高中數(shù)學2.3.1拋物線及其標準方程目標導學新人教A版選修1

1、問題導,學一、求拋物線的標準方程活動與探究1根據(jù)下列條件寫出拋物線的標準方程：經(jīng)過點(一3,1);(2)焦點為直線3x4y12=0與坐標軸的交點.遷移與應用P的軌跡動圓P與定圓A:(x+2)2+y2=1外切，且與直線l:x=1相切，求動圓圓心方程.12求拋物線方程的方法：(1)定義法：直接利用定義求解；(2)待定系數(shù)法：若已知拋物線的焦點位置，則可設出拋物線的標準方程，求出p值即可；若拋物線的焦點位置不確定，則要分情況討論.另外，焦點在x軸上的拋物線方程.可統(tǒng)一設成y2=ax(aw0),焦點在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設成x2=ay(aw。).二、由拋物線方程求焦點坐標、準線方程活動與探究2已知

2、下列拋物線的方程，分別求其焦點坐標和準線方程：y2=8x;(2)2x2+5y=0;(3)y2=ax(a0).遷移與應用1 .拋物線y=4x2的焦點坐標為（）_1八A.（1,0）B.2，0_11C40D，而2.求以原點為頂點，坐標軸為對稱軸，并且經(jīng)過點P（2,4）的拋物線的標準方程及其對應的準線、焦點坐標.如果已知拋物線的標準方程，求它的焦點坐標和準線方程時，首先要判斷拋物線的對稱軸和開口方向，一次項的變量若為x（或y）,則x軸（或y軸）是拋物線的對稱軸，一次項系數(shù)的符號決定開口方向.注意焦點與準線在原點的兩側(cè)，它們與原點的距離均等于一次項系1數(shù)的絕對值的4三、拋物線定義的應用活動與探究3設圓C

3、與圓,x2+(y3)2=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為()A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓(2)設Mx%y。為拋物線C：x2=8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則力的取值范圍是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+oo)D.2,+oo)遷移與應用1 .若拋物線y2=4x上有一點P到焦點F的距離為5,且點P在直線x+y3=0的上方，則P的坐標為.2 .拋物線x2=ay過點A1,1,則點A到此拋物線焦點的距離為.在解答有關(guān)拋物線上任意一點Rxo,yo)到焦點F的距離(常稱為焦半徑)的問題時，我們有以下結(jié)論(p0)：(1)對于拋物線y2

4、=2px,|PF=p+x。；(2)對于拋物線y2=-2px,|PF=pxo；(3)對于拋物線x2=2py,|PF=p+y。；(4)對于拋物線x2=-2py,|PF=p-yo.四、與拋物線有關(guān)的最值問題活動與探究4已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點，點A(2,4),在此拋物線上求一點P,使|PF十|PA的值最小.遷移與應用1.已知點P在拋物線y2=4x上，那么點P到點Q2, 1)的距離與點P到拋物線焦點的距離之和取得最小值時，點P的坐標為(.1._1.A-4，1B4，1C.(1,2)D.(1,2)2.已知拋物線y2=2px(p0)上的一點 M到定點a1, 4和焦點F的距離之和的最小值等于5,

5、求拋物線的方程.解關(guān)于拋物線的最值、定值問題時，首先要注意拋物線上的點到焦點的距離與點到準線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識的應用，例如兩點之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點與直線上點的連線中垂線段最短等.答案：課前預習導學【預習導引】1 .距離相等焦點準線預習交流1(1)提示：軌跡是過定點F且垂直于定直線l的一條直線.(2)提示：B2pP2pP22.y=2px(p0)0x=-2y=-2px(p0)2,0x=-2x=2py(pcPP2cPP0)0，2y=2x=2py(p0)0,2y=2預習交流2(1)提示：以y2=2px(p0)為例，焦點是p,0,準線方程是x=今所以p是焦點到準

6、線的距離.(2)提示：一次項變量為x(或y),則焦點在*軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點在正半軸上；若系數(shù)為負，則焦點在負半軸上；焦點確定，開口方向也隨之確定.(3)提示：(1,0)x=1左課堂合作探究【問題導學】活動與探究1思路分析：(1)點在第三象限，則拋物線的焦點可能在x軸的負半軸上，也可能在y軸的負半軸上，按這兩種情況進行討論；(2)直線與坐標軸的交點有兩個，分情況討論焦點的位置，從而確定拋物線的標準方程.解：(1).點(3,-1)在第三象限，設所求拋物線的標準方程為y2=2px(p0)或x2=2py(p0).若拋物線的標準方程為y2=2px(p0),則由(一1)2=2px(3),解

7、得p=6；若拋物線的標準方程為x2=2py(p0),則由(一3)2=2px(-1),解得p=9.，所求拋物線的標準方程為y2=,x或x2=9y.3(2)對于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=3;令y=0,得x=4,，所求拋物線的焦點為(0,3)或(4,0).p當焦點為(0,3)時，2=3,p=6,此時拋物線的標準方程為x2=12y；當焦點為(4,0)時，p=4,，p=8,此時拋物線的標準方程為y2=16x.，所求拋物線的標準方程為x2=12y或y2=16x.遷移與應用1.解：如圖，設動圓圓心P(x,y),過點P作PDLl于點D,作直線l：x=2,過點P作PD于點D,連接PA設圓A的

8、半徑為r,動圓P的半徑為R,可知r=1.圓P與圓A外切，.JPA=R+r=R+1.又圓P與直線l：x=1相切，.IPD|=|PD+|DD|=R+1.|PA=|PD|,即動點P到定點A與到定直線l距離相等，.點P的軌跡是以A為焦點，以l為準線的拋物線.設拋物線的方程為y2=2Px(p0),可知p=4,，所求的軌跡方程為y2=8x.活動與探究2思路分析：解答本題可先把原方程轉(zhuǎn)化為標準方程，求得參數(shù)p,再求焦點坐標和準線方程.解：(1)p=4,所求拋物線的焦點坐標為(2,0)，準線方程是x=-2.2.25，(2)2x+5y=0化為x=-2y,且拋物線開口向下，5p=55拋物線的焦點坐標為0,-,準線

9、方程是y=5.88a(3)由于a0,書=,拋物線的焦點坐標為a0,準線方程為x=-a.44遷移與應用1.D解析：原方程化為標準方程為x2=4y,焦點在y軸上，且p=8,1，拋物線的焦點坐標為0,16.2 .解：由已知設拋物線的標準方程是x2=2py(p0)或y2=2px(p0),.,。一1,把P(2,-4)代入x=-2py或y=2px得p=2或p=4,故所求的拋物線的標準方程是x2=y或y2=-8x.211當拋物線方程是x2=y時，焦點坐標是F0,4,準線方程是y=-.當拋物線方程是y2=8x時，焦點坐標是F(2,0),準線方程是x=2.活動與探究3(1)思路分析：利用圓與圓外切、直線與圓相切

10、的幾何條件求軌跡.A解析：由題意知動圓圓.心C到點(0,3)距離與到定直線y=1的距離相等，.C的圓心軌跡是拋物線.(2)思路分析：利用拋物線的定義將|FM轉(zhuǎn)化為點M到準線的距離，再利用直線與圓相交的條件求解.C解析：由拋物線方程為x2=8y,得焦點坐標為(0,2),準線方程為y=2,則|FM等于點M到準線y=-2的距離，. .|FM=y0+2.又圓與準線相交，. .|FM=y0+24.yc2.遷移與應用1.(4,4)解析：設P的坐標為(xc,y。)，.拋物線方程為y2=4x,準線方程為x=n-1.|PF|=x0+1=5.，x0=4.2代入拋物線方程，得y0=4x0=16,yo=4.又P在直線

11、x+y3=0的上方，P的坐標為（4,4）.5122.4解析：把點A1,4代入拋物線方程得a=4,即拋物線方程為x2=4y,準線方程、，一15為y=1.由拋物線te義，得|AF|=1+=-744活動與探究4思路分析：根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點P到準線的距離，畫出圖形，通過觀察圖形，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點P的坐標.解：.（一2）2V8X4,.點收一2,4）在拋物線x2=8y的內(nèi)部.如圖，設拋物線的準線為l,過點P作PQLl于點Q過點A作AB，l于點B,由拋物線的定義可知：|PF|+|PA=|PQ+|PA|AQ|AB,當且僅當P,QA三點共線時，|PF|十|PA取得最小值，即為|A

12、B.N2,4）,不妨設|PF+|PA的值最小時，點P的坐標為（一2,y。），代入x2=8y,/曰1得y。=萬。1故使|PF|十|PA的值最小的拋物線上的點P的坐標為一2,2r.遷移與應用1.A解析：點Q2,1）在拋物線內(nèi)部，如圖所示.由拋物線的定義知，拋物線上的點P到點F的距離等于點P到準線x=1的距離，過Q點作x=-1的垂線，與拋物線交于K,則K為所求，當y=1時，x=1,，P為1,-144272.解：（1）當點A在拋物線內(nèi)部時，4y時, 當 A, M A I“p L 7 故 2= 5-2 =|MF+|MA=|MA |+|MA.共線時（如圖中32 p=3,滿足A, M , A 共線時），（|

13、 MF+|MA min=5.163 了，所以拋物線方程為y2=6x.（2）當點A在拋物線外部或在拋物線上時，422p-2,一16.即0vpW76時，連接AF交拋物線于點M此時（|MA+|MF最小，即|AFmin=5,222+42=25,7p,、2-=3p=1或p=13(舍去).2故拋物線萬程為y=2x.綜上，拋物線方程為y2=6x或y2=2x.當堂檢測1 .拋物線y答案：6解析：由題意知P到拋物線準線的距離為,4(2) = 6,由拋物線的定義知，點 P到拋物線焦點的距離也是 6.5.拋物線x2=4y上一點A的縱坐標為4,則點A與拋物線焦點的距離為 .答案：5解析：由x=4y知其準線方程為y = 1,根據(jù)拋物線定義，點A與焦點的距 離等于點A到準線的距離，其距離為 4-(-1) =5.=4x的焦點到準線的距離為()A.1B.2C.4D.8答案：B解析：由y2=4x得焦點坐標為(1,0)，準線方程為x=1,焦點到準線的距離為2.22xy2.以雙曲線L=1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為()21692A.y2=16xB.y2=12xC.y2=-20xD.y2=20x答案：A解析：由已知拋物線的焦點為(4,0),則設拋物線的標準方程為y2=2px(p0).艮=4,p=8.2，所求方程為y2=16x.3 .已知動點Mx,y)的坐標滿足Jx22y2=|