第九章板殼結(jié)構(gòu)有限元

1、板殼結(jié)構(gòu)基本知識(shí)板殼結(jié)構(gòu)在工程上應(yīng)用十分廣泛。在設(shè)計(jì)分析中采用板殼單元板殼結(jié)構(gòu)在工程上應(yīng)用十分廣泛。在設(shè)計(jì)分析中采用板殼單元進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，可以得到足夠的精度和良好的效果。進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，可以得到足夠的精度和良好的效果。板殼結(jié)構(gòu)基本知識(shí)厚度方向的尺寸小于長度和寬度方向尺寸的結(jié)構(gòu)。其中，表面厚度方向的尺寸小于長度和寬度方向尺寸的結(jié)構(gòu)。其中，表面為平面的成為板，表面為曲面的稱為殼。為平面的成為板，表面為曲面的稱為殼。 平板：平板：分薄板和厚板。載荷作用在垂直于板面的方向。對于薄分薄板和厚板。載荷作用在垂直于板面的方向。對于薄板小撓度問題，它的變形完全由橫向變形確定；對于薄板大撓板小撓度問題，它的變形完

2、全由橫向變形確定；對于薄板大撓度問題，則屬于幾何非線性問題。對于厚板，應(yīng)考慮橫向剪切度問題，則屬于幾何非線性問題。對于厚板，應(yīng)考慮橫向剪切變形的影響。變形的影響。殼體：殼體：殼體的變形除了橫向彎曲變形外，同時(shí)存在中面變形。殼體的變形除了橫向彎曲變形外，同時(shí)存在中面變形。因此可以認(rèn)為殼體是平面應(yīng)力問題和平板彎曲問題的組合。當(dāng)因此可以認(rèn)為殼體是平面應(yīng)力問題和平板彎曲問題的組合。當(dāng)然，對于厚殼結(jié)構(gòu)，仍需要橫向剪切變形的影響。然，對于厚殼結(jié)構(gòu)，仍需要橫向剪切變形的影響。11111008085hb薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄平板，取其中性面為坐標(biāo)面，薄平板，取其中性面為坐標(biāo)面，z軸垂直于中性面。其

3、中軸垂直于中性面。其中 t 為為板厚。當(dāng)板受有垂直于板中性面的外力時(shí)，板的中性面將發(fā)板厚。當(dāng)板受有垂直于板中性面的外力時(shí)，板的中性面將發(fā)生彎扭變形，從而變成一個(gè)曲面。板變形的同時(shí)，在板的橫生彎扭變形，從而變成一個(gè)曲面。板變形的同時(shí)，在板的橫截面上將存在內(nèi)力截面上將存在內(nèi)力彎矩和扭矩。彎矩和扭矩。薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)對于薄板問題采用如下假設(shè)：對于薄板問題采用如下假設(shè)：（1 1）直法線假設(shè)：薄板中面法線）直法線假設(shè)：薄板中面法線變形后仍保持為法線且長度不變。變形后仍保持為法線且長度不變。（2 2）忽略板中面的法線應(yīng)力分量，）忽略板中面的法線應(yīng)力分量，且不計(jì)其引起的應(yīng)變。且不計(jì)其引起的應(yīng)

4、變。（3 3）薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)沒有平行）薄板中面內(nèi)的各點(diǎn)沒有平行于中面的位移，即中面不變形。于中面的位移，即中面不變形。由第（由第（2）條可知撓度）條可知撓度w與與z無關(guān)，無關(guān)，由第（由第（1）條可知）條可知 zx和和 yz等于零，另外根據(jù)第（等于零，另外根據(jù)第（3）條中面無變形）條中面無變形薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板彎曲問題只需要考慮三個(gè)分量。薄板彎曲問題只需要考慮三個(gè)分量。根據(jù)幾何方程，應(yīng)變可表示為根據(jù)幾何方程，應(yīng)變可表示為對于薄板問題，對于薄板問題，一般采用形變分量表示一般采用形變分量表示x向曲率向曲率y向曲率向曲率扭率扭率薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)相應(yīng)的內(nèi)力可表示為：相

5、應(yīng)的內(nèi)力可表示為：D為平面應(yīng)力問題的彈性矩陣：為平面應(yīng)力問題的彈性矩陣：薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)圖示為板的一個(gè)微元體。為方便計(jì)，取圖示為板的一個(gè)微元體。為方便計(jì)，取x和和y的方向的寬度均為的方向的寬度均為1。在垂直于。在垂直于x軸的橫截軸的橫截面上的正應(yīng)力面上的正應(yīng)力x可合成為一個(gè)力偶，從而可合成為一個(gè)力偶，從而構(gòu)成該橫截面上的彎矩（單位寬度上的彎構(gòu)成該橫截面上的彎矩（單位寬度上的彎矩）矩）Mx。同理，在垂直于同理，在垂直于y軸的橫截面上的正應(yīng)力軸的橫截面上的正應(yīng)力y合成彎矩合成彎矩My，剪應(yīng)力，剪應(yīng)力xy合成扭矩合成扭矩Mxy，剪，剪應(yīng)力應(yīng)力yx合成扭矩合成扭矩Myx,由于剪應(yīng)力互等

6、由于剪應(yīng)力互等內(nèi)力列向量為內(nèi)力列向量為Mxy=Myx薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)內(nèi)力可以根據(jù)應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算得到內(nèi)力可以根據(jù)應(yīng)力進(jìn)行計(jì)算得到使用記號(hào)使用記號(hào)于是于是平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題中的彈性矩陣中的彈性矩陣薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)進(jìn)行反向回代，可以得到進(jìn)行反向回代，可以得到在板的上、下表面處，在板的上、下表面處，z=0.5t，于是應(yīng)力為于是應(yīng)力為薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)薄板基礎(chǔ)理論知識(shí)假設(shè)發(fā)生虛位移假設(shè)發(fā)生虛位移 ， 則薄板內(nèi)部會(huì)發(fā)生虛應(yīng)變則薄板內(nèi)部會(huì)發(fā)生虛應(yīng)變?nèi)绻“逶谌绻“逶趜方向承受分布荷載方向承受分布荷載此時(shí)薄板內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力此時(shí)薄板內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力 與之平衡，與之平衡，則可以采用虛

7、功原理則可以采用虛功原理應(yīng)力做的虛功為應(yīng)力做的虛功為外力做的虛功為外力做的虛功為在后面我們會(huì)利用虛功原理來建立有限元控制方程。在后面我們會(huì)利用虛功原理來建立有限元控制方程。薄板矩形單元薄板矩形單元設(shè)局部編號(hào)設(shè)局部編號(hào)1、2、3、4，x 、y方向長度分別為方向長度分別為2a、2b的矩形板單元如圖所示。的矩形板單元如圖所示。每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量為每個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移分量為則一個(gè)單元的位移向量和載荷向量為則一個(gè)單元的位移向量和載荷向量為每個(gè)結(jié)點(diǎn)的載荷分量為每個(gè)結(jié)點(diǎn)的載荷分量為薄板矩形單元薄板矩形單元下面開始嘗試建立形函數(shù)。下面開始嘗試建立形函數(shù)。一個(gè)單元有一個(gè)單元有12個(gè)位移分量，那么個(gè)位移分量，那么位移函

8、數(shù)應(yīng)該為位移函數(shù)應(yīng)該為利用利用1212個(gè)結(jié)點(diǎn)位移條件，由廣義坐標(biāo)法可建立形函數(shù)，顯然個(gè)結(jié)點(diǎn)位移條件，由廣義坐標(biāo)法可建立形函數(shù)，顯然十分麻煩。因此形函數(shù)的建立采用拉格朗日插值函數(shù)形成，十分麻煩。因此形函數(shù)的建立采用拉格朗日插值函數(shù)形成，完成這項(xiàng)工作首先需要將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)完成這項(xiàng)工作首先需要將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)2 22 2的正方形，對于的正方形，對于矩形單元，這項(xiàng)操作并不困難。矩形單元，這項(xiàng)操作并不困難。四次項(xiàng)的選取為了保證坐標(biāo)的對稱性，且曲率與扭率同階次。四次項(xiàng)的選取為了保證坐標(biāo)的對稱性，且曲率與扭率同階次。薄板矩形單元薄板矩形單元下面開始嘗試建立形函數(shù)。下面開始嘗試建立形函數(shù)。建立的形函數(shù)形式如下：

9、建立的形函數(shù)形式如下：每個(gè)分塊的每個(gè)分塊的薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元形函數(shù)的性質(zhì)薄板矩形單元形函數(shù)的性質(zhì)對對N1有有:N1(1)=1；N1(j)=0，j=2,3,4另外，另外，N1對對x，y的偏導(dǎo)數(shù)在各結(jié)點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)在各結(jié)點(diǎn)處均為零。？處均為零。？于是，位移函數(shù)可表達(dá)為：于是，位移函數(shù)可表達(dá)為：薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元應(yīng)變離散薄板矩形單元應(yīng)變離散薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元應(yīng)力離散薄板矩形單元應(yīng)力離散那么，相應(yīng)的，內(nèi)力矩那么，相應(yīng)的，內(nèi)力矩薄板矩形單元薄板矩形單元薄板矩形單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕湫问揭矠橥ㄓ玫谋“寰匦螁卧膯卧獎(jiǎng)偠染仃?，其形式也為通用的展開進(jìn)行積分展開

10、進(jìn)行積分單元?jiǎng)偠染仃囉蓡卧獎(jiǎng)偠染仃囉?6個(gè)子矩陣組成，其表示如下個(gè)子矩陣組成，其表示如下薄板矩形單元薄板矩形單元具體的元素計(jì)算為：具體的元素計(jì)算為：式中：式中：薄板矩形單元薄板矩形單元結(jié)點(diǎn)載荷向量的計(jì)算：結(jié)點(diǎn)載荷向量的計(jì)算：積分展開，得積分展開，得假設(shè)板單元受橫向均布載荷假設(shè)板單元受橫向均布載荷p作用，則作用，則 等效結(jié)點(diǎn)力為等效結(jié)點(diǎn)力為如果承受的分布荷載隨位置如果承受的分布荷載隨位置（x,y）變化，積分工作量較大變化，積分工作量較大薄板矩形單元薄板矩形單元應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例受中心集中力的四邊支承板的計(jì)算結(jié)果受中心集中力的四邊支承板的計(jì)算結(jié)果( (邊長為邊長為1 1，厚度為，厚度為0.010.0

11、1，彈模為，彈模為1 1，泊松比為，泊松比為0.3)0.3)單元數(shù)單元數(shù)（1/41/4板）板）四邊固定四邊固定板中心撓度板中心撓度wD/PLwD/PL2 2邊中點(diǎn)彎矩邊中點(diǎn)彎矩M/PM/P2 22 20.006140.00614-0.1178-0.11784 44 40.005800.00580-0.1233-0.12336 66 60.005710.00571-0.1245-0.1245理論解理論解0.005600.00560-0.1257-0.1257薄板三角形單元薄板三角形單元三角形單元能較好地適應(yīng)斜邊界，實(shí)三角形單元能較好地適應(yīng)斜邊界，實(shí)際中廣泛應(yīng)用。單元的結(jié)點(diǎn)位移仍然際中廣泛應(yīng)用。單

12、元的結(jié)點(diǎn)位移仍然為結(jié)點(diǎn)處的撓度為結(jié)點(diǎn)處的撓度wi和繞和繞x，y軸的轉(zhuǎn)角軸的轉(zhuǎn)角xi、yi，獨(dú)立變量為，獨(dú)立變量為wi。三角形單元三角形單元位移模式應(yīng)包含位移模式應(yīng)包含9個(gè)參數(shù)。個(gè)參數(shù)。如果在直角坐標(biāo)系下建立位移模式，則完全三次多項(xiàng)式需要如果在直角坐標(biāo)系下建立位移模式，則完全三次多項(xiàng)式需要1010個(gè)參數(shù)個(gè)參數(shù)zyxw1y1x1123若以此為基礎(chǔ)構(gòu)造位移函數(shù)，則必須去掉一項(xiàng)。無法保證對稱。若以此為基礎(chǔ)構(gòu)造位移函數(shù)，則必須去掉一項(xiàng)。無法保證對稱。薄板三角形單元薄板三角形單元三角形單元采用直角坐標(biāo)系建立位移模式的嘗試：三角形單元采用直角坐標(biāo)系建立位移模式的嘗試：TocherTocher方案方案單元有兩

13、邊分別平行于單元有兩邊分別平行于x x軸和軸和y y軸時(shí)，上述位移模式中的待定系數(shù)將無法軸時(shí)，上述位移模式中的待定系數(shù)將無法確定，因此離散時(shí)，網(wǎng)格劃分有局限性。確定，因此離散時(shí)，網(wǎng)格劃分有局限性。AdiniAdini方案方案舍去了二次項(xiàng)舍去了二次項(xiàng)xyxy，致使常扭率無法保證，單元過剛、位移偏小，因此分析，致使常扭率無法保證，單元過剛、位移偏小，因此分析結(jié)果只有一階精度。結(jié)果只有一階精度。BellBell方案方案增加單元內(nèi)部位移參數(shù)增加單元內(nèi)部位移參數(shù)三角形形心撓度。整體分析前需要消去內(nèi)部自三角形形心撓度。整體分析前需要消去內(nèi)部自由度（靜力凝聚），由度（靜力凝聚）， ZienkiewiczZi

14、enkiewicz指出這種單元不能保證收斂。指出這種單元不能保證收斂。薄板三角形單元薄板三角形單元Zienkiewicz采用面積坐標(biāo)解決了直角坐標(biāo)下遇到的困難。采用面積坐標(biāo)解決了直角坐標(biāo)下遇到的困難。面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)采用面積坐標(biāo)表達(dá)的位移模式為：采用面積坐標(biāo)表達(dá)的位移模式為：基于面積坐標(biāo)性質(zhì)，上述位移模式還可改寫為：基于面積坐標(biāo)性質(zhì)，上述位移模式還可改寫為：薄板三角形單元薄板三角形單元進(jìn)行一系列的推導(dǎo)后，可得到進(jìn)行一系列的推導(dǎo)后，可得到形函數(shù)的具體計(jì)算式為：形函數(shù)的具體計(jì)算式為：薄板三角形單元薄板三角形單元建立了位移模式之后，那么剩下的工作就并不復(fù)雜：位移模式建立了位移模式之后，那么剩下的工作

15、就并不復(fù)雜：位移模式應(yīng)變離散應(yīng)變離散 應(yīng)力離散應(yīng)力離散剛度矩陣剛度矩陣載荷向量載荷向量約束處理約束處理求解。求解。但位移模式是建立在面積坐標(biāo)上的，相關(guān)的計(jì)算怎么進(jìn)行？但位移模式是建立在面積坐標(biāo)上的，相關(guān)的計(jì)算怎么進(jìn)行？zyxw1y1x1123導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為那么那么薄板三角形單元薄板三角形單元應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例四邊簡支板的中心撓度系數(shù)計(jì)算四邊簡支板的中心撓度系數(shù)計(jì)算單元數(shù)單元數(shù)（1/41/4板）板）板中心撓度板中心撓度wD/qLwD/qL4 42 22 20.0042490.0042494 44 40.0041530.0041538 88 80.0040980.004098解析解解析

16、解0.0040420.004042薄板單元薄板單元關(guān)于薄板單元，要提醒大家注意的：關(guān)于薄板單元，要提醒大家注意的：不管是三角形單元還是不管是三角形單元還是矩形單元，事實(shí)上其都是非完全協(xié)調(diào)元。矩形單元，事實(shí)上其都是非完全協(xié)調(diào)元。對左圖所示的相鄰單元對左圖所示的相鄰單元公共邊撓度公共邊撓度公共邊切向轉(zhuǎn)角公共邊切向轉(zhuǎn)角公共邊法向轉(zhuǎn)角公共邊法向轉(zhuǎn)角位移場不能完全滿足收斂的協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則，具體為撓度及切向轉(zhuǎn)角跨單元協(xié)調(diào)，位移場不能完全滿足收斂的協(xié)調(diào)性準(zhǔn)則，具體為撓度及切向轉(zhuǎn)角跨單元協(xié)調(diào)，法向轉(zhuǎn)角跨單元不協(xié)調(diào)，因此該單元不是完全協(xié)調(diào)元。法向轉(zhuǎn)角跨單元不協(xié)調(diào)，因此該單元不是完全協(xié)調(diào)元。要解決這一問題，可以通過增

17、加結(jié)點(diǎn)數(shù)或結(jié)點(diǎn)自由度來構(gòu)造高階協(xié)調(diào)元，目要解決這一問題，可以通過增加結(jié)點(diǎn)數(shù)或結(jié)點(diǎn)自由度來構(gòu)造高階協(xié)調(diào)元，目前國內(nèi)較成熟的工作有大連理工大學(xué)唐立民教授等提出的擬協(xié)調(diào)元和龍馭球前國內(nèi)較成熟的工作有大連理工大學(xué)唐立民教授等提出的擬協(xié)調(diào)元和龍馭球院士提出的廣義協(xié)調(diào)元等，這方面仍然處于研究之中。院士提出的廣義協(xié)調(diào)元等，這方面仍然處于研究之中。厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)對于厚板，基本假設(shè)：對于厚板，基本假設(shè)：a a板的撓度板的撓度w w微微小?。籦 b板中性面法線在變形后仍保持直線板中性面法線在變形后仍保持直線，但不再垂直變形后但不再垂直變形后的中的中性性面面；c c垂直于中性面的應(yīng)力可以忽略垂直于

18、中性面的應(yīng)力可以忽略。中性面法線在變形后不再垂直變形后的中中性面法線在變形后不再垂直變形后的中性性面面則意味著還存在則意味著還存在橫向剪切變形，橫向剪切變形， 此時(shí)即需要采用此時(shí)即需要采用HenckyHencky理論進(jìn)行分析，理論進(jìn)行分析，這種情況下板任意一點(diǎn)有三個(gè)下面的變形這種情況下板任意一點(diǎn)有三個(gè)下面的變形事實(shí)上對于薄板，也是這樣三個(gè)變形，只不過事實(shí)上對于薄板，也是這樣三個(gè)變形，只不過對于厚板對于厚板厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)對于厚板，板的曲率和扭率為對于厚板，板的曲率和扭率為厚板與薄板的區(qū)別在于，還要考慮由于剪切而產(chǎn)生的應(yīng)變會(huì)厚板與薄板的區(qū)別在于，還要考慮由于剪切而產(chǎn)生的應(yīng)變會(huì)產(chǎn)生

19、的轉(zhuǎn)角差：產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角差：厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)厚板基礎(chǔ)理論知識(shí)對于厚板，其微元體的平衡為對于厚板，其微元體的平衡為采用與薄板類似的積分可得到采用與薄板類似的積分可得到厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元對于厚板，板內(nèi)任意一點(diǎn)對于厚板，板內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y,z)的位移為：的位移為：其位移可以采用兩種方式表達(dá)。其位移可以采用兩種方式表達(dá)。方式一：方式一：對應(yīng)的應(yīng)變矩陣為對應(yīng)的應(yīng)變矩陣為厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元方式二：方式二：對應(yīng)的應(yīng)變矩陣為對應(yīng)的應(yīng)變矩陣為事實(shí)上這只是寫法的區(qū)別，沒有實(shí)質(zhì)影響事實(shí)上這只是寫法的區(qū)別，沒有實(shí)質(zhì)影響厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元由應(yīng)變矩陣獲得應(yīng)力矩陣由應(yīng)變矩陣獲得應(yīng)力矩陣事實(shí)上這只

20、是寫法的區(qū)別，沒有實(shí)質(zhì)影響事實(shí)上這只是寫法的區(qū)別，沒有實(shí)質(zhì)影響厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元以最常用的以最常用的8 8結(jié)點(diǎn)厚板單元給大家進(jìn)行介紹結(jié)點(diǎn)厚板單元給大家進(jìn)行介紹首先需要將一個(gè)厚板單元進(jìn)行等參變換，注意其是二維問題首先需要將一個(gè)厚板單元進(jìn)行等參變換，注意其是二維問題中面形狀和厚度中面形狀和厚度厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元熟悉的二維熟悉的二維8結(jié)點(diǎn)等參元形函數(shù)計(jì)算方法：結(jié)點(diǎn)等參元形函數(shù)計(jì)算方法：結(jié)點(diǎn)位移采用第一種方式表示，則：結(jié)點(diǎn)位移采用第一種方式表示，則：222341 58單元的位移可以采用形函數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移表示為：單元的位移可以采用形函數(shù)和結(jié)點(diǎn)位移表示為：其矩陣形式為：其矩陣形式為：厚板

21、結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元應(yīng)變的表達(dá)應(yīng)變的表達(dá)厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元應(yīng)力的表達(dá)應(yīng)力的表達(dá)分塊形式：分塊形式：厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元應(yīng)力的表達(dá)應(yīng)力的表達(dá)分塊形式：分塊形式：厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃嚲唧w數(shù)據(jù)計(jì)算如下：具體數(shù)據(jù)計(jì)算如下：厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載的等效應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例設(shè)單元表面作用有均布荷載設(shè)單元表面作用有均布荷載q(x,y)，等效結(jié)點(diǎn)荷載為，等效結(jié)點(diǎn)荷載為承受均布荷載承受均布荷載q的方板，四邊的方板，四邊簡支簡支。44網(wǎng)格，撓度網(wǎng)格，撓度=？h/L有限元厚板薄板0.010.044380.044390.044370.10.

22、046280.046320.044370.20.052020.052170.044370.30.061600.061920.044370.40.075000.075570.04437厚板結(jié)構(gòu)有限元厚板結(jié)構(gòu)有限元一個(gè)問題：一個(gè)問題：薄板單元是非協(xié)調(diào)元，所以總是讓我們感覺不適，厚板單元薄板單元是非協(xié)調(diào)元，所以總是讓我們感覺不適，厚板單元認(rèn)為兩個(gè)轉(zhuǎn)角與撓度獨(dú)立，而且根據(jù)前面等參元的使用我們認(rèn)為兩個(gè)轉(zhuǎn)角與撓度獨(dú)立，而且根據(jù)前面等參元的使用我們知道厚板單元一定是協(xié)調(diào)的，那么為什么不就采用厚板單元知道厚板單元一定是協(xié)調(diào)的，那么為什么不就采用厚板單元進(jìn)行薄板的計(jì)算呢？進(jìn)行薄板的計(jì)算呢？用厚板單元進(jìn)行薄板的計(jì)

23、算在數(shù)學(xué)構(gòu)造上并沒有太大的問用厚板單元進(jìn)行薄板的計(jì)算在數(shù)學(xué)構(gòu)造上并沒有太大的問題，無非是現(xiàn)在轉(zhuǎn)角是撓度的偏導(dǎo)數(shù)，所以不需要對一個(gè)題，無非是現(xiàn)在轉(zhuǎn)角是撓度的偏導(dǎo)數(shù)，所以不需要對一個(gè)矩形設(shè)置矩形設(shè)置8個(gè)結(jié)點(diǎn)，個(gè)結(jié)點(diǎn)，4個(gè)結(jié)點(diǎn)已經(jīng)足夠表達(dá)。個(gè)結(jié)點(diǎn)已經(jīng)足夠表達(dá)。計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)采用計(jì)算結(jié)果表明：當(dāng)采用2 22 2高斯數(shù)值積分時(shí)，厚板單元也可高斯數(shù)值積分時(shí)，厚板單元也可用于薄板的分析，但是太薄時(shí)將產(chǎn)生用于薄板的分析，但是太薄時(shí)將產(chǎn)生剪切閉鎖現(xiàn)象（進(jìn)行剛剪切閉鎖現(xiàn)象（進(jìn)行剛度矩陣計(jì)算時(shí)與剪切變形相關(guān)的剪切剛度時(shí)會(huì)出現(xiàn)無窮大而度矩陣計(jì)算時(shí)與剪切變形相關(guān)的剪切剛度時(shí)會(huì)出現(xiàn)無窮大而導(dǎo)致單元?jiǎng)偠染仃囎兂善娈惥仃嚕?/p>

24、導(dǎo)致單元?jiǎng)偠染仃囎兂善娈惥仃嚕?。殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)殼體的中性面是一個(gè)曲面，殼單元受力狀態(tài)及應(yīng)力狀態(tài)見圖。殼體的中性面是一個(gè)曲面，殼單元受力狀態(tài)及應(yīng)力狀態(tài)見圖。在作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，一般采用平面單元（板）或者曲面單元處理。在作結(jié)構(gòu)分析時(shí)，一般采用平面單元（板）或者曲面單元處理。平面單元是平面應(yīng)力單元和平面彎曲單元的組合體，它依賴平面單元是平面應(yīng)力單元和平面彎曲單元的組合體，它依賴于平板理論。在幾何上以平板代替殼體，結(jié)構(gòu)模擬是一種近于平板理論。在幾何上以平板代替殼體，結(jié)構(gòu)模擬是一種近似。但是，這種單元簡單，只要結(jié)構(gòu)離散化分合理，完全可似。但是，這種單元簡單，只要結(jié)構(gòu)離散化分合理，完全可

25、以滿足工程上的要求。以滿足工程上的要求。殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)曲面單元能夠更好地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)，相應(yīng)得到的計(jì)算結(jié)果會(huì)曲面單元能夠更好地模擬真實(shí)結(jié)構(gòu)，相應(yīng)得到的計(jì)算結(jié)果會(huì)更有效。但是，曲面殼體的變形與平板變形有所區(qū)別。殼體更有效。但是，曲面殼體的變形與平板變形有所區(qū)別。殼體的中性面變形不能忽略，在殼體中的內(nèi)力包括彎曲內(nèi)力和中的中性面變形不能忽略，在殼體中的內(nèi)力包括彎曲內(nèi)力和中性面內(nèi)力。性面內(nèi)力。對于曲面單元，現(xiàn)常采用考慮橫向剪切變形的超參數(shù)曲面殼對于曲面單元，現(xiàn)常采用考慮橫向剪切變形的超參數(shù)曲面殼單元。曲面殼元往往較難滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求，這里不單元。曲面殼元往往較難滿足完備性和協(xié)

26、調(diào)性要求，這里不作具體介紹。作具體介紹。殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)殼結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)理論知識(shí)任何單曲或雙曲薄殼，在單元較小時(shí)均可用薄板單元組成的單任何單曲或雙曲薄殼，在單元較小時(shí)均可用薄板單元組成的單向或雙向折板體系來近似，也就是采用平面殼單元進(jìn)行分析。向或雙向折板體系來近似，也就是采用平面殼單元進(jìn)行分析。平面殼單元可以視為平面應(yīng)力單元與板彎曲單元的組合體。平面殼單元可以視為平面應(yīng)力單元與板彎曲單元的組合體。平面應(yīng)力單元（亦稱膜單元）僅僅能夠承受作用于平面內(nèi)的平面應(yīng)力單元（亦稱膜單元）僅僅能夠承受作用于平面內(nèi)的載荷載荷 ，不能夠承受其它載荷，不能夠承受其它載荷 。假設(shè)。假設(shè)z方向上的位移方向上的位移w=0，每

27、，每一結(jié)點(diǎn)僅存在沿一結(jié)點(diǎn)僅存在沿x軸和軸和y軸的位移軸的位移板彎曲單元僅僅承受彎曲載荷板彎曲單元僅僅承受彎曲載荷 ，此類單元只有沿坐標(biāo)，此類單元只有沿坐標(biāo)z方向的方向的位移，實(shí)際上就是利用前面已經(jīng)接觸過的薄板單元。位移，實(shí)際上就是利用前面已經(jīng)接觸過的薄板單元。平面殼單元有限元平面殼單元有限元根據(jù)前面的假定，那么單元上任意一點(diǎn)根據(jù)前面的假定，那么單元上任意一點(diǎn)(x,y,z)的位移為的位移為平面應(yīng)力位移平面應(yīng)力位移 薄板彎曲位移薄板彎曲位移 注意：上面的位移表達(dá)式是基于局部坐標(biāo)系建立的，不然則不注意：上面的位移表達(dá)式是基于局部坐標(biāo)系建立的，不然則不成立。成立。平面殼單元有限元平面殼單元有限元根據(jù)上

28、述位移關(guān)系，單元的應(yīng)變矩陣為根據(jù)上述位移關(guān)系，單元的應(yīng)變矩陣為注意：上面的位移表達(dá)式是基于局部坐標(biāo)系建立的，不然則不注意：上面的位移表達(dá)式是基于局部坐標(biāo)系建立的，不然則不成立。成立。平面殼單元有限元平面殼單元有限元為進(jìn)行以下的單元分析，定義單元結(jié)點(diǎn)為進(jìn)行以下的單元分析，定義單元結(jié)點(diǎn)i的位移列陣為的位移列陣為i結(jié)點(diǎn)力列陣為結(jié)點(diǎn)力列陣為單元結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力矩陣為單元結(jié)點(diǎn)位移、結(jié)點(diǎn)力矩陣為均為均為0在局部坐標(biāo)系下其實(shí)位移列陣和力列陣的最后一項(xiàng)沒有意義，在局部坐標(biāo)系下其實(shí)位移列陣和力列陣的最后一項(xiàng)沒有意義，但是考慮到最后還是要在整體坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算，所以占一格。但是考慮到最后還是要在整體坐標(biāo)下進(jìn)行計(jì)算，

29、所以占一格。平面殼單元有限元平面殼單元有限元有了剛才的位移列陣和力列陣，采用虛功原理，可以逐步完成有了剛才的位移列陣和力列陣，采用虛功原理，可以逐步完成有限元格式的建立過程。有限元格式的建立過程。以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例局部坐標(biāo)系下局部坐標(biāo)系下整體坐標(biāo)系下整體坐標(biāo)系下平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例三角形平面殼單元的三角形平面殼單元的3個(gè)結(jié)點(diǎn)個(gè)結(jié)點(diǎn)i，j，m共有共有15個(gè)自由度，位移函個(gè)自由度，位移函數(shù)可采用如下形式數(shù)可采用如下形式平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平

30、面殼單元為例將三個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移代入進(jìn)去，則可以反推出將三個(gè)結(jié)點(diǎn)的位移代入進(jìn)去，則可以反推出單元位移單元位移=形函數(shù)形函數(shù)結(jié)點(diǎn)位移的三個(gè)表達(dá)式結(jié)點(diǎn)位移的三個(gè)表達(dá)式（u,v,w）。）。根據(jù)位移函數(shù)的表達(dá)形式，不難看出其就是平面應(yīng)力單元和根據(jù)位移函數(shù)的表達(dá)形式，不難看出其就是平面應(yīng)力單元和薄板彎曲單元的結(jié)合。后續(xù)分析過程較復(fù)雜，因此在這里只薄板彎曲單元的結(jié)合。后續(xù)分析過程較復(fù)雜，因此在這里只做文字性敘述注意事項(xiàng)。做文字性敘述注意事項(xiàng)。單元位移表達(dá)式單元位移表達(dá)式（u,v,w）建立后，下面的工作就是進(jìn)行應(yīng)變建立后，下面的工作就是進(jìn)行應(yīng)變計(jì)算。計(jì)算。但是注意但是注意up,vp并不是并不是u,v平面殼單元有

31、限元平面殼單元有限元以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例得到應(yīng)變后，接著就是計(jì)算應(yīng)力，剛才的應(yīng)變拆分成了兩項(xiàng)。得到應(yīng)變后，接著就是計(jì)算應(yīng)力，剛才的應(yīng)變拆分成了兩項(xiàng)。單元內(nèi)應(yīng)力分量可以簡單地將相應(yīng)的平面應(yīng)力單元和薄單元內(nèi)應(yīng)力分量可以簡單地將相應(yīng)的平面應(yīng)力單元和薄板彎曲單元的應(yīng)力分量進(jìn)行疊加。板彎曲單元的應(yīng)力分量進(jìn)行疊加。平面應(yīng)力單元平面應(yīng)力單元所產(chǎn)生的應(yīng)力所產(chǎn)生的應(yīng)力薄板彎曲單元薄板彎曲單元所產(chǎn)生的應(yīng)力所產(chǎn)生的應(yīng)力平面殼單元有限元平面殼單元有限元以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例以經(jīng)典的三結(jié)點(diǎn)平面殼單元為例在上述的分析過程中我們將得到應(yīng)變矩陣在上述的分析過程中我們將得到應(yīng)變矩陣B和和D，那么就可，那么就可以和往常一樣的建立起單元?jiǎng)偠染仃囈院屯Ｒ粯拥慕⑵饐卧獎(jiǎng)偠染仃?k，但是，但是此時(shí)建立起來此時(shí)建立起來的單剛矩陣是在局部坐標(biāo)下的，所以需要轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)的單剛矩陣是在局部坐標(biāo)下的，所以需要轉(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)。組裝完畢后得到總剛和平衡方程：組裝完畢后得到總剛和平衡方程：同樣的也要先進(jìn)行約束的處理才能進(jìn)行求解。同樣的也要先進(jìn)行約束的處理才能進(jìn)行求解。平面殼單元有限元平面殼單元有限元關(guān)于平面殼單元的一些特殊之處