勾股定理折疊問(wèn)題(1)

1、.勾股定理折疊問(wèn)題中應(yīng)用勾股定理折疊問(wèn)題中應(yīng)用.1.如圖，RtABC中，C=90，AC=6，AB=10，D為BC上一點(diǎn)，將AC沿AD折疊，使點(diǎn)C落在AB上，求CD的長(zhǎng)。ACBDC一、三角形的折疊一、三角形的折疊.2.如圖，RtABC中，C=90， D為AB上一點(diǎn)，將ABC沿DE折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，若AC=4，BC=8，求CE的長(zhǎng)。若AC=24，BC=32，求折痕DE的長(zhǎng)。ACBDE.3、已知一個(gè)直角三角形紙片、已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其其AOB=90，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊折痕與

2、邊OB交于點(diǎn)交于點(diǎn)C，與邊與邊AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D。（）若折疊后使點(diǎn)）若折疊后使點(diǎn)B與點(diǎn)與點(diǎn)A重合，求點(diǎn)重合，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； 解：（）如圖（1），折疊后點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，連接AC，則ACDBCD，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）（m0），則BC=OB-OC=4-m，于是AC=BC=4-m，在RtAOC中，由勾股定理，得AC2=OC2+OA2，即（4-m）2=m2+22，解得m= ，點(diǎn)C的坐標(biāo)為 ； .3、已知一個(gè)直角三角形紙片、已知一個(gè)直角三角形紙片OAB，其其AOB=90，OA=2，OB=4，如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙片，折痕與邊如圖，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，折疊該紙

3、片，折痕與邊OB交交于點(diǎn)于點(diǎn)C，與邊與邊AB交于點(diǎn)交于點(diǎn)D。（）若折疊后點(diǎn)）若折疊后點(diǎn)B B落在邊落在邊OAOA上的點(diǎn)為上的點(diǎn)為B B，設(shè)，設(shè)OB=xOB=x，OC=yOC=y，試寫(xiě)出，試寫(xiě)出y y關(guān)于關(guān)于x x的函數(shù)解析式，并確定的函數(shù)解析式，并確定y y的取值的取值范圍；范圍；如圖（2），折疊后點(diǎn)B落在OA邊上的點(diǎn)為B連接BC，BD，則BCD BCD，由題設(shè)OB=x，OC=y，則BC=BC=OB-OC=4-y，在RtBOC中，由勾股定理，得BC2=OC2+OB2，.二、矩形的折疊二、矩形的折疊如圖，折疊矩形紙片ABCD，先折出折痕（對(duì)角線）BD，再折疊，使AD落在對(duì)角線BD上，得折痕DG，

4、若AB = 2，BC = 1，求AG。GADABC.20cmBC 16cmAB 2.為了向建國(guó)六十周年獻(xiàn)禮，某校各班都在開(kāi)展豐富多彩的慶?；顒?dòng)，八年級(jí)（3）班開(kāi)展了手工制作競(jìng)賽，每個(gè)同學(xué)都在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成一件手工作品陳莉同學(xué)在制作手工作品的第一、二個(gè)步驟是：先裁下了一張長(zhǎng) 寬，的矩形紙片ABCD，將紙片沿著直線AE折疊，點(diǎn)D恰好落在BC邊上的F處， 請(qǐng)你根據(jù)步驟解答下列問(wèn)題：（1）找出圖中FEC的余角；（2）計(jì)算EC的長(zhǎng)DAECFB.如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，求DF的長(zhǎng)；求重疊部分AEF的面積；求折痕EF的長(zhǎng)。著色部分的

5、面積為多少？.例例3 3：矩形矩形ABCDABCD中，中，AB=6AB=6，BC=8BC=8，先把它對(duì)折，折，先把它對(duì)折，折痕為痕為EFEF，展開(kāi)后再沿，展開(kāi)后再沿BGBG折疊，使折疊，使A A落在落在EFEF上上的的A A1 1，求，求第二次折痕第二次折痕BGBG的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。A AB BC CD DE EF FA A1 1G G提示：提示：先證明正三角形先證明正三角形AAAA1 1B B.4 4、如圖，把矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上的點(diǎn)B處，點(diǎn)A落在點(diǎn)A處，(1)求證：BE=BF；(2)設(shè)AE=a，AB=b, BF=c,試猜想a、b、c之間有何等量關(guān)系，并給予證明。ABCD

6、EFAB.如圖，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=6，BC=8，將矩形折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF長(zhǎng)為_(kāi).5 5、動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的E處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng).若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)E在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 .BACEPQD.6、把圖一的矩形紙片ABCD折疊，B，C兩點(diǎn)恰好重合落在AD邊上的點(diǎn)P處（如圖二），已知MPN=90，PM=3，PN=4，那么矩形紙片ABCD的面積為_(kāi)。.7、如圖，長(zhǎng)方形、如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，中，O，F(xiàn)分別為分別為AD，CD的中

7、點(diǎn)，且點(diǎn)的中點(diǎn)，且點(diǎn)O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，AB=2，沿，沿BO將將ABO折疊，點(diǎn)折疊，點(diǎn)A恰好落在恰好落在BF上上 .（1）求）求AD的長(zhǎng)度；的長(zhǎng)度；（2）如圖，若把）如圖，若把BCF繞點(diǎn)繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到，得到BCF，求，求B的坐標(biāo)的坐標(biāo).8、（2011內(nèi)江）如圖在直角坐標(biāo)系中，矩形ABC0的邊OA在x軸上，邊0C在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折，B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E那么點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）.三、正方形的折疊三、正方形的折疊EA DABCNM將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處

8、，折痕為MN，求線段CN的長(zhǎng)求AM求折痕MN的長(zhǎng)總結(jié)：折疊的規(guī)律是，折疊部分的圖形，折疊前后，關(guān)于折痕成軸對(duì)稱，兩圖形全等。 注意利用線段關(guān)系和勾股定理列方程計(jì)算.2、如圖，ABCD為正方形，E為BC上一點(diǎn)，將正方形折疊，使A點(diǎn)與E點(diǎn)重合，折痕為MN，若EB：AB=13 ，DC+CE=10（1）求ANE的面積；（2）求sinENB的值.3、某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).活動(dòng)情境：如圖2，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與AB、DC交于點(diǎn)E、G)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處，F(xiàn)N與DC交于點(diǎn)M處，連接BF與EG交于點(diǎn)P

9、所得結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)F與AD的中點(diǎn)重合時(shí)：（如圖1）甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論（或結(jié)果）：甲：AEF的邊AE= cm，EF= cm； 乙：FDM的周長(zhǎng)為16 cm； 丙：EG=BF.你的任務(wù)：小題1:填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù)；小題2: 寫(xiě)出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過(guò)程； 小題3:當(dāng)點(diǎn)F在AD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處（如圖2）時(shí)： 試問(wèn)乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論； 丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，若你認(rèn)為成立，先證明EG=BF，再求出S（S為四邊形AEGD的面積）與x（AF=x）的函數(shù)關(guān)系式，并問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，S最大？最大值是多少？.母題（2014成都）如圖，

10、在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，A=60，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將AMN沿MN所在直線翻折得到AMN，連接AC，則AC長(zhǎng)度的最小值是_.如圖1，連接CM，過(guò)M點(diǎn)作MHCD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則由已知可得，在RtDHM中，DM= 1，HDM=60，又根據(jù)翻折對(duì)稱的性質(zhì)，AM=AM=1，最小，此時(shí)點(diǎn)A落在MC上，如圖2.M A=NA=1，.變式：（2015自貢）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，將EBF沿EF所在直線折疊得到EBF，連接BD，則BD的最小值是（）.解：當(dāng)BFE=EFD，點(diǎn)B在FD上時(shí)，根據(jù)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)BD的值最小， 根據(jù)折疊的性質(zhì)，EBF EBF， EBFD， EB=EB E是AB邊的中點(diǎn)， AE=EB 在RtEAD和RtEBD中， RtEAD和RtEBD BD=AD=