高中數(shù)學(xué)2.3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目標(biāo)導(dǎo)學(xué)新人教A版選修1

1、問題導(dǎo),學(xué)一、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程活動(dòng)與探究1根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：經(jīng)過點(diǎn)(一3,1);(2)焦點(diǎn)為直線3x4y12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).遷移與應(yīng)用P的軌跡動(dòng)圓P與定圓A:(x+2)2+y2=1外切，且與直線l:x=1相切，求動(dòng)圓圓心方程.12求拋物線方程的方法：(1)定義法：直接利用定義求解；(2)待定系數(shù)法：若已知拋物線的焦點(diǎn)位置，則可設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p值即可；若拋物線的焦點(diǎn)位置不確定，則要分情況討論.另外，焦點(diǎn)在x軸上的拋物線方程.可統(tǒng)一設(shè)成y2=ax(aw0),焦點(diǎn)在y軸上的拋物線方程可統(tǒng)一設(shè)成x2=ay(aw。).二、由拋物線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程活動(dòng)與探究2已知

2、下列拋物線的方程，分別求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：y2=8x;(2)2x2+5y=0;(3)y2=ax(a0).遷移與應(yīng)用1 .拋物線y=4x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）_1八A.（1,0）B.2，0_11C40D，而2.求以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，并且經(jīng)過點(diǎn)P（2,4）的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線、焦點(diǎn)坐標(biāo).如果已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程時(shí)，首先要判斷拋物線的對(duì)稱軸和開口方向，一次項(xiàng)的變量若為x（或y）,則x軸（或y軸）是拋物線的對(duì)稱軸，一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向.注意焦點(diǎn)與準(zhǔn)線在原點(diǎn)的兩側(cè)，它們與原點(diǎn)的距離均等于一次項(xiàng)系1數(shù)的絕對(duì)值的4三、拋物線定義的應(yīng)用活動(dòng)與探究3設(shè)圓C

3、與圓,x2+(y3)2=1外切，與直線y=0相切，則C的圓心軌跡為()A.拋物線B.雙曲線C.橢圓D.圓(2)設(shè)Mx%y。為拋物線C：x2=8y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，以F為圓心、|FM為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，則力的取值范圍是()A.(0,2)B.0,2C.(2,+oo)D.2,+oo)遷移與應(yīng)用1 .若拋物線y2=4x上有一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為5,且點(diǎn)P在直線x+y3=0的上方，則P的坐標(biāo)為.2 .拋物線x2=ay過點(diǎn)A1,1,則點(diǎn)A到此拋物線焦點(diǎn)的距離為.在解答有關(guān)拋物線上任意一點(diǎn)Rxo,yo)到焦點(diǎn)F的距離(常稱為焦半徑)的問題時(shí)，我們有以下結(jié)論(p0)：(1)對(duì)于拋物線y2

4、=2px,|PF=p+x。；(2)對(duì)于拋物線y2=-2px,|PF=pxo；(3)對(duì)于拋物線x2=2py,|PF=p+y。；(4)對(duì)于拋物線x2=-2py,|PF=p-yo.四、與拋物線有關(guān)的最值問題活動(dòng)與探究4已知拋物線的方程為x2=8y,F是焦點(diǎn)，點(diǎn)A(2,4),在此拋物線上求一點(diǎn)P,使|PF十|PA的值最小.遷移與應(yīng)用1.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q2, 1)的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(.1._1.A-4，1B4，1C.(1,2)D.(1,2)2.已知拋物線y2=2px(p0)上的一點(diǎn) M到定點(diǎn)a1, 4和焦點(diǎn)F的距離之和的最小值等于5,

5、求拋物線的方程.解關(guān)于拋物線的最值、定值問題時(shí)，首先要注意拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的轉(zhuǎn)化，其次是注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用，例如兩點(diǎn)之間線段最短、三角形中三邊之間的不等關(guān)系、點(diǎn)與直線上點(diǎn)的連線中垂線段最短等.答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1 .距離相等焦點(diǎn)準(zhǔn)線預(yù)習(xí)交流1(1)提示：軌跡是過定點(diǎn)F且垂直于定直線l的一條直線.(2)提示：B2pP2pP22.y=2px(p0)0x=-2y=-2px(p0)2,0x=-2x=2py(pcPP2cPP0)0，2y=2x=2py(p0)0,2y=2預(yù)習(xí)交流2(1)提示：以y2=2px(p0)為例，焦點(diǎn)是p,0,準(zhǔn)線方程是x=今所以p是焦點(diǎn)到準(zhǔn)

6、線的距離.(2)提示：一次項(xiàng)變量為x(或y),則焦點(diǎn)在*軸(或y軸)上；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上；若系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上；焦點(diǎn)確定，開口方向也隨之確定.(3)提示：(1,0)x=1左課堂合作探究【問題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：(1)點(diǎn)在第三象限，則拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸的負(fù)半軸上，也可能在y軸的負(fù)半軸上，按這兩種情況進(jìn)行討論；(2)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)有兩個(gè)，分情況討論焦點(diǎn)的位置，從而確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(1).點(diǎn)(3,-1)在第三象限，設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0)或x2=2py(p0).若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0),則由(一1)2=2px(3),解

7、得p=6；若拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=2py(p0),則由(一3)2=2px(-1),解得p=9.，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=,x或x2=9y.3(2)對(duì)于直線方程3x-4y-12=0,令x=0,得y=3;令y=0,得x=4,，所求拋物線的焦點(diǎn)為(0,3)或(4,0).p當(dāng)焦點(diǎn)為(0,3)時(shí)，2=3,p=6,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y；當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，p=4,，p=8,此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=16x.，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=12y或y2=16x.遷移與應(yīng)用1.解：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心P(x,y),過點(diǎn)P作PDLl于點(diǎn)D,作直線l：x=2,過點(diǎn)P作PD于點(diǎn)D,連接PA設(shè)圓A的

8、半徑為r,動(dòng)圓P的半徑為R,可知r=1.圓P與圓A外切，.JPA=R+r=R+1.又圓P與直線l：x=1相切，.IPD|=|PD+|DD|=R+1.|PA=|PD|,即動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)A與到定直線l距離相等，.點(diǎn)P的軌跡是以A為焦點(diǎn)，以l為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)拋物線的方程為y2=2Px(p0),可知p=4,，所求的軌跡方程為y2=8x.活動(dòng)與探究2思路分析：解答本題可先把原方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得參數(shù)p,再求焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.解：(1)p=4,所求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程是x=-2.2.25，(2)2x+5y=0化為x=-2y,且拋物線開口向下，5p=55拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-,準(zhǔn)線

9、方程是y=5.88a(3)由于a0,書=,拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為a0,準(zhǔn)線方程為x=-a.44遷移與應(yīng)用1.D解析：原方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=4y,焦點(diǎn)在y軸上，且p=8,1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,16.2 .解：由已知設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=2py(p0)或y2=2px(p0),.,。一1,把P(2,-4)代入x=-2py或y=2px得p=2或p=4,故所求的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=y或y2=-8x.211當(dāng)拋物線方程是x2=y時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F0,4,準(zhǔn)線方程是y=-.當(dāng)拋物線方程是y2=8x時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(2,0),準(zhǔn)線方程是x=2.活動(dòng)與探究3(1)思路分析：利用圓與圓外切、直線與圓相切

10、的幾何條件求軌跡.A解析：由題意知?jiǎng)訄A圓.心C到點(diǎn)(0,3)距離與到定直線y=1的距離相等，.C的圓心軌跡是拋物線.(2)思路分析：利用拋物線的定義將|FM轉(zhuǎn)化為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離，再利用直線與圓相交的條件求解.C解析：由拋物線方程為x2=8y,得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),準(zhǔn)線方程為y=2,則|FM等于點(diǎn)M到準(zhǔn)線y=-2的距離，. .|FM=y0+2.又圓與準(zhǔn)線相交，. .|FM=y0+24.yc2.遷移與應(yīng)用1.(4,4)解析：設(shè)P的坐標(biāo)為(xc,y。)，.拋物線方程為y2=4x,準(zhǔn)線方程為x=n-1.|PF|=x0+1=5.，x0=4.2代入拋物線方程，得y0=4x0=16,yo=4.又P在直線

11、x+y3=0的上方，P的坐標(biāo)為（4,4）.5122.4解析：把點(diǎn)A1,4代入拋物線方程得a=4,即拋物線方程為x2=4y,準(zhǔn)線方程、，一15為y=1.由拋物線te義，得|AF|=1+=-744活動(dòng)與探究4思路分析：根據(jù)拋物線的定義把|PF|轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，畫出圖形，通過觀察圖形，利用“數(shù)形結(jié)合”的思想即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).解：.（一2）2V8X4,.點(diǎn)收一2,4）在拋物線x2=8y的內(nèi)部.如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為l,過點(diǎn)P作PQLl于點(diǎn)Q過點(diǎn)A作AB，l于點(diǎn)B,由拋物線的定義可知：|PF|+|PA=|PQ+|PA|AQ|AB,當(dāng)且僅當(dāng)P,QA三點(diǎn)共線時(shí)，|PF|十|PA取得最小值，即為|A

12、B.N2,4）,不妨設(shè)|PF+|PA的值最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一2,y。），代入x2=8y,/曰1得y。=萬。1故使|PF|十|PA的值最小的拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)為一2,2r.遷移與應(yīng)用1.A解析：點(diǎn)Q2,1）在拋物線內(nèi)部，如圖所示.由拋物線的定義知，拋物線上的點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線x=1的距離，過Q點(diǎn)作x=-1的垂線，與拋物線交于K,則K為所求，當(dāng)y=1時(shí)，x=1,，P為1,-144272.解：（1）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線內(nèi)部時(shí)，4y時(shí), 當(dāng) A, M A I“p L 7 故 2= 5-2 =|MF+|MA=|MA |+|MA.共線時(shí)（如圖中32 p=3,滿足A, M , A 共線時(shí)），（|

13、 MF+|MA min=5.163 了，所以拋物線方程為y2=6x.（2）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線外部或在拋物線上時(shí)，422p-2,一16.即0vpW76時(shí)，連接AF交拋物線于點(diǎn)M此時(shí)（|MA+|MF最小，即|AFmin=5,222+42=25,7p,、2-=3p=1或p=13(舍去).2故拋物線萬程為y=2x.綜上，拋物線方程為y2=6x或y2=2x.當(dāng)堂檢測(cè)1 .拋物線y答案：6解析：由題意知P到拋物線準(zhǔn)線的距離為,4(2) = 6,由拋物線的定義知，點(diǎn) P到拋物線焦點(diǎn)的距離也是 6.5.拋物線x2=4y上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)A與拋物線焦點(diǎn)的距離為 .答案：5解析：由x=4y知其準(zhǔn)線方程為y = 1,根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)A與焦點(diǎn)的距 離等于點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離，其距離為 4-(-1) =5.=4x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.1B.2C.4D.8答案：B解析：由y2=4x得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=1,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.22xy2.以雙曲線L=1的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()21692A.y2=16xB.y2=12xC.y2=-20xD.y2=20x答案：A解析：由已知拋物線的焦點(diǎn)為(4,0),則設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p0).艮=4,p=8.2，所求方程為y2=16x.3 .已知?jiǎng)狱c(diǎn)Mx,y)的坐標(biāo)滿足Jx22y2=|