Jb -1a)3 4434343=(1b- 1a )(1b +1a )=(1b)2- (1a)2 = (b2- :a2434343169(2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1(x2+1/4)=(x2-1/4) (x 2+1/4)= x 2-1/16.逆用公式將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得 a2-b2 = (a+b)(a-b), 逆用積的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解題時(shí)

31、常會(huì)收到事半功倍的效果。例3、計(jì)算：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2 ;(2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 2解：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2 =(x/2+5)+(x/2-5) (x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x- 10=10x.(2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 2=(a-1/2)(a 2+1/4) (a+1/2) 2 =(a-1/2 ) (a+1/2) (a 2+1/4) 2=(a2-1/4 ) (a2+1/4) 2 =(a4-1/16 ) 2 =a8

32、-a4/8+1/256.合理分組：對(duì)于只有符號(hào)不同的兩個(gè)三項(xiàng)式相乘,般先將完全相同的項(xiàng)調(diào)到各因式的前面，視為一組；符號(hào)相反的項(xiàng)放在后面，視為另一組；再依次用平方差公式與 完全平方公式進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算：(1) (x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y尸1+(x+y)1-(x+y)=1 y232x2 8-(x+y) 2=1-(x 2+2xy+y 2)= 1-x 2-2xy-y 2.(3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z

33、)(2x+5)-(y-z)=(2x+5) 2-(y-z)2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)= 4x2+20x+25-y 2+2yz-z2 =4x2-y2-z2+2yz+20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中數(shù)學(xué)的重要容，是今后學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，應(yīng)用極為廣泛。尤其多項(xiàng)式乘 多項(xiàng)式，運(yùn)算過程復(fù)雜，在解答中，要仔細(xì)觀察，認(rèn)真分析題目中各多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征， 將其適當(dāng)變化，找出規(guī)律，用乘法公式將其展開，運(yùn)算就顯得簡便易行。1 .先分組，再用公式例 1.計(jì)算：(abcd)(abcd)簡析：本題若以多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法展開，則顯得非常繁雜。通過觀察，將整式(a b c d)

34、運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律變形為(b d) (a c);將另一個(gè)整式 (a b c d)變形為(b d) (a c),則從其中找出了特點(diǎn)，從而利用平方差公式即 可將其展開。解：原式(b d) (a c) b d a c22(b d) (a c)b2 2bd d2 a2 2ac c22 .先提公因式，再用公式例2.計(jì)算：8x 4x ?24簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)多項(xiàng)式中的 x的系數(shù)成倍數(shù)，y的系數(shù)也 成倍數(shù)，而且存在相同的倍數(shù)關(guān)系，若將第一個(gè)多項(xiàng)式中各項(xiàng)提公因數(shù)2出來，變?yōu)? 4x y ,則可利用乘法公式。4解：原式 2 4x 4x 4422 4x2 工4三.先分項(xiàng)，再用公式例 3.計(jì)算

35、：2x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個(gè)多項(xiàng)中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數(shù)的系數(shù)著手觀察， 不難發(fā)現(xiàn), x的系數(shù)相同，y的系數(shù)互為相反數(shù)，符合乘法公式。進(jìn)而分析如何將常數(shù)進(jìn)行變化。 若將2分解成4與2的和，將6分解成4與2的和，再分組，則可應(yīng)用公式展開。解：原式=(2x 4) (2 3y) 2x 42 3y22(2x 4)2 3y4x88 (31)(31)2(3161)23162 16x 12 12y 9y24 .先整體展開，再用公式例 4.計(jì)算：(a 2b)(a 2b 1)簡析：乍看兩個(gè)多項(xiàng)式無聯(lián)系，但把第二個(gè)整式分成兩部分，即 (a 2b) 1 ,再 將第一個(gè)整式與之相乘，利用平方差

36、公式即可展開。解：原式(a (a2 a2b) (a 2b)2b)(a 2b) 2_4b a 2b1(a 2b)六.先用公式,例6.計(jì)算：1再展開122142簡析：第一個(gè)整式1122可表小為12110221. 一 一，1,由簡單的變化，可看出整式符合25 .先補(bǔ)項(xiàng)，再用公式1)(321)(3 1)例 5.計(jì)算：3 (38 1)(34簡析：由觀察整式(3 1),不難發(fā)現(xiàn)，若先補(bǔ)上一項(xiàng)(3 1),則可滿足平方差公式。 多次利用平方差公式逐步展開，使運(yùn)算變得簡便易行。842解：原式 3(31)(31)(31)(3 1)(3 1)2(381)(34 1)(321)(32 1)2_ 8_4_4(31)(31)(31)平方差公式，其它因式類似變化，進(jìn)一步變換成分?jǐn)?shù)的積，化簡即可