第9章導行電磁波

1、2022-3-192022-3-191 1第九章第九章 導行電磁波導行電磁波主主 要要 內內 容容 幾種常用的導波系統(tǒng)，矩形波導中的電磁波，幾種常用的導波系統(tǒng)，矩形波導中的電磁波，圓波導中的電磁波，同軸線，諧振腔。圓波導中的電磁波，同軸線，諧振腔。1. TEM波、波、TE波及波及TM波波2. 矩形波導中的電磁波方程式矩形波導中的電磁波方程式3. 矩形波導中電磁波的傳播特性矩形波導中電磁波的傳播特性4. 矩形波導中的矩形波導中的TE10波波2022-3-192022-3-192 28. 諧振腔諧振腔9. 同軸線同軸線2022-3-192022-3-193 3 沿一定的途徑傳播的電磁波稱為沿一定的

2、途徑傳播的電磁波稱為導行電磁波導行電磁波，傳輸導行波的系統(tǒng)，傳輸導行波的系統(tǒng)稱為稱為導波系統(tǒng)導波系統(tǒng)。 常用的導波系統(tǒng)有雙導線、同軸線、帶狀線、微帶、金屬波導等。常用的導波系統(tǒng)有雙導線、同軸線、帶狀線、微帶、金屬波導等。本章僅介紹同軸線和金屬波導。尤其是矩形金屬波導的傳播特性。本章僅介紹同軸線和金屬波導。尤其是矩形金屬波導的傳播特性。這些導波系統(tǒng)的結構如下圖示。這些導波系統(tǒng)的結構如下圖示。2022-3-192022-3-194 4帶狀線帶狀線雙導線雙導線矩形波導矩形波導微微 帶帶介質波導介質波導光光 纖纖同軸線同軸線圓波導圓波導2022-3-192022-3-195 51. TEM波、波、TE

3、波及波及TM波波 TEM波、波、TE波及波及TM波的電場方向及磁場方向與傳播方向的關系波的電場方向及磁場方向與傳播方向的關系如下圖示。如下圖示。 TEM波波EHesTE波波EHesTM波波EHes可以證明，能夠建立靜電場的導波系統(tǒng)必然能夠傳輸可以證明，能夠建立靜電場的導波系統(tǒng)必然能夠傳輸TEM波。波。 根據麥克斯韋方程也可說明金屬波導不能傳輸根據麥克斯韋方程也可說明金屬波導不能傳輸TEM波。波。2022-3-192022-3-196 6 名名 稱稱 波波 形形 電磁屏蔽電磁屏蔽 使用波段使用波段 雙導線雙導線 TEM波波 差差 3m 同軸線同軸線 TEM波波 好好 10cm 帶狀線帶狀線 TE

4、M波波 差差厘米波厘米波 微微 帶帶 準準TEM波波 差差厘米波厘米波矩形波導矩形波導 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 圓波導圓波導 TE或或TM波波 好好厘米波、毫米波厘米波、毫米波 光光 纖纖 TE或或TM波波 差差光波光波幾種常用導波系統(tǒng)的主要特性幾種常用導波系統(tǒng)的主要特性2022-3-192022-3-197 7導波系統(tǒng)傳播特性的研究方法導波系統(tǒng)傳播特性的研究方法 首先設導波系統(tǒng)是首先設導波系統(tǒng)是無限長無限長的，根據導波系統(tǒng)的，根據導波系統(tǒng)橫截面橫截面的形狀選取的形狀選取直角直角坐標系或者坐標系或者圓柱圓柱坐標系，令其沿坐標系，令其沿 z 軸放置，且傳播方向為正軸放

5、置，且傳播方向為正 z 方向。以方向。以直角坐標為例，則該導波系統(tǒng)中的電場與磁場可以分別表示為直角坐標為例，則該導波系統(tǒng)中的電場與磁場可以分別表示為zkzyxErEj0e(）、）zkzyxHrHj0e(）、）0022222222HkzHyHxHEkzEyExE222222 00000222222222222rEkrErErEerEerErEteerEttrEtrEerEtrEtjtjtjtjtj,2022-3-192022-3-198 8 由前獲知，上式包含了六個直角坐標分量由前獲知，上式包含了六個直角坐標分量 及及 ，它們分別滿足齊次標量亥姆霍茲方程。根據導波系統(tǒng)的邊界條件，利用它們分別滿足

6、齊次標量亥姆霍茲方程。根據導波系統(tǒng)的邊界條件，利用分離變量法即可求解這些方程。分離變量法即可求解這些方程。 zyxEEE,zyxHHH, 但是由于電磁波不同于靜電場，其中的電場與磁場由但是由于電磁波不同于靜電場，其中的電場與磁場由Maxwell方程方程相聯系，不是完全獨立，因此，并不需要求解六個坐標分量方程。根據相聯系，不是完全獨立，因此，并不需要求解六個坐標分量方程。根據麥克斯韋方程，可以求出麥克斯韋方程，可以求出 x 分量及分量及 y 分量和分量和 z 分量的關系為分量的關系為 yHxEkkEzzzxjj12cxHyEkkEzzzyjj12cxHkyEkHzzzxjj12cyHkxEkHz

7、zzyjj12c222czkkk式中式中tDHt BE 2022-3-192022-3-199 9 這樣，只要求出這樣，只要求出 z 分量，其余分量即可根據上述關系求出。分量，其余分量即可根據上述關系求出。z 分量為分量為縱向分量，因此這種方法又稱為縱向分量，因此這種方法又稱為縱向場法縱向場法。上述關系又稱為橫向場的縱。上述關系又稱為橫向場的縱向場表示。向場表示。 在圓柱坐標系中，同樣可以在圓柱坐標系中，同樣可以 z 分量表示分量表示 r 分量和分量和 分量。其關系分量。其關系式為式為zzzrHrrEkkEjj12crHErkkEzzzjj12crHkErkHzzzrjj12czzzHrkrE

8、kHjj12c2022-3-192022-3-1910102. 矩形波導中的電磁波方程式矩形波導中的電磁波方程式 矩形波導形狀如下圖示，寬壁的內尺寸為矩形波導形狀如下圖示，寬壁的內尺寸為 a ，窄壁的內尺寸為，窄壁的內尺寸為 b 。 azyxb , 已知金屬波導中只能傳輸已知金屬波導中只能傳輸 TE 波波及及TM 波，現在分別討論他們在矩形波，現在分別討論他們在矩形波導中的傳播特性。波導中的傳播特性。 若僅傳輸若僅傳輸 TM 波，則波，則 Hz = 0 。按。按照縱向場法，此時僅需求出照縱向場法，此時僅需求出 Ez 分量，分量，然后即可計算其余各個分量。然后即可計算其余各個分量。 已知電場強度

9、的已知電場強度的 z 分量可以表示為分量可以表示為 zkzzzyxEEj0e ),(2022-3-192022-3-191111它應滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即它應滿足齊次標量亥姆霍茲方程，即02c2222zzzEkyExE其振輻也滿足同樣的齊次標量亥姆霍茲方程，即其振輻也滿足同樣的齊次標量亥姆霍茲方程，即002c202202zzzEkyExE為了求解上述方程，采用分離變量法。令為了求解上述方程，采用分離變量法。令)()()(0yYxXyxEz、代入上式，得代入上式，得2ckYYXX 式中式中X 表示表示 X 對對 x 的二階導數，的二階導數， Y 表示表示 Y 對對 y 的二階導數。的二階導

10、數。0z22z22z22z2EkzEyExE2022-3-192022-3-191212 由于上式中的第二項僅為由于上式中的第二項僅為 y 函數，而右端為常數，因此，若將此式函數，而右端為常數，因此，若將此式對對 x 求導，得知左端第一項應為常數。若對求導，得知左端第一項應為常數。若對 y 求導，得知第二項應為常求導，得知第二項應為常數。數。2ckYYXX 現分別令現分別令 2xkXX 2ykYY 這里，這里，k x 和和 k y 稱為稱為分離常數分離常數。利用邊界條件即可求解這些分離常數。利用邊界條件即可求解這些分離常數。 222cyxkkk顯然顯然 由上可見，原來的二階偏微分方程，經過變量

11、分離后變?yōu)閮蓚€常由上可見，原來的二階偏微分方程，經過變量分離后變?yōu)閮蓚€常微分方程，因此求解簡便。微分方程，因此求解簡便。兩個兩個常微分方程的常微分方程的通解分別為通解分別為xkCxkCXxxsincos21ykCykCYyysincos43式中常數式中常數C1 ，C2 ， C3 ， C4 取決于導波系統(tǒng)的邊界條件。取決于導波系統(tǒng)的邊界條件。2022-3-192022-3-191313 已知已知 Ez 分量與波導四壁平行，因此在分量與波導四壁平行，因此在 x = 0, a 及及 y = 0, b 的邊界上的邊界上 Ez = 0。由此決定上述常數，再根據這些結果求出分離常數為。由此決定上述常數，再

12、根據這些結果求出分離常數為, 3 , 2 , 1 ,nbnky1,2,3,m ,amkx代入前式即可求出矩形波導中代入前式即可求出矩形波導中TM 波的各個分量為波的各個分量為zkzzybnxamEEj0esinsin 2zkjyxx2c0zxzeyksinxkcoskkEkE 2zkj2c0zyzeykcosxksinkkEkEyxy 2zkjyxy2c0 xzeykcosxksinkkEH 2zkjyxx2c0yzeyksinxkcoskkEHazyxb ,0Hz,nm,3212022-3-192022-3-191414 1，電磁波的相位僅與變量，電磁波的相位僅與變量 z 有關，而振幅與有關

13、，而振幅與 x, y 有關。因此，在有關。因此，在Z方方向上為向上為行波行波，在，在 X 及及 Y 方向上形成方向上形成駐波駐波。 2，z 等于常數的平面為波面。但振輻與等于常數的平面為波面。但振輻與 x, y 有關，因此上述有關，因此上述TM波為波為非均勻非均勻的平面波；的平面波；zkzzybnxamEEj0esinsinzkzxzybnxamamkEkEj2c0esincosjzkzyzybnxambnkEkEj2c0ecossinjzkxzybnxambnkEHj2c0ecossinjzkyzybnxamamkEHj2c0esincosj 3，當，當 m 或或 n 為零時，上述各個分量均

14、為零，因此為零時，上述各個分量均為零，因此 m 及及 n 應為應為非零非零的整數。的整數。 m 及及 n 具有明顯的物理意義，具有明顯的物理意義，m 為寬壁上的為寬壁上的半個駐波半個駐波的數目，的數目， n 為窄壁上為窄壁上半個駐波半個駐波的數目。的數目。 4，由于，由于m 及及 n 為多值，因此場結構均具有為多值，因此場結構均具有多種模式多種模式。 m 及及 n 的每一的每一種組合構成一種模式，以種組合構成一種模式，以TMmn表示。表示。 例如例如 TM11表示表示 m = 1, n = 1 的場結的場結構，具有這種場結構的波稱為構，具有這種場結構的波稱為TM11波。波。 5, 數值大的數值

15、大的 m 及及 n 模式稱為模式稱為高次模高次模，數值小的稱為，數值小的稱為低次模低次模。由于。由于 m 及及 n 均不為零，故矩形波導中均不為零，故矩形波導中TMmn波的波的最低模式最低模式是是TM11波，波，無無TM0n或或 TMm0模式模式.azyxb ,2022-3-192022-3-191515類似地可以導出矩形波導中類似地可以導出矩形波導中TE波的各個分量為波的各個分量為zkzzybnxamHHj0ecoscoszkzxzybnxamamkHkHj2c0ecossinjzkzyzybnxambnkHkHj2c0esincosjzkxzybnxambnkHEj2c0esincosjz

16、kyzybnxamamkHEj2c0ecossinj式中式中 ，但兩者不能同時為零。與，但兩者不能同時為零。與TM波一樣，波一樣，TE波也具波也具有有多模特性多模特性，但此時，但此時m 及及 n不能同時為零。因此，不能同時為零。因此，TE波的波的最低模式最低模式。, 2 , 1 , 0,nm或或TE01波波為為TE10波波TE10TE10TE10TE01TE01TE01azyxb ,0zE2022-3-192022-3-1916163. 矩形波導中電磁波的傳播特性矩形波導中電磁波的傳播特性 22c,bnamkk模式的最低波數或傳輸nmnmTETM 已知已知 ，即，即 ?？梢?，當時?？梢姡敃r

17、， ，這就，這就意味著波的傳播被截止，因此，意味著波的傳播被截止，因此， 稱為稱為截止傳播常數截止傳播常數。222czkkk2c22kkkzckk 0zkck截止傳播常數和截止頻率截止傳播常數和截止頻率 利用自由空間的傳播常數利用自由空間的傳播常數fk2根據前面結果，獲知根據前面結果，獲知截止傳播常數為截止傳播常數為22cc212bnamkfcf的的截止頻率截止頻率f fc模式可以傳播模式可以傳播求出對應于截止傳播常數求出對應于截止傳播常數f2kcc2022-3-192022-3-191717那么，那么，傳播常數傳播常數 kz 可以表示為可以表示為 ff ,1ffjk ff ,ff1kff1k

18、kkkc2cc2c2c2c2z當當 時，時， 為實數，因子為實數，因子 代表向正代表向正 z 方向傳播的波。方向傳播的波。cff zkzkzje當當 時，時， 為虛數，因子為虛數，因子cff zk 1j2ceeffkzzkz對于一定尺寸、一定模式對于一定尺寸、一定模式m、n的波導來說，這個頻率是能夠傳輸的波導來說，這個頻率是能夠傳輸該模式的該模式的最低頻率最低頻率。低于該頻率時，不會傳輸此模式。所以，波。低于該頻率時，不會傳輸此模式。所以，波導相當于一個導相當于一個高通濾波器高通濾波器。 此式表明時變電磁場沒有傳播，而是沿正此式表明時變電磁場沒有傳播，而是沿正 Z 方向不斷衰減的方向不斷衰減的

19、凋落場凋落場。2022-3-192022-3-191818利用關系式利用關系式 ，即可求得對應于截止傳播常數，即可求得對應于截止傳播常數 的的截止波長截止波長 為為2kckc22cc22bnamk截止波長截止波長 上述結果表明，無論截止頻率或截止波長均與波導尺寸上述結果表明，無論截止頻率或截止波長均與波導尺寸 a, b 及模式及模式m, n 有關。對于一定的波導尺寸來說，每一種模式具有一定的截止頻率或截有關。對于一定的波導尺寸來說，每一種模式具有一定的截止頻率或截止波長。高次模式具有較高的截止頻率，有較短的截止波長。止波長。高次模式具有較高的截止頻率，有較短的截止波長。 例如，例如，TE10波

20、的截止波長為波的截止波長為 2a，TE20波的截止波長為波的截止波長為a。左圖給出了當。左圖給出了當波導尺寸波導尺寸 時，各種模式截止波長時，各種模式截止波長的分布圖。的分布圖。ba2TM11TE01TE20TE100a2ac即傳輸一定模式的最大波長即傳輸一定模式的最大波長2022-3-192022-3-191919 實現單模傳輸是實際中所需要的，因為固定單一模式便于向波導實現單模傳輸是實際中所需要的，因為固定單一模式便于向波導輸送或者由波導中提取能量。因此，輸送或者由波導中提取能量。因此，TE10波為矩形波導中的波為矩形波導中的常用模式常用模式或稱為或稱為主模主模。截 止 區(qū)TM11TE01

21、TE20TE100a2ac 已知當已知當 時，相應的模式波均被截止。那么由圖可見，當時，相應的模式波均被截止。那么由圖可見，當 時，全部模式被截止。時，全部模式被截止。ca2 當當 時，只有時，只有TE10波存在，波存在，其它模式被截止；當其它模式被截止；當 時，才有其時，才有其它模式出現。它模式出現。aa2a 由此可見，由此可見， 如果工作波長滿足如果工作波長滿足 即可實現即可實現單模傳輸單模傳輸，而且實現單模傳，而且實現單模傳輸的輸的惟一惟一模式就是模式就是TE10波。波。aa22022-3-192022-3-192020 至于窄壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導衰減以及重量等。至于窄

22、壁尺寸的下限取決于傳輸功率，容許的波導衰減以及重量等。將可獲知，窄壁減小會使傳輸衰減增大。當然，窄壁小一些可以減輕波將可獲知，窄壁減小會使傳輸衰減增大。當然，窄壁小一些可以減輕波導重量且節(jié)約金屬材料。導重量且節(jié)約金屬材料。 可見，當工作波長增加時，為保證單模傳輸，波導的尺寸必須相應可見，當工作波長增加時，為保證單模傳輸，波導的尺寸必須相應地加大。若頻率過低，因而工作波長過長，以致波導尺寸過大，無法采地加大。若頻率過低，因而工作波長過長，以致波導尺寸過大，無法采用。因此，實際中金屬波導適用于用。因此，實際中金屬波導適用于3000MHz以上的微波波段。以上的微波波段。 實際中，通常取實際中，通常取

23、 ，以便在，以便在 波段內實現波段內實現TE10波單模傳輸。波單模傳輸。那么為了保證僅傳輸那么為了保證僅傳輸TE10波，矩形波導的尺寸應該滿足波，矩形波導的尺寸應該滿足ba2aa2 a22b工程上常取工程上常取 左右，左右， 或或 。7 . 0aab)5 . 04 . 0(a)2 . 01 . 0(2022-3-192022-3-192121根據相速與相位常數的關系，求得根據相速與相位常數的關系，求得矩形波導中的相速矩形波導中的相速 為為 pvvvffvkvz2c2cp11式中式中 。當波導中為真空時，。當波導中為真空時， 。已知工作頻率。已知工作頻率 ，工，工作波長作波長 ，由上式可見，真空

24、波導中電磁波的相速大于光速。眾所周，由上式可見，真空波導中電磁波的相速大于光速。眾所周知，一切能量速度不可能大于光速，因此，知，一切能量速度不可能大于光速，因此，波導中的相速不代表能速波導中的相速不代表能速。1vcv001cff c 又知截止頻率或截止波長與波導尺寸及模式有關，因此，不同波導又知截止頻率或截止波長與波導尺寸及模式有關，因此，不同波導尺寸及模式，其相速也不同。尺寸及模式，其相速也不同。 由上式還可見，波導中的相速不僅與波導中的媒質特性有關，還與由上式還可見，波導中的相速不僅與波導中的媒質特性有關，還與頻率有關。因此，與導電媒質一樣，電磁波在波導中傳播時會出現頻率有關。因此，與導電

25、媒質一樣，電磁波在波導中傳播時會出現色散色散現象現象。2022-3-192022-3-192222根據波長與相位常數的關系，求得波導中電磁波的波長根據波長與相位常數的關系，求得波導中電磁波的波長 為為 g2c2cg112ffkz式中式中 為工作波長。為工作波長。 稱為稱為波導波長波導波長。已知。已知 ， ，故，故 ，即即波導波長大于工作波長波導波長大于工作波長。顯然，波導波長也與波導尺寸及模式有關。顯然，波導波長也與波導尺寸及模式有關。 gcff cg 波導中的橫向電場與橫向磁場之比稱為波導中的橫向電場與橫向磁場之比稱為波導的波阻抗波導的波阻抗，那么對于，那么對于TM波，其波阻抗為波，其波阻抗

26、為 kHEHEZzxyyxTM2c2cTM11ZffZZZ將前面結果代入，求得將前面結果代入，求得2022-3-192022-3-192323同理可得同理可得TE波的波阻抗為波的波阻抗為2c2czyxTE1Zff1ZkHEZ由上兩式可見，當由上兩式可見，當 ， 時，時， 及及 均為虛數，表明橫向電場均為虛數，表明橫向電場與橫向磁場相位相差與橫向磁場相位相差 ，因此，沿，因此，沿 Z 方向沒有能量單向流動，這就意方向沒有能量單向流動，這就意味著電磁波的傳播被截止。完全符合前面的論述。味著電磁波的傳播被截止。完全符合前面的論述。 cff cTMZTEZ2例例 某一內部為真空的矩形金屬波導，其截面尺

27、寸為某一內部為真空的矩形金屬波導，其截面尺寸為25mm10mm，當頻率當頻率 的電磁波進入波導中以后，該波導能夠傳輸的模的電磁波進入波導中以后，該波導能夠傳輸的模式是什么？當波導中填充介電常數式是什么？當波導中填充介電常數 的理想介質后，能夠傳輸的的理想介質后，能夠傳輸的模式有無改變？模式有無改變？ MHz104f4r2022-3-192022-3-192424 解解 當內部為真空時，工作波長為當內部為真空時，工作波長為mm)( 30fc波導的截止波長為波導的截止波長為2222c25. 6502nmbnam因為，因為，TE10波的波的 ，TE20波的波的 ，更高次模的截止波，更高次模的截止波長

28、更短，可見，當該波導中為真空時，僅能傳輸的模式為長更短，可見，當該波導中為真空時，僅能傳輸的模式為TE10波波。 )mm(50c)mm(25c若填充若填充 的理想介質，則工作波長為的理想介質，則工作波長為4r)mm(15r可見，可以傳輸可見，可以傳輸TE10波及波及TE20波，而且還可存在其它模式。詳細計算表明，波，而且還可存在其它模式。詳細計算表明，TE01，TE30，TE11，TM11，TE21，TM21等模式均可傳輸。等模式均可傳輸。 2022-3-192022-3-1925254. 矩形波導中的矩形波導中的TE10波波 令令 ，求得矩形波導中的常用模式，求得矩形波導中的常用模式TE10

29、波方程為波方程為0 , 1nmzkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj其余分量為零。其余分量為零。)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHtEzyr對應的瞬時值為對應的瞬時值為2022-3-192022-3-192626gHzHxEyzyyHxEyHzxa 下圖下圖給出了給出了t = 0 時刻，矩形波導中時刻，矩形波導中TE10波場強沿波場強沿 z 方向及方向及 x 方向的方向的場分布。場分布。 沿沿 x 方向

30、為方向為駐波駐波，沿，沿 z 方向為方向為行波行波。Hz 的振輻沿的振輻沿 x 按余弦分布，按余弦分布， Hz 及及 Ez 的振幅沿的振幅沿 x 按正弦分布，但三者振幅均與按正弦分布，但三者振幅均與 y 無關。無關。 根據理想導體表面僅可存在法向電場及切向磁場的邊界條件，即可根據理想導體表面僅可存在法向電場及切向磁場的邊界條件，即可理解這些分布規(guī)律的必然性。理解這些分布規(guī)律的必然性。根據這些變化規(guī)律，也可用根據這些變化規(guī)律，也可用電場線電場線及及磁場線磁場線表示表示TE10波的電磁場分布。波的電磁場分布。 2022-3-192022-3-192727xzyxyzgba磁場線磁場線電場線電場線z

31、yx內壁電流內壁電流)sin(cos2),(0zktxaHtHzzr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHktHzzxr)2sin(sin2),(2c0zktxaakHtEzyrZ=0Z=/2Z= -/22022-3-192022-3-192828幾種高次模的場分布幾種高次模的場分布TE10TE11TE20TE21TM21TM11電場線電場線磁場線磁場線2022-3-192022-3-192929TE10波的波的截止波長截止波長、相速相速、波導波長波導波長及及能速能速。 令令 m = 1, n = 0，求得，求得TE10波的截止波長為波的截止波長為a2cTE10波的截止波長為寬壁寬度

32、的兩倍，波的截止波長為寬壁寬度的兩倍，與窄壁尺寸無關與窄壁尺寸無關。 根據根據截止波長，利用前式即可截止波長，利用前式即可分別求得相速及波導波長為分別求得相速及波導波長為2p21avv2g21a 為了說明為了說明TE10波的相速、波導波長及能速的物理意義以及它們之間波的相速、波導波長及能速的物理意義以及它們之間關系，將分量改寫為關系，將分量改寫為 zkxaxayzEEjjj0e )ee (2022-3-192022-3-193030)sincos(j0)sincos(j0eezxkzxkyEEE再利用一些三角公式，可將上式改寫為再利用一些三角公式，可將上式改寫為此式表明，此式表明，TE10波可

33、看成是由傳播常數為波可看成是由傳播常數為 k 的，的， 但傳播方向不同的兩個但傳播方向不同的兩個均勻平面波的合成波均勻平面波的合成波。 xza 根據上式，兩個平面波的傳播途根據上式，兩個平面波的傳播途徑如左圖示。徑如左圖示。 可見，兩個平面波的傳播方向位于可見，兩個平面波的傳播方向位于 xz 平面，平面， 而且這兩個均勻平面波又可而且這兩個均勻平面波又可合并為在兩個窄壁之間來回反射的一個合并為在兩個窄壁之間來回反射的一個均勻平面波。均勻平面波。 考慮到考慮到 ，當，當 時，時， ，由圖可見，該均勻平面波在兩個窄，由圖可見，該均勻平面波在兩個窄壁之間垂直來回反射，因此，無法傳播而被截止。壁之間垂

34、直來回反射，因此，無法傳播而被截止。 c0cosc2022-3-192022-3-193131 既然既然TE10波可以分解為兩個均勻平面波的合成，那么，兩個均勻平波可以分解為兩個均勻平面波的合成，那么，兩個均勻平面波的波峰相遇處形成合成波的面波的波峰相遇處形成合成波的波峰波峰，而兩個均勻平面波的波谷相遇處，而兩個均勻平面波的波谷相遇處形成合成波的形成合成波的波谷波谷。 左圖中以實線表示均勻平面波左圖中以實線表示均勻平面波的的波峰，以虛線表示均勻平面波波峰，以虛線表示均勻平面波波峰。波峰。xzaABCD若波導為真空，則若波導為真空，則AC長度等于真空中波長。由圖示的幾何關系可得長度等于真空中波長

35、。由圖示的幾何關系可得 顯然，線段顯然，線段AB長度等于波導波長，長度等于波導波長，AC長度等于工作波長。長度等于工作波長。2gcos1sin2cg12022-3-192022-3-193232 另外，由圖可見，平面波另外，由圖可見，平面波由由 A 點至點至 C 點的相位變化為點的相位變化為 2 ，而合，而合成波的空間相位變化時經過距離為成波的空間相位變化時經過距離為 AB，可見，合成波的相速大于均勻，可見，合成波的相速大于均勻平面波的相速，由圖示的幾何關系求出平面波的相速，由圖示的幾何關系求出xzaABCDsinpvv 2cp1vv 再從能量傳播的觀點來看，當平面波再從能量傳播的觀點來看，當

36、平面波攜帶的能量由攜帶的能量由 A 傳播到傳播到C時，就傳播方向時，就傳播方向 Z 而言，此能量傳輸的距離僅為而言，此能量傳輸的距離僅為AD長度，可見波導傳長度，可見波導傳輸能量的速度小于均勻平面波的能量速度，由圖示的幾何關系求出輸能量的速度小于均勻平面波的能量速度，由圖示的幾何關系求出TE10波的能速為波的能速為sinevv 2ce1vv2022-3-192022-3-193333例例 若內充空氣的矩形波導尺寸為若內充空氣的矩形波導尺寸為 ，工作頻率為，工作頻率為3GHz。如果。如果要求工作頻率至少高于主模要求工作頻率至少高于主模TE10波的截止頻率的波的截止頻率的20%，且至少低于，且至少

37、低于TE01波的截止頻率的波的截止頻率的20%。試求：。試求：波導尺寸波導尺寸a及及b；根據所設計的根據所設計的波導，計算工作波長，相速，波導波長及波阻抗。波導，計算工作波長，相速，波導波長及波阻抗。2 a解解 TE10波的截止波長波的截止波長 ，對應的截止頻率，對應的截止頻率 。TE01波波的截止波長的截止波長 ，對應的截止頻率，對應的截止頻率 ，按題意要求，應該滿足，按題意要求，應該滿足 a2caccf2ccb2cbcf2c2 . 121039ac8 . 021039bc由此求得由此求得 ， ，取，取 ， 。m06. 0am04. 0bm06. 0am04. 0b 工作波長，相速，波導波長

38、及波阻抗分別為工作波長，相速，波導波長及波阻抗分別為m1 . 0fc32p1042. 521acv182. 0212ga)(682212TE10aZZ2022-3-192022-3-1934348. 諧振腔諧振腔 在米波以上的微波波段，集中參數的在米波以上的微波波段，集中參數的LC 諧振電路無法使用，經常諧振電路無法使用，經常使用相應波段的傳輸線形成諧振器件，這種諧振器件稱為使用相應波段的傳輸線形成諧振器件，這種諧振器件稱為諧振腔諧振腔。 因為隨著頻率升高，必須減小電感量和電容量，但是當因為隨著頻率升高，必須減小電感量和電容量，但是當LC 很小時，很小時，分布參數的影響不可忽略。電容器的引線電

39、感、線圈之間以及器件之間分布參數的影響不可忽略。電容器的引線電感、線圈之間以及器件之間的分布電容必須考慮。這就意味著，在米波以上波段，很難制造單純的的分布電容必須考慮。這就意味著，在米波以上波段，很難制造單純的電容及電感元件。此外，隨著頻率升高，回路的電磁輻射效應、趨膚效電容及電感元件。此外，隨著頻率升高，回路的電磁輻射效應、趨膚效應顯著增強，電容器中的介質損耗也隨之增加，這些因素導致集中參數應顯著增強，電容器中的介質損耗也隨之增加，這些因素導致集中參數的諧振電路的品質因素的諧振電路的品質因素Q 值顯著下降。值顯著下降。本節(jié)介紹由金屬波導形成的諧振腔的原理及特性。本節(jié)介紹由金屬波導形成的諧振腔

40、的原理及特性。 2022-3-192022-3-193535 當矩形波導終端短路時，電磁波將被全部反射，在波導中形成駐波。當矩形波導終端短路時，電磁波將被全部反射，在波導中形成駐波。若矩形波導工作于主模，若矩形波導工作于主模，TE10波的電場僅有橫向分量，短路端形成電場駐波的電場僅有橫向分量，短路端形成電場駐波的波節(jié)。在離短路端半個波導波長處，又形成第二個電場駐波的波節(jié)。波的波節(jié)。在離短路端半個波導波長處，又形成第二個電場駐波的波節(jié)。若在此處放置一塊橫向短路片，仍然滿足電場邊界條件，如下圖示。若在此處放置一塊橫向短路片，仍然滿足電場邊界條件，如下圖示。 dg /2baxyz 這樣，電磁波在短路

41、端及短路片這樣，電磁波在短路端及短路片之間來回反射形成之間來回反射形成駐波駐波。根據。根據TE10波波的場強公式及邊界條件，求得該金屬的場強公式及邊界條件，求得該金屬腔中電磁場方程式為腔中電磁場方程式為xaHHzkzkzzzcos)ee (jj0 xaaHkHzkzkzxzzsin)ee (jjj0 xasin)e-(eaHjEzjkzjk0yzzzkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj2022-3-192022-3-193636xazkHHzzcos)sin(j20 xazkaHkHzzxsin)cos(j20 xazkaH

42、Ezysin)sin(20利用三角公式，上式又可寫為利用三角公式，上式又可寫為 此式表明，金屬腔中的電場及磁場在此式表明，金屬腔中的電場及磁場在 x 及及 z 方向上均形成駐波，但電方向上均形成駐波，但電場駐波及磁場駐場駐波及磁場駐 波的時間相位差為波的時間相位差為 。當電場能量達到最大值時，磁。當電場能量達到最大值時，磁場能量為零；反之，當磁場能量達到最大值時，電場能量為零。電磁能場能量為零；反之，當磁場能量達到最大值時，電場能量為零。電磁能量在電場與磁場之間不斷地交換，而且無須外界輸入能量一直存在，這量在電場與磁場之間不斷地交換，而且無須外界輸入能量一直存在，這種現象稱為種現象稱為諧振諧振

43、。因此這種金屬腔稱為。因此這種金屬腔稱為諧振腔諧振腔，它可作為微波電路中的，它可作為微波電路中的諧振器件。諧振器件。 2zkzzxaHHj0ecoszkzxzxaakHkHj2c0esinjzkyzxaakHEj2c0esinj2022-3-192022-3-193737 對于尺寸一定的諧振腔，僅對特定的頻率發(fā)生諧振現象。發(fā)生諧振對于尺寸一定的諧振腔，僅對特定的頻率發(fā)生諧振現象。發(fā)生諧振的頻率稱為的頻率稱為諧振頻率諧振頻率，對應的波長稱為，對應的波長稱為諧振波長諧振波長。顯然，只要諧振腔的長度為顯然，只要諧振腔的長度為 , 3 , 2 , 1 ,2glld均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。因此，諧

44、振腔的諧振頻率具有均可滿足邊界條件，即發(fā)生諧振。因此，諧振腔的諧振頻率具有多值性多值性。又因波導波長還與模式有關，因此，模式不同，諧振頻率也不同。又因波導波長還與模式有關，因此，模式不同，諧振頻率也不同。已知矩形波導中已知矩形波導中z 向傳播常數為向傳播常數為2222bnamkkz當當 時，時， ， ，代入上式，得，代入上式，得2gld ldkzdlkz222dlbnamklzkzg2lk22lklzzz2022-3-192022-3-193838考慮到考慮到 ，求得諧振波長，求得諧振波長 及諧振頻率及諧振頻率 分別為分別為 fk22mnlmnlf2222dlbnammnl22221dlbna

45、mfmnl可見，諧振波長或諧振頻率不僅與諧振腔的尺寸有關，可見，諧振波長或諧振頻率不僅與諧振腔的尺寸有關， 還與波導中的工還與波導中的工作模式有關，每組（作模式有關，每組（mnl）對應于一種模式。例如）對應于一種模式。例如TE101模式代表矩形波導模式代表矩形波導諧振腔工作于諧振腔工作于TE10波，腔長為半個波導波長。波，腔長為半個波導波長。 為了有效地設計諧振腔的耦合及調諧裝置，必須了解諧振腔中的場為了有效地設計諧振腔的耦合及調諧裝置，必須了解諧振腔中的場分布。分布。 2022-3-192022-3-193939下圖給出了矩形諧振腔工作于下圖給出了矩形諧振腔工作于TE101模式時的場結構。模

46、式時的場結構。 xzyxyzbad磁場線磁場線電場線電場線 和一切諧振器件一樣，實際的和一切諧振器件一樣，實際的諧振腔總存在一定的損耗。為了衡諧振腔總存在一定的損耗。為了衡量諧振器件的損耗大小，通常使用量諧振器件的損耗大小，通常使用品質因素品質因素Q 值，其定義為值，其定義為lPWQ0式中式中0 為諧振角頻率，為諧振角頻率，W 為腔中總儲能，也就是電場儲能的時間最大值為腔中總儲能，也就是電場儲能的時間最大值或磁場儲能的時間最大值，或磁場儲能的時間最大值，Pl 為腔中的損耗功率。為腔中的損耗功率。 根據前述根據前述TETE1010波的波的場強公式，求出電場儲能的時間最大值為場強公式，求出電場儲能

47、的時間最大值為22022032| HbdaWxazkaHEzysin)sin(20PWRILIRLQ022002022-3-192022-3-194040 與計算波導壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中與計算波導壁的損耗方法相同，可以求出矩形諧振腔中TE101模式模式的損耗功率為的損耗功率為 2023333|222HRdbdaddabaPSl)22(43333233230bdaddabaRbdaQS 將這些結果代入將這些結果代入 值公式，求得矩形波導諧振腔工作于值公式，求得矩形波導諧振腔工作于TE101模模式時的式時的 值為值為QQTE101模式的諧振角頻率為模式的諧振角頻率為2210110

48、1112daf那么，那么，TE101模式的模式的Q 值可表示為值可表示為)22(4)(3333322101bdaddabaRdaZbQS式中式中 Z2022-3-192022-3-194141 波導諧振腔可以獲得很高的波導諧振腔可以獲得很高的Q 值。由于圓波導的腔壁損耗較小，圓值。由于圓波導的腔壁損耗較小，圓柱諧振腔的柱諧振腔的Q 值更高，它比矩形腔獲得更加廣泛的應用。值更高，它比矩形腔獲得更加廣泛的應用。 圓柱諧振腔的諧振頻率及其圓柱諧振腔的諧振頻率及其Q 值計算，方法同前，其結果如下：值計算，方法同前，其結果如下：對于對于TM波波 22TM21dlaPfmndadalPQmn21222TM

49、對于對于TE波波22TE21dlaPfmn2223222TE212)(2)(1dPamldadaldaPalPPmQmnmnmnmn2022-3-192022-3-194242 左圖給出了圓柱腔的左圖給出了圓柱腔的Q 值與尺寸的關系，由圖可見，值與尺寸的關系，由圖可見，TE01l 模式具有較高的模式具有較高的Q 值。值。TE011模式的最大模式的最大Q 值發(fā)生在值發(fā)生在 d 2a 附近。若附近。若 = 3cm，則，則Q 值可達值可達1044104。 提高諧振腔提高諧振腔 Q 值的方法值的方法與減小波導壁損耗的方法相與減小波導壁損耗的方法相同。此外，體積應盡可能大同。此外，體積應盡可能大一些，以

50、增加儲能。腔壁面一些，以增加儲能。腔壁面積應盡可能小一些，以減小積應盡可能小一些，以減小損耗。損耗。2022-3-192022-3-194343 例例 試證波導諧振腔對于任何模式的諧振波長試證波導諧振腔對于任何模式的諧振波長 均可表示為均可表示為r, 3 , 2 , 1 212ccrldl式中式中 為截止波長，為截止波長，d 為諧振腔的長度。為諧振腔的長度。c 解解 已知無論何種波導，其傳播常數已知無論何種波導，其傳播常數 均為均為zk2c22kkkz2c2r222dl已知當已知當 時，時， ， ，均可發(fā)生諧振，均可發(fā)生諧振，將其代入上式，且考將其代入上式，且考慮到慮到 及及 ，得，得r2kc

51、c2k2gld ldkzdlkz將上式整理后，即求得上述一般公式。將上式整理后，即求得上述一般公式。 2022-3-192022-3-194444 例例 國產紫銅矩形波導尺寸為國產紫銅矩形波導尺寸為a=2.286cm, b = 1.016cm(a=2.286cm, b = 1.016cm(型號為型號為BJ=100, BJ=100, 這里這里BJBJ表示標準矩形波導表示標準矩形波導, 100(, 100(10108 8 Hz)Hz)表示中心頻率表示中心頻率) )。 (1) (1) 內部為空氣內部為空氣, , 當工作于當工作于f=10 GHzf=10 GHz時時, , 該波導能傳輸什么模式該波導能

52、傳輸什么模式? ? 其其1 m1 m長的衰減為多少長的衰減為多少 dB?dB? (2) (2) 若充填若充填r r=4 =4 的理想介質的理想介質, , 能傳輸的模式有無改變能傳輸的模式有無改變? ? 解解 (1) (1) 內部為空氣時的工作波長為內部為空氣時的工作波長為 cmfc31010310100 對對TETE1010模模, , c c=2a = 4.572cm; =2a = 4.572cm; 對對TETE2020模模, , c c = a = 2.286 cm; = a = 2.286 cm; 其它模其它模c c更短。因此該波導僅能傳輸更短。因此該波導僅能傳輸TETE1010模。模。

53、2022-3-192022-3-194545(2) (2) 對充填對充填r r=4 =4 理想介質的波導理想介質的波導, , 媒質波長為媒質波長為 cmrp5 . 1 對對TETE10 10 和和TETE20 20 模均有模均有c c 。除它們能傳輸外。除它們能傳輸外, , 還可能傳播其它模還可能傳播其它模式 。 對式 。 對 T ET E0 10 1模模 , ,c c= 2= 2b b= 2 . 0 3 2 c m ; = 2 . 0 3 2 c m ; 對對 T ET E1 11 1和和 T MT M1 11 1模模 , , ; ; 對對TETE3030模模, , c c =2 =2a a/3 = 1.524cm; /3 = 1.524cm; 對對TETE2121和和TMTM2121模模, , 以上這些模都能在以上這些模都能在此波導中傳輸。此波導中傳輸。 cmbaabc857. 1/222cmbaabc519. 14/2222022-3-192022-3-194646 例例 由紫銅矩形波導由紫銅矩形波導BJ-48(a=4.755cm, b = 2.215 cm)BJ-48(a=4.755cm, b =