第18講信號(hào)與系統(tǒng)課件

1、2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講1n11周周日上午（周周日上午（5月月9日）日）n12周周日上午（周周日上午（5月月16日）日）n東校區(qū)計(jì)算中心。東校區(qū)計(jì)算中心。n朱正濤朱正濤Tel實(shí)驗(yàn)軟件（實(shí)驗(yàn)軟件（matlab版）版）n實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)（電子版）實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)書(shū)（電子版）第第7 7章章 離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析 7.3-7.3-7.47.4離散時(shí)間系統(tǒng)的描述與模擬、離散離散時(shí)間系統(tǒng)的描述與模擬、離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講3n離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)n離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算離散時(shí)間信號(hào)的運(yùn)算n常見(jiàn)

2、離散時(shí)間信號(hào)常見(jiàn)離散時(shí)間信號(hào)n線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)n信號(hào)的取樣信號(hào)的取樣n理想取樣信號(hào)及其頻譜分析理想取樣信號(hào)及其頻譜分析n信號(hào)的重建與取樣定理信號(hào)的重建與取樣定理n信號(hào)取樣的工程考慮信號(hào)取樣的工程考慮2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講4n建立時(shí)域方程求解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)建立時(shí)域方程求解零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)n基于物理意義的微分方程基于物理意義的微分方程n引入微分算子對(duì)系統(tǒng)特性進(jìn)行描述引入微分算子對(duì)系統(tǒng)特性進(jìn)行描述）n根據(jù)系統(tǒng)自然特性的零輸入響應(yīng)求解根據(jù)系統(tǒng)自然特性的零輸入響應(yīng)求解n沖擊響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的卷積求解沖擊響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的卷積求解n尋求簡(jiǎn)便、物理

3、意義明確的變換域分析法尋求簡(jiǎn)便、物理意義明確的變換域分析法n傅立葉變換拉普拉斯變換傅立葉變換拉普拉斯變換n分析系統(tǒng)的時(shí)域性質(zhì)和頻域性質(zhì)分析系統(tǒng)的時(shí)域性質(zhì)和頻域性質(zhì)n系統(tǒng)的頻域特性頻譜函數(shù)系統(tǒng)的頻域特性頻譜函數(shù)n系統(tǒng)的時(shí)域特性穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的時(shí)域特性穩(wěn)定性分析2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講5n差分方程概念差分方程概念n對(duì)于線性移不變系統(tǒng)對(duì)于線性移不變系統(tǒng)n e(k)r(k) 則有則有 e(kN)r(kN) n激勵(lì)與響應(yīng)之間的這種關(guān)系用差分方程描述激勵(lì)與響應(yīng)之間的這種關(guān)系用差分方程描述n差分方程建立離散時(shí)間系統(tǒng)相鄰幾個(gè)時(shí)間序列之間的差分方程建立離散時(shí)間系統(tǒng)相鄰幾個(gè)時(shí)間序列之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

4、數(shù)學(xué)關(guān)系。n即即 f (k)，（，（k = 0, 1, 2, ,） 及及 f (k+1)、 f (k-1) 等序列之間等序列之間的關(guān)系。的關(guān)系。2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講6n經(jīng)典差分問(wèn)題描述斐波那契數(shù)列問(wèn)題經(jīng)典差分問(wèn)題描述斐波那契數(shù)列問(wèn)題n每對(duì)大兔子每月生產(chǎn)一對(duì)小兔子每對(duì)大兔子每月生產(chǎn)一對(duì)小兔子n小兔子一個(gè)月長(zhǎng)大成為大兔子小兔子一個(gè)月長(zhǎng)大成為大兔子n最初一對(duì)大兔子，問(wèn)最初一對(duì)大兔子，問(wèn)n月后共幾對(duì)兔子？月后共幾對(duì)兔子？分析：分析：n第第k月兔子總數(shù)月兔子總數(shù) y(k)n第第k+1月兔子數(shù)月兔子數(shù) y(k+1)=y(k)+當(dāng)月新增兔子當(dāng)月新增兔子n第第k+2月兔子數(shù)月兔子數(shù) y(k

5、+2)=y(k+1)+當(dāng)月新增兔子當(dāng)月新增兔子n第第k月兔子月兔子y(k)在在K+1月全部成為大兔子，月全部成為大兔子，n在在k+2月產(chǎn)生小兔子月產(chǎn)生小兔子y(k),成為當(dāng)月新增兔子成為當(dāng)月新增兔子n這樣就得到差分方程這樣就得到差分方程 y(k+2)=y(k+1)+y(k)2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講7n電路響應(yīng)問(wèn)題電路響應(yīng)問(wèn)題RC 電路如圖，電路如圖，輸入為離散抽樣信號(hào)輸入為離散抽樣信號(hào)e(t)。用差。用差分方程描寫(xiě)每隔時(shí)間分方程描寫(xiě)每隔時(shí)間 T， 輸出輸出電壓電壓u(k) 與輸入信號(hào)間的關(guān)系。與輸入信號(hào)間的關(guān)系。n分析：分析：n當(dāng)當(dāng) t kT，輸出為，輸出為 u (k)。電。電

6、容電壓零輸入分量容電壓零輸入分量+-e(t)u(t)RC(a) RC 電路電路e (t)t0T2T 3T 4T 5T (b) 抽樣脈沖激勵(lì)信號(hào)抽樣脈沖激勵(lì)信號(hào)0)()()(kkTtkTeteRCkTtziekutu)()()(2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講8RCsRCsRCsCRsCsH111111)(RCteRCth1)(n則當(dāng)則當(dāng) t=kT 第第 k 個(gè)沖激個(gè)沖激 e(kT) (t-kT) 加于電路后，加于電路后，n在在t kT 時(shí)電容電壓的零狀態(tài)分量為時(shí)電容電壓的零狀態(tài)分量為n于是得到于是得到得得 t kT 后總輸出電壓后總輸出電壓RCkTtRCtkTRCtRCtzseRCkT

7、eeRCkTedkTeRCkTedkTkTeeRCkTtkTethtu)(0)()()()()()(1)()()()(RCkTtzszieRCkTekutututu)()()()()(2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講9n當(dāng)當(dāng) t = (k+1)T ，上式為，上式為n經(jīng)過(guò)整理，并將經(jīng)過(guò)整理，并將 e (kT) 記為記為一般形式一般形式 e (k)，即，即n這是前向差分這是前向差分n若輸入為圖示分段常數(shù)的函數(shù)若輸入為圖示分段常數(shù)的函數(shù) e (t) = E k ，RCTeRCkTekuku)()()1()()()1(keRCekuekuRCTRCTte (t)E0E1E2E3E40T2T 3

8、T 4T 分段常數(shù)激勵(lì)信號(hào)分段常數(shù)激勵(lì)信號(hào)RCkTtziekutu)()()(RCteRCth1)(2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講10111)()1()1(RCTRCkTtkRCTRCkTRCtkRCkTRCTkRCtkTkkTRCRCtkkRCtkzseeEeeeEeeeEdeeRCEdEeRCEthu)1()()(RCTRCkTtkRCkTtzszieeEekuuutu當(dāng)當(dāng) t = (k+1)T 時(shí)，上式成為時(shí)，上式成為kRCTRCTRCTRCTkRCTEeekueeEekuku)1 ()()1()()1(kRCTRCTEekueku)1()()1( (1)()()TTRCRCe

9、u keu ke kRC對(duì) 比 采 用 離 散抽 樣 的 情 況2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講11n非時(shí)間變量的差分方程非時(shí)間變量的差分方程n電阻電阻T形網(wǎng)絡(luò)，求各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)公共地電壓，差分方程形式表示。形網(wǎng)絡(luò)，求各個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)公共地電壓，差分方程形式表示。n解：解：第第 k+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)中的電流關(guān)系個(gè)節(jié)點(diǎn)中的電流關(guān)系 ia= ib + icn故故n整理后整理后na1 有有+-Eu(0)u(1)u(2)u(k)u(k+1)u(k+2)u(n-1)u(n)RRRRRRRiaibicaRaRaRaRaRkuRkukuRkuku)1()2()1()1()(0)()1(12)2(kukuaaku(2

10、 )3(1)()0u ku ku k2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講12n漢諾塔問(wèn)題漢諾塔問(wèn)題n解答解答()2(1 )1()21nynynyn2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講13n一質(zhì)點(diǎn)沿水平方向作直線運(yùn)動(dòng)，它在某一秒內(nèi)所走一質(zhì)點(diǎn)沿水平方向作直線運(yùn)動(dòng)，它在某一秒內(nèi)所走的距離等于前一秒內(nèi)所走的距離的的距離等于前一秒內(nèi)所走的距離的2倍，列出該質(zhì)倍，列出該質(zhì)點(diǎn)行程的方程。點(diǎn)行程的方程。n解答解答( )(1)2( (1)(2)( )3 (1)(2)0y ky ky ky ky ky ky k2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講14n每月向銀行存款每月向銀行存款X(n)元，月利息元，

11、月利息a，每月利息不取，每月利息不取出，寫(xiě)出第出，寫(xiě)出第n月的本利和月的本利和y(n).n這是一個(gè)含有輸入的差分方程。這是一個(gè)含有輸入的差分方程。n解答解答( )(1) (1)( )y na y nx n2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講15n差分方程說(shuō)明差分方程說(shuō)明n前向差分前向差分n后向差分后向差分n函數(shù)序號(hào)的增減稱(chēng)為函數(shù)序號(hào)的增減稱(chēng)為移序移序。n差分方程中差分方程中稱(chēng)為方程的稱(chēng)為方程的階數(shù)階數(shù)。y (k+1) + ay (k) = be (k)y (k) + ay (k-1) = be (k)2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講16n差分方程與微分方程差分方程與微分方程n比較可

12、見(jiàn)，若比較可見(jiàn)，若 y(k) 與與 y(t) 相當(dāng)，則相當(dāng)，則 y(k+1) 與與 y(t) 相當(dāng)。對(duì)于相當(dāng)。對(duì)于 y(t), 在在t = nT 各點(diǎn)取樣有各點(diǎn)取樣有 y(kT)；n設(shè)設(shè) T 足夠小，則足夠小，則 y(t) 微分式可近似表示為微分式可近似表示為n整理后整理后n微分方程近似為差分方程的條件：微分方程近似為差分方程的條件：)()()(tBetAydttdy)()() 1(kbekayky與與TkTyTkydttdy)(1)()()()() 1(kBekAyTkyky)()()1( ),()()1()1(kbekaykykBTekyATky形式同2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18

13、講17n運(yùn)算單元運(yùn)算單元n加法器、標(biāo)量乘法器與連續(xù)時(shí)間相同的模擬一樣加法器、標(biāo)量乘法器與連續(xù)時(shí)間相同的模擬一樣n延時(shí)器延時(shí)器D（類(lèi)比連續(xù)的積分情況）（類(lèi)比連續(xù)的積分情況）初始條件為零初始條件為零 初始條件不為零初始條件不為零n移序算子移序算子 S，（類(lèi)比連續(xù)的微分情況），（類(lèi)比連續(xù)的微分情況）nSf(k)=f(k+1)Dx (k)y (k)y (k) = x (k-1)Dx (k)y (k)y (k) = x (k-1) + y(0)y (0)2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講18n模擬作圖模擬作圖n一階差分方程一階差分方程n前向前向ny (k+1) + ay (k) = e (k) n

14、或 y (k+1) = - ay (k) + e (k)n后向后向ny (k) + ay (k-1) = e (k) n 或 y (k) = - ay (k-1) + e (k)n高階差分方程高階差分方程n分析作圖方法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一致分析作圖方法與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)一致n特別提示：對(duì)于系統(tǒng)方程中激勵(lì)也包含移序處理的情況，需特別提示：對(duì)于系統(tǒng)方程中激勵(lì)也包含移序處理的情況，需要借助輔助函數(shù)來(lái)分析，類(lèi)比連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析。要借助輔助函數(shù)來(lái)分析，類(lèi)比連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析。De (k)y (k)y(k+1)-aaSSH1)(De (k)y (k-1)y(k)-aaSSSaSH11)(2022-3-20信號(hào)與

15、線性系統(tǒng)第18講19n因果系統(tǒng)問(wèn)題因果系統(tǒng)問(wèn)題n連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中激勵(lì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中激勵(lì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)m一般低于響應(yīng)一般低于響應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)階數(shù)n。但是。但是 mn還是可以的，例如：還是可以的，例如：n在激勵(lì)電壓作用于無(wú)耗電容器，響應(yīng)電流為在激勵(lì)電壓作用于無(wú)耗電容器，響應(yīng)電流為n對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，則不能允許激勵(lì)函數(shù)的最高序號(hào)對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，則不能允許激勵(lì)函數(shù)的最高序號(hào)大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號(hào)。否則違背因果系統(tǒng)的原則。大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號(hào)。否則違背因果系統(tǒng)的原則。ni(k)=e(k+1)+e(k) n=0,m=1n此差分方程表示此差分方程表示 某時(shí)刻電流某時(shí)刻電流i(k)

16、不僅與該時(shí)刻激勵(lì)不僅與該時(shí)刻激勵(lì)e(k)有有關(guān)，還與未來(lái)的激勵(lì)關(guān)，還與未來(lái)的激勵(lì)e(k+1)有關(guān)有關(guān),違反因果相同的原則違反因果相同的原則( )( )de ti tCdt2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講20n解：設(shè)中間變量解：設(shè)中間變量g(k)如圖，得到兩個(gè)差分方程如圖，得到兩個(gè)差分方程ng(k) = f(k)+2g(k-1) 即即 (1-2D)g(k) = f(k) 或或n和和y(k) = 3g(k)+4g(k-1)即即y(k) = (3+4D)g(k)n前式代入后式得到前式代入后式得到n有有 (1-2D)y(k) = (3+4D)f(k)n整理得到差分方程整理得到差分方程 y(k)

17、 2y(k-1) = 3f(k) + 4f(k-1) 234DDf(k)y(k)g(k)(211)(kfDkg)(211)43()(kfDDky2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講21n設(shè)設(shè) y (k+1)+a 0y (k) = b0e (k)n其響應(yīng)的一次齊次差分方程其響應(yīng)的一次齊次差分方程 y (k+1)= -a 0y (k)n假設(shè)假設(shè)y(0)已知，于是已知，于是ny (1)= -a 0y (0)ny (2)= -a 0y (1)（ -a 0）2y (0)ny (3)= -a 0y (2)（ -a 0）3y (0)n.n歸納后得到：歸納后得到： 當(dāng)當(dāng)k0nyzi(k) = y (0)

18、(-a 0) k2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講22n移序算子采用移序算子采用 S表示表示nSf(k)=f(k+1)nS2f(k)=f(k+2)nnSnf(k)=f(k+n)n差分方程的移序算子表示差分方程的移序算子表示n有差分方程有差分方程 ：y(k+1)+a0y(k)=b0e(k)n采用移序算子表示：采用移序算子表示：Sy(k)+ a0y(k)=b0e(k) (S+a0)y(k)= b0e(k)2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講23n齊次差分方程的表達(dá)式齊次差分方程的表達(dá)式ny(k+n)+an-1y(k+n-1)+a0y(k)=0n算子形式算子形式nSny(k)+an-1Sn

19、-1y(k)+a0y(k)=0 (Sn+an-1Sn-1+a0)y(k)=0n(Sn+an-1Sn-1+a0)=0稱(chēng)為特征方程稱(chēng)為特征方程n因式分解得到：因式分解得到： (S- 1)(S- 2) (S- n)=0n 1、 2、 、 n稱(chēng)為特征根稱(chēng)為特征根2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講24n方程求解方程求解n考慮一階方程考慮一階方程 y(k+1)-vy(k)=0n則則 Sy(k)-vy(k)=0 或或 (S-v)y(k)=0n特征方程特征方程 S-v=0 特征根特征根 Svn求此一階齊次差分方程解，可整理成求此一階齊次差分方程解，可整理成n可見(jiàn)，可見(jiàn)，y(k) 是以是以 為公比的等比序

20、列為公比的等比序列n其通式為其通式為 y(k) = c ( ) k n也就是零輸入響應(yīng)的解也就是零輸入響應(yīng)的解 yzi(k) = c ( ) k n結(jié)論：結(jié)論：n一階齊次差分方程算符表示式可整理成一階齊次差分方程算符表示式可整理成 (S- )y(k) = 0 形式形式n此方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必具有此方程描述的系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)必具有 yzi(k)=c( )k 形式形式n其中常數(shù)其中常數(shù) c 由初始條件確定。由初始條件確定。)() 1(kyky2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講25n推廣到推廣到n階，因式分解的特征方程為階，因式分解的特征方程為n(S- 1) (S- 2)(S- n)=

21、0n(S- 1) (S- 2)(S- n) y(k)= 0n當(dāng)當(dāng)(S- r)y(k)=0, r=1、2、n并且并且vr l (無(wú)重根無(wú)重根)成立成立n有有 yzi(k) = c1 1k+ c2 2k+ cn nkn常數(shù)常數(shù) c1、c2、 cn 由初始條件由初始條件y(0)、y(1)、 y(n-1) 確定。把初始值代入上式，則有確定。把初始值代入上式，則有 y(0) = c1 + c2 + cn y(1) = c1v1+ c2v2 + cnvn y(2) = c1v12+ c2v22 + cnvn2 y(n-1) = c1v1n-1+ c2v2n-1 + cnvnn-1n寫(xiě)成矩陣形式寫(xiě)成矩陣形式2022-3-20信號(hào)與線性系統(tǒng)第18講26n解方程求得全部系數(shù)解方程求得全部系數(shù)n如果特征方程有一如果特征方程有一m階重根，因式分解的差分方程為階重根，因式分解的差分方程為n(S- 1)m (S- m+1) (S- n)y(k) = 0n零輸入響應(yīng)的形式為零輸入