第三章教學分析打印稿

1、第三章函數的應用教材分析及建議蘭州二中 李 廷 雄第一 部分：本章總體設計 一 .課程目標：通過本章的學習，使學生學用“二分法”求方程近似解的方法，體會函數的零點與方程根之間的聯系；通過一些實例讓學習感受建立函數模型的過程和方法，體會函數在數學及其他學科中的應用，認識到函數是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數學模型，并能初步應用函數思想解決現實生活中的簡單問題二 .本章內容及知識結構函數的應用函數與方程函數模型及其應用函數零點與方程根的關系用二分法求方程的近似解幾種不同增長的函數模型用已知函數模型解決問題建立實際問題的函數模型解決具體問題三.本章在課標與大綱內容與目標的對比 內容<課標>

2、目標的表述大綱目標的概述函數與 方程(1) 根據二次函數的圖像判斷一元方程根的存在性及根的個數,從而了解函數的零點與方程根的聯系.(2) 根據具體函數圖像,能借助計算器用二分法求相應方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法.無具體內容函數模型及其應用(1) 利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。(2) 收集一些社會生活中普遍使用的函數模型（指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等）的實例，了解函數模型的廣泛應用。能夠用運函數的性質、指數函數對數函數解決某些簡單的實際問題。實習作業(yè)（數學文化）根據某個主題

3、，收集17世紀前后發(fā)生的一些對數學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物（開普勒、伽利略、笛卡兒、牛頓。萊布尼次茨、歐拉等）的有關資料或現實生活中的函數實例，采取小組合作的方式寫一篇有關函數概念的形成、發(fā)展或應用的文章，在班級中進行交流，具體要求參見數學文化的要求。四. 本章內容在教材中的定位特點及教學設想一 循序漸進、加深對函數概念本質的理解 對函數概念的理解是貫穿必修1的一個重要任務很難一次實現，它需要一個螺旋上升循序漸進的過程.在解決具體問題的過程中，逐步加深對函數概念本質的理解，實現由具體到抽象再到具體的認識過程。(二）突出主線、明確函數是刻畫現實世界變化規(guī)律的基本數學模型 突出函數是刻畫現實

4、世界變化規(guī)律的基本數學模型（本章的前兩章已經滲透了這種想法，在本章的教學中要結合教科書的實際從用函數觀點求近似解問題，到比較不同函數的增長差異，以及應用函數模型和建立函數模型解決問題不斷提供機會引導學生體驗函數是描述客觀世界變化規(guī)律的基本模型（三）強調背景、以問題為中心展現過程引導積極的學習 教學時要以問題為中心，強調背景，讓學生體會到所研究的函數來源于實際，這些函數模型在現實世界中應用極為廣泛，他們分別刻畫了現實世界中的變化規(guī)律.教學中要恰當的設計問題引導學生經歷觀察、歸納、概括、交流、反思的思維過程，經歷知識發(fā)生發(fā)展的過程，利用教科書的白、留空鼓鼓勵學生積極參與這個過程主動思考自主探索 進

5、而達到積極的學習(四）注重聯系、構建知識網絡本章教學中要充分關注知識內容之間的關系，不僅要注重函數知識與實際的聯系，更要注重不同函數知識間的聯系，以及函數知識與其它相關知識間的聯系，通過綜合運用不同知識解決實際問題。教學中應結合教科書的內容突出知識間的聯系.（五）抓住時機，培養(yǎng)學生問題解決的意識本章教學中要抓住知識應用的契機，培養(yǎng)問題解決的意識，知識的應用就是運用所學知識解決問題。本章內容主要體現了函數知識與實際的聯系、函數知識的廣泛應用，教學應以此為契機，有意識地引導學生在運用函數知識解決相關問題的過程中，養(yǎng)成提出問題、分析問題、解決問題、回答問題的習慣，培養(yǎng)他們問題解決的意識，并提高他們的

6、數學創(chuàng)造力。）（六）突出重點、以思想方法為核心關注數學文化 本章蘊涵了豐富的思想方法，并以思想方法為核心統(tǒng)領整章的內容。在教學中，我們希望通過教學不僅要讓學生在數學概念上有所收獲，在研究數學對象的研究方法上得到啟發(fā)，而且要讓他們感受到思想方法的力量和作用，使教學成為以思想方法為核心，用函數觀點研究問題的思想方法在本模塊中的應用都非常普遍，是本模塊蘊涵的重要思想方法，不僅需要頻繁地使用數形結合的思想方法，而且對數形結合的思想方法還有較高層次的要求。像數學建模的思想方法，在本章之前學生只有初步認識，尚無系統(tǒng)學習，本章的教學也不必一次到位提出較高的要求。只需讓學生通過利用函數知識解決實際問題體會建立

7、函數模型的過程，從而向學生滲透數學建模的思想。教學應抓住這些機會，不僅讓學生進一步理解函數的概念和性質，更要突出數學思想方法，將以思想方法為核心的教學落到實處。 本章的例題、練習、習題和閱讀與思考欄目都汲取了不少數學文化的素材，教學應對此給予關注，以使學生不僅在知識和能力方面得到提高，而且能夠受到數學文化的熏陶，提高科學文化素養(yǎng)。 （七）轉變方式、恰當合理的使用信息技術 本章內容普遍涉及求函數值、作函數圖象、研究函數性質、擬合函數等，這些內容的教學都需要使用信息技術。信息技術是一種有效的認知工具，能夠為學生進行自主探究提供強有力的平臺。通過使用信息技術，可以避免繁瑣的計算，呈現其他教學手段難以

8、呈現的內容，并使數學對象得以多元聯系地表示，使教師的教學方式和學生的學習方式得到改進，幫助學生更好地理解數學本質，從而主動地探索和研究數學，使學習得到加強。所以，注重信息技術的使用，并通過使用信息技術改進教學方式與學習方式，是本章教學比其他章節(jié)教學更迫切的任務。五 總體建議1、注意由淺入深、秩序漸進地建立函數與方程的關系2、注意函數與實際問題的聯系，體現數學建模的思想3、注意以函數模型的應用為主線，帶動相關知識的展開4、恰當使用信息技術第二部分：具體內容的教學分析及建議一.“函數與方程”本節(jié)主要內容 ：（1)將求方程近似解的問題轉化為求函數零點的問題 (2)要明確函數零點存在性的問題 (3)如

9、何求函數的零點（二分法）。 本節(jié)重點是通過“二分法）求方程近似解使學生體會函數的零點與方程之間的聯系，初步形成用函數處理問題的意識。在利用二分法求方程近似解的過程中，由于數值計算較復雜因此對獲得給定近似解增加了困難要解決這一困難需要恰當的使用信息技術工具。3.1. 1方程的根與函數的零點教學目標：就是要讓學生了解函數的零點與方程根的聯系。為了達到目標需處理好以下幾個問題：(1)研究函數零點的必要性(2)為什么要以二次函數和相應的一元二次方程為例來建立函數的零點與方程根的聯系 (3)怎樣建立函數零點與方程根的聯系(4) 在求已知函數的零點個數時需要注意以下問題： 對于有的函數，只能利用計算器或計

10、算機才能方便地作出其圖象，所以教學要盡可能地使用計算器或計算機。教材的例題同時給出了函數圖象和表格，這是為了便于在教學中讓學生多角度地進行觀察，多元聯系地將函數的零點表示出來。但學生在做練習和習題時，只需畫出函數圖象即可)。 對于函數圖象與x軸只有一個交點的情況，根據教學要求，教材只介紹了函數的變號零點，而對于函數的不變號零點，教材沒有介紹，教學也不必做補充。在給出零點個數的形式化說明時，由于f(a)·f(b)<0只能說明函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點，要說明它只有一個零點還需證明函數yf(x)在區(qū)間(a，b)內單調。但目前，這對學生的要求還偏高。所以，在這里要適當控制

11、教學要求，一方面可選擇合適的函數要求學生利用函數單調性的定義進行證明；另一方面，對于難以利用函數單調性的定義進行證明的，只要求學生能根據函數圖象說明函數的單調性即可?？傊?，在證明函數單調性方面，應把握一個循序漸進的過程，待今后學習了函數的導數之后再作統(tǒng)一的要求。 教學建議（1）對于零點存在的條件，高中階段不可能也不必要加以證明。（2）要注意高中學生的思維特點,既不要低估學生的能力，也不必過高地估計，正確把握學生能力的“最近發(fā)展區(qū)”提出問題是教學成功的關鍵。（3）數學教學是數學活動的過程，數學活動是數學的思維活動。通過提出有思維價值的問題讓學生活動起來，培養(yǎng)學生主動思考的習慣。3.1. 2用二分

12、法求方程的近似解 本節(jié)的主要教學目標是，根據具體函數的圖象，能夠借助計算器等信息技術工具用二分法求相應方程的近似解。要達到這一教學目標，關鍵是處理好以下幾個教學問題：(1)如何引入教學使學生學生就能認識到學習二分法的必要性（二分法是一種常用的求方程近似解的方法）。 (2)如何向學生介紹二分法 首先，引導學生去思考將零點所在區(qū)間縮小的方法。要讓學生對他們所提出的方法進行比較，然后提出二分區(qū)間的方法。這里，教師可以通過一些形象的例子讓學生體會到二分法的思想。 其次，讓學生利用二分區(qū)間的方法，根據函數零點存在的條件，通過計算函數f(x)1nx+2x-6的零點在所得區(qū)間端點函數值的乘積，來具體尋找該函

13、數零點的近似值。最后，歸納出求函數零點近似值的步驟。) (3)如何引導學生認識二分法的本質 二分法的本質就是根據函數零點存在的條件不斷地把函數零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點。要引導學生認識二分法的本質，關鍵是解決好以下幾個問題 幫助學生理解二分法的步驟（P90）重視信息技術的使用 進行適當的訓練,二分法具有較強的程序性，對于這種方法的掌握，是需要通過具體操作來內化實現的。所以，在課堂教學內外，都需要讓學生進行適當的訓練。 (4)突出思想方法,二分法就是以函數圖象為連結點，將函數與方程有機地聯系在一起，然后利用函數的性質，求方程的近似解。二分法是一種常用的求方程近似解的方法

14、，二分法也是一種算法。教學應有意識地通過介紹二分法滲透算法的思想，讓學生逐步地認識算法，為后面的算法學習作了定的鋪墊。幾點建議：1注重基礎、避免拓展注重聯系，突出本質2不要急于補充一元二次不等式3 避免擴展到二次方程根的分布 4“二分法”教學中應該逐步滲透算法思想二 “函數模型及其應用”本節(jié)主要內容是介紹函數模型在解決現實問題方面的應用。在此之前，學生已經學過的函數模型有指數函數、對數函數、冪函數等。當面對實際問題時，教學首先要解決的是如何選擇這些函數模型?？蓮氖挛锏脑鲩L或衰減情況人手，研究不同增長函數模型間的差異。然后，教學要研究如何根據不同類函數模型的增長特性，選擇合適的函數模型解決現實問

15、題。本節(jié)的教學重點是認識指數函數、對數函數、冪函數等的增長差異，體會直線上升、指數爆炸與對數增長，并能應用函數模型解決簡單問題。其難點是對幾種函數差異的比較及如何選擇恰當的函數模型解決問題 3.2 1幾類不同增長的函數模型 本節(jié)內容的教學目標是利用計算工具，比較指數函數、對數函數以及冪函數增長差異；并結合實例體會直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數類型增長的含義。要達到這一教學目標，關鍵是處理好以下幾個教學問題： (1)要從整體上把握本節(jié)內容的教學 根據教學目標，教學只需要求學生利用圖象或數表，對指數函數、對數函數和冪函數的增長差異作直觀了解，不必給出形式化的證明。在教學過程中，按照直觀感知

16、具體函數一般化的層次，從具體問題出發(fā)，對具體函數進行比較，然后將結論推廣到一般的函數，從而完成教學任務。 (2)教學要選擇恰當的切入點 教學中要明確以前學生從未接觸過不同函數的增長差異問題。從何處下手研究是一難點。教師可考慮從具有明顯增長差異的實際問題入手，例如選取教材中的兩個例子來創(chuàng)設問題情景。這兩個問題情境還有一個共同點就是，如果要做出合理的選擇，就需要對刻畫不同方案的函數模型的增長情況做出比較。讓學生通過利用圖象和數表比較有關的函數，自然就會對不同函數的增長差異有一個直觀、感性的認識，即意識到不同函數的增長是有差異的。 (3)注意比較函數y2x、y=log2x和yx2的增長差異的方法 教

17、學中選擇比較幾種函數的方法是教學的關鍵。針對這三個具體的函數，圖象和表格兩者缺一不可，即采用數形結合的方法。這里對數形結合的方法有較高的要求，因為僅在某一范圍內通過圖象和表格是不能全面比較出這三個函數，特別是y2x和yx2的增長差異。所以，教師可引導學生利用信息技術，作出這些函數的圖象和表格，采取逐步擴大自變量取值范圍的方法，從局部到大范圍再到更大范圍，將這些函數進行“多元聯系表示”，對各個函數在不同范圍的增長情況進行比較，最后再將不同范圍的結果進行歸納得出結論。 3.2 2函數模型的應用實例 本節(jié)內容的教學目標是收集一些社會生活中普遍使用的指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等函數模型實例，

18、了解函數模型的廣泛應用。在實現這一目標的教學過程中，要著重解決好以下幾個問題： (1)正確把握教學目標、了解常見函數模型應用 關于收集函數模型，主要通過介紹教科書中的例題、練習和習題，以及師生收集加工課外的實例來實現。 教學的重點應放在讓學生了解函數模型的廣泛應用上。而實現這一教學目標的關鍵在于，突出函數模型應用的廣泛，控制問題的難度。所以，教學所選取的實例既要典型，又要涉及廣泛的實際面和各種學生所學過的函數。例題選擇應該包括三個方面的應用層次：一是利用已知函數模型解決問題，如教材的例3、例4；二是通過建立“確定性”函數模型解決問題，如教材的例5；三是根據已知數據擬合函數解決問題，如教材的例6

19、通過不同的實例，讓學生感受到函數的廣泛應用，并初步體驗下列建立函數模型解決問題的過程與方法。收集數據畫散點圖不符合實際選擇函數模型求函數模型檢查用函數模型解釋實際問題符合實際 （2）注重發(fā)揮例題功能、熟悉各種函數模型的特征 例3所給出的函數模型是一個速度時間圖象，要根據它求出路程關于時間的解析式模型，并由所得解析式畫出路程時間的圖象模型。第一問求陰影部分的面積并說明其實際含義，教學不應只滿足回答此問題，應把重點放在引導學生以此了解已知圖象的數學本質上，并為今后研究積分奠定基礎；第二問是將一種圖象模型向另一種圖象模型和解析式模型轉化，教學要注意突出其具有的現實意義。 例4給出的函數模型是一個解析

20、式，要根據已知數據求出該解析式。這是一個經典的實際模型，熟悉和應用這個模型都具有現實意義。教學應讓學生了解，該模型只能大致描述自然狀態(tài)下的人口增長情況；而對于受到人為影響的人口增長情況，如計劃生育，則需要用其他數學模型進行描述。當求出解析式后，還可進一步給出其圖象，這樣做，一是為了讓學生直觀地了解所得數學模型與實際情況的吻合情況，二是為了體現數學建模的思想，為之后函數擬合的學習奠定基礎。 例5是通過建立“確定性”函數模型解決問題。學生過去曾接觸過不少這類問題，但以往很少遇到能體現數學建模過程的問題。而本體無論是題目的立意、解題時變量的選擇、函數關系式的建立還是問題的回答，都與問題解決的數學思想較為貼近。教學時要留給學生獨立思考的空間，讓學生充分經歷數學建模的過程，切忌誘導過度，使學生的思想方法和思