第3章矩陣的初等變換與線性方程組

1、-1-2-矩陣的初等變換矩陣的初等變換 24412422321321321xxxxxxxxx用用Gauss消元法求解下面方程組消元法求解下面方程組 方程組與增廣矩陣是方程組與增廣矩陣是關(guān)系關(guān)系, 我們用增廣我們用增廣矩陣來寫求解過程矩陣來寫求解過程 241412114212A 引例引例-3- 241412114212A21rr 241442121211 首先搞清一個概念首先搞清一個概念: :什么是什么是? ?同解方程同解方程組也稱組也稱.(.(注注: :等價與同解有點(diǎn)小區(qū)別等價與同解有點(diǎn)小區(qū)別, ,這里這里就不區(qū)分了就不區(qū)分了) )-4-122rr 134rr 241442121211 243

2、022301211 42002230121123rr 321r 210022301211 210060303011322rr 312rr 231r 210020103011-5- 21002010301121rr 210020101001得到同解方程組得到同解方程組(就是解就是解) 221321xxx-6-(3) 把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上，把矩陣的某一行乘上一個數(shù)加到另一行上， 稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、稱矩陣的下面三種變換分別為第一、第二、第三種第三種(1) 交換矩陣的某兩行，記為交換矩陣的某兩行，記為jirr (2) 以不等于的數(shù)乘矩陣的某一行，記為以不等于的數(shù)乘矩

3、陣的某一行，記為irk 記為記為jirkr 類似定義三種類似定義三種jiijikcckkccc )3()0()2()1(以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的-7-jirr 逆變換逆變換;jirr ikr逆變換逆變換irk1jikrr 逆變換逆變換jikrr 初等列變換也有類似的結(jié)果初等列變換也有類似的結(jié)果-8-等價關(guān)系等價關(guān)系在一個集合在一個集合 S 中如果有一種關(guān)系中如果有一種關(guān)系 R 滿足滿足 (1) 自反性：自反性：aRa; (2) 對稱性：對稱性：aRb bRa; (3) 傳遞性：傳遞性：aRb, bRc aRc。則稱則稱 R 為為 S 的一個的一個等價關(guān)系等價關(guān)系。 有了

4、等價關(guān)系就可以把有了等價關(guān)系就可以把S的元素進(jìn)行分類，把相互等價的元的元素進(jìn)行分類，把相互等價的元素歸于同一類，稱為等價類。即同一類中的元素都等價，不同素歸于同一類，稱為等價類。即同一類中的元素都等價，不同類中的元素不等價。在等類價中通常選一個類中的元素不等價。在等類價中通常選一個“簡單簡單”的元素作的元素作為代表，在矩陣中常稱這個代表為某某標(biāo)準(zhǔn)形。為代表，在矩陣中常稱這個代表為某某標(biāo)準(zhǔn)形。-9- 在在 的矩陣集合的矩陣集合 中中, 如果如果 ,則稱則稱 A 與與 B 具有具有行相抵行相抵的關(guān)系的關(guān)系,問問行相抵行相抵是不是是不是 中的一個等價關(guān)系中的一個等價關(guān)系?nm rABnmR nmR

5、在與方程組增在與方程組增廣矩陣行相抵的矩陣中廣矩陣行相抵的矩陣中,找一個最簡單的找一個最簡單的,然后求解然后求解這個最簡單的矩陣所對應(yīng)的方程組這個最簡單的矩陣所對應(yīng)的方程組. 以后我們把這個最簡單的矩陣叫做以后我們把這個最簡單的矩陣叫做(行行)最簡階最簡階梯形矩陣梯形矩陣.Gauss消元法的思想又可表述為消元法的思想又可表述為,-10- 0000100021200211 00000000002100010230下面形狀的矩陣稱為下面形狀的矩陣稱為(行行)階梯形矩陣階梯形矩陣下面形狀的矩陣稱為下面形狀的矩陣稱為(行行)最簡階梯形矩陣最簡階梯形矩陣 0000100001100201 0000000

6、0002100010210-11- 只用初等行變換必能將矩陣化為階梯形，只用初等行變換必能將矩陣化為階梯形，從而再化為最簡階梯形。階梯形不唯一，最簡階梯形從而再化為最簡階梯形。階梯形不唯一，最簡階梯形唯一。唯一。-12- 97963422644121121112 9796321132211124121121rr 321r 3433063550022204121132rr 143rr 132rr 31000620000111041211221r243rr 235rr 00000310000111041211 0000031000301104010143rr 342rr 21rr 32rr 例例1

7、-13- 下面討論對一個矩陣實(shí)施初等變換下面討論對一個矩陣實(shí)施初等變換(既可用行變既可用行變換又可用列變換換又可用列變換)能把矩陣化成最簡單的形狀是什么能把矩陣化成最簡單的形狀是什么?如果如果 ,則稱則稱 (也稱也稱)BA 在在 中相抵關(guān)系是不是一個等價關(guān)系中相抵關(guān)系是不是一個等價關(guān)系?nmR -14- 用初等變換必能將矩陣化為如下用初等變換必能將矩陣化為如下（也稱（也稱）：）： OOOEr等價標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。等價標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。(等價標(biāo)準(zhǔn)形定理等價標(biāo)準(zhǔn)形定理)-15- 97963422644121121112 00000310003011040101例例2（接例（接例1）r43 cc 000

8、00001000001000001 00000301003001040001 00000301003101041001214ccc 3215334cccc OOOEr形狀為形狀為-16-17-初等矩陣初等矩陣 矩陣初等變換前后兩個矩陣之間的關(guān)系是矩陣初等變換前后兩個矩陣之間的關(guān)系是什么？什么？BA, 如何把它們用等號聯(lián)系起來？如何把它們用等號聯(lián)系起來？-18-? jTiAeAe回顧回顧 333231232221131211aaaaaaaaaA31rr Baaaaaaaaa 131211232221333231 AeAeAeBTTT123AeeeTTT 123 33323123222113121

9、1001010100aaaaaaaaa把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的左左邊！邊！-19- 333231232221131211aaaaaaaaaA2krBaaakakakaaaa 333231232221131211 AeAkeAeBTTT321AekeeTTT 321 33323123222113121110000001aaaaaaaaak把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的左左邊！邊！-20- 333231232221131211aaaaaaaaaA13rkr Bkaakaakaaaaaaaa 1333123

10、21131232221131211 AkeeAeAeBTTTT)(1321AkeeeeTTTT 1321 33323123222113121110010001aaaaaaaaak把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的左左邊！邊！-21- 333231232221131211aaaaaaaaaABaaaaaaaaa 32333122232112131132cc 010100001333231232221131211aaaaaaaaa,231AeAeAeB ,231eeeA 把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的右右邊！邊！-

11、22- kaaaaaaaaa000100013332312322211312113kcBkaaakaaakaaa 333231232221131211 333231232221131211aaaaaaaaaA)(,321keAAeAeB ,321keeeA 把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的右右邊！邊！-23- 10001001333231232221131211kaaaaaaaaa13kcc 333231232221131211aaaaaaaaaABkaaaakaaaakaaaa 313332312123222111131211)(,1321keeAA

12、eAeB ,1321keeeeA 把單位矩陣作同樣變換得把單位矩陣作同樣變換得到的矩陣放在到的矩陣放在A的的右右邊！邊！-24- 把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等把單位矩陣分別作第一、第二、第三種初等行變換得到的矩陣分別稱為第一、第二、第三種行變換得到的矩陣分別稱為第一、第二、第三種初等初等矩陣矩陣。E),(jiEjirr 記號記號)( kiEirkE)(,(kjiEjikrr E-25- 1000100013kr k000100013kc 100010001)(3(kE 10001000113krr 10010001k31kcc 100010001)( 1 , 3(kE 1000100

13、0131rr 001010100 10001000131cc)3 , 1(E-26- 初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是初等矩陣都是可逆的，且其逆矩陣仍是同一種初等矩陣。同一種初等矩陣。),(),(1jiEjiE )()(11kiEkiE )(,()(,(1kjiEkjiE 為什么為什么?001100001001100001 ?1000/1000110000001 kk?1001000110010001 kk回想它們逆變換？再驗(yàn)證如下：回想它們逆變換？再驗(yàn)證如下：-27-() -28-20082008100010101987654321100001010 7200896742008654120

14、08321例例1-29-例例2行行的的第第交交換換階階可可逆逆矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)1)2(A，nnA )(2則則行得到矩陣行得到矩陣與第與第，B* )(BAA的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換* )(BAB的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換* )(BAC 的第一列與第二列得到的第一列與第二列得到交換交換* )(BAD 的第一行與第二行得到的第一行與第二行得到交換交換BAE )2 , 1(1* BBB11)2 , 1( EAA)2 , 1(*EA -30- OOOEArnm根據(jù)根據(jù)“左行右列左行右列”原則和原則和“等價標(biāo)準(zhǔn)形定理等價標(biāo)準(zhǔn)形定理”得一些有用的推論：得一些有用

15、的推論：推論推論1存在有限個初等矩陣存在有限個初等矩陣 和和sPPP,21 OOOEQQAQPPPrts2112tQQQ,21使得使得-31-在推論在推論 1 中如果中如果 A 可逆可逆, 右邊的標(biāo)準(zhǔn)形是什么？右邊的標(biāo)準(zhǔn)形是什么？EQQAQPPPts 2112111111 QQPPAts注意到初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，又得注意到初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣，又得 任一可逆矩陣必可分解為有限個初等矩陣任一可逆矩陣必可分解為有限個初等矩陣的乘積。從而的乘積。從而, 矩陣可逆的充要條件是它可分解為矩陣可逆的充要條件是它可分解為有限初等矩陣的乘積。有限初等矩陣的乘積。 推論推論2-32- 設(shè)設(shè) A

16、 是可逆矩陣是可逆矩陣,則則A- -1也是可逆矩陣也是可逆矩陣,由推論由推論2，A- -1 可分解為初等矩陣的乘積：可分解為初等矩陣的乘積：121PPPAl 把上式用左行右列原則看又得：把上式用左行右列原則看又得：A 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 .EAr推論推論3EAPPPEAAl 121思考思考:EPPAPEAAl 121-33-BA A 與與 B 等價等價(即即 )的充要條件是存在的充要條件是存在可逆矩陣可逆矩陣 P 和和 Q 使得使得nmnnmmBQAP 推論推論4根據(jù)以上分析，根據(jù)以上分析， (1) 用可逆矩陣用可逆矩陣P左乘左乘矩陣矩陣A , 相當(dāng)于對相當(dāng)于對A作了一系作了一系

17、列的初等列的初等行變換行變換，反之，反之. (2) 用可逆矩陣用可逆矩陣Q右乘右乘矩陣矩陣A , 相當(dāng)于對相當(dāng)于對A作了一系作了一系列的初等列的初等列變換列變換，反之，反之.-34-設(shè)設(shè) 即有初等矩陣即有初等矩陣 使得使得EArlPPP,21EAPPPl 12問問 1A? EAP1 EPAP11作一次行變換作一次行變換再作一次行變換再作一次行變換 EAPP12 EPPPAPPPll1212繼續(xù)繼續(xù) EAPPPl12 EPPAPP1212考慮對考慮對 作行變換作行變換 EAE1 A-35- 24412422321321321xxxxxxxxx 100414010211001212EA例例321r

18、r 100414001212010211（把第（把第1節(jié)解方程組的題重做）節(jié)解方程組的題重做）bAx 記為記為122rr 134rr 140430021230010211 12120002123001021123rr -36-321r 2/112/1100021230010211 2/112/1100102030111011322rr 312rr 231r 2/112/11003/103/201011101121rr 2/112/11003/103/20103/213/1001 1A 36320446261bAx 的解的解bAx1 21436320446261 2211212661-37- 2

19、41412114212bAAr 210020101001回憶第回憶第 1 節(jié)用節(jié)用 Gauss 消元法是這樣做的消元法是這樣做的:直接就得到方程組的解，而且更簡單。直接就得到方程組的解，而且更簡單。這實(shí)際上是把求這實(shí)際上是把求 和計(jì)算和計(jì)算 合并完成了。合并完成了。1 AbA1 EAEEPPPAPPPll11212 EAPPPl12再看看求逆的原理：再看看求逆的原理：換成換成 b 如何？如何？-38-矩陣方程矩陣方程 AX=B (假設(shè)假設(shè) A 可逆可逆)，如何求解？，如何求解？：先求：先求 ，再計(jì)算，再計(jì)算1 ABAX1 ：, XEBArBAX1 則則：求：求 ，再計(jì)算，再計(jì)算1 A1 BAX

20、XA=B (假設(shè)假設(shè) A 可逆可逆) ？ TrTTXEBA BXATTTBXA ：-39- 100110111A 200020102BBABAAXAXB 22例例3解矩陣方程解矩陣方程解解BABAAXAXB 22BEBAEBAX )()(2BEBAXA )(BAEBAX1)( DC-40- 200020102100110111BA 200220322100010001r 222322C 101101DTTTCAXDCDAX )()( 223101022010002001TTCD 225100022010002001r-41-FAXT 225222)( 222522111111TFAX 3336

21、13-42-43-3.3 矩陣的秩矩陣的秩 OOOEr在矩陣在矩陣 的等價標(biāo)準(zhǔn)形中的等價標(biāo)準(zhǔn)形中nmA 數(shù)數(shù) r 由由 A 惟一確定惟一確定,它也是它也是 A 的階梯形矩陣的非零行的階梯形矩陣的非零行數(shù)，稱之為矩陣數(shù)，稱之為矩陣 A 的的。這個數(shù)特別重要：。這個數(shù)特別重要： , 設(shè)設(shè) A 是是 n 階的方陣階的方陣, 如果如果 r = n ,則則 A 可逆可逆, 否則否則 r n，則，則 A 不可逆不可逆. ，對方程組，對方程組 Ax = b ,增增廣矩陣的秩就是獨(dú)立方程的個數(shù)。廣矩陣的秩就是獨(dú)立方程的個數(shù)。-44- 在矩陣在矩陣 A 中中, 任取任取 k 行行 k 列列, 位于這些行列交點(diǎn)位

22、于這些行列交點(diǎn)上的元素按原次序構(gòu)成的上的元素按原次序構(gòu)成的 k 階行列式階行列式, 稱為稱為 A 的的 . 132212210101A12002221122121001132121011例如例如等等等等, 它們都是二階子式它們都是二階子式.等等等等, 它們都是三階子式它們都是三階子式.每一個元素都是一階子式每一個元素都是一階子式.-45- 矩陣矩陣A的非零子式的最高階數(shù)的非零子式的最高階數(shù), 稱為稱為A的的, 記記做做r(A). .規(guī)定規(guī)定:零矩陣的秩是零零矩陣的秩是零. 510231202231A022031 0102120231 0502320231 0510312223 05123102

23、21 2r A例如例如-46-(2) mn 的矩陣的矩陣 A , 其秩最大可能是其秩最大可能是?r(A)min(m, n)(3) A 有一個有一個 r 階子式不為零階子式不為零,其秩至少是其秩至少是?r(A)r(4) A 有一個有一個 r 階子式不為零階子式不為零, 且所有且所有 r + 1 階都等于零階都等于零, 所有所有 r + 2 子式都等于子式都等于 , A 的秩等于的秩等于 如果如果 A 的所有的所有 r 階子式都等于零階子式都等于零, A 的秩最大可能是的秩最大可能是 。(5) r(A) ? = r(AT)零零r(6) A為為 n 可逆矩陣的充要條件是可逆矩陣的充要條件是 r(A)

24、 = r(A) = r(AT)n(7) A = O 的充要條件是的充要條件是 r(A) = 0r1(1) 矩陣的秩是否惟一矩陣的秩是否惟一?當(dāng)然惟一當(dāng)然惟一滿秩矩陣滿秩矩陣-47- A B31rr 設(shè)設(shè) r(A)=r 且且0)( ArD0)()( ArBrDDjirr BA (1)例如例如從而，從而，r(B)r(A)，又第一種初等行變換是可逆的，其逆仍是第，又第一種初等行變換是可逆的，其逆仍是第一種初等行變換，所以又有一種初等行變換，所以又有r(A)r(B)，綜上，綜上 r(A)=r(B)。(P68 定理定理3)-48-(2)BA irk 00)()()()( ArBrArBrkDDDD或或例

25、如例如 A kkkkB2kr與前面同樣的道理與前面同樣的道理,第二種初等行變換不改變矩陣的秩。第二種初等行變換不改變矩陣的秩。-49-jirr BA 21krr 00)()( BrBrDD或或 A kkkkB21krr 0)()( ArBrDkkkD)()()(BrArBrDkDkkkD ,0)()()(不不同同時時為為零零與與BrBrArDDD 例如例如因此矩陣的秩不變。因此矩陣的秩不變。BA jikrr ，由于，由于 時結(jié)論成立，只需考慮時結(jié)論成立，只需考慮(3)-50-(4) 以上證明了初等行變換不改變矩陣的秩，即以上證明了初等行變換不改變矩陣的秩，即 r(PA) = r(A) (P是初

26、等矩陣是初等矩陣)，考慮轉(zhuǎn)置，考慮轉(zhuǎn)置 r(ATPT) = r(AT) 即知初等列變即知初等列變 換也不改變矩陣的秩。證畢。換也不改變矩陣的秩。證畢。又可敘述為又可敘述為:r (P m A mn Q n ) = r (A)(其中其中 P，Q 是可逆矩陣是可逆矩陣)注注：該定理回答了矩陣標(biāo)準(zhǔn)形：該定理回答了矩陣標(biāo)準(zhǔn)形 000rEA中中 r 是唯一的。它就是矩陣是唯一的。它就是矩陣 A 的秩。的秩。-51-如何求矩陣的秩？如何求矩陣的秩？！)0(000000000000000000 0 -52- 41461351021632305023A 00000840001134041461 例例1(P68

27、例例5) 求矩陣求矩陣 A 的秩的秩r3)r( A建議只用行變換建議只用行變換階梯形不唯一階梯形不唯一-53-例例2(P69 例例6) 4321,6063324208421221bA求求 和和)r(A|r)r(bAA 46063332422084211221A 00000100000120011221r, 2)r( A3)r( A-54- nmArnm,min)(0)1( )()()2(ArArT ),()()()3(可可逆逆QPArPAQr )()()(),(max)4(BrArBArBrAr )()()(),(maxBrArBArBrAr )(1)()(是是列列向向量量bArbArAr -

28、55-(4)的證明的證明:)()(BrArBAr 只證只證 OTA1r OTB2r階梯形階梯形的的行行數(shù)數(shù)1)(TAr 的行數(shù)的行數(shù)2)(TBr 階梯形階梯形考慮轉(zhuǎn)置考慮轉(zhuǎn)置 )()()()(BrArBrArBArBArTTTT )()(21的行數(shù)的行數(shù)的行數(shù)的行數(shù)TT )()(BrAr BAr 以上行以上行BAO1T2TO-56- npnnppnpbbbbbbbbbAAACCC2122221112112121,)()()()5(BrArBAr 證證BABBAc )()(BrArBArBBAr )(),(min)()6(BrArABr 證證pnnmpmBAC 記記nniiiiiAbAbAbC

29、211)()(ArOArCArCr OACAc)()()()()(BrBrABrCrCrTTTT -57-)()()(Sylvester)7(pnnmBArnBrAr 不不等等式式)()()()8(TTAArAArAr (P101 例例15)()()(BrABrnArnm )()()(BrBArmArnm nBrArOBApnnm )()()(1)(01)(1)()()9(階方陣階方陣是是 nAnArnArnArnAr (P110 習(xí)題習(xí)題27)(P101 例例13)(A稱為稱為)(A稱為稱為)-58-?6556 BA5)()( ArABr 66 AB永遠(yuǎn)是奇異矩陣永遠(yuǎn)是奇異矩陣有可能是非奇異

30、矩陣有可能是非奇異矩陣 1001001001010001例例3-59-,2EAAn 滿足滿足階方陣階方陣設(shè)設(shè)nAErAEr )()(證證明明(參見參見P71 例例8)證證OEAEAEA )(2nEArEAr )()(EAEEA2)()( nErAErEAr )2()()(nAErAEr )()(nAErAEr )()(例例4-60-OPQtQOP ,96342321,33則則(A) t = 6 時時, 必有必有 r(P) = 1(B) t = 6 時時, 必有必有 r(P) = 2(C) t 6 時時, 必有必有 r(P) = 1(D) t 6 時時, 必有必有 r(P) = 2首先首先, 2

31、)(1, 3)(1 QrPr2)(,6, 1)(,6 QrtQrt時時時時3)()( QrPr又又例例5-61-62-3.4 線性方程組的解線性方程組的解(1) 如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？如何判別方程組無解？有唯一解？有無窮多解？(2) 如何求方程組的通解？如何求方程組的通解？(3) 根據(jù)方程組解的判別定理，進(jìn)行理論證明。根據(jù)方程組解的判別定理，進(jìn)行理論證明。-63- 25262428323 243214214321421xxxxxxxxxxxxxx 0000000000541003102125121620428312131021rA解方程組解方程組例例1:把增廣矩陣化階梯形把

32、增廣矩陣化階梯形,如果如果 ,則無解則無解(為什么為什么),如果如果 則繼續(xù)化為最簡階梯形。則繼續(xù)化為最簡階梯形。)()(ArAr )()(ArAr 問問:此時此時 其含義是其含義是2)()( rArAr獨(dú)立獨(dú)立(或有效或有效)方程的個數(shù)。方程的個數(shù)。以下問題針對以下問題針對 的一般方程組來回答。的一般方程組來回答。bxAnm -64-：寫出等價的：寫出等價的(獨(dú)立的獨(dú)立的)方程組，保留第一個未知數(shù)在左邊方程組，保留第一個未知數(shù)在左邊其余的移到右邊，移到右邊的稱為其余的移到右邊，移到右邊的稱為自由變量自由變量。問問：自由變量的個數(shù)：自由變量的個數(shù) =即未知數(shù)的個數(shù)減去獨(dú)立方程的個數(shù)。即未知數(shù)的

33、個數(shù)減去獨(dú)立方程的個數(shù)。24 rn問問：何時有唯一解？何時有無窮多解？：何時有唯一解？何時有無窮多解？ 543243421xxxxx 5410031021當(dāng)出現(xiàn)自由變量時，令自量為任意數(shù)就可得到無窮多解，當(dāng)出現(xiàn)自由變量時，令自量為任意數(shù)就可得到無窮多解，當(dāng)沒有自由變量時有唯一解。即當(dāng)當(dāng)沒有自由變量時有唯一解。即當(dāng) 時，時，有無窮多解，當(dāng)有無窮多解，當(dāng) 時有唯一解。時有唯一解。nArAr )()(nArAr )()(-65-：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。：令自由變量為任意實(shí)數(shù)，寫出通解。再改寫為向量形式。2412,kxkx 令令 242312211 54 32kxkxkxk

34、kx通解通解 05031401001221kkx即即 543243421xxxxx-66-對于非齊次方程組對于非齊次方程組)0( bbxAnm如果如果 ，則無解；，則無解；)()(ArAr 如果如果 ，則有解；，則有解；)()(ArAr 當(dāng)當(dāng) 時，有唯一解；時，有唯一解；nArAr )()(當(dāng)當(dāng) 時，有無窮多解時，有無窮多解.nArAr )()(-67-對于非齊次方程組對于非齊次方程組0 xAnm當(dāng)當(dāng) 時，有唯一的零解；時，有唯一的零解；nAr )(當(dāng)當(dāng) 時，有無窮多解，即有非零解。時，有無窮多解，即有非零解。nAr )(-68-例例2(P73 例例9)求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組 0

35、340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 341122121221A 46304630122113122rrrr 解解 對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡階梯形施行初等行變換化為最簡階梯形:-69- 00003/42101221 00003/42103/520123rr 212rr 000046301221231r 寫出等價方程組并移項(xiàng)寫出等價方程組并移項(xiàng): 432431342352xxxxxx-70-2413,cxcx 令令寫出參數(shù)形式的通解寫出參數(shù)形式的通解,再改寫為向量形式再改寫為向量形式: 2413212211342352cxcxccxccx通解通解

36、.103/43/50122214321 ccxxxx即即其中其中21,cc為任意實(shí)數(shù)。為任意實(shí)數(shù)。-71-例例3 04)4(4403)3(33022)2(20)1(4321432143214321xxaxxxxaxxxxxaxxxxxa問問 a 為何值時，該方程組有非零解，并求通解。為何值時，該方程組有非零解，并求通解。 aaaaA44443333222211114 , 3 , 21 iriri aaaaaaa0040030021111a = 0 時，時，r(A)4, 有非零解。同解方程組為有非零解。同解方程組為432143210 xxxxxxxx -72-令令342312,kxkxkx 得通

37、解得通解 342312321 kxkxkxkkkx即即 100101010011321kkkx當(dāng)當(dāng) a0 時，時， 100401030012000101004010300121111aaArr當(dāng)當(dāng) a = 10 時，時，r(A) = 34,有非零解。同解方程組為有非零解。同解方程組為 121312432xxxxxx-73- （當(dāng)系數(shù)矩陣為方陣時還可用行列式法，此法往往（當(dāng)系數(shù)矩陣為方陣時還可用行列式法，此法往往簡單，建議當(dāng)系數(shù)矩陣為方陣時首選行列式法）簡單，建議當(dāng)系數(shù)矩陣為方陣時首選行列式法）令令kx 1得通解得通解 Tkx4 , 3 , 2 , 1 aaaaA 444433332222111

38、1aaaaaaa0040030021 4 , 3 , 21 icciaaaaaaa00000000010 4 , 3 , 21 icciai0 a)10(3 aa(顯然對顯然對 a = 0 也成立也成立)當(dāng)當(dāng) a = 0 或或 a = 10時有非零解。其它同前。時有非零解。其它同前。-74-例例4解解：系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法：系數(shù)矩陣是方陣首選行列式法 1232)3(122043214324324321axxxxbxxaxxxxxxxx問問 為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有為何值時，方程組有唯一解，無解，無窮多解。有無窮多解時，求通解。無窮多解時，求通解。ba,aaA12323

39、1022101111 3210231022101111 aa2)1(100010221321231221 aaaaa-75-分析分析：當(dāng)：當(dāng) 時有唯一解，當(dāng)時有唯一解，當(dāng) 時，方程組可能無解，時，方程組可能無解，也可能有無窮多解，這取決于右端項(xiàng)。此時系數(shù)矩陣中的參數(shù)也可能有無窮多解，這取決于右端項(xiàng)。此時系數(shù)矩陣中的參數(shù)已確定，只能用初等變換法加以判別。已確定，只能用初等變換法加以判別。0 A0 A當(dāng)當(dāng) 時，方程組有唯一解。時，方程組有唯一解。1 a當(dāng)當(dāng) 時時1 a 1101123221022101111bA 01100000000022101111br當(dāng)當(dāng) 時，時， ，方程組無解。，方程組無解。1 b)()(, 3)(, 2)(ArArArAr 當(dāng)當(dāng) 時，時， ，方程組有無窮多解。，方程組有無窮多解。1 b4)()( ArAr-76- 0011000000002210110100100000000022101111rrA通解為通解為 00111021012121kkx-77-例例5 bxxxxxaxxxx