立體幾何--空間的距離.

1、立體幾何 -空間的距離一、選擇題1正方形ABCD 邊長為 2， E、 F 分別是 AB 和 CD 的中點(diǎn)，將正方形沿EF 折成直二面角 (如圖 )， M 為矩形 AEFD 內(nèi)一點(diǎn)，如果MBE= MBC ， MB 和平面 BCF 所成角的正切值為 1 ，那么點(diǎn)M 到直線 EF 的距離為 ()2A.2B.1C. 3D. 12222三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1=1，AB =4， BC=3 ， ABC=90 ,設(shè)平面 A1BC 1 與平面ABC 的交線為 l ，則 A C與 l 的距離為 ()11A.10B. 11C.2.6D.2.4二、填空題3如左下圖，空間四點(diǎn)A、 B、 C、 D 中

2、，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長都等于a，動(dòng)點(diǎn) P 在線段 AB 上，動(dòng)點(diǎn) Q 在線段 CD 上，則 P 與 Q 的最短距離為 _.4如右上圖， ABCD 與 ABEF 均是正方形，如果二面角E ABC 的度數(shù)為30，那么EF 與平面 ABCD 的距離為 _.三、解答題5.在長方體ABCD A1B1C1D 1 中， AB=4， BC=3，CC 1=2，如圖：(1)求證：平面A1BC1 平面 ACD1；1(2)求 (1) 中兩個(gè)平行平面間的距離；(3)求點(diǎn) B1 到平面 A1 BC1 的距離 .6已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1，點(diǎn) E 在棱 D 1D 上，截面 EAC D 1B 且面 EAC 與底

3、面 ABCD 所成的角為 45 ,AB=a,求：(1)截面 EAC 的面積；(2)異面直線A1B1 與 AC 之間的距離；(3)三棱錐 B1 EAC 的體積 .7如圖，已知三棱柱A1B1C1 ABC 的底面是邊長為2 的正三角形，側(cè)棱A1 A 與 AB、AC 均成 45角，且A1 E B1B 于 E， A1F CC1 于 F.(1)求點(diǎn) A 到平面 B1BCC1 的距離；(2)當(dāng) AA多長時(shí)，點(diǎn) A到平面 ABC 與平面 B BCC的距離相等 .11118如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC， ABC =1,AB=AD=a,23ADC =arccos 25 ,PA面 ABCD 且 PA=a

4、.5(1)求異面直線AD 與 PC 間的距離；(2)在線段 AD 上是否存在一點(diǎn)6F，使點(diǎn) A 到平面 PCF 的距離為.3【空間的距離參考答案】一、 1.解析：過點(diǎn)M 作 MM EF,則 MM 平面BCF MBE= MBC BM為 EBC 為角平分線，2 EBM =45 ,BM =22 ,從而 MN=2答案： A2.解析：交線 l 過 B 與 AC 平行，作 CD l 于 D，連 C D ，則 C D 為 A C與 l 的距離，1111而 CD 等于 AC 上的高，即 CD = 12,Rt C1CD 中易求得 C1D=13=2.655答案： C、 、D 為頂點(diǎn)的四邊形為空間四邊形，且為正四面

5、體，取P、Q二、 3.解析：以 A B C分別為 AB、 CD 的中點(diǎn)，因?yàn)?AQ=BQ=a, PQAB,同理可得 PQCD ，故線段 PQ 的2長為 P、Q 兩點(diǎn)間的最短距離， 在 Rt APQ 中，PQ= AQ 2AP 2(3 a) 2( a ) 22a222答案：2a24.解析：顯然 FAD 是二面角 EAB C 的平面角， FAD =30 ,過 F 作 FG 平面 ABCD于 G，則 G 必在 AD 上，由 EF 平面 ABCD . FG 為 EF 與平面 ABCD 的距離，即 FG= a .2答案： a2三、 5.(1)證明：由于 BC1 AD 1，則 BC1平面 ACD1同理， A

6、1B平面 ACD 1，則平面 A1BC1平面 ACD 1(2)解：設(shè)兩平行平面ABC與 ACD間的距離為d，則 d 等于 D1到平面 A BC的距離 .11111易求 A1C1=5，A1B=25 ，BC1=13 ，則 cosA1BC 1=261= 61,則 sinA1BC1=,則 S ABC6565111由于 VD1 A1BC1VB A1C1D1 ，則1SA1BC1d= 1(1AD1C1D1) BB1,代入求得 d=1261,即兩平33261行平面間的距離為1261.61(3)解：由于線段 B D1被平面 A BC所平分，則 B 、D到平面 ABC的距離相等，則由11111111111261(

7、2) 知點(diǎn) B到平面 A BC的距離等于61.6.解： (1)連結(jié) DB 交 AC 于 O，連結(jié) EO，底面 ABCD 是正方形 DO AC，又 ED面 ABCD EO AC，即 EOD =453又 DO=22 a， EO=DO2a， AC= EACa=a， S=2cos452(2) A1A底面 ABCD ， A1A AC，又 A1A A1B1 A1A 是異面直線A1B1 與 AC 間的公垂線又 EO BD1，O 為 BD 中點(diǎn)， D 1B=2EO=2 aD1D=2 a， A1B1與 AC 距離為2 a(3)連結(jié) B D 交 D B 于 P，交 EO 于 Q，推證出 B D面 EAC111 B

8、1Q 是三棱錐 B1 EAC 的高，得B1Q=3a2VB EAC12a2 3a2a 3132247.解： (1)BB A E，CC A F，BB CC111111 BB1平面 A1EF即面 A1EF 面 BB1C1C在 RtA1EB 1 中， A1B1E=45 ， A1B1=a2a,同理 A1 F=22 A1E=a,又 EF=a， A1E=a222同理 A1F=2a,又 EF=a2 EA1F 為等腰直角三角形，EA1 F=90過 A1 作 A1N EF，則 N 為 EF 中點(diǎn)，且 A1N平面 BCC 1B1即 A1N 為點(diǎn) A1 到平面 BCC1B1 的距離1a A1N=22又 AA1面 BC

9、C1 B， A 到平面 BCC1B1 的距離為a2 a=2 ，所求距離為2(2)設(shè) BC、 B1C1 的中點(diǎn)分別為D、D1 ，連結(jié) AD 、 DD 1 和 A1D1，則 DD 1 必過點(diǎn) N，易證ADD 1A1 為平行四邊形 . B1C1 D 1D,B1C1 A1N B1C1平面 ADD 1A1 BC平面 ADD 1A1得平面 ABC平面 ADD 1A1，過 A1 作 A1M 平面 ABC，交 AD 于 M，4若 A1M=A1N，又 A1AM = A1D1N， AMA 1=A1ND 1=90 AMA1 A1ND 1,AA 1=A1D1=3 ,即當(dāng) AA 1=3 時(shí)滿足條件 .8.解： (1) BCAD ,BC面 PBC, AD 面 PBC從而 AD 與 PC 間的距離就是直線AD 與平面 PBC 間的距離 .過 A 作 AE PB，又 AE BC AE平面 PBC， AE 為所求 .在等腰直角三角形PAB 中， PA=AB =a AE=2a2(2)作 CM AB，由已知 cosADC=255 tanADC = 1 ,即 CM = 1 DM22 ABCM 為正方形， AC