材料力學(xué)第07章 受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)

1、中北大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系中北大學(xué)理學(xué)院力學(xué)系第七章第七章 受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)受壓桿件的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念第二節(jié)第二節(jié) 細(xì)長壓桿的臨界壓力細(xì)長壓桿的臨界壓力第三節(jié)第三節(jié) 臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖第四節(jié)第四節(jié) 壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)壓桿的穩(wěn)定性設(shè)計(jì)第五節(jié)第五節(jié) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施總結(jié)與討論總結(jié)與討論第一節(jié)第一節(jié) 壓桿穩(wěn)定的概念壓桿穩(wěn)定的概念 在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對于受在第三章討論桿件軸向拉伸和壓縮的強(qiáng)度計(jì)算中，對于受壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）壓桿件，當(dāng)最大壓應(yīng)力達(dá)到極限應(yīng)力（屈服極限或強(qiáng)度極限）時(shí)，

2、會發(fā)生強(qiáng)度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其最大壓時(shí)，會發(fā)生強(qiáng)度失效（出現(xiàn)塑性變形或破裂）。只要其最大壓應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全應(yīng)力小于或等于許用應(yīng)力，即滿足強(qiáng)度條件時(shí)，桿件就能安全正常工作。然而，在實(shí)際工程中的一些細(xì)長桿件受壓時(shí)，桿件正常工作。然而，在實(shí)際工程中的一些細(xì)長桿件受壓時(shí)，桿件可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷，可能發(fā)生突然彎曲，進(jìn)而產(chǎn)生很大的彎曲變形而導(dǎo)致最后折斷，而桿件的壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿而桿件的壓應(yīng)力卻遠(yuǎn)低于屈服極限或強(qiáng)度極限。顯然，此時(shí)桿件的失效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力件的失

3、效不是由于強(qiáng)度不夠而引起的，而是與桿件在一定壓力作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu)作用下突然彎曲，不能保持其原有的平衡形態(tài)有關(guān)。我們把構(gòu)件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的件在外力作用下保持其原有平衡形態(tài)的能力稱為構(gòu)件的穩(wěn)定性穩(wěn)定性（stabilitystability）。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的）。受壓直桿在壓力作用下保持其直線平衡形態(tài)的能力稱為壓桿的穩(wěn)定性?？梢?，細(xì)長壓桿的失效是由于桿件喪能力稱為壓桿的穩(wěn)定性。可見，細(xì)長壓桿的失效是由于桿件喪失穩(wěn)定性而引起的，屬于失穩(wěn)定性而引起的，屬于穩(wěn)定性失效穩(wěn)定性失效（failure by lost fa

4、ilure by lost stabilitystability）。）。 工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的工程實(shí)際中，有許多受壓桿件。如汽車起重機(jī)起重臂的支承桿（圖支承桿（圖7.17.1），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作），在起吊重物時(shí)，該支承桿就受到壓力作用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖用。再如，建筑工地上所使用的腳手架（圖7.27.2），可以簡），可以簡化為桁架結(jié)構(gòu)，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)化為桁架結(jié)構(gòu)，其中大部分豎桿要承受壓力作用。同樣，機(jī)床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下床絲杠、起重螺旋（千斤頂）、各種受壓桿件在壓力作用下都有可

5、能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。都有可能存在喪失穩(wěn)定而失效的問題。 圖圖7.1 7.1 起重機(jī)起重機(jī) 圖圖7.2 7.2 腳手架腳手架 1 1 穩(wěn)定平衡的概念穩(wěn)定平衡的概念 深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是深入研究構(gòu)件的平衡狀態(tài)，不難發(fā)現(xiàn)其平衡狀態(tài)可能是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的。當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會偏離原平衡于平衡的構(gòu)件，受到一微小的干擾力后，構(gòu)件會偏離原平衡位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平位置，而干擾力解除以后，又能恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，這種平衡稱為衡稱為穩(wěn)定平衡穩(wěn)

6、定平衡。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài)。當(dāng)載荷大于一定的數(shù)值時(shí)，處于平衡狀態(tài)的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能的構(gòu)件受到干擾后，偏離原平衡位置，干擾力去除后，不能回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為回到原平衡狀態(tài)時(shí)，這種平衡稱為不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡。而介于穩(wěn)定。而介于穩(wěn)定平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為平衡和不穩(wěn)定平衡之間的臨界狀態(tài)稱為隨遇平衡隨遇平衡。如圖。如圖7-37-3所示。所示。 穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡 隨遇平衡隨遇平衡 不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡 圖圖7-3 7-3 平衡形態(tài)平衡形態(tài) 當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的外界擾動(dòng)下，當(dāng)壓桿處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，在任意微小的

7、外界擾動(dòng)下，都會轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為都會轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌问降钠胶鉅顟B(tài)，這種過程稱為屈曲屈曲(buckling)(buckling)或或失穩(wěn)失穩(wěn)(lost stability)(lost stability)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)。很多情形下，屈曲將導(dǎo)致構(gòu)件失效，這種失效稱為致構(gòu)件失效，這種失效稱為屈曲失效屈曲失效(failure by buckling)(failure by buckling)。由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此由于屈曲失效往往具有突發(fā)性，常常會產(chǎn)生災(zāi)難性后果，因此工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。工程設(shè)計(jì)中需要認(rèn)真加以考慮。 如如2020世紀(jì)初，

8、享有盛譽(yù)的美國橋梁學(xué)家?guī)彀兀ㄊ兰o(jì)初，享有盛譽(yù)的美國橋梁學(xué)家?guī)彀兀═heodore CooperTheodore Cooper）在加拿大）在加拿大離魁北克城離魁北克城14.414.4公里，圣勞倫斯河上建造長公里，圣勞倫斯河上建造長548548米的魁北克大橋米的魁北克大橋(Quebec Bridge)(Quebec Bridge)，不幸的是，不幸的是，19071907年年8 8月月2929日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖日，該橋發(fā)生穩(wěn)定性破壞（圖7-47-4），災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收），災(zāi)變發(fā)生在當(dāng)日收工前工前1515分鐘，分鐘，8585位工人死亡，原因是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)位工人死亡，原因

9、是在施工中懸臂桁架西側(cè)的下弦桿有二節(jié)失穩(wěn)所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。所致，成為上世紀(jì)十大工程慘劇之一。 圖圖7-4 7-4 魁北克大橋魁北克大橋 2 2 臨界壓力的概念臨界壓力的概念 FF干擾力FFcr（a） （b） （c） （d） （e） 圖圖7-5 7-5 不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài)不同載荷作用下壓桿的平衡形態(tài) 現(xiàn)以圖現(xiàn)以圖7.57.5（a a）所示一端固定一端自所示一端固定一端自由細(xì)長壓桿來說明壓由細(xì)長壓桿來說明壓桿的穩(wěn)定性。若壓桿桿的穩(wěn)定性。若壓桿為中心受壓的理想直為中心受壓的理想直桿，即假設(shè)：桿是絕桿，即假設(shè)：桿是絕對直桿，無初曲率；對直桿，無初曲率；壓力與桿的軸線重合，壓力

10、與桿的軸線重合，無偏心；材料絕對均無偏心；材料絕對均勻。則在壓力的作用勻。則在壓力的作用下，無論壓力有多大，下，無論壓力有多大，也沒有理由往旁邊彎也沒有理由往旁邊彎曲。曲。 當(dāng)壓力很小時(shí)，壓桿能夠保持當(dāng)壓力很小時(shí)，壓桿能夠保持平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)向干擾平衡狀態(tài)，此時(shí)加一微小側(cè)向干擾力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置力，桿發(fā)生輕微彎曲，在新的位置重新處于平衡狀態(tài)，如圖重新處于平衡狀態(tài)，如圖7-57-5（b b）。）。若解除干擾力，則壓桿重新回到原若解除干擾力，則壓桿重新回到原直線平衡狀態(tài)，如圖直線平衡狀態(tài)，如圖7-57-5（c c），因），因此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的此，壓桿原直線平衡狀態(tài)是

11、穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。 上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為上述由穩(wěn)定平衡過渡到不穩(wěn)定平衡的壓力的臨界值稱為臨界壓力臨界壓力（或（或臨界載荷臨界載荷）（）（critical loadcritical load），用），用Fcr表示。表示。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。顯然，研究壓桿穩(wěn)定問題的關(guān)鍵是確定壓桿的臨界壓力值。桿件失去了保持其原有直桿件失去了保持其原有直線平衡狀態(tài)的能力，稱為線平衡狀態(tài)的能力，稱為喪失穩(wěn)定喪失穩(wěn)定，簡稱簡稱失穩(wěn)失穩(wěn)，或，或屈曲屈曲。 當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡當(dāng)壓力逐漸增加到某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)

12、，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿發(fā)生微小彎曲，但去掉干擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線擾力后，桿不能回到原直線平衡狀態(tài)，而是在微小彎曲曲線狀態(tài)下保持平衡，如圖狀態(tài)下保持平衡，如圖7-57-5（d d），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇），則壓桿原平衡狀態(tài)是隨遇平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其平衡狀態(tài)。當(dāng)壓力逐漸增加超出某一極限值，壓桿仍保持其直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡直線平衡狀態(tài)，在受到一側(cè)向干擾力后，桿件離開直線平衡狀態(tài)后，就會一直彎曲直至桿件破壞為止，如圖狀態(tài)后，就會一直彎曲直至桿件破壞為

13、止，如圖7-57-5（e e），），則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。則壓桿原平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。 除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓除壓桿外，還有一些其他構(gòu)件也存在穩(wěn)定問題。例如圓柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果柱形薄殼外部受到均勻壓力時(shí)，壁內(nèi)應(yīng)力為壓應(yīng)力，如果外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而外壓達(dá)到臨界值時(shí)，薄殼將會失去原有圓柱形平衡狀態(tài)而喪失穩(wěn)定，如圖喪失穩(wěn)定，如圖7-67-6所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎所示。同樣，板條或窄梁在最大抗彎剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會發(fā)生突然的側(cè)彎現(xiàn)象，剛度平面內(nèi)彎曲時(shí)，載荷過大也會發(fā)生突然的側(cè)彎

14、現(xiàn)象，如圖如圖7-77-7所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部所示。薄壁圓筒在過大的扭矩作用下發(fā)生的局部皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，皺折，也是屬于失穩(wěn)問題。本章只討論壓桿的穩(wěn)定問題，有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。有關(guān)其他的穩(wěn)定問題可參考有關(guān)專著。 qF圖7-7 窄梁 圖7-6 圓柱形薄殼 第二節(jié)第二節(jié) 壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力壓桿的臨界壓力和臨界應(yīng)力 1 1 兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力 如圖如圖7-87-8所示，兩端約束為球鉸支座的細(xì)長壓桿，壓桿所示，兩端約束為球鉸支座的細(xì)長壓桿，壓桿軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界

15、軸線為直線，受到與軸線重合的壓力作用。當(dāng)壓力達(dá)到臨界力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，力時(shí)，壓桿將由穩(wěn)定平衡狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)椴环€(wěn)定平衡狀態(tài)。顯然，使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。使壓桿保持在微小彎曲狀態(tài)下平衡的最小壓力即為臨界壓力。假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛假設(shè)桿件在壓力作用下發(fā)生微小彎曲變形，設(shè)桿件的彎曲剛度為度為EI。 lFcrxwFcrxFFcrM(x)AB圖圖7-8 7-8 兩端鉸支細(xì)長壓桿兩端鉸支細(xì)長壓桿 lFcrxwFcrxFFcrM(x)AB圖圖7-6 7-6 兩端鉸支細(xì)長壓桿兩端鉸支細(xì)長壓桿 選取如圖所示坐標(biāo)系選取如

16、圖所示坐標(biāo)系xAw。設(shè)距原點(diǎn)為設(shè)距原點(diǎn)為x x距離的任意截面的距離的任意截面的撓度為撓度為w，彎矩彎矩M的絕對值為的絕對值為Fw。若撓度若撓度w為負(fù)時(shí)，為負(fù)時(shí)，M為正。為正。即即M與與w的符號相反，于是有的符號相反，于是有( )M xFw 將其代入撓曲線近似微分方程，得將其代入撓曲線近似微分方程，得 ( )EIwM xFw 為了求解方便，令為了求解方便，令 2FkEI則有則有 20wk w該微分方程的通解為該微分方程的通解為 cossinwCkxDkx式中式中C、D為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。為積分常數(shù)，可通過邊界條件來確定。 壓桿兩端約束為球鉸支座，其邊界條件為壓桿兩端約束為球鉸支座，

17、其邊界條件為 0 x 0wxl0w時(shí)，時(shí)，時(shí)，時(shí)，將邊界條件代入通解式，可解得將邊界條件代入通解式，可解得 0C sin0Dkl 則可得到則可得到 0D sin0kl 或或 如果如果D=0，則有，則有w0，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保，即壓桿各截面的撓度均為零，桿仍然保持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因持直線狀態(tài)，這與壓桿處于微彎狀態(tài)的假設(shè)前提相矛盾。因此此D0 ，則只有，則只有 sin0kl 滿足上式的滿足上式的kl值為值為 kln(0,1,2,3,)n 所以所以 ， 于是，桿件所受的壓力為于是，桿件所受的壓力為 nkl2222nEIFk EIl(0,1,2,3,)n

18、 由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理由上式可以看出，使壓桿保持曲線形狀平衡的壓力值，在理論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小論上是多值的。但實(shí)際上，只有使桿件保持微小彎曲得最小壓力才是臨界壓力。顯然只有取壓力才是臨界壓力。顯然只有取n =1=1才有實(shí)際意義，于是可才有實(shí)際意義，于是可得臨界壓力為得臨界壓力為 22crEIFl（7-17-1） 22crEIFl（7-17-1） 上式即為兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：上式即為兩端鉸支細(xì)長壓桿的臨界壓力表達(dá)式。式中：E為彈為彈性模量，性模量，EI為彎曲剛度，為彎曲剛度，l 為壓桿長度。為壓桿長度。EI 應(yīng)取

19、最小值，在材應(yīng)取最小值，在材料給定的情況下，慣性矩料給定的情況下，慣性矩I 應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在應(yīng)取最小值，這是因?yàn)闂U件總是在抗彎能力最小的縱向平面內(nèi)失穩(wěn)?？箯澞芰ψ钚〉目v向平面內(nèi)失穩(wěn)。 當(dāng)當(dāng)n =1時(shí)，相應(yīng)的撓曲線方程為時(shí)，相應(yīng)的撓曲線方程為sinxwDl可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，可見，壓桿由直線狀態(tài)的平衡過渡到曲線狀態(tài)的平衡以后，軸線變成了半個(gè)正弦曲線。軸線變成了半個(gè)正弦曲線。D為桿件中點(diǎn)處的撓度。為桿件中點(diǎn)處的撓度。 該式是由瑞士科學(xué)家歐拉該式是由瑞士科學(xué)家歐拉 （L. EulerL. Euler）于）于17441744年提出的，年提出的，故也稱為兩端

20、鉸支細(xì)長壓桿的故也稱為兩端鉸支細(xì)長壓桿的歐拉公式歐拉公式。歐拉早在。歐拉早在1818世紀(jì)，世紀(jì)，就對理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同就對理想壓桿在彈性范圍內(nèi)的穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，但是，同其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展其他科學(xué)問題一樣，壓桿穩(wěn)定性的研究和發(fā)展與生產(chǎn)力發(fā)展的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長的時(shí)間里之所的水平密切相關(guān)。歐拉公式面世后，在相當(dāng)長的時(shí)間里之所以未被認(rèn)識和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用以未被認(rèn)識和重視，就是因?yàn)楫?dāng)時(shí)在工程與生活建造中使用的木樁、石柱都不是細(xì)長的。到的木樁、石柱都不是細(xì)長的。到17881788年熟鐵軋制的型材

21、開始年熟鐵軋制的型材開始生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長桿才逐漸成生產(chǎn)，然后出現(xiàn)了鋼結(jié)構(gòu)。有了金屬結(jié)構(gòu)，細(xì)長桿才逐漸成為重要議題。特別是為重要議題。特別是1919世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和發(fā)展而來的鐵世紀(jì)，隨著鐵路建設(shè)和發(fā)展而來的鐵路金屬橋梁的大量建造，促使人們對壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入路金屬橋梁的大量建造，促使人們對壓桿穩(wěn)定問題進(jìn)行深入研究。研究。 2 2 其他支承形式下的臨界壓力其他支承形式下的臨界壓力 FcrFcrFcrFcr（a） （b） （c） (d) 圖圖7-7 7-7 不同支承形式的細(xì)長壓桿不同支承形式的細(xì)長壓桿 從上面的推導(dǎo)過程可以從上面的推導(dǎo)過程可以看出，桿件壓彎后的撓曲看出

22、，桿件壓彎后的撓曲線形式與桿件兩端的支承線形式與桿件兩端的支承形式密切相關(guān)，積分常數(shù)形式密切相關(guān)，積分常數(shù)是通過邊界條件來確定的，是通過邊界條件來確定的，不同的邊界條件得到不同不同的邊界條件得到不同的結(jié)果。壓桿兩端的支座的結(jié)果。壓桿兩端的支座除鉸支外，還有其他情況，除鉸支外，還有其他情況，工程上較常見的桿工程上較常見的桿端支承形式主要有四種，如圖端支承形式主要有四種，如圖7-77-7所示。各種支承情況下所示。各種支承情況下壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進(jìn)行壓桿的臨界壓力公式，可以按照兩端鉸支形式的方式進(jìn)行推導(dǎo)，但也可以把各種支承形式的彈性曲線與兩端鉸支形推導(dǎo)，但也可以把各種支承

23、形式的彈性曲線與兩端鉸支形式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。式下的彈性曲線進(jìn)行類比來獲得臨界力公式。 例如千斤頂?shù)慕z桿如圖例如千斤頂?shù)慕z桿如圖7-87-8所示，下所示，下端可簡化為固定端，上端可簡化為自由端可簡化為固定端，上端可簡化為自由端。這樣就可以簡化為下端固定上端自端。這樣就可以簡化為下端固定上端自由的細(xì)長壓桿如圖由的細(xì)長壓桿如圖7-77-7（b b）。假設(shè)在臨）。假設(shè)在臨界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平界壓力作用下以微小彎曲的形狀保持平衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以衡，由于固定端截面不發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)，可以看出，其彎曲曲線與一長看出，其彎曲曲線與一長2l 為的兩端鉸為的兩端鉸支壓桿

24、的撓曲線的上半段是相符合的，支壓桿的撓曲線的上半段是相符合的，也就是說，如果把撓曲線對稱向下延伸也就是說，如果把撓曲線對稱向下延伸一倍，就相當(dāng)于如圖一倍，就相當(dāng)于如圖7-77-7（a a）所示的兩）所示的兩端絞支細(xì)長壓桿的撓曲線，所以，一端端絞支細(xì)長壓桿的撓曲線，所以，一端固定另一端自由，長度為的細(xì)長壓桿的固定另一端自由，長度為的細(xì)長壓桿的臨界壓力，等于兩端鉸支長為臨界壓力，等于兩端鉸支長為2l 的細(xì)的細(xì)長壓桿的臨界力，即長壓桿的臨界力，即 F絲桿圖圖7-8 7-8 千斤頂千斤頂 22(2 )crEIFl（7-2） Fcr 對于圖對于圖7-77-7（c c）所示兩端固定的壓桿，失穩(wěn)后）所示兩端

25、固定的壓桿，失穩(wěn)后的撓曲線形狀關(guān)于桿件的中間截面對稱，根據(jù)桿的撓曲線形狀關(guān)于桿件的中間截面對稱，根據(jù)桿件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一件彎曲變形的特點(diǎn)，可知距離上下端點(diǎn)四分之一桿長處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相桿長處的兩點(diǎn)為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故兩端固定長為當(dāng)于鉸鏈，故兩端固定長為l的壓桿的臨界壓力與的壓桿的臨界壓力與一長為一長為0.50.5l 的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有的鉸支壓桿的臨界壓力相等，則有 Fcr22( )2crEIFl（7-3） 而圖而圖7-77-7（d d）所示一端固定，一端絞支的壓）所示一端固定，一端絞支的壓桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形

26、狀的特點(diǎn)，可桿，根據(jù)桿件失穩(wěn)后的撓曲線形狀的特點(diǎn)，可知距離下端點(diǎn)約知距離下端點(diǎn)約0.30.3l 桿長處為撓曲線的拐點(diǎn)，桿長處為撓曲線的拐點(diǎn)，其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故其臨界壓力為其彎矩為零，相當(dāng)于鉸鏈，故其臨界壓力為 Fcr22(0.7 )crEIFl（7-4） 根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界壓力公根據(jù)以上討論，可將不同桿端約束細(xì)長壓桿的臨界壓力公式統(tǒng)一寫成式統(tǒng)一寫成 22()crEIFl（7-5） 上式為歐拉公式的普遍形式。式中上式為歐拉公式的普遍形式。式中稱為稱為長度系數(shù)長度系數(shù)（coefficient of lengthcoefficient of length），它表示桿

27、端約束對臨界壓力），它表示桿端約束對臨界壓力的影響，不同的桿端約束形式有不同的長度系數(shù)，顯然桿端的影響，不同的桿端約束形式有不同的長度系數(shù)，顯然桿端的約束越強(qiáng)，長度系數(shù)越小。幾種支承情況的的約束越強(qiáng)，長度系數(shù)越小。幾種支承情況的值列于下表。值列于下表。 l 表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長度，稱為表示把壓桿折算成相當(dāng)于兩端鉸支壓桿時(shí)的長度，稱為相當(dāng)長度相當(dāng)長度（effective lengtheffective length）。）。 表表7-1 7-1 壓桿長度系數(shù)壓桿長度系數(shù) 支承情況支承情況一端固定一端固定一端自由一端自由兩端鉸支兩端鉸支一端固定一端固定一端鉸支一端鉸支兩端固定兩端

28、固定2 21 10.70.70.50.5例例7-1 7-1 如圖如圖7-117-11所示細(xì)長壓桿，一端固定，所示細(xì)長壓桿，一端固定，另一端自由。已知其彈性模量另一端自由。已知其彈性模量E =10GPa，長長度度l =2m。試求。試求h=160mm，b=90mm和和 h = b =120mm兩種情況下壓桿的臨界壓力。兩種情況下壓桿的臨界壓力。 Fbyz圖圖7-11 7-11 例例7-17-1圖圖 解：（解：（1 1）計(jì)算）計(jì)算情況下的臨界壓力情況下的臨界壓力 截面對截面對y，z 軸的慣性矩分別為軸的慣性矩分別為 3364160 909.72 10 mm1212yhbI337490 1603.07

29、2 10 mm1212zbhI由于由于Iy Iz，所以壓桿必然繞，所以壓桿必然繞 y 軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算軸彎曲失穩(wěn)，應(yīng)將代入計(jì)算公式（公式（7.27.2）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取）計(jì)算臨界壓力，根據(jù)桿端約束取=2，即，即 2296122210 109.72 101060kN()(2 2)crEIFl（2 2）計(jì)算）計(jì)算情況下的臨界壓力，截面對情況下的臨界壓力，截面對y，z 軸的慣性矩相軸的慣性矩相等，均為等，均為 3374120 1201.728 10 mm1212yzhbII2297122210 101.728 1010106.5kN()(2 2)crEIFl 由計(jì)算結(jié)果來看，兩種

30、壓桿的材料用量相同，但情況由計(jì)算結(jié)果來看，兩種壓桿的材料用量相同，但情況的的臨界力是情況臨界力是情況的的1.781.78倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提倍，很顯然，桿件合理截面形狀是提高桿件穩(wěn)定性的措施之一。高桿件穩(wěn)定性的措施之一。 1 1 壓桿的臨界應(yīng)力壓桿的臨界應(yīng)力 當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力當(dāng)桿件壓力達(dá)到臨界壓力時(shí)，將臨界壓力Fcr 除以壓桿的除以壓桿的橫截面面積橫截面面積A，則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，稱為，則可得到臨界壓力下的應(yīng)力，稱為臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力（critical stresscritical stress），用），用cr 表示，即表示，即 22()crcrFEIAlA

31、將將I = Ai 2 代入臨界應(yīng)力公式中，則有代入臨界應(yīng)力公式中，則有 22()crEli令令 li于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式于是，臨界應(yīng)力可以寫成如下形式 22crE 這里這里是與壓桿的長度、約束情況、截面形狀是與壓桿的長度、約束情況、截面形狀和尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的和尺寸有關(guān)的系數(shù)，稱為壓桿的柔度柔度或或長細(xì)比長細(xì)比（slenderness radioslenderness radio），是一個(gè)無量綱的量，集），是一個(gè)無量綱的量，集中反映了桿長、約束情況、截面形狀和尺寸等因中反映了桿長、約束情況、截面形狀和尺寸等因素對臨界應(yīng)力的影響。素對臨界應(yīng)力的影響。 第三節(jié)第三節(jié) 臨界應(yīng)力總圖

32、臨界應(yīng)力總圖 2 2 歐拉公式的適用范圍歐拉公式的適用范圍 由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應(yīng)力增由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式可知，隨著柔度的減小，臨界應(yīng)力增大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會趨于無窮大，這顯然大，當(dāng)柔度很小接近于零時(shí)，臨界應(yīng)力會趨于無窮大，這顯然是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿是不符合實(shí)際情況的。因此，歐拉公式并不能適用于所有壓桿的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。的臨界應(yīng)力的計(jì)算。下面討論歐拉公式的適用范圍。 歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的，歐拉公式是利用壓桿微彎時(shí)的撓曲線近似方程推導(dǎo)出來的，而撓曲線近似微分方程又

33、是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)而撓曲線近似微分方程又是建立在材料服從虎克定律的基礎(chǔ)上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐上的。因此，只有當(dāng)臨界應(yīng)力不超過材料的比例極限時(shí)，歐拉公式才能成立，故有拉公式才能成立，故有 22crPE即即2PE因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為因此，歐拉公式的適用范圍可以表達(dá)為 P（7-9） 將柔度將柔度 大于或等于權(quán)限柔度大于或等于權(quán)限柔度 P的壓桿稱為的壓桿稱為大柔度桿大柔度桿，或，或細(xì)長細(xì)長桿桿。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力。因此，只有大柔度桿才能使用歐拉公式計(jì)算其臨界壓力和臨界應(yīng)力。和臨界應(yīng)力。 由式（由式（7.87.8）可以

34、看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性）可以看出，極限柔度與材料的比例極限和彈性模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。模量有關(guān)。不同的材料，的數(shù)值也不同。 令令 2PPE（7-8） P 是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對應(yīng)的柔度值，常稱為極是當(dāng)臨界應(yīng)力等于比例極限時(shí)所對應(yīng)的柔度值，常稱為極限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。限柔度，是歐拉公式適用的最小柔度值。 3 3 臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式臨界應(yīng)力總圖與經(jīng)驗(yàn)公式 工程實(shí)際中的壓桿，其柔度工程實(shí)際中的壓桿，其柔度 往往會小于極限柔度往往會小于極限柔度 P，由，由于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因此，歐拉公式于其臨界應(yīng)力已經(jīng)超過了材料的比例極限，因

35、此，歐拉公式不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非不再適用。臨界應(yīng)力超過比例極限的壓桿穩(wěn)定問題，屬于非線彈性失穩(wěn)問題，對于這類問題，也有理論分析結(jié)果，但在線彈性失穩(wěn)問題，對于這類問題，也有理論分析結(jié)果，但在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用建立在實(shí)驗(yàn)或是在實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。的經(jīng)驗(yàn)公式，常用的經(jīng)驗(yàn)公式有直線公式和拋物線公式。 1 1） 直線公式直線公式 直線公式是把臨界應(yīng)力直線公式是把臨界應(yīng)力 cr與柔度與柔度 表示成如下的線性關(guān)系表示成如下的線性關(guān)系crab（7-10） 式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系

36、數(shù)。例如：式中是與材料性質(zhì)有關(guān)的系數(shù)。例如：Q235Q235鋼鋼304MPaa 1.12MPab 如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)如果壓桿的柔度很小，屬于短粗桿。試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)壓力達(dá)到材料的屈服極限壓力達(dá)到材料的屈服極限 s（或強(qiáng)度極限（或強(qiáng)度極限 b）時(shí)，壓桿由于）時(shí)，壓桿由于強(qiáng)度不夠而失效，不會出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對于這種情況，應(yīng)強(qiáng)度不夠而失效，不會出現(xiàn)失穩(wěn)。因此，對于這種情況，應(yīng)按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限按強(qiáng)度問題處理，其臨界應(yīng)力為屈服極限 s （或強(qiáng)度極限（或強(qiáng)度極限 b ），即），即 crs（或（或 ） crb顯然使用直線公式的最大應(yīng)力為顯然使用直線公式的最大

37、應(yīng)力為 s ，于是有，于是有 crsab即即 sab令令 ssab（7-12） 將將 s P的壓桿稱為的壓桿稱為中柔度壓桿中柔度壓桿，即直線公式適用于中，即直線公式適用于中柔度壓桿。而對于柔度壓桿。而對于 s的壓桿稱為的壓桿稱為小柔度壓桿小柔度壓桿。 如果以柔度如果以柔度 作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力作為橫坐標(biāo)，以臨界應(yīng)力 cr作為縱坐標(biāo)，建作為縱坐標(biāo)，建立平面直角坐標(biāo)系，則式（立平面直角坐標(biāo)系，則式（7.77.7）、（）、（7.107.10）及（）及（7.117.11）可表）可表示成如圖示成如圖7.107.10所示的曲線。所示的曲線。 DABCcr0crcra - bcrcrspsp圖圖7-10

38、7-10 臨界應(yīng)力總圖（直線公式）臨界應(yīng)力總圖（直線公式） 上圖表示出了臨界應(yīng)力上圖表示出了臨界應(yīng)力 cr隨壓桿的柔度隨壓桿的柔度 的變化情況，稱的變化情況，稱為壓桿的為壓桿的臨界應(yīng)力總圖臨界應(yīng)力總圖（figures of critical stressesfigures of critical stresses）。）。臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。臨界應(yīng)力總圖是壓桿設(shè)計(jì)的重要依據(jù)。 2 2） 拋物線公式拋物線公式 對于柔度對于柔度 z，故壓桿在，故壓桿在xy平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在平面內(nèi)的穩(wěn)定性大于在xz平面內(nèi)的穩(wěn)平面內(nèi)的穩(wěn)定性。所以應(yīng)以定性。所以應(yīng)以 y計(jì)算臨界壓力和臨界應(yīng)力。計(jì)算臨界壓力

39、和臨界應(yīng)力。 （2 2）臨界壓力計(jì)算）臨界壓力計(jì)算 對于對于Q235Q235鋼制成的壓桿，其極限柔度鋼制成的壓桿，其極限柔度 P=100， s=61.6， s P ，壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力壓桿為中柔度桿，用經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力 cryab查表可得查表可得a=304MPa，b=1.12MPa代入上式有代入上式有 304 1.12 78.9216MPacr臨界壓力為臨界壓力為 66216 1060 25 10324kNcrcrFA（3 3）穩(wěn)定性校核）穩(wěn)定性校核 由式（由式（7-157-15），有），有 3243.243100crstFnnF故滿足穩(wěn)定條件。故滿足穩(wěn)定條件。 （4

40、4）討論）討論 由于由于 y z，連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連，連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性不相等。欲使連桿在桿在xy和和xz兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有兩平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。則必須有 y= z ，即，即 10.5yzllIIAA于是有于是有 2214zyIlIl本例中，由于本例中，由于l1與與l大致相等，因此大致相等，因此 4zyII上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面上式表明，欲使連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等，在設(shè)計(jì)截面時(shí)，應(yīng)保持時(shí)，應(yīng)保持Iz4Iz，對于本例中的矩形截面，則須有，對于本例中的矩形截面，則須有 1241223hbbh即即 2hb此時(shí)，可保證連桿在兩

41、個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。此時(shí)，可保證連桿在兩個(gè)平面內(nèi)的穩(wěn)定性相等。 例例7-3 7-3 圖圖7-157-15（a a）、（）、（b b）中所示壓桿，其直徑均為）中所示壓桿，其直徑均為d，材，材料都是料都是Q235Q235鋼，但二者長度和約束條件各不相同。兩桿長度鋼，但二者長度和約束條件各不相同。兩桿長度分別為分別為5m5m和和9m9m。 （1 1）分析哪一根桿的臨界應(yīng)力較大。）分析哪一根桿的臨界應(yīng)力較大。 （2 2）計(jì)算）計(jì)算d=160mm，E=206GPa時(shí)，時(shí)，二桿的臨界載荷。二桿的臨界載荷。 FF解：（解：（1 1）計(jì)算柔度）計(jì)算柔度 因?yàn)橐驗(yàn)?，其中，其中 ，而二者均，而二者均為圓截面且

42、直徑相同，故有為圓截面且直徑相同，故有 圖圖7-15 7-15 例例7-37-3圖圖 liIiA42/64/44IddiAd因二者約束條件和桿長都不相同，所以柔度也不一定相同。因二者約束條件和桿長都不相同，所以柔度也不一定相同。 對于圖對于圖7-137-13（a a）所示兩端鉸支的壓桿，）所示兩端鉸支的壓桿，= 1，l =5000=5000mm 1 5204aldid對于圖對于圖7-137-13（b b）所示兩端固定的壓桿，）所示兩端固定的壓桿，= 0.5，l =9000=9000mm 0.59184bldid由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，可見本例中兩端鉸支壓桿的臨界應(yīng)由臨界應(yīng)力的計(jì)算公式，可見本例中

43、兩端鉸支壓桿的臨界應(yīng)力小于兩端固定壓桿的臨界應(yīng)力。力小于兩端固定壓桿的臨界應(yīng)力。 （2 2）計(jì)算各桿的臨界載荷）計(jì)算各桿的臨界載荷 對于兩端鉸支的壓桿對于兩端鉸支的壓桿 1 520201251320.164apldid屬于中長桿，利用直線公式屬于中長桿，利用直線公式 26616010(304 1.12 125) 103297kN4acrcrFA對于兩端固定的壓桿，對于兩端固定的壓桿， 0.5 91818112.51320.164bpldid也屬于中長桿也屬于中長桿 26616010(304 1.12 112.5) 103579kN4bcrcrFA例例7-4 7-4 圖圖7-147-14所示的結(jié)

44、構(gòu)中，梁所示的結(jié)構(gòu)中，梁AB為為No.l4普通熱軋工字鋼，普通熱軋工字鋼，CD為圓截面直桿，其直徑為為圓截面直桿，其直徑為d=20mm，二者材料均為，二者材料均為Q235鋼。鋼。結(jié)構(gòu)受力如圖所示，結(jié)構(gòu)受力如圖所示，A、C、D三處均為球鉸約束。若已知三處均為球鉸約束。若已知F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m， s=235MPa。強(qiáng)度安全因數(shù)。強(qiáng)度安全因數(shù)ns=1.45=1.45，穩(wěn)定安全因數(shù)，穩(wěn)定安全因數(shù)nst=1.8=1.8。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全？。試校核此結(jié)構(gòu)是否安全？ yzxl1l1F30ABCD圖圖7.14 7.14 例例7-47-4圖圖 解：在給定的結(jié)構(gòu)中共解：在給定的結(jié)

45、構(gòu)中共有兩個(gè)構(gòu)件：梁有兩個(gè)構(gòu)件：梁AB，承，承受拉伸與彎曲的組合作受拉伸與彎曲的組合作用，屬于強(qiáng)度問題；桿用，屬于強(qiáng)度問題；桿CD承受壓縮載荷，屬于承受壓縮載荷，屬于穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核穩(wěn)定問題?，F(xiàn)分別校核如下：如下： （1 1）大梁）大梁AB的強(qiáng)度校核的強(qiáng)度校核 大梁大梁AB在截面在截面C處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，該處彎矩最大，該處橫截面為危險(xiǎn)截面，該截面的彎矩和軸力分別為截面的彎矩和軸力分別為 331(sin30 )(25 100.5 1.25)15.63 10 N m15.63kN mCMFl3cos3025 10cos3021.65kNNFF由型鋼表查得由型鋼表查得No.14N

46、o.14普通熱軋工字鋼的參數(shù)為普通熱軋工字鋼的參數(shù)為 3102cmzW 221.5cmA 由此得到由此得到 336max6415.63 1021.65 10163.2 10 Pa163.2MPa102 1021.5 10CNzMFWAQ235鋼的許用應(yīng)力鋼的許用應(yīng)力 235 162MPa1.45ssn max略大于略大于 ，但并沒有超出許用應(yīng)力的，但并沒有超出許用應(yīng)力的5%，工程上仍認(rèn)，工程上仍認(rèn)為是安全的。為是安全的。 （2 2）壓桿）壓桿CD的穩(wěn)定校核的穩(wěn)定校核 由平衡方程求得壓桿由平衡方程求得壓桿CD的軸向壓力的軸向壓力 2sin3025kNNCDPPFFF因?yàn)槭菆A截面桿，故慣性半徑因?yàn)?/p>

47、是圓截面桿，故慣性半徑 5mm4IdiA又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束，又因?yàn)閮啥藶榍蜚q約束， =1，所以，所以 31 0.551101325 10pli這表明，壓桿這表明，壓桿CD為非細(xì)長桿，采用直線公式計(jì)算其臨界應(yīng)力為非細(xì)長桿，采用直線公式計(jì)算其臨界應(yīng)力 304 1.12 110181MPacr壓桿壓桿CD的工作應(yīng)力為的工作應(yīng)力為 32625 4 1079.6MPa2010NCDFA 于是，壓桿的工作安全因數(shù)于是，壓桿的工作安全因數(shù) 1812.271.879.6crstnn這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。這一結(jié)果說明，壓桿的穩(wěn)定性是安全的。 例例7-5 7-5 一壓桿由兩個(gè)等邊角鋼（一壓桿由兩個(gè)

48、等邊角鋼（14014012）組成（如）組成（如圖圖7-177-17），用直徑），用直徑d=25mm的鉚釘聯(lián)接成一個(gè)整體。桿長的鉚釘聯(lián)接成一個(gè)整體。桿長l=3m，兩端絞支，承受軸向壓力，兩端絞支，承受軸向壓力 F=700kN。壓桿材料為。壓桿材料為Q235鋼，許用應(yīng)力鋼，許用應(yīng)力 =100MPa，穩(wěn)定安全系數(shù)，穩(wěn)定安全系數(shù) nst=2。試校。試校核壓桿的穩(wěn)定性及強(qiáng)度。核壓桿的穩(wěn)定性及強(qiáng)度。 10zy【解】【解】 柔度計(jì)算柔度計(jì)算 由于截面為組合截面，由于截面為組合截面，因此必須分析截面對因此必須分析截面對y y和和z z軸的慣性矩。軸的慣性矩。 查型鋼表可得單根角鋼截面幾何性查型鋼表可得單根角鋼

49、截面幾何性質(zhì)為：質(zhì)為： 232.512cmA 4603.68cmxI 03.9cmz 01.2cmd 于是組合截面軸慣性矩分別為于是組合截面軸慣性矩分別為 47422 603.681207.36cm1.20736 10 mmzxII2204742 (0.5) 2 603.6832.512 (3.90.5) 2466.22cm2.46622 10 mmyxIIAz圖圖7-17 例例7-5圖圖 由于由于Iz Iy，因此截面將繞中性軸，因此截面將繞中性軸z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)最小慣性半軸轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)最小慣性半徑為徑為iz，則，則 7min21.20736 1043.1mm22 32.512 10zzIiiA最

50、大柔度為最大柔度為 maxmin1 300069.643.1li材料的柔度極限為材料的柔度極限為 p=100， s=61.6，即，即 所以壓桿為中柔度桿。所以壓桿為中柔度桿。 max61.6100 =100MPa5902.4 10FA故不滿足強(qiáng)度要求。故不滿足強(qiáng)度要求。 討論討論 由以上計(jì)算分析可見，壓桿有局部削弱時(shí)，在滿足由以上計(jì)算分析可見，壓桿有局部削弱時(shí)，在滿足穩(wěn)定條件的同時(shí)，強(qiáng)度條件可能不滿足。因此，有局部削弱穩(wěn)定條件的同時(shí)，強(qiáng)度條件可能不滿足。因此，有局部削弱時(shí)，在進(jìn)行穩(wěn)定校核的同時(shí)要進(jìn)行強(qiáng)度校核。工程實(shí)際中，時(shí)，在進(jìn)行穩(wěn)定校核的同時(shí)要進(jìn)行強(qiáng)度校核。工程實(shí)際中，應(yīng)盡量避免對壓桿的局部

51、削弱，以免引起強(qiáng)度不足。應(yīng)盡量避免對壓桿的局部削弱，以免引起強(qiáng)度不足。 第四節(jié)第四節(jié) 提高壓桿穩(wěn)定性的措施提高壓桿穩(wěn)定性的措施 臨界應(yīng)力作為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力，其大小反映了壓桿承臨界應(yīng)力作為穩(wěn)定問題的極限應(yīng)力，其大小反映了壓桿承載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨載能力的高低。因此，要提高壓桿的穩(wěn)定性，就需要從決定臨界應(yīng)力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定界應(yīng)力的各種因素著手。根據(jù)以上各節(jié)的討論，影響壓桿穩(wěn)定性的因素有：壓桿的長度、約束條件、截面幾何形狀及尺寸、性的因素有：壓桿的長度、約束條件、截面幾何形狀及尺寸、材料的性質(zhì)等。以下將從四個(gè)方面討論提高壓桿穩(wěn)定性

52、的一些材料的性質(zhì)等。以下將從四個(gè)方面討論提高壓桿穩(wěn)定性的一些措施。措施。 如下圖所示兩種桁架結(jié)構(gòu)，其中桿如下圖所示兩種桁架結(jié)構(gòu)，其中桿、都是壓桿，但都是壓桿，但圖（圖（b b）中的壓桿的承載能力要遠(yuǎn)高于圖（）中的壓桿的承載能力要遠(yuǎn)高于圖（a a）中的壓桿。）中的壓桿。 1234FABC1234FABC圖圖7-15 7-15 不同桿長的桁架不同桿長的桁架 1 1 盡量減小壓桿長度盡量減小壓桿長度 對于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長的平方成反比，由柔度計(jì)算對于細(xì)長桿，其臨界載荷與桿長的平方成反比，由柔度計(jì)算公式可知，減小壓桿長度可降低壓桿柔度，而降低柔度可提高公式可知，減小壓桿長度可降低壓桿柔度，而降低

53、柔度可提高臨界應(yīng)力。因此，在結(jié)構(gòu)允許的情況下，盡可能地減小壓桿的臨界應(yīng)力。因此，在結(jié)構(gòu)允許的情況下，盡可能地減小壓桿的長度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。長度，可以有效而顯著地提高壓桿的承載能力。 2 2 增強(qiáng)壓桿的約束條件增強(qiáng)壓桿的約束條件 桿件支承的剛性越大，即加強(qiáng)壓桿的約束，壓桿的長度系數(shù)桿件支承的剛性越大，即加強(qiáng)壓桿的約束，壓桿的長度系數(shù)值越低，值越低，臨界載荷也就越大。如圖臨界載荷也就越大。如圖7-167-16（a a）所示，兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端）所示，兩端鉸支的細(xì)長桿，變成兩端固定約束，如圖固定約束，如圖7-167-16（b b）所示，其臨界載荷將顯著增加。）所示，其臨

54、界載荷將顯著增加。 兩端鉸支細(xì)長桿，其臨界壓力為兩端鉸支細(xì)長桿，其臨界壓力為 ，如果將鉸支座改為固定端，如果將鉸支座改為固定端，則其臨界壓力則其臨界壓力 ?？梢?，臨界壓力提高了?？梢姡R界壓力提高了3 3倍，穩(wěn)倍，穩(wěn)定性明顯提高。定性明顯提高。 22crEIPl222244(0.5 )crcrEIEIPPll FFF圖圖7-16 7-16 不同支承的壓桿不同支承的壓桿 也可通過增加中間支承的辦法來達(dá)也可通過增加中間支承的辦法來達(dá)到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩到提高其穩(wěn)定性的目的。例如，若在兩端鉸支細(xì)長壓桿的中間增加一個(gè)鉸支座，端鉸支細(xì)長壓桿的中間增加一個(gè)鉸支座，如圖如圖7-167-16（c

55、 c）所示，則臨界壓力同樣可）所示，則臨界壓力同樣可以提高以提高3 3倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般倍，穩(wěn)定性也能明顯提高。一般說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā)說來，增加壓桿的約束，使其不容易發(fā)生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。生彎曲變形，都可以提高壓桿的穩(wěn)定性。 （a） （b） （c） 3 3 選擇合理的截面形狀選擇合理的截面形狀 由柔度計(jì)算公式可知，增大截面慣由柔度計(jì)算公式可知，增大截面慣性半徑可降低柔度，進(jìn)而提高臨界應(yīng)力，性半徑可降低柔度，進(jìn)而提高臨界應(yīng)力，達(dá)到提高穩(wěn)定性的目的。顯然，增加截達(dá)到提高穩(wěn)定性的目的。顯然，增加截面面積可以提高慣性半徑，但截面面積面面積可以提高慣性半徑，但截面面積的增加勢必會耗費(fèi)材料。如截面面積不的增加勢必會耗費(fèi)材料。如截面面積不變，而是盡可能地把材料放在離截面形變，而是盡可能地把材料放在離截面形心較遠(yuǎn)處，也可以提高慣性半徑。例如，心較遠(yuǎn)處，也可以提高慣性半徑。例如，空心環(huán)形截面就比實(shí)心圓截面合理，如空心環(huán)形截面就比實(shí)心圓截面合理，如圖圖7-177-17所示，因?yàn)槿魞烧呓孛婷嫠?，因?yàn)槿魞烧呓孛婷鍲d1d2D2圖圖7-17 7-17 不同截面的壓桿不同截面的壓桿 積相等，環(huán)形截面慣性半徑要比實(shí)心截面大得多。必須注意，積相等，環(huán)形截面慣性半徑要比實(shí)心截面大得多。必須注意，不能為了取得較大的慣性半徑，而無限制地增加環(huán)形截面的不能為了取得