反常積分習(xí)題課

1、2021/6/161March 28, 20122021/6/162本章主要內(nèi)容 反常積分的定義； 反常積分?jǐn)可⑿缘呐袛? 反常積分的計(jì)算; 廣義積分的性質(zhì) 2021/6/163反常積分的定義 反常積分的定義方法是通過對(duì)定積分取極限來取極限來定義的定義的. . 分為兩類反常積分:無限區(qū)間上的反常積分和瑕積分. 不定積分、定積分和反常積分中可積可積的含義是不同的：不定積分可積是指其能用初等函數(shù)族表示；定積分可積是指其Riemann和的極限存在；反常積分可積指的是反常積分收斂。2021/6/164例題 舉例說明反常積分不具有乘積可積性 若反常積分 收斂,則稱f在a,b上平方可積.試在無窮限反常積分

2、和瑕積分兩種情況下討論反常積分平方可積性與絕對(duì)可積性之間的關(guān)系.badxxf)(22021/6/165反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e 充要條件: Cauchy收斂原理: . 非負(fù)函數(shù)反常積分的判別法: i)比較判別法及極限形式: ii)Cauchy判別法及極限形式: 一般函數(shù)反常積分的判別法: i)Abel判別法: ii)Dirichlet判別法:2021/6/166例子 設(shè)f在 a,+), (a1)上內(nèi)閉可積, 且反常積分 收斂,證明 收斂 討論下列反常積分的斂散性: (1) (2) (3)adxxf)(adxxxf)(dxxppxx12)1(dxxp10ln0322) 1(xxdx2021/6/16

3、7例子 討論反常積分 的斂散性.若收斂判斷條件收斂還是絕對(duì)收斂? 設(shè)p0,證明反常積分 在 時(shí)發(fā)散,在 時(shí)條件收斂,在 時(shí)絕對(duì)收斂0sindxxxpdxxxxp0sinsin210 p121p1p2021/6/168反常積分的計(jì)算 (Euler積分) (Froullani積分) 設(shè)函數(shù)f(x)在0,+上連續(xù),極限f(+)存在且有限,實(shí)數(shù)a,b0,求20sinlnxdxIdxxbxfaxf0)()(2021/6/169反常積分的性質(zhì) (1)絕對(duì)可積的反常積分必可積. (2)與定積分不同的一個(gè)性質(zhì):兩個(gè)反常積分收斂的被積函數(shù)之積的反常積分未必收斂(可積) (3)定積分具有絕對(duì)可積性,而反常積分沒有絕對(duì)可積性. (3)收斂無限反常積分的被積函數(shù)在無窮遠(yuǎn)的性質(zhì):例子(注意結(jié)論):2021/6/1610 若 收斂,且 ,則A=0 若 收斂,且單調(diào),則有 設(shè) 收斂,且被積函數(shù)f(x)在a,+上一致連續(xù),則adxxf)(adxxf)(Axfx)(lim0)(limxxfxadxxf)(0)(limxfx2021/6/1611 設(shè)f(x)在a,+上可導(dǎo),且 與 都收斂