離散數(shù)學(xué)集合論部分

1、 對(duì)于從事計(jì)算機(jī)科學(xué)工作的人們來(lái)說(shuō)，集對(duì)于從事計(jì)算機(jī)科學(xué)工作的人們來(lái)說(shuō)，集合論是必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。例如程序設(shè)計(jì)語(yǔ)合論是必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。例如程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語(yǔ)言等都離不開(kāi)子集、冪言、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語(yǔ)言等都離不開(kāi)子集、冪集、集合的分類(lèi)等概念。集合成員表和范式在集、集合的分類(lèi)等概念。集合成員表和范式在邏輯設(shè)計(jì)、定理證明中也都有重要應(yīng)用。邏輯設(shè)計(jì)、定理證明中也都有重要應(yīng)用。 本部分從集合的直觀概念出發(fā)，介紹了集本部分從集合的直觀概念出發(fā)，介紹了集合論中的一些合論中的一些基本概念基本概念和和基本理論基本理論。 集合論是研究集合的一般性質(zhì)的數(shù)學(xué)集合論是研究集合的一般性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支分支，它

2、研究集合不依賴于組成它的事物，它研究集合不依賴于組成它的事物的特性的性質(zhì)。集合論總結(jié)出由各種對(duì)象的特性的性質(zhì)。集合論總結(jié)出由各種對(duì)象構(gòu)成的集合的共同性質(zhì)，并用統(tǒng)一的方法構(gòu)成的集合的共同性質(zhì)，并用統(tǒng)一的方法來(lái)處理。來(lái)處理。 集合論的特點(diǎn)是研究對(duì)象的廣泛性，集合論的特點(diǎn)是研究對(duì)象的廣泛性，集合是各種不同對(duì)象的抽象，這些對(duì)象可集合是各種不同對(duì)象的抽象，這些對(duì)象可以是數(shù)或圖形，也可以使任意其它事務(wù)。以是數(shù)或圖形，也可以使任意其它事務(wù)。 1. 1. 二十六個(gè)英文字母可以看成是一個(gè)集合；二十六個(gè)英文字母可以看成是一個(gè)集合；2. 2. 所有的自然數(shù)看成是一個(gè)集合；所有的自然數(shù)看成是一個(gè)集合；3. 3. 重慶

3、郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院重慶郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院20102010級(jí)的本科學(xué)生可以看級(jí)的本科學(xué)生可以看成是一個(gè)集合；成是一個(gè)集合；4. 4. 這間教室中的所有座位可以看成是一個(gè)集合。這間教室中的所有座位可以看成是一個(gè)集合。 組成一個(gè)集合的那些對(duì)象或單元稱為這組成一個(gè)集合的那些對(duì)象或單元稱為這個(gè)集合的元素。個(gè)集合的元素。通常，用小通常，用小寫(xiě)的英文字母寫(xiě)的英文字母a, b, c,表示表示集合中的元素。元素可以是單個(gè)集合中的元素。元素可以是單個(gè)的數(shù)字也可以是字母，還可以是集合。的數(shù)字也可以是字母，還可以是集合。 如：如：A=a,c,b ; B=a,b,c設(shè)設(shè)A是一個(gè)集合，是一個(gè)集合，a是集合是集合A中的元素

4、，中的元素，元素與元素與集合的關(guān)系：集合的關(guān)系： 屬于屬于； 不屬于不屬于 若若a是集合是集合A中的元素記為中的元素記為a A，讀作，讀作a屬于屬于A；若若a不是集合不是集合A中的元素，則記為中的元素，則記為a A，讀作，讀作a不不屬于屬于A。 例如：例如：A是正偶數(shù)集合，則是正偶數(shù)集合，則2 A，4 A，6 A；而；而 1 A，3 A，19 A。特別注意：特別注意： 集合并不決定于它的元素展示方法。集合的元素集合并不決定于它的元素展示方法。集合的元素被重復(fù)或重新排列，集合并不改變，即被重復(fù)或重新排列，集合并不改變，即a, a ,b, c, d, c= a, b, c, d。集合的元素可以是具

5、體事物，可以是抽象概念，集合的元素可以是具體事物，可以是抽象概念，也可以是集體，如一本書(shū)，一支筆；集合也可以是集體，如一本書(shū)，一支筆；集合1,2,3可可以是集合以是集合B=一本書(shū)，一支筆，一本書(shū)，一支筆，1,2,3 的元素。的元素。特別地，以集合為元素的集合稱為集合族或集合特別地，以集合為元素的集合稱為集合族或集合類(lèi)如類(lèi)如A=1,2,3, 8,9,6。 集合中元素之間可以有某種關(guān)聯(lián)，也可以彼此毫集合中元素之間可以有某種關(guān)聯(lián)，也可以彼此毫無(wú)關(guān)系。無(wú)關(guān)系。 有限集有限集A 中所含元素的個(gè)數(shù)稱為集合的中所含元素的個(gè)數(shù)稱為集合的元數(shù)。記作：元數(shù)。記作：| A | 如：如： A =1,3,2,4,5,9

6、 則則 | A |= 6； 設(shè)設(shè)A是所有英文字母組成的集合，則是所有英文字母組成的集合，則 A=26。 特別，特別， | |=0列舉法列舉法(列元素法列元素法) ：將集合中的元素一一列舉，將集合中的元素一一列舉，或列出足夠多的元素以反映集合中元素的特征，或列出足夠多的元素以反映集合中元素的特征，例如：例如：V=a, b, c, d, e 或或 B=1,2,3, 4, 5,6,。 描述法描述法(謂詞表示法謂詞表示法) :將集合元素的條件或性將集合元素的條件或性質(zhì)用文字或符號(hào)在花括號(hào)內(nèi)豎線后面表示出來(lái)。質(zhì)用文字或符號(hào)在花括號(hào)內(nèi)豎線后面表示出來(lái)。A=x|關(guān)于關(guān)于x的一個(gè)命題的一個(gè)命題P; 如：如：B

7、=x|0 x10; B= x|x=a2,a是自然數(shù)是自然數(shù)。EAae文氏圖文氏圖 用一個(gè)大的矩形表示全集，在矩形內(nèi)畫(huà)一些圓或用一個(gè)大的矩形表示全集，在矩形內(nèi)畫(huà)一些圓或其它的幾何圖形，來(lái)表示集合，有時(shí)也用一些點(diǎn)來(lái)表其它的幾何圖形，來(lái)表示集合，有時(shí)也用一些點(diǎn)來(lái)表示集合中的特定元素。示集合中的特定元素。 例如：例如：集合集合A=a,b,c,d,e ，用，用文氏圖文氏圖表示如下表示如下:dcb幾類(lèi)特殊集合幾類(lèi)特殊集合:N=0,1,2,3,，即自然數(shù)集合。，即自然數(shù)集合。Z=,-2,-1,0,1,2,3,，即整數(shù)集合。，即整數(shù)集合。Z+=1,2,3,，即正整數(shù)集合。，即正整數(shù)集合。Q=有理數(shù)集合。有理數(shù)

8、集合。R=實(shí)數(shù)集合。實(shí)數(shù)集合。C=復(fù)數(shù)集合。復(fù)數(shù)集合。確定性；確定性；互異性；互異性；無(wú)序性；無(wú)序性；多樣性；多樣性； 任何一個(gè)對(duì)象，或者是這個(gè)集合的元素，或任何一個(gè)對(duì)象，或者是這個(gè)集合的元素，或者不是，二者必居其一；者不是，二者必居其一； 例如：例如：A=x| x是自然數(shù)，且是自然數(shù)，且x100； B=x| x+1=3； C=x| x是大學(xué)生是大學(xué)生。 集合中任何兩個(gè)元素都是不同的，即集集合中任何兩個(gè)元素都是不同的，即集合中不允許出現(xiàn)重復(fù)的元素。合中不允許出現(xiàn)重復(fù)的元素。 例如：例如： 集合集合A=a,b,c,c,b,dA=a,b,c,c,b,d，實(shí)際，實(shí)際 上，應(yīng)該是上，應(yīng)該是A=a,b,

9、c,dA=a,b,c,d 。 再如再如 1,2,3,2,4= 1,2,3,41,2,3,2,4= 1,2,3,4。 集合與其中的元素的順序無(wú)關(guān)；集合與其中的元素的順序無(wú)關(guān)； 例如：例如： 集合集合a,b,c,d,e、d,c,e,a,b、 e,c,d,b,a，都是表示同一個(gè)集合。都是表示同一個(gè)集合。 集合集合4,2,1,3 = 1,2,3,4。 集合中的元素可以是任意的對(duì)象，集合中的元素可以是任意的對(duì)象， 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，不要求一定要具備明顯不要求一定要具備明顯 的共同特征。的共同特征。 例如：例如： A=a,a,a,b,a, 1； A=1,a,*,-3,a,b,x| x是汽車(chē)是汽車(chē),地球地

10、球 注意注意: 對(duì)于任何集合對(duì)于任何集合A, 都有都有A A。 設(shè)設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若是兩個(gè)集合，若B的元素都是的元素都是A的元的元素，則稱素，則稱B是是A的的子集子集，也稱，也稱A包含包含B，或，或B被被A包包含，記以含，記以B A ，或，或A B 。 若若B A ，且，且A B，則稱，則稱B是是A的的真子集真子集，也，也稱稱A真包含真包含B ，或，或B真包含于真包含于A ，記以，記以A B，或，或B A 。例例3.1 設(shè)設(shè)A=a, b,c, a, a, b 試判斷下列表達(dá)試判斷下列表達(dá)式正確與否。式正確與否。（1）a A （2）a A （3）a A （4） A （5） A （6）b A（

11、7）b A （8）b A （9）a,b A (10) a,b A (11) c A (12) c A (13) c A (14) a,b,c A 。 解解：( (4)4)，(7)(7)，(11)(11)，(13), (14) (13), (14) 錯(cuò)誤。錯(cuò)誤。例例3.2 對(duì)于任意集合對(duì)于任意集合A, B和和C, 下述論斷是否正確下述論斷是否正確（1）若）若A B, B C 則則A C（2）若）若A B, B C 則則A C（3）若）若A B, B C 則則A C 解解：（：（1） （2） （3） 對(duì)對(duì)(3)舉反例舉反例 A= , B= 1, C= 1。例例3.3 設(shè)設(shè)A=1,2,3, 4,5,

12、 6,7,8 下列選項(xiàng)正確的是（下列選項(xiàng)正確的是（ 3 ）；）； （1） 1 A （2）1,2,3 A （3）4,5 A （4） A 例例3.4 下列各選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（下列各選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（2）；）； （1） （2） （3） （4） 例例3.5 在在0 _ 之間填上正確的符號(hào)：（之間填上正確的符號(hào)：（4） （1） = （2） （3） （4） 當(dāng)兩個(gè)集合當(dāng)兩個(gè)集合A A和和B B的元素完全一樣，即的元素完全一樣，即A A，B B實(shí)實(shí)際上是同一個(gè)集合時(shí)，則稱集合際上是同一個(gè)集合時(shí)，則稱集合A A，B B相等，記為相等，記為A=BA=B。 符號(hào)化表示為：符號(hào)化表示為： A=B A B B A 例：例：設(shè)

13、設(shè)A=x|x是偶數(shù)，且是偶數(shù)，且0 x10， B=2,4,6,8， 則則 A=B。注：注：說(shuō)明兩個(gè)集合說(shuō)明兩個(gè)集合A、B相等，需說(shuō)明兩相等，需說(shuō)明兩 個(gè)問(wèn)題：個(gè)問(wèn)題：1、A是集合是集合B的子集（的子集（A B） （任意元素（任意元素aA，有，有aB）2、B是集合是集合A的子集（的子集（A B） （任意元素（任意元素aB，有，有aA）集合的包含關(guān)系也可表成集合的包含關(guān)系也可表成A B( x)(x Ax B)這表明，要證明這表明，要證明A B，只需對(duì)任意元素，只需對(duì)任意元素x，有下式有下式 x Ax B成立即可。成立即可。 不含任何元素的集合叫做空集，記作不含任何元素的集合叫做空集，記作 ?？占?/p>

14、符號(hào)化表示為：空集的符號(hào)化表示為：=x | P(x)P(x) 。 其中其中P(x)為任何謂詞公式。為任何謂詞公式。 如：如：A=x|xR x2+1=0。 該方程無(wú)實(shí)數(shù)解。該方程無(wú)實(shí)數(shù)解。 注意：注意： 由定義可知，對(duì)任何集合由定義可知，對(duì)任何集合A，有，有A。這是因?yàn)槿?。這是因?yàn)槿我庠匾庠豿，公式，公式xx A總是為真?？偸菫檎?。注意：注意： 與與是不同的。是不同的。 是以是以為元素的集合，為元素的集合， 而而沒(méi)有任何元素，能用沒(méi)有任何元素，能用構(gòu)成集合的無(wú)限序列：構(gòu)成集合的無(wú)限序列：，該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前一項(xiàng)為元素的集合。該序列除第一項(xiàng)外，每項(xiàng)均以前一項(xiàng)為元素的集合。定理：定理：

15、空集是一切集合的子集。空集是一切集合的子集。 證明：證明：對(duì)于任何集合對(duì)于任何集合A，由子集定義有，由子集定義有 , A x(x xA) 右邊的蘊(yùn)涵式中前件為右邊的蘊(yùn)涵式中前件為x為假，所以整個(gè)為假，所以整個(gè)蘊(yùn)涵式對(duì)一切蘊(yùn)涵式對(duì)一切 x 為真，所以為真，所以 A為真為真推論推論：空集是唯一的。：空集是唯一的。 證明證明: 如不唯一如不唯一, 設(shè)存在空集設(shè)存在空集1和和2, 由由空集是空集是一切集合的子集一切集合的子集得得1 2 和和2 1 。根據(jù)集合相等。根據(jù)集合相等的定義得，的定義得， 1 = 2 如果一個(gè)集合包含了所要討論的每一個(gè)如果一個(gè)集合包含了所要討論的每一個(gè)集合，則稱該集合為全集，記

16、為集合，則稱該集合為全集，記為E 或或 U。它可形式地表為它可形式地表為 E =x | P(x)P(x)。其中。其中P(x)為任何謂詞公式。為任何謂詞公式。注意符號(hào)注意符號(hào) 和和 意義的區(qū)別：意義的區(qū)別： 表示元素與集合之間的關(guān)系，而表示元素與集合之間的關(guān)系，而 則表則表示集合與集合之間的關(guān)系。但由于集合的抽象示集合與集合之間的關(guān)系。但由于集合的抽象性，集合中的元素可以是集合，故可以發(fā)生如：性，集合中的元素可以是集合，故可以發(fā)生如：A B且且A B的情形的情形 例例 設(shè)設(shè)A=1,2,3, 1,2,3， 則則 1,2,3 A 且且 1,2,3 A 。 注意：注意：對(duì)任意集合對(duì)任意集合A, 有有A

17、 A。空集是任意集合的子集，且空集是唯一的?？占侨我饧系淖蛹?，且空集是唯一的。對(duì)于任意兩個(gè)集合對(duì)于任意兩個(gè)集合A、B，A=B的充的充 要條件是要條件是A B且且B A。（。（這個(gè)結(jié)論非常簡(jiǎn)單，但它非常重要，很多證這個(gè)結(jié)論非常簡(jiǎn)單，但它非常重要，很多證明都是用這個(gè)方法或思路來(lái)證明。）明都是用這個(gè)方法或思路來(lái)證明。）設(shè)設(shè)A 是集合，是集合，A的所有子集為元素做成的集的所有子集為元素做成的集合稱為合稱為A的的冪集冪集,記以記以P(A) 符號(hào)化表示為：符號(hào)化表示為： P(A)=x| x A。例：例： A=a,b,c ，則，則P(A)= ,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c。例例3.6

18、設(shè)設(shè) A=a, a 下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是 A. a P(A) B. a P (A) C. a P(A) D. a P (A)例例3.7 冪集冪集P(P(P()為（為（C ） A. , B. , , C. , , , D. , , P(A)=P(A)=, a, a, a, a 例例3.8 判斷下面的關(guān)系是否正確判斷下面的關(guān)系是否正確,并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。 a,b a,b,c, a,b,c a,b a,b,c, a,b,c a,b a,b, a,b a,b a,b,a,b 解答解答： 對(duì)選項(xiàng)對(duì)選項(xiàng), 因?yàn)橐驗(yàn)閍,b 中每個(gè)元素中每個(gè)元素(只有只有a和和b)均在集合均在集合a

19、,b,c, a,b,c 對(duì)選項(xiàng)對(duì)選項(xiàng), 因?yàn)橐驗(yàn)閍,b 中每個(gè)元素中每個(gè)元素(只有只有a和和b)均在集合均在集合a,b, a,b 對(duì)選項(xiàng)對(duì)選項(xiàng) , 集合集合a,b,c, a,b,c中含有中含有4個(gè)元個(gè)元素，分別為素，分別為a, b, c, a,b,c沒(méi)有沒(méi)有a,b，所以不正確。，所以不正確。 對(duì)選項(xiàng)對(duì)選項(xiàng), 集合集合a,b,a,b中含有中含有3個(gè)元素，個(gè)元素，分別為分別為a, b, a,b沒(méi)有沒(méi)有a,b，所以不正確。，所以不正確。1.若若A為有窮集，為有窮集，|A|=n，則，則|2A | = Cn0 + Cn1 + + Cnn =2n 。2.x P(A)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x A。3.設(shè)設(shè)A、B是

20、兩個(gè)集合，是兩個(gè)集合，A B當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)P(A) P(B)。并并 A B = x | x A x B ；交交 A B = x | x A x B ；相對(duì)補(bǔ)相對(duì)補(bǔ) A B = x | x A x B ；對(duì)稱差對(duì)稱差 A B = (A B) (B A) = (A B) (A B) ；絕對(duì)補(bǔ)絕對(duì)補(bǔ) A = E A 。 A B A A B A A B A B A-B A B A A B B C A B (A B)-C集合運(yùn)算對(duì)應(yīng)的文氏圖表示集合運(yùn)算對(duì)應(yīng)的文氏圖表示 并和交運(yùn)算可以推廣到有窮個(gè)集合上，即并和交運(yùn)算可以推廣到有窮個(gè)集合上，即 A1 A2 An= x | x A1 x A2 x An A

21、1 A2 An= x | x A1 x A2 x An某些重要結(jié)果：某些重要結(jié)果： A B A A B A B= A B= A B=A集合的廣義交和廣義并集合的廣義交和廣義并 設(shè)設(shè)S為集合，為集合，S的元素的元素構(gòu)成的集合稱的元素的元素構(gòu)成的集合稱為為S的的廣義并廣義并，記為，記為 S，其中，其中 S=xz(z S x z； 設(shè)設(shè)S非空集合，非空集合，S的元素的公共元素構(gòu)成的的元素的公共元素構(gòu)成的集合稱為集合稱為S的廣義交，記為的廣義交，記為 S，其中，其中 S=xz(z Sx z。說(shuō)明：說(shuō)明： （1 1）規(guī)定）規(guī)定 = = ， 無(wú)意義。無(wú)意義。 （2 2）若）若 ，則由定義不難證明，則由定義

22、不難證明 S=S= S=S=（3 3）并運(yùn)算和廣義并運(yùn)算的運(yùn)算符相同，但前者是二元運(yùn)算，）并運(yùn)算和廣義并運(yùn)算的運(yùn)算符相同，但前者是二元運(yùn)算，后者是一元運(yùn)算，因此在運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)對(duì)后者是一元運(yùn)算，因此在運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)對(duì) 產(chǎn)生誤解。產(chǎn)生誤解。123,nSS SSS123nSSSS123nSSSS 例：例：設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,a,c,d,a,c,e，求，求 A， A，A，A，A，A。解：解： A=a,b,c,d,e； A=a,c； A=a b c d e； A=a c； A=a c； A=a b c d e 。優(yōu)先級(jí)優(yōu)先級(jí) 一般地, 一元運(yùn)算符(補(bǔ)集,冪集,廣義并,廣義交)優(yōu)先于優(yōu)先于 二元

23、運(yùn)算符(差集,并集,交集,對(duì)稱差,笛卡兒積)； 二元運(yùn)算符優(yōu)先于優(yōu)先于集合關(guān)系符(, , ) 。此外,許多集合表達(dá)式里還使用到聯(lián)結(jié)詞,和邏輯關(guān)系符以及括號(hào),我們規(guī)定:(1) 集合運(yùn)算優(yōu)先于邏輯運(yùn)算；(2) 括號(hào)內(nèi)優(yōu)先于括號(hào)外；(3) 同一括號(hào)內(nèi),同一優(yōu)先級(jí)按從左至右運(yùn)算。集合運(yùn)算律集合運(yùn)算律冪等律冪等律：AAA； AAA同一律同一律：AA； AE=A零零 律：律：AE=E ； A結(jié)合律：結(jié)合律：(AB)CA(BC)； (AB)CA(BC)交換律交換律：ABBA； ABBA分配律分配律：A（BC）（）（AB）(AC)； A(BC)=(AB)(AC)排中律：排中律：矛盾律：矛盾律：吸收律吸收律：A

24、（AB）A A(AB)A摩根律：摩根律：雙重否定律雙重否定律：AAEAAABABABAB()()()ABCABAC()()()ABCABACAA AB A , AB B ； A AB , B AB ； A-B A ，A-B=AB； AB=BA BAB=A A-B= ； A B=B A； (A B) C=A ( B C) A =A； A A = ； A B=A CB=C。集合集合等式的證明，可采用命題邏輯的等值式證明，等式的證明，可采用命題邏輯的等值式證明，其基本思想是其基本思想是互為子集互為子集： 欲證欲證:A=B 即證即證:即證即證:對(duì)任意的對(duì)任意的 x , ，當(dāng)上述過(guò)程可逆時(shí)，可以合并為當(dāng)

25、上述過(guò)程可逆時(shí)，可以合并為對(duì)任意的對(duì)任意的x, ABBAxAxBxBxAxAxB 集合相等的證明方法集合相等的證明方法例：例： 證明下列集合恒等式。證明下列集合恒等式。（1 1）AA（BCBC）（）（ABAB）(AC)(AC)（2 2）（3 3）證明：證明：(1) (1) 對(duì)任意的對(duì)任意的x xA (BC)A(BC)A()(A)(A)()()xxxxxBxCxxBxxCxABxACxABACABAB()()()ABCABAC(2) 對(duì)任意的對(duì)任意的xBA()xABxAxxxBxAB(3) 對(duì)任意的對(duì)任意的x()()()()()()()()()()()xABCxAxBCxAxBCxAxBxCxA

26、xBxCxAxBxAxCxABxACxABAC 例例3.3.2 證明：（證明：（1） （2）A B=（AB）-（AB）ABABAB()()()EABEAEBAB證明證明：(1)(2) AB=（A-B）（B-A）()()()()()()()()()()ABBAABAABBBAABABABAB例例 證明證明(AB)- C =(A-C)(B-C).證明證明: 對(duì)于對(duì)于 x x (AB)- C x (AB) x C ( x A xB ) x C ( x A x C) (xB x C) x ( A- C ) x ( B- C) x ( A-C) (B- C) (AB)- C =(A-C)(B-C)例例

27、證明證明證明：證明：(1)必要性必要性：對(duì)任意的：對(duì)任意的X,因此，因此， 。(2)充分性充分性：對(duì)任意的：對(duì)任意的x，因此因此 ，結(jié)論得證。，結(jié)論得證。( )( )ABP AP B( )( )xP AxAxBxP B( )( )P AP B ( ) ( ) xAxAxP AxP BxBxBAB例例 求在求在1和和1000之間不能被之間不能被5或或6，也不能被，也不能被8整整除的數(shù)的個(gè)數(shù)解：設(shè)除的數(shù)的個(gè)數(shù)解：設(shè)1到到1000之間的整數(shù)構(gòu)成全之間的整數(shù)構(gòu)成全集集E，A，B，C分別表示其中可被分別表示其中可被5，6或或8整除整除的數(shù)的集合。的數(shù)的集合。 解：解：在在ABC中的數(shù)一定可被中的數(shù)一定可

28、被5,6和和8的最小的最小公倍數(shù)公倍數(shù) 5,6,8 =120整除，即整除，即 ABC= 1000/ 5,6,8 =8 同樣可得同樣可得 AB= 1000/ 5,6 =33； AC= 1000/ 5,8 =25； BC= 1000/ 6,8 =41；然后計(jì)算然后計(jì)算 A= 1000/5 =200 ； B= 1000/6 =166 ； C= 1000/8 =125從而得到從而得到 ABC=200+100+33+67=400 所以，所以，不能被不能被5或或6,也不能被也不能被8整除的數(shù)有整除的數(shù)有600個(gè)。個(gè)。150100671733258對(duì)上述子集計(jì)數(shù)：對(duì)上述子集計(jì)數(shù)： |S|=1000； |A|

29、= 1000/5 =200； |B|= 1000/6 =133； |C|= 1000/8 =125； |A B|= 1000/30 =33； |B C| = 1000/40 =25 |B C|= 1000/24 =41； |A B C| = 1000/120 =8。 代入公式：代入公式： N = 1000 (200+133+125)+(33+25+41) 8=600。這個(gè)方法叫這個(gè)方法叫容斥原理。容斥原理。稱為包含排斥原理，簡(jiǎn)稱稱為包含排斥原理，簡(jiǎn)稱容斥原理容斥原理。容斥原理容斥原理定理：定理： 有窮集有窮集S中不具有中不具有p1,p2,pm元素?cái)?shù)是元素?cái)?shù)是1211121( 1)mmiiiji

30、ij mmijkmij k mAAASAAAAAAAAA mmkjikjijijimiimiiAAAAAAAAAA21111) 1(推論推論 設(shè)設(shè)A1,A2,An是是n個(gè)集合，則個(gè)集合，則 例例 某班有某班有2525個(gè)學(xué)生，其中個(gè)學(xué)生，其中1414人會(huì)打籃球，人會(huì)打籃球，1212人人會(huì)打排球，會(huì)打排球，6 6人會(huì)打籃球和排球，人會(huì)打籃球和排球，5 5人會(huì)打籃球人會(huì)打籃球和網(wǎng)球，還有和網(wǎng)球，還有2 2人會(huì)打這三種球。而人會(huì)打這三種球。而6 6個(gè)會(huì)打網(wǎng)個(gè)會(huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另外一種球球的人都會(huì)打另外一種球( (指籃球或排球指籃球或排球) )，求，求不會(huì)打這三種球的人數(shù)。不會(huì)打這三種球的人數(shù)。解：解：

31、設(shè)會(huì)打排球、網(wǎng)球、籃球的學(xué)生集合設(shè)會(huì)打排球、網(wǎng)球、籃球的學(xué)生集合分別為分別為A，B 和和 C，則有，則有 A=12， B=6， C=14， S=25 AC=6，BC=5， ABC=2現(xiàn)在求現(xiàn)在求 AB，因?yàn)闀?huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另一種球，即籃，因?yàn)闀?huì)打網(wǎng)球的人都會(huì)打另一種球，即籃球和排球，而其中會(huì)打籃球的有球和排球，而其中會(huì)打籃球的有5人，那么另一個(gè)人肯定人，那么另一個(gè)人肯定會(huì)打排球但不會(huì)打籃球，再加上會(huì)打三種球的會(huì)打排球但不會(huì)打籃球，再加上會(huì)打三種球的2人，共有人，共有3人會(huì)打排球和網(wǎng)球，即人會(huì)打排球和網(wǎng)球，即AB=3，根據(jù)容斥定理有，根據(jù)容斥定理有 ABC = 25-（12+6+14）+（3+

32、6+5）-2 = 5324排球排球1212籃球籃球1414網(wǎng)球網(wǎng)球6 6155不會(huì)打三種球人不會(huì)打三種球人數(shù)為：數(shù)為：25-(12+5+3)=5課堂練習(xí)：證明下列等式課堂練習(xí)：證明下列等式()ABAAB()ABABA()()ABCABC()AABB()()()()ABCDADBC( )( )ABP AP B( )( )()P AP BP AB( )( )()P AP BP AB第四章第四章 二元關(guān)系和函數(shù)二元關(guān)系和函數(shù) 說(shuō)起關(guān)系這個(gè)詞，對(duì)我們并不陌生，世界上存在說(shuō)起關(guān)系這個(gè)詞，對(duì)我們并不陌生，世界上存在著各種各樣的關(guān)系，人與人之間的著各種各樣的關(guān)系，人與人之間的“同志同志”關(guān)系；關(guān)系；“同學(xué)同

33、學(xué)”關(guān)系；關(guān)系；“朋友朋友”關(guān)系；關(guān)系；“師生師生”關(guān)系；關(guān)系；“上上下級(jí)下級(jí)”關(guān)系；關(guān)系；“父子父子”關(guān)系；兩個(gè)數(shù)之間有關(guān)系；兩個(gè)數(shù)之間有“大于大于”關(guān)系；關(guān)系；“等于等于”關(guān)系和關(guān)系和“小于小于”關(guān)系；兩個(gè)變量之間關(guān)系；兩個(gè)變量之間有一定的有一定的“函數(shù)函數(shù)”關(guān)系；計(jì)算機(jī)內(nèi)兩電路間有導(dǎo)線關(guān)系；計(jì)算機(jī)內(nèi)兩電路間有導(dǎo)線“連接連接”關(guān)系；程序間有關(guān)系；程序間有“調(diào)用調(diào)用”關(guān)系等等。所以對(duì)關(guān)系等等。所以對(duì)關(guān)系進(jìn)行深刻的研究，對(duì)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)都有很大關(guān)系進(jìn)行深刻的研究，對(duì)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)都有很大的用處。的用處。集合的笛卡爾積與二元關(guān)系集合的笛卡爾積與二元關(guān)系 由兩個(gè)元素由兩個(gè)元素x,y（允許（允許

34、x=y）按一定順序排列成）按一定順序排列成的二元組叫做一個(gè)的二元組叫做一個(gè)有序?qū)蛐蚺加行驅(qū)蛐蚺?，記作，記?其中其中x是是它的它的第一元素第一元素，y是它的是它的第二元素第二元素。有序?qū)τ行驅(qū)哂幸韵滦再|(zhì)：具有以下性質(zhì)：(1) 當(dāng)當(dāng)xy時(shí)，時(shí)， (2) = x=w y=v例例：已知：已知 = ，求，求 x 和和 y。解：由有序?qū)ο嗟鹊某湟獥l件得解：由有序?qū)ο嗟鹊某湟獥l件得 x+3 = y+7 y-2 = 3y-x 解得解得 x = 6, y = 2。一個(gè)一個(gè)有序有序n元組元組 (n3)是一個(gè)有序?qū)?，其中第一個(gè)元素是一個(gè)有序?qū)Γ渲械谝粋€(gè)元素是一個(gè)有序是一個(gè)有序n-1元組，一個(gè)有序元組，一個(gè)

35、有序n元組記作元組記作,即即 = , xn 例：例：空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo) ,等都是有序等都是有序3元組。元組。 n維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)或維空間中點(diǎn)的坐標(biāo)或n維向量都是有序維向量都是有序n元組。元組。形式上也可以把形式上也可以把看成有序看成有序1元組。元組。 設(shè)設(shè)A，B為集合，用為集合，用A中元素為第一元素，中元素為第一元素，B中中元素為第二元素構(gòu)成有序?qū)ΑＫ羞@樣的有序?qū)υ貫榈诙貥?gòu)成有序?qū)?。所有這樣的有序?qū)M成的集合叫做組成的集合叫做A和和B的的笛卡兒積笛卡兒積，記作，記作AB。 笛卡兒積的符號(hào)化表示為：笛卡兒積的符號(hào)化表示為： AB=|x A yB例例：若：若A

36、=1,2, B=a,b,c,則則AB=, , , , , BA=, , , , , 易知：若易知：若|A|=m,(即集合即集合A的元素的個(gè)數(shù)的元素的個(gè)數(shù)),|B|=n,則則| AB|= |BA|= m n 有序?qū)褪怯许樞虻臄?shù)組有序?qū)褪怯许樞虻臄?shù)組，如，如，x,y 的的位置是確定的，不能隨意放置。位置是確定的，不能隨意放置。 注意注意：有序?qū)Γ河行驅(qū)?，以，以a,b為元素的集合為元素的集合a,b=b,a；有序?qū)?；有序?qū)?a,a)有意義，而集合有意義，而集合a,a不成立。不成立。 笛卡兒積是一種集合合成的方法笛卡兒積是一種集合合成的方法，把集合，把集合A，B合合成集合成集合AB，規(guī)定，規(guī)定AB

37、 x A, y B。由于有序?qū)τ捎谟行驅(qū)χ兄衳,y的位置是確定的，因此的位置是確定的，因此AB的的記法也是確定的，不能寫(xiě)成記法也是確定的，不能寫(xiě)成BA。笛卡兒積也可以多個(gè)集合合成笛卡兒積也可以多個(gè)集合合成 A1A2An。笛卡兒積的運(yùn)算性質(zhì)。笛卡兒積的運(yùn)算性質(zhì)。笛卡兒積的性質(zhì)：笛卡兒積的性質(zhì)：1、對(duì)任意集合、對(duì)任意集合A，根據(jù)定義有，根據(jù)定義有 A = A= 2、一般來(lái)說(shuō)，笛卡兒積不滿足交換律，即、一般來(lái)說(shuō)，笛卡兒積不滿足交換律，即 ABBA （當(dāng)（當(dāng)A B B 、A 時(shí)）時(shí)）3、笛卡兒積不滿足結(jié)合律，即、笛卡兒積不滿足結(jié)合律，即 (AB) CA(B C) （當(dāng)（當(dāng)ABC時(shí)）時(shí)）4、笛卡兒積運(yùn)算

38、對(duì)并和交運(yùn)算滿足分配律，即、笛卡兒積運(yùn)算對(duì)并和交運(yùn)算滿足分配律，即 A(BC)= (AB)(A C) (BC) A = (BA)(C A) A(BC)= (AB) (A C) (BC) A = (BA) (C A)例：例： 證明證明 (BC) A = (BA)(C A)對(duì)于對(duì)于 (BC) A x(B C) y A xB x C y A xB x C y A y A (xB y A) (x C y A) B A C A (BA) (C A) (BC) A = (BA) (C A)例例：設(shè)：設(shè)A， C， B， D為任意集合，為任意集合， 判斷以下命題是否為真，并說(shuō)明理由。判斷以下命題是否為真，并說(shuō)

39、明理由。(1) AB= AC =B= C。(2) A-(BC)=( A-B)(A-C)。(3) 存在集合存在集合A,使得使得A A A。解：解：(1) (1) 不一定為真。反例不一定為真。反例A=, BA=, B、C C為任意不相為任意不相 等的非空集合。等的非空集合。 (2) (2) 不一定為真。反例不一定為真。反例A=1, B=2, C=3.A=1, B=2, C=3. (3) (3) 為真。當(dāng)為真。當(dāng) A= A= 時(shí)成立。時(shí)成立。 設(shè)設(shè)A1,A2,An,是集合是集合(n2),它們的它們的n階笛卡兒積階笛卡兒積記作記作A1A2An ，其中，其中 A1A2An= | x1 A1x2 A2xn

40、 An 。 當(dāng)當(dāng)A1=A2=An=A時(shí)時(shí), 將起將起n階笛卡兒積記作階笛卡兒積記作An例例，A= a ,b , 則：則： A3=AAA=a,ba,ba,b =, , , 。例例：設(shè)集合：設(shè)集合 A=a,b,B=1,2,3,C=d, 求求ABC，BA。解：解： 先計(jì)算先計(jì)算AB,ABC ,d, BA, 。例：例： 設(shè)集合設(shè)集合A1,2,求求AP(A)。解：解： P(A)=,1,2,1,2AP(A)1,2,1,2,1,2=, , , 如果一個(gè)集合符合以下條件之一：如果一個(gè)集合符合以下條件之一：(1) 集合非空，且它的元素都是有序?qū)戏强?，且它的元素都是有序?qū)?2) 集合是空集集合是空集 則稱該集

41、合為一個(gè)則稱該集合為一個(gè)二元關(guān)系二元關(guān)系，記作，記作R，簡(jiǎn)稱為關(guān)系。，簡(jiǎn)稱為關(guān)系。 對(duì)于二元關(guān)系對(duì)于二元關(guān)系R，若，若 R,可記作可記作xRy;如果如果 R, 則記作則記作xRy。例例：R1=, aR1b, 1R12。二元關(guān)系二元關(guān)系是兩種客體之間的聯(lián)系，例如某學(xué)生是兩種客體之間的聯(lián)系，例如某學(xué)生學(xué)習(xí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，表示為：學(xué)習(xí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，表示為： A A 語(yǔ)文語(yǔ)文, , 數(shù)學(xué)數(shù)學(xué), , 外語(yǔ)外語(yǔ) 功課的成績(jī)分四個(gè)等級(jí)，記作功課的成績(jī)分四個(gè)等級(jí)，記作B BAA，B B，C C，DD于是該生成績(jī)的全部可能為于是該生成績(jī)的全部可能為A AB BA AB B ,D, ,D, ,D而該生的實(shí)際

42、成績(jī)而該生的實(shí)際成績(jī) P P,DP P是是A AB B的一個(gè)子集，它表示了功課與其成績(jī)的一種關(guān)系。的一個(gè)子集，它表示了功課與其成績(jī)的一種關(guān)系。 由此可見(jiàn)：由此可見(jiàn)：兩個(gè)集合之間的二元關(guān)系，實(shí)際上就是兩個(gè)兩個(gè)集合之間的二元關(guān)系，實(shí)際上就是兩個(gè)元素之間的某種相關(guān)性。元素之間的某種相關(guān)性。 設(shè)設(shè)A，B為集合，為集合，AB的任何子集所定義的的任何子集所定義的二元關(guān)系叫做從二元關(guān)系叫做從A到到B的的二元關(guān)系二元關(guān)系； 特別當(dāng)特別當(dāng)A=B時(shí)則叫做時(shí)則叫做A上的上的二元關(guān)系二元關(guān)系。 例：例：若若A=a,b，B=1,2,3，則，則 A B= , 令令 R1= , R2=, , R3=。因?yàn)橐驗(yàn)镽1 A B，

43、 R2 A B， R3 A B，所以，所以R1, R2和和 R3均是由均是由A到到B的二元關(guān)系。的二元關(guān)系。又例：若又例：若A=a,b，B=1,2,3，則，則 BA= , 令令 R4= , R5=, , 因?yàn)橐驗(yàn)镽4 BA， R5 BA，所以所以R4和和 R5均是由均是由B到到A的關(guān)系。的關(guān)系。又又 BB=, , , 。令令 R6= ，, R7=, 因?yàn)橐驗(yàn)镽6 BB， R7 BB， 所以所以R6和和 R7均是集合均是集合B上上的關(guān)系。的關(guān)系。若集合若集合|A|=n,則集合則集合A上的二元關(guān)系有多少個(gè)？上的二元關(guān)系有多少個(gè)？答：答： |A|=n，則，則|A A|=n2, A A的任一個(gè)子集的任

44、一個(gè)子集就是就是A上的二元關(guān)系，即上的二元關(guān)系，即P(A)= 2n 個(gè)。個(gè)。 例例 A= 1,2 則則A A有有 2n 個(gè)不同的二元關(guān)系；個(gè)不同的二元關(guān)系； AA=1,21,2= ,。 AA的任一個(gè)子集就是的任一個(gè)子集就是A A的冪集，即的冪集，即P(A)P(A)= , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,三類(lèi)特殊的關(guān)系三類(lèi)特殊的關(guān)系空關(guān)系：空關(guān)系：對(duì)于任何集合對(duì)于任何集合A，空集，空集 是是A A的的子集，稱作子集，稱作A上的上的空關(guān)系；空關(guān)系；全關(guān)系：全關(guān)系：定義定義EA=|xA yA= AA為為全全域關(guān)系；域關(guān)系；恒等關(guān)系：恒等關(guān)系：

45、 定義定義IA=|xA 為為A上上恒等關(guān)系。恒等關(guān)系。 例：例：若若A=1,2,3，則，則 EA= , , IA =, 。例：例：設(shè)設(shè)A=1,2,3,4，請(qǐng)表示下列關(guān)系。，請(qǐng)表示下列關(guān)系。(1) R= |x是是y的倍數(shù)的倍數(shù)(2) R= |(x-y)2 A(3) R= |x除除y是素?cái)?shù)是素?cái)?shù)(4) R= |xy解：解：(1) R = , , , , ,； (2) R = , , ,； (3) R = ,； (4) R= , , 關(guān)系表示法關(guān)系表示法有窮集合上的二元關(guān)系的三種表示方法：有窮集合上的二元關(guān)系的三種表示方法：n 集合表示法集合表示法 （前已使用）（前已使用）n 關(guān)系矩陣法關(guān)系矩陣法n

46、 關(guān)系圖關(guān)系圖 關(guān)系矩陣是表示關(guān)系的另一種有效的方法，其關(guān)系矩陣是表示關(guān)系的另一種有效的方法，其優(yōu)點(diǎn)是可以利用矩陣作為研究關(guān)系的手段，而且這優(yōu)點(diǎn)是可以利用矩陣作為研究關(guān)系的手段，而且這樣做便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。樣做便于計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理。 設(shè)設(shè)R：AB，A和和B都是有限集，且都是有限集，且 |A|=n, |B|=m, A , B中的元素已按一定的次序排列若中的元素已按一定的次序排列若A=x1,x2,xn ,B= y1,y2,ym 且且R A B,若若則稱矩陣則稱矩陣為為R的的關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣關(guān)系矩陣法關(guān)系矩陣法1,0,ijijijx yRrx yR 0 1 1 1MR= 0 0 1 1 0 0 0

47、1 0 0 0 0例例 A=1,2,3,4, R為為A上的小于關(guān)系，上的小于關(guān)系，則則R=, , , R的關(guān)系矩陣為：的關(guān)系矩陣為：1 2 3 41 2 3 41 2 3 41 2 3 4例例: 設(shè)集合設(shè)集合A2,3,4, B=8,9,12,14。 R是由是由A到到B的二元關(guān)系，定義：的二元關(guān)系，定義：R= | a整除整除b寫(xiě)出寫(xiě)出R的表達(dá)式和關(guān)系矩陣。的表達(dá)式和關(guān)系矩陣。 解解：R=, R的關(guān)系矩陣：的關(guān)系矩陣： 101 101101010RM關(guān)系圖關(guān)系圖 關(guān)系圖是表示關(guān)系的一種直觀形象的方法，設(shè)關(guān)系圖是表示關(guān)系的一種直觀形象的方法，設(shè)R：AB，A和和B都是有限集，都是有限集， A=x1,x

48、2,xn , B= y1,y2,ym 關(guān)系關(guān)系R的有序?qū)Φ挠行驅(qū)?可用圖中從結(jié)點(diǎn)可用圖中從結(jié)點(diǎn)xi 到到y(tǒng)j 的有向的有向邊表示，這樣即可將關(guān)系用圖表示之。邊表示，這樣即可將關(guān)系用圖表示之。例例 設(shè)設(shè) R: AB，A=x1,x2, x3, x4 , B= y1,y2,y3 R=, , ， R的關(guān)系如下圖所示的關(guān)系如下圖所示x1x2x3x4y1y2y3設(shè)設(shè)R是在是在A上的二元關(guān)系，上的二元關(guān)系， A=x1,x2,xn 關(guān)系關(guān)系R的有序的有序偶偶 可用圖中從結(jié)點(diǎn)可用圖中從結(jié)點(diǎn)xi 到到xj 的有向邊表示，這樣的有向邊表示，這樣即可將關(guān)系用圖表示之。即可將關(guān)系用圖表示之。 例例 ：設(shè)設(shè) R: AA，

49、A= a,b, c, d R=, , , R的關(guān)系如下圖所示：的關(guān)系如下圖所示：abcd 例：例： 設(shè)集合設(shè)集合A=a,b,c,d,R是是A上的關(guān)系上的關(guān)系R=,試以試以關(guān)系矩陣和關(guān)系圖來(lái)表示關(guān)系關(guān)系矩陣和關(guān)系圖來(lái)表示關(guān)系R。解：解： （1）關(guān)系矩陣為：）關(guān)系矩陣為： 1110001000010001Mbcda（2）關(guān)系圖為：）關(guān)系圖為： 關(guān)系的運(yùn)算關(guān)系的運(yùn)算（1）R中所有的有序?qū)Φ牡谝辉貥?gòu)成的集合稱為中所有的有序?qū)Φ牡谝辉貥?gòu)成的集合稱為R的的定義域定義域，記作，記作domR。 domR=x| y( R（2）R中所有的有序?qū)Φ牡诙貥?gòu)成的集合稱為中所有的有序?qū)Φ牡诙貥?gòu)成的集合稱為R的

50、的值域值域，記作，記作ranR。 ranR=y| x R（3）R的定義域和值域的并集稱為的定義域和值域的并集稱為R的的域域，記作，記作fldR。 fldR=domR ranR例：例： 設(shè)設(shè)R=,則則 domR=1，2，3 ranR=1，2，3，4 fldR=1，2，3，4限制關(guān)系限制關(guān)系設(shè)設(shè)R為二元關(guān)系，為二元關(guān)系，A是集合是集合（1）R在在A上的限制，記作上的限制，記作R A,其中其中 R A=|xRy x A（2）A在在R下的象，記作下的象，記作RA，其中，其中 RA=ran(R A)例例：設(shè)集合：設(shè)集合A=1,2,3,4,R是是A上的關(guān)系上的關(guān)系R=,集合集合B=1,2,4,試求試求R

51、B及及RB。解：解：R B=,； RB=1，3，4。逆運(yùn)算逆運(yùn)算設(shè)設(shè)R為二元關(guān)系，稱為二元關(guān)系，稱 為為R的逆關(guān)系，其中的逆關(guān)系，其中 =| R 定理定理4.1 設(shè)設(shè)F是任意關(guān)系，則是任意關(guān)系，則（1） （2）1R1R11()FF證明：證明：（1）對(duì)任意的）對(duì)任意的11domFranF,ranFdomF111()FFF（2）對(duì)任意的）對(duì)任意的y11(,)(,)ydomFxy xFxx yFyranF 對(duì)任意的對(duì)任意的x11(,)(,)xranFyy xFyx yFxdomF 復(fù)合運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算 設(shè)設(shè)F,G為二元關(guān)系為二元關(guān)系G對(duì)對(duì)F的右復(fù)合記作的右復(fù)合記作F?G,其中其中F?G=| t( F G

52、。說(shuō)明：說(shuō)明：（1）本書(shū)采用右復(fù)合的規(guī)則，而有的教材采用左復(fù)合）本書(shū)采用右復(fù)合的規(guī)則，而有的教材采用左復(fù)合規(guī)則，兩者都可行，只是需要注意它們的區(qū)別，從變換的規(guī)則，兩者都可行，只是需要注意它們的區(qū)別，從變換的角度來(lái)說(shuō)，角度來(lái)說(shuō)，G對(duì)對(duì)F的右復(fù)合是先的右復(fù)合是先F變換后變換后G變換，而變換，而G對(duì)對(duì)F的左復(fù)合是先的左復(fù)合是先G變換后變換后F變換。變換。（2）一般來(lái)說(shuō)，并沒(méi)有）一般來(lái)說(shuō)，并沒(méi)有F?G等于等于G?F，請(qǐng)讀者仔細(xì)注意，請(qǐng)讀者仔細(xì)注意其區(qū)別。其區(qū)別。例：例：設(shè)設(shè)F=,G=,則求則求F?F，G?G，F(xiàn)?G和和G?F。 解：解：F?F= ，G?G= F?G= G?F=。例：例：設(shè)有集合設(shè)有集合

53、 A=4,5,8,15, B=3,4,5,9,11C=1,6,8,13, F 是由是由 A 到到 B 的關(guān)系的關(guān)系, G 是由是由 B 到到 C 的的關(guān)系關(guān)系,分別定義為分別定義為 F=| |b-a|=1 G=| |b-c|=2或或|b-c|=4求合成關(guān)系求合成關(guān)系G F和和F G 解：解： 先求先求G F, 由題意知由題意知 F=, ,； G=, ,； G F= ,。 定理：定理： 設(shè)設(shè)F、G、H是任意關(guān)系是任意關(guān)系, 則則 (1) (F-1)-1=F (2) dom(F-1)=ranF , ranF-1=domF (3) (F G) H= F (G H) (4) (F G)-1= G-1

54、F-1證明證明: (1) 任取任取,由逆的定義有由逆的定義有 (F-1)-1 F-1 F (F-1) -1 = F (2) 任取任取x, xran F-1 y( F-1 ) y( F) x dom F ran F-1 = dom F 同理可證同理可證 dom (F-1) = ran F 證明證明: (3) 任取任取, (F G) H t( F G H ) t s( F G H ) s( F t ( G H ) s( F G 。H ) F (G H ) (4) 任取任取, (F G)-1 F G t( F G) t( G-1 F-1 ) G-1 F-1 定理：定理： 設(shè)設(shè)F、G、H是任意關(guān)系是任

55、意關(guān)系,則則 (1) F (GH)= F G F H (2) (GH) F= G F H F (3) F (GH) F G F H (4) (GH) F G F H F證明證明: (1) 任取任取, F (GH) t( FG H ) t (F(GH ) t (FG)( FH) t (FG) t(FH) F G F H F G F H證明證明: (3) 任取任取 , F (GH) t( F G H ) t ( F G H ) t (FG)( FH)= t(FG) t( F H) F G F H F G F H本定理對(duì)有限個(gè)關(guān)系的并和交都成立。本定理對(duì)有限個(gè)關(guān)系的并和交都成立。R (R1R2 Rn

56、)= R R1R R2R Rn(R1R2 Rn) R= R1 RR2 RRn RR (R1 R2 Rn) R R1R R2 R Rn(R1R2 Rn) R R1 RR2 RRn R冪運(yùn)算：冪運(yùn)算：設(shè)設(shè)R是是A上的關(guān)系上的關(guān)系, n為自然數(shù)，則為自然數(shù)，則R的的n次冪規(guī)定如下：次冪規(guī)定如下： (1) R0= | xA (2) Rn= Rn-1 R n1 由定義可以知道由定義可以知道R0就是就是A上的恒等關(guān)系上的恒等關(guān)系IA，不難證，不難證明下面的等式明下面的等式R R0 =R=R0 R 。由這個(gè)等式立即可以得到由這個(gè)等式立即可以得到 R1 =R0 R =R例：例： 設(shè)設(shè)A= a,b,c,d ,R

57、= , 求求R0 ，R1，R2， R3 ，R4和和R5解：解： R0 = , R1 = R0 R = , , = , 。 R2 = R R = , , = , R3 = R2 R = , , =, R4 = R3 R = , , =, R5 = R4 R = , , =,定理：定理：設(shè)設(shè)R是是A上的關(guān)系上的關(guān)系, m, n 為自然數(shù)，為自然數(shù)，則下面的等式成立則下面的等式成立 (1) Rm Rn= Rm+n (2) (Rm)n= Rmn證明：證明：(1) 任給任給m，對(duì)，對(duì)n作歸納法。作歸納法。 n=0時(shí)，時(shí)，Rm R0=Rm = Rm+0。 假設(shè)假設(shè)Rm Rn=Rm+n，那么，那么RmRn+

58、1=Rm(RnR1)= (RmRn )R1= Rm+nR1= Rm+n+1= Rm+(n+1) 。(2) 任給任給m，對(duì)，對(duì)n作歸納法。作歸納法。 n=0時(shí)，時(shí)，(Rm)0= R0 = Rm 0。 假設(shè)假設(shè)(Rm)n=Rmn。那么。那么(Rm)n+1= (Rm)n Rm = Rmn Rm = Rmn+m= Rm(n+1) 例例: 已知集合已知集合A=a,b,c,d,A上的關(guān)系上的關(guān)系R=,，求，求 。解：解：法一法一：由復(fù)合定義知：由復(fù)合定義知2RR R32RRR=,=,23,RR 法二法二：關(guān)系：關(guān)系R R矩陣為矩陣為0100101000010000M2M010010100001000001

59、0010100001000031010010100000000M101001010000000001001010000100000101101000000000= =法三：法三：R的關(guān)系圖為的關(guān)系圖為bcda2R的關(guān)系圖為的關(guān)系圖為 bcda3R的關(guān)系圖為的關(guān)系圖為bcda定理定理 A為n元集,R為A上的關(guān)系,則存在自然數(shù)s和t， 使得Rs=Rt證明：證明：因?yàn)锳為n元集，所以集合A上的關(guān)系為有限N= 個(gè)，而關(guān)系序列存在無(wú)限多個(gè)關(guān)系，故存在自然數(shù)s和t，使得Rs=Rt.。22n0121,NNRR RRR 設(shè)設(shè) R 是是 A 上的關(guān)系，上的關(guān)系，R 的性質(zhì)主要有以下的性質(zhì)主要有以下 5 種種:(

60、1) 自反性：自反性：若若 x(x A R),則稱則稱 R 在在 A 上是上是自反自反的。的。 也就是說(shuō)，對(duì)也就是說(shuō)，對(duì)R A A，若，若A中每個(gè)中每個(gè)x，都有，都有xRx，則，則稱稱R是自反的，即是自反的，即A上關(guān)系上關(guān)系R是自反的是自反的x(x AxRx)。 該定義表明了，在自反的關(guān)系該定義表明了，在自反的關(guān)系R中，除其它有序?qū)χ?，除其它有序?qū)ν?，必須包括有全部由每個(gè)外，必須包括有全部由每個(gè)x A所組成的元素相同的有所組成的元素相同的有序?qū)?。序?qū)Α?例如：設(shè)例如：設(shè)A=1, 2, 3, R 是是 A 上的關(guān)系，上的關(guān)系， R=, , 則則 R 是自反的是自反的關(guān)系的性質(zhì)關(guān)系的性質(zhì)(2) 反