226極限運(yùn)算法則

1、1第2.6節(jié) 極限運(yùn)算法則 第二章第二章 （Techniques for Finding Limits）二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則一、無(wú)窮小量的運(yùn)算法則一、無(wú)窮小量的運(yùn)算法則四、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則四、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則2一、無(wú)窮小量的運(yùn)算法則定理定理1 有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小. 思考：思考：222111lim12nnnnn？1說(shuō)明說(shuō)明: 無(wú)限個(gè)無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和無(wú)窮小之和不一定不一定是無(wú)窮小是無(wú)窮小 !3有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小定理定理2

2、證證: 設(shè)設(shè), ),(10 xxMu 又設(shè)又設(shè),0lim0 xx即即,0,02當(dāng)當(dāng)),(20 xx時(shí)時(shí), 有有M取取,min21則當(dāng)則當(dāng)),(0 xx時(shí)時(shí) , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 時(shí)的無(wú)窮小時(shí)的無(wú)窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .4oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用定理定理4 可知可知.0sinlimxxxxxysin例例1 求求5二、函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則定理定理3 若若（）（）lim ( )( ).f

3、 xg xAB（）（）（）（）lim ( ) ( ).f x g xAB（）（）lim( ),lim( )f xAg xBlim ( )( ).f xg xAB( )lim.0( )f xABg xB（）說(shuō)明說(shuō)明: 定理定理 3中的（中的（1）、（）、（2）可推廣到有限個(gè)函數(shù)）可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形相乘的情形 .推論推論 1 )(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )632lim(35).xxx例例2 求求解解: 32lim(35)xxx32limxx2lim3xx2lim5x32limxx23li

4、mxx5323 2 57例例3 2321lim35xxxx解解: 由例由例2得，得，32lim(35)70 xxx2321lim35xxxx2232lim(1)lim(35)xxxxx222limlim17xxx2217577三、數(shù)列極限的四則運(yùn)算,lim,limByAxnnnn則有則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時(shí)且當(dāng)BynBAyxnnnlimBABA定理定理4 若若定理定理4中的中的(1),(2)可推廣到有限個(gè)收斂數(shù)列的情形可推廣到有限個(gè)收斂數(shù)列的情形.例如，例如，lim, lim,limnnnnnnxAyBzC，如果則有則有l(wèi)imnnnnxyzlim

5、limlimnnnnnnxyzABClimnnnnx y zlimlimlimnnnnnnxyzA B C8?321lim2222nnnnnn解解: 原式21(1)2limnn nn)11(21limnn例例411limlim(1)2nnn11(lim1lim)2nnn1(1 0)2129對(duì)于有理整函數(shù)（多項(xiàng)式）對(duì)于有理整函數(shù)（多項(xiàng)式） 101( )nnnf xa xa xa或有理分式函數(shù)或有理分式函數(shù)( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多項(xiàng)式，都是多項(xiàng)式， 且且 0()0,Q x要求其當(dāng)要求其當(dāng)0 xx時(shí)的極限，時(shí)的極限， 只要把只要把 0 x代入

6、函代入函中即可；中即可； 但但對(duì)于有理分式函數(shù)，對(duì)于有理分式函數(shù)， 如果代入如果代入 0 x后，后，分母等分母等 于零，于零， 則沒(méi)有意義，則沒(méi)有意義， 不能通過(guò)直接代入的方法求極限不能通過(guò)直接代入的方法求極限 事實(shí)上，事實(shí)上， 設(shè)多項(xiàng)式設(shè)多項(xiàng)式 101( ),nnnf xa xa xa則則0lim( )xxf x0101lim()nnnxxa xa xa00(lim )nxxax011(lim )nxxax0limnxxa10010nnna xa xa0()f x10又設(shè)有理分式函數(shù)又設(shè)有理分式函數(shù) ( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多項(xiàng)式，都是

7、多項(xiàng)式， 于是，于是， 00lim( )(),xxP xP x00lim( )();xxQ xQ x如果如果 0()0,Q x則則 0lim( )xxF x)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP0()F x如果如果 0()0,Q x則則不能直接不能直接用商的運(yùn)算法則用商的運(yùn)算法則 ，那就需要那就需要特別考慮特別考慮 11例例53113lim11xxx解解: 當(dāng)當(dāng)1x 時(shí)，時(shí)， 括號(hào)內(nèi)兩式的分母均趨于括號(hào)內(nèi)兩式的分母均趨于0， 于是不能于是不能直接應(yīng)用四則運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算。直接應(yīng)用四則運(yùn)算法則來(lái)計(jì)算。將函數(shù)變形得，將函數(shù)變形得，31311xx23311xxx 2(1)(2

8、)(1)(1)xxxxx2(2)1xxx所以，所以，3113lim11xxx21(2)lim1xxxx1 123232357lim.642xxxxxx解解: x時(shí)時(shí),分子分子.32573lim426xxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x則則36分母分母原式原式例例6 求求1213232548lim253xxxxx解解: x時(shí)時(shí),分子分子.233548lim532xxxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x則則02分母分母原式原式例例7 求求014例例8322548lim253xxxxx解解: 由由例例7相同的方法得，相同的方法得，232253lim0548xxxxx而函數(shù)而函數(shù) 322

9、548253xxxx 與函數(shù)與函數(shù)232253548xxxx互為倒數(shù)，互為倒數(shù)， 所以，所以，322548lim253xxxxx 15為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：16四、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理定理6 設(shè)設(shè)00lim( ),xxg xu且且 x 滿(mǎn)足滿(mǎn)足100 xx時(shí)時(shí),0( ),g xu又又0lim( ),uuf uA則有則有0lim ( )xxf g x0lim( )uuf uA 說(shuō)明說(shuō)明: 若定理中若定理中0lim( ),xxg x 則類(lèi)似可得則類(lèi)似

10、可得0lim ( )xxf g xAufu)(lim17解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim3(3)(i3)3l mxxxx例例9 求求31lim3xx16故故 原式原式 =16limuu616618解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則則, 1lim1ux令令11112uuxx1 u故故 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 21(1)(1)lim1xxxx原式) 1(lim1xx2例例10 求求19內(nèi)容小結(jié)1. 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則(2) 函數(shù)和數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則函數(shù)和數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則(1) 無(wú)窮小運(yùn)算法則無(wú)窮小運(yùn)算法則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時(shí)時(shí), 用代入法用代入法 ( 分母不為分母不為 0 )0)2xx 時(shí)時(shí), 對(duì)對(duì)00型型 , 約去公因子約去公因子x)3時(shí)時(shí) , 分子分母同除最高次冪分子分母同除最高次冪(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量設(shè)中間變量20思考與練習(xí)1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 為什么為什么 ?答答: 不存在不存在 .否則否則, 由由)()()()(