高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例平面向量的數(shù)量積

1、40平面向量的數(shù)量積教材分析兩個向量的數(shù)量積是中學代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法這篇案例從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標表示向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學習這節(jié)內(nèi)容的教學難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應(yīng)用教學目標1. 理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關(guān)長

2、度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件2. 通過對數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學生的科學思維習慣任務(wù)分析兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定兩向量的數(shù)量積"a而洞于兩實數(shù)之積“ab：通過實例理解ab=bc與a=c的關(guān)系，ab=0與a=0或b=0的關(guān)系，以及(ab)c=a(bc)與(ab)c=a(bc)的不同.教學設(shè)計一、問題情景如圖40

3、-1所示，一個力f作用于一個物體，使該物體發(fā)生了位移s,如何計算這個力所做的功.由于圖示的力f的方向與前進方向有一個夾角。，真正使物體前進的力是f在物體前進方向上的分力，這個分力與物體位移的乘積才是力f做的功即力f使物體位移x所做的功W可用下式計算W=IsI|f|cos0其中If|cos。就是f在物體前進方向上的分量，也就是力f在物體前進方向上正射影的數(shù)量問題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個向量來確定我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？二、建立模型(1) 引導(dǎo)學生從“功”的模型中得到如下概念：已知兩個非零向量a與b,把數(shù)量IaIIbIcos。叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)

4、積），記作ab=IaI|b|cos0.其中。是a與b夾角，IaIcos0（|b|cos叫a在b方向上（b在a方向上）的投影規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為0.由上述定義可知，兩個向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù).說明：向量a與b的夾角。是指把a,b起點平移到一起所成的夾角，其中0W。w得。=時，稱a和b垂直，記作a±b.為方便起見，a與b的夾角記作a，b(2) 引導(dǎo)學生思考討論根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出(1)設(shè)e是單位向量，ae=|a|cosa,e>.a b= 0.(2)設(shè)ab是非零向量，貝Uab(3) aa=|a|2,于是|a|=(4) cos<a,b>=(5) |ab

5、|<|a|b|(這與實數(shù)|ab|=|a|b|不同)三、解釋應(yīng)用例題已知|a|=5,|b|=4,<a,b>=120°,求ab.解：ab=|a|b|cos<a,b>=5X4XCos120°=10.練習2） a 在 b 上的投1 .已知|a|=3,b在a上的投影為一2,求：（1）a-b.影2 .已知：在ABC中，a=5,b=8,c=60°,求四、建立向量數(shù)量積的運算律1. 出示問題：從數(shù)學的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律

6、嗎？它們成立嗎？為什么？2. 運算律及其推導(dǎo)已知：向量a,b,c和入CR,則(1)ab=ba(交換律)證明：左=Ia|b|cos9=右.（2）（入*b=入（26=2-（入（數(shù)乘結(jié)合律）.證明：設(shè)a,b夾角為0,當X>0時，入也b的夾角為也，（入2b=（入2'Ib|cos9=入|a|b|cos9=入（ab）;當入v0時，入a與b的夾角為（兀一。），（入2b=|入a|b|cos（兀一®=入Ia|b|（cos0=X|a|b|cos0=入（ab）;當入=0時，（入*b=0b=0=A.（ab）.總之，（入*b=入（ab）;同理a（入D=入（ab）.（3） （a+b）c=ac+bc

7、（乘法對加法的分配律）.a，證明：如圖40-2，任取一點O，作ca+b(即)在c方向上的投影等于a,b在c方向上的投影的和，即Ia+b|cos9=|a|cos©+|b|cos-'-Ic|a+b|cos9=|c|(|a|cos9+|b|cos«)=Ic|a|cosQ+|c|b|cosca+cb,(a+b)c=ac+bc.思考：(1)向量的數(shù)量積滿足結(jié)合律，即(ab)c=a(bc)嗎？a b= c b,那么 a= c 嗎?(2)向量的數(shù)量積滿足消去律，即如果五、應(yīng)用與深化例題1 .對實數(shù)a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.類似地

8、，對任意向量a,b,也有類似結(jié)論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)-(a-b)=a2-b2.其證明是：(a+b)2=(a+b)-(a+b)=aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=aa-ab+ba-bb=a2-b2.，有類似結(jié)論.2 .已知|a|=6,|b|=4,<a,b>=60°,求(a+2b)-(a-3b).解：(a+2b)-(a-3b)=a2-3ab+2ba-6b2=Ia|2-|a|b|cos60-6|b|2=-72.3 .已知|a|=3,|b|=4,且a與b不共線.當k為何值時，

9、(a+kb)±(a-kb)?解：(a+kb)±(akb)，即(a+kb)(akb)=0,即a2k2b2=0,即9k2xi6因此，當k=±時，有(a+kb)±(akb)4 .已知：正方形ABCD的邊長為1,并且=a,=b,=c，求|a+b+c|.解法1：a+b+c=+-Ia+b+c|=2解法2：|a+b+c|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1+1+2+2MX1xcos90孑2X1x2Mx2練習1. Ia|=4,|b|=3,(2a3b)(2a+b)=61,求a與b的夾角0.2. 在邊長為2的正三角形ABC中，求+六、拓展延伸1

10、 .當向量a,b的夾角為銳角時，你能說明ab的幾何意義嗎？如圖40-3,ab,即以b在a上射影的長和a的長為兩鄰邊的矩形面積(OA=OAi)2 .平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，.試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系.3.三個單位向量a,b,c有相同終點且a+b+c=0,問：它們的起點連成怎樣的三角形？解法1：如圖40-5,|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,a+b=-c,(a+b)2=(c)2.a2+b2+2ab=c2,，2|a|b|cosZAOC=-1,cosZAOC=,/AOC=120°.同理/BOC=ZAOC=120°,故4AOB,BOC,BOC全等，AB=AC=BC,即該ABC為等邊三角形.=c,解法2:如圖40-6,=-a,=b,由a+b+c=0,即.Ia|=|b|=1,OADB為菱形.|=1,.AOB=120°.同理/AOC=ZBOC=120°4.在4ABC中,問：。點在ABC的什么位置?解：由,即,(=0,同理.故O是ABC的垂心.這篇案例的一個突出特點是使用類比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運算律時，經(jīng)常以實數(shù)為對象進行類比.以物理學中的力對物體做功的實例，引入數(shù)量積的過程比較自然，學生容易接受.在拓展延伸”中