高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例篇等差數(shù)列的前項(xiàng)和

1、46等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教材分析等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題.在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題.等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和提供了一種重要方法教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.為深化對公式的理解，通過對具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決問題.這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題，難點(diǎn)是前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的形成.教學(xué)目標(biāo)1 .通過等差數(shù)列前n

2、項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力2 .理解和掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，體會等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力3 .在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式及其應(yīng)用.對公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子1+2+3+100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對等差數(shù)列求和問題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個規(guī)律，

3、進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題.對等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前n項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系為加深對公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對實(shí)例的教學(xué)，并通過對具體實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會解決問題的方法特別是對實(shí)際問題，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式.對于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景1 .在200多年前，有個10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“訃2+3+100=?”時，很快地就算出了結(jié)果.他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn)1+100=2+99=3

4、+97=50+51=101,于是1+2+100=101X50=5050.2 .受高斯算法啟發(fā)，你能否求出1+2+3+-+11的和.3 .高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和？二、建立模型1 .數(shù)列的前n項(xiàng)和定義對于數(shù)列an,我們稱a1+a2+an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sn=a1+a2+an.2 .等差數(shù)列的求和公式(1)如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式？對于公差為d的等差數(shù)列an：Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n1)d,依據(jù)(Wj斯算法，將Sn表不'為Sn=an+(an-d)+(an2d)+an(n1)d.由此得到

5、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法(2)結(jié)合通項(xiàng)公式an=a1+(n1)d,又能得怎樣的公式?(3)兩個公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)a1和項(xiàng)數(shù)n;不同點(diǎn)是前者還須要知道an,后者還須要知道d.因此，在應(yīng)用時要依據(jù)已知條件合適地選取公式.公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的沒有常數(shù)項(xiàng)的上次函數(shù)”.三、解釋應(yīng)用題1.根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.（1

6、）ai=4,88=18,n=8.（2）ai=14.5,d=0.7,an=32.注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算2 .已知一個等差數(shù)列an前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后，可得到兩個關(guān)于a1與d的關(guān)系式,它們都是關(guān)于a1與d的二元一次方程，由此可以求得a1與d,從而得到所求前n項(xiàng)和的公式解：由題意知注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，就是一個關(guān)于an,a1,n或者a1,n,d的方程，使學(xué)生能把方程思想和前n項(xiàng)和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項(xiàng)公式，對a1，d,n,an及Sn這五個量知其三便可求其

7、二.（2）本題的解法還有很多，教學(xué)時可鼓勵學(xué)生探索其他的解法例如，3 .2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？教師引學(xué)生分析：每年校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為50的等差數(shù)列.問題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和解：根據(jù)題意，從20012010年，該市每年投入校校通”工程的經(jīng)

8、費(fèi)都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列an,表示從2001年起各年投入的資金，其中，ai=500,d=50.那么，至IJ2010年（n=10）,投入的資金總額為答：從20012010年，該市在校校通”工程中的總投入是7250萬元.注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟4 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2+求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：根據(jù)由此可知，數(shù)列an是一個首項(xiàng)為公差為2的等差數(shù)列思考：一般地，數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn(Aw0),這時an是等差數(shù)列嗎？為什么？練習(xí)1 .一名技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測試一種賽車：從時速

9、10km/h開始，每隔2s速度提高20km/h.如果測試時間是30s,測試距離是多長？2 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn=n2+n+4,求這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.3 .求集合M=m|m=2n-1,nCN*,且mV60的元素個數(shù)，并求這些元素的和四、拓展延伸1 .數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn為Sn=pn2+qn+r（p,q,r為常數(shù)且pwo）,則an成等差數(shù)列的條件是什么？2.已知等差數(shù)列5，4,的前n項(xiàng)和為Sn,求使Sn最大的序號的值.分析1:等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫成Sn=n2+(ai)n，所以Sn可以看成函數(shù)x2+(ai)x(xCN*).當(dāng)x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道&關(guān)于n的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn).因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.,的公差為一于是，當(dāng)n取與最接近的整數(shù)即 7 或 8時，Sn取最大值<0,所以此分析2:因?yàn)楣頳=數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的，而它之前的項(xiàng)是正的或者是零，那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了即使然后從中求出n.點(diǎn)評這篇案例從具體的實(shí)例出發(fā)，引出等差數(shù)列的求和問題，在設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，通過等差數(shù)列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力對例題、練習(xí)的