材料力學(xué)第十一章 彎曲問題的進(jìn)一步分析

1、第十一章第十一章 彎曲問題彎曲問題 的進(jìn)一步研究的進(jìn)一步研究 非對稱純彎曲非對稱純彎曲梁的正應(yīng)力梁的正應(yīng)力 兩種材料的組合兩種材料的組合梁梁 開口薄壁開口薄壁截面梁的切應(yīng)力截面梁的切應(yīng)力 彎曲中心彎曲中心zIyxM)(zIMy 無無縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面有有縱向?qū)ΨQ面但外力不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)縱向?qū)ΨQ面但外力不作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)梁梁梁有梁有縱向?qū)ΨQ面且外力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)縱向?qū)ΨQ面且外力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)非對稱截面等直梁非對稱截面等直梁實驗實驗、仍然成立仍然成立EE 變形后梁中性層變形后梁中性層曲率半徑為曲率半徑為 任取一任取一坐標(biāo)系坐標(biāo)系Cxyz非對稱截面等直梁非對稱截面等直梁任取一任取一坐

2、標(biāo)系坐標(biāo)系Cxyzyzd A0dN FAA0d yAMAzzAMAy d0dN FAA0d AEA0S過截面形心過截面形心CEyzd A0)dcosd(sin 2AzAyzEAA0cossinyyzIIEd Ayz0d yAMAzcossinzyyzyIItan完全確定了完全確定了的位置的位置zyzzMIIE)cossin(Ed AyzzAMAy dcossinzy2)(yzzyyzyzIIIzIyIMyzyIItan非對稱截面等直梁非對稱截面等直梁2)(yzzyyzyzIIIzIyIM2)(yzzyyzzyIIIyIzIM作用在作用在內(nèi)內(nèi)2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyI

3、zIM 0)()(20000yzzyyzyzyzzyIIIIzIyMIyIzM2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyIzIMy0z0中性軸的方程中性軸的方程中性軸是一條中性軸是一條的直線的直線0)()(0000yzyzyzzyIzIyMIyIzMyzzzyyzyyzIMIMIMIMyz00tan設(shè)設(shè) ( y0，z0) 為中性軸上的任一點為中性軸上的任一點 C D1D2最大應(yīng)力最大應(yīng)力發(fā)生在發(fā)生在上上橫截面橫截面橫截面橫截面用用確定確定產(chǎn)生最大應(yīng)力的點產(chǎn)生最大應(yīng)力的點D1D2非對稱非對稱2)()(yzzyyzyzyzzyIIIzIyIMyIzIM非對稱非對稱對稱對稱 梁有梁有縱向?qū)?/p>

4、稱面，且外力作用在縱向?qū)ΨQ面，且外力作用在內(nèi)內(nèi)0yzI0yMMMzzIMy廣義彎曲廣義彎曲正應(yīng)力公式正應(yīng)力公式 梁無梁無縱向?qū)ΨQ面，但外力作用在縱向?qū)ΨQ面，但外力作用在內(nèi)或與形心主慣性平面內(nèi)或與形心主慣性平面的平面內(nèi)的平面內(nèi)非對稱截面梁非對稱截面梁y、z 為為 外力作用在外力作用在內(nèi)或內(nèi)或與形心主慣性平面與形心主慣性平面的平面內(nèi)的平面內(nèi)0yzI0yMMMzzIMy廣義彎曲正應(yīng)力公式廣義彎曲正應(yīng)力公式y(tǒng)zzzyyzyyzIMIMIMIMtan 90中性軸與中性軸與 y 軸軸(即為即為z 軸軸)C 梁有梁有縱向?qū)ΨQ面，但外力作用面與縱向?qū)ΨQ面，但外力作用面與間有一夾角間有一夾角對稱截面梁對稱截面梁

5、0yzIcosMMysinMMzzzyyIyMIzM廣義彎曲正應(yīng)力公式廣義彎曲正應(yīng)力公式y(tǒng)zzzyyzyyzIMIMIMIMtan中性軸中性軸外力所在平面外力所在平面 tanzyII梁變形后撓曲線不在外力作用面內(nèi)梁變形后撓曲線不在外力作用面內(nèi)l / 2l / 2 例：例：Z Z形截面梁受力如圖，已知形截面梁受力如圖，已知F = 5 kN，l=4 m，Iy =1.9810-6 m4，Iz =10.9710-6 m4， Iyz =3.3810-6 m4。試求該梁的最大拉應(yīng)力和最試求該梁的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。大壓應(yīng)力。C70701111111607070111111160l / 2l / 2 C

6、ABD梁截面為非對稱截面梁截面為非對稱截面軸軸 y、z 為非形心主慣性軸為非形心主慣性軸梁發(fā)生梁發(fā)生yzzzyyzyyzIMIMIMIMtanyzyII5858. 036.30各截面上各截面上 My =0，只有，只有Mz 。危險截面在跨中，最大彎矩為危險截面在跨中，最大彎矩為mkN641maxFlMz7070111111160l / 2l / 2 CABDmm5 .64mm69AAzymm5 . 5mm80BBzymm5 .64mm69CCzymm5 . 5mm80DDzy2)(yzzyyzyzIIIzIyIM廣義彎曲廣義彎曲正應(yīng)力公式正應(yīng)力公式2max)(yzzyyzyzIIIzIyIM70

7、70111111160l / 2l / 2 CABD2max)(yzzyyzyzIIIzIyIMMPa4 .47AMPa103BMPa4 .47CMPa103D梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力發(fā)生在梁的最大拉應(yīng)力、最大壓應(yīng)力發(fā)生在B、D兩點上兩點上bISFzzS對稱彎曲對稱彎曲非對稱非對稱彎曲彎曲外力作用在形心主慣性平面內(nèi)外力作用在形心主慣性平面內(nèi)外力作用在平行于形心主慣性平外力作用在平行于形心主慣性平面的某一特定平面內(nèi)面的某一特定平面內(nèi)無縱向無縱向?qū)ΨQ面對稱面 外力作用在形心外力作用在形心主慣性平面主慣性平面Cxy 內(nèi)內(nèi) 外力作用在距形心主慣外力作用在距形心主慣性平面為性平面為 e 的平行平面內(nèi)的

8、平行平面內(nèi)截面梁實驗截面梁實驗這與橫力彎曲時橫截面上存在這與橫力彎曲時橫截面上存在或或有關(guān)有關(guān)開口薄壁截面梁的開口薄壁截面梁的dxabcd 外力外力F 作用在與形心主慣性作用在與形心主慣性平面平面Cxy 平行的某一特定平面內(nèi)平行的某一特定平面內(nèi)dxabd ddc左截面：左截面：FS、M右截面：右截面：FS、M dMzzASIMAF *d1NdzzISFSzzSIMMFd2N切應(yīng)力沿厚度、切應(yīng)力沿厚度、dx方向方向0d1N2N FxFd梁只發(fā)生梁只發(fā)生切應(yīng)力流切應(yīng)力流剪力剪力時時dzzISFSdxabcddzzISFSdA外力外力F 沿沿 作用作用剪力沿剪力沿 方向，用方向，用表示。表示。截面法

9、截面法微內(nèi)力微內(nèi)力 合成的結(jié)果是剪力合成的結(jié)果是剪力合力矩定理合力矩定理剪力剪力作用線的位置作用線的位置外力外力F 沿沿 作用作用剪力沿剪力沿 方向，用方向，用表示。表示。合力矩定理合力矩定理剪力剪力作用線的位置作用線的位置yzdxabcddA 橫截面上剪力橫截面上剪力和和的交點的交點 A剪切中心剪切中心彎心彎心彎曲中心彎曲中心A過彎曲中心過彎曲中心A且與形心主慣且與形心主慣性平面性平面Cxy 平行的平面平行的平面Axy 對于對于開口薄壁截面梁，只有當(dāng)開口薄壁截面梁，只有當(dāng)時，梁才只發(fā)生時，梁才只發(fā)生而無扭轉(zhuǎn)。而無扭轉(zhuǎn)。彎彎心心平平面面過彎曲中心過彎曲中心A且與形心主慣且與形心主慣性平面性平面

10、Cxz 平行的平面平行的平面Axz 過點過點A 取取 xx、yy、zz 若橫截面有若橫截面有，則兩根對稱軸的，則兩根對稱軸的即為彎曲中心，即彎曲中心與截面的形心重合。即為彎曲中心，即彎曲中心與截面的形心重合。 若橫截面只有若橫截面只有，則彎曲中心必在此，則彎曲中心必在此上。上。 若橫截面若橫截面，則按彎曲中心的，則按彎曲中心的來來確定。確定。 對于非對稱截面的對于非對稱截面的和和，截面的彎曲中心通常在截面的彎曲中心通常在，且桿件的扭轉(zhuǎn)剛，且桿件的扭轉(zhuǎn)剛度較大，當(dāng)外力作用在形心主慣性平面內(nèi)時，引起度較大，當(dāng)外力作用在形心主慣性平面內(nèi)時，引起的扭轉(zhuǎn)變形可忽略不計。的扭轉(zhuǎn)變形可忽略不計。 外力作用在

11、形心外力作用在形心主慣性平面主慣性平面Cxy 內(nèi)內(nèi) 外力作用在距形心主慣外力作用在距形心主慣性平面為性平面為 e 的平行平面內(nèi)的平行平面內(nèi)截面梁實驗截面梁實驗bhd dd dd d d1HAFA半個翼緣半個翼緣dzzISFS1 d2/0SuIhuFbzdddzIbhF4/2Sd2huSzd dduAdFF SSSeaeSS SeFhFSHzIbhe422dA 當(dāng)梁在兩個當(dāng)梁在兩個的形心主慣性的形心主慣性平面內(nèi)分別產(chǎn)生平面內(nèi)分別產(chǎn)生時，橫截時，橫截面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個剪力作用線的面上產(chǎn)生的相應(yīng)兩個剪力作用線的交點即為交點即為。 當(dāng)外力的作用線當(dāng)外力的作用線于形心主軸、并于形心主軸、并橫截面的彎曲中

12、心時，梁只產(chǎn)生橫截面的彎曲中心時，梁只產(chǎn)生。 外力如何作用在彎曲外力如何作用在彎曲中心上？中心上？梁產(chǎn)生平面彎曲的梁產(chǎn)生平面彎曲的 其它形狀的薄壁截面其它形狀的薄壁截面彎曲中心在何處？彎曲中心在何處？AS常用開口薄壁截面彎曲中心常用開口薄壁截面彎曲中心 A 的大致位置：的大致位置：彎曲中心的位置與截面的幾何特征有關(guān)。彎曲中心的位置與截面的幾何特征有關(guān)。由兩種或兩種以上材料組成的梁由兩種或兩種以上材料組成的梁 組組合梁合梁 復(fù)合梁復(fù)合梁 組合梁各組成部分緊密結(jié)合，彎曲變形時無相對組合梁各組成部分緊密結(jié)合，彎曲變形時無相對錯動，可以看作是一個整體。錯動，可以看作是一個整體。實驗實驗、仍然成立仍然成

13、立E1A1E2A2bh矩形截面梁矩形截面梁正應(yīng)力正應(yīng)力中性軸中性軸 對稱軸對稱軸 y中性軸中性軸 zE2 E1 E1A1E2A2bhyE1yE2 變形后梁中性層變形后梁中性層曲率半徑為曲率半徑為 y虎克定律虎克定律縱向線應(yīng)變沿截面高度縱向線應(yīng)變沿截面高度（變化）變化） 彎曲正應(yīng)力沿截面高度彎曲正應(yīng)力沿截面高度，但在兩種材料交界，但在兩種材料交界處正應(yīng)力處正應(yīng)力。 0ddN 2 1 FAAAA將橫截面上的將橫截面上的微內(nèi)力進(jìn)行合成微內(nèi)力進(jìn)行合成MMAyAyzAA 2 1dd021 zzSESE確定中性軸位置確定中性軸位置中性軸不是水平對稱軸中性軸不是水平對稱軸E1A1E2A2bhzSzS E1A

14、1E2A2bhzzIEIEM 211zzIEIEMyE 211zzIEIEMyE 212 將由多種材料組成的組合梁的橫截面將由多種材料組成的組合梁的橫截面為僅由為僅由一種材料組成的梁的橫截面。一種材料組成的梁的橫截面。 然后按然后按材料梁的公式計算。材料梁的公式計算。zIzI E1A1E2A2bhE1E1bbhbEEb12將組合梁變換為僅有將組合梁變換為僅有組成組成截面上截面上的寬度變換成的寬度變換成12EEn nb可以證明：可以證明：等效截面的等效截面的與兩種材料的實際截面的中性軸與兩種材料的實際截面的中性軸等效截面梁的等效截面梁的與兩種材料的組合梁的彎曲剛度與兩種材料的組合梁的彎曲剛度 E

15、1A1E2A2bhE1E1bbhztIEM11Izt 為為對對中性軸中性軸 z 的慣性矩的慣性矩zzztIEIEMIEM 2111zzztInII ztIMyztIMyn l / 2l / 2 例：例：圖示一簡支組合梁，圖示一簡支組合梁，l=3 m，F(xiàn) = 4 kN，該該梁由寬梁由寬為為100 mm、高為、高為150 mm的木梁及其底部加的木梁及其底部加10 mm厚的鋼厚的鋼板組成，橫截面如圖。已知板組成，橫截面如圖。已知E木木 =10 GPa，E鋼鋼 =200 GPa。試求這兩部分的最大正應(yīng)力。試求這兩部分的最大正應(yīng)力。1001501010015010以鋼為基本材料，將木材以鋼為基本材料，將木材部分橫截面的寬度進(jìn)行變換。部分橫截面的寬度進(jìn)行變換。20120010鋼木EEn等效截面木材部分的寬度等效截面木材部分的寬度mm5100)20/1 (nbb等效截面形心坐標(biāo)等效截面形心坐標(biāo)mm7 .120212211AAyAyAyCyC10015010yC等效截面對中性軸