高中數(shù)學(xué)空間中的垂直關(guān)系直線與平面垂直學(xué)案新人教B版必修

1、1.2.3空間中的垂直關(guān)系（1）直線與平面垂直自主學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1 .掌握直線與平面垂直的定義.2 .掌握直線與平面、平而與平而垂直的判定定理及性質(zhì)定理，并能靈活應(yīng)用定理證明有關(guān)問題.自學(xué)導(dǎo)引1 .如果直線1與平面«內(nèi)的，我們就說直線1與平而a互相垂直，記作,直線1叫做,平面a叫做，它們的唯一公共點叫做.垂線上任一點到垂足之間的線段，叫做這個點到這個平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到這個平面的距離.2 .直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條直線垂直，則這條宜線與這個平面.3 .如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么4 .直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平

2、面的兩條直線.5 .垂直于同一條直線的兩個平而.對點講練知識點一線而垂直的判定1且SA=SB=SC,點D為斜邊AC的中點.(1)求證：SD«L平面ABC；如圖所示,直角4ABC所在平面外一點S,(2)若AB=BC,求證：8口_1面54(：.點評(1)線面垂直的判定定理是判定線而垂直的最常用思路.(2)線而垂直的定義，給出了線而垂直的必備條件，即直線垂直于平而內(nèi)的所有直線,是直線垂直平面的必要條件.作為直線與平而垂直的判定并不實用.變式訓(xùn)練1如圖所示，已知空間四邊形ABCD的邊BC=AC,AD=BD,引BE±CD,E為垂足，作AH1BE于點H.求證：AH«L平面BC

3、D.知識點二證明線線垂直如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA垂直于四邊形ABCD所在的平面，過點A且垂直于SC的平面分別交SB,SC,SD于點E,F,G.求證：AE±SB,AG1SD.點評本題的證明過程很具有代表性，即證明線線垂直，可先證線面垂直，而已知的線而垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直，在線線垂直和線而垂直的相互轉(zhuǎn)化中，平而在其中起著至關(guān)重要的作用，由于線線垂直是相互的，應(yīng)充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實現(xiàn)證明需要的轉(zhuǎn)化.變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中,E、F分別是棱BC、的中點.求證：CF1AE.知識點三直線與平而垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用已知，如圖

4、所示，直線a_l_a,直線b_LB,且ABJ_a,AB±b,平面aCB=c.求證：AB/7c.點評判斷線線、線而的平行或垂直關(guān)系，一般依賴于判定定理和性質(zhì)定理，有時候也可以放到特征幾何體（如正方體，長方體，正棱柱等）中，判斷它們的位置關(guān)系.變式訓(xùn)練3如圖所示，在正方體ABCDABCQ中,EF±AC,EFJ_A,D,求證：EF/7BD：.1 .直線與平而垂直的判定方法：（1）定義，（2）判定定理.由直線和平面垂直的判定定理知，把線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為線而垂直關(guān)系.在判定定理中，注意“兩條”和“相交直線”的重要性.判定線面垂直關(guān)鍵在平面內(nèi)找出兩條相交直線和已知直線垂直.（3）如果兩

5、條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平而.這個命題也可作為線面垂直的一個判定方法.證明時常用的轉(zhuǎn)化關(guān)系：線線垂直判段理線而垂直.2 .直線與平面垂直的性質(zhì)定理是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的完美結(jié)合，利用垂直關(guān)系可判斷平行，反過來由平行關(guān)系也可判定垂直，即兩條平行直線中的一條垂直于一個平而，則另一條直線也垂直于這個平面.課時作業(yè)一、選擇題1 .下列命題中正確的個數(shù)是（）如果直線1與平面。內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則1，。：如果直線1與平而。內(nèi)的一條直線垂直，則1，。：如果直線1不垂直于。，則。內(nèi)沒有與1垂直的直線；如果直線1不垂直于Q,則。內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與1垂直.A. 0B. 1C.

6、 2D. 32 .空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對角線AC、BD的關(guān)系是（）A.垂直且相交B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交D.不垂直也不相交3 .如果一條直線與一個平面垂直，那么，稱此直線與平而構(gòu)成一個“正交線而對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線而對”的個數(shù)是（）A. 12B. 24C. 36D. 484 .如果直線1與平而o不垂直，那么在平面。內(nèi)（）A.不存在與1垂直的直線8 .存在一條與1垂直的直線C.存在無數(shù)條與1垂直的直線D.任意一條直線都與1垂直5 .若m、n表示直線，Q表示平而，則下列命題中，正確命題的個數(shù)為（）n©m

7、±om±a_m±a:n±a：m/7n：n±aJ1ma1(m,Ln;出fa.n/aJmj_nJA.1B.2C.3D.4題號1234L0答案二、填空題6 .點P為aABC所在而外一點，若PA=PB=PC,且0，面ABC,則07jAABC的心.7 .已知P是AABC所在平而外的一點，點P與AB、AC、BC的距離相等，且點P在4ABC上的射影。在ABC內(nèi)，則0一定是AABC的心.8 .在直三棱柱ABC-ABQ中，BC=CC：,當(dāng)?shù)酌鍭1C滿足條件時，有ABBC,（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）.三、解答題9 .如圖所示，在四

8、棱錐PABCD中，底而ABCD是矩形，側(cè)棱PA垂直于底而，E、F分別是AB,PC的中點，PA=AD.（1）求證:CDXPD；（2）求證：EFL平面PCD.10.如圖所示，AB是圓0的直徑，點C是圓。上的動點，過動點C的直線VC垂直于圓。所在平面，E是VC的中點，D是VA上的點，若DE,平面VBC,試確定D點的位置.【答案解析】自學(xué)導(dǎo)引1 .任意一條直線都垂直1，。平而。的垂線直線1的垂面垂足2 .相交垂直3 .另一條也垂直于這個平而4 .平行5 .平行對點講練1證明（1）SA=SC,D為AC的中點,ASD±AC,在RtZkABC中，則AD=DC=BD.又SA=SB,AAADSABDS

9、.ASD1BD.又ACABD=D,，SD_L而ABC.（2） VBA=BC,D為AC中點,ABDXAC.又由（1）知SD±BD.VSDnAC=D,，BD«L平面SAC.變式訓(xùn)練1證明取AB中點F,連接CF、DF,VAC=BC,ACF1AB.XVAD=BD,，DF_LAB,XVCFnDF=F,，AB_L平而CDF,.AB±CD.又BE_LCD,且ABC1BE=B,直線CD_L平面ABE.ACD±AH.而AH_LBE,CDABE=E,，AH_L平面BCD.2證明因為SAJ_平面ABCD,所以SA_LBC.又BCJ_AB,SAAAB=A,所以BCL平面SAB,

10、又AE平面SAB,所以BCJ_AE.因為SCL平面AEFG,所以SC_LAE.又BCnSC=C,所以AE_L平面SBC,所以AE1SB.同理可證AG1SD.變式訓(xùn)練2證明在平面BICQ中，EF分別是BC、B一的中點,/.ABBiEACBF,JZB：BE=ZBCF.AZBCF+ZEBC=90°,，CF_LBE,又AB_L平面CF平而民BCC,AABXCF,ABCBE=B,，CF_L平面EAB.ACF±AE.3證明過點B引直線a'a,a'與b確定的平面設(shè)為Y，因為a'a,ABJ_a,所以ABJ_a',又AB_Lb,a'nb=B>所以

11、AB_Ly.因為bJ_B,cB,所以b_Lc.因為ca,所以a_Lc.又a'Ha、所以a'J_c.由可得c«Ly,又ABJ_y，所以ABc.變式訓(xùn)練3證明連接AB-BCBD,BD.出，平而ABCD,AC平面ABCD,AACXBtB.又AC_LBD,BDnBBi=B,AC_L平面BDDB.XVBDx平面BDDBACJ_BD,，同理可證及C_LBD：.VB1COAC=C,，BD,_L平而ABCVEFXAiD,AJ)BCAEFXBtC.又EFJ_AC且ACnB£=C,，EF_L平而ABC又BD平面ABCAEF/7BD：.課時作業(yè)1.B2.C3. C正方體的一條棱長

12、對應(yīng)著2個“正交線面對”，12條棱長共對應(yīng)著24個“正交線面對”：正方體的一條而對角線對應(yīng)著1個“正交線面對”，12條而對角線對應(yīng)著12個“正交線面對”，共有36個.4. C5.C6. 夕卜7. 內(nèi)解析如圖所示，過點P作PD_LAB,PE±AC,PF_LBC,分別交AB、AC、BC于點D、E、F.0是點P在平面ABC內(nèi)的射影，連接OD、OE、OF.因為點P到AB、AC.BC的距離相等，且PO_L平面ABC,所以PD=PE=PF,PO=PO=PO,ZP0D=ZP0E=ZP0F=90°,所以O(shè)D=OE=OF.因為PO1AB,PD_LAB且PDnPO=P.所以AB_L平而POD,

13、所以AB_LOD.同理可以證得OF_LBC,OE±AC.又因為OD=OE=OF,所以點0到三角形三邊的距離相等，故0為三角形ABC的內(nèi)心.8. ZA1C：B1=90°解析如圖所示，連接氏C,由BC=CG,可得BCBC因此，要證則只要證明BC,_L平而ABC即只要證AC_LBG即可，由直三棱柱可知，只要證AC_LBC即可.因為ACAC,BC,BC,故只要證AC_LBC即可.（或者能推出AC_LBC的條件，如NA£B=90°等）9,證明（1）：PA_L底而ABCD,ACD1PA.又矩形ABCD中，CD1AD,且ADCIPA=A,，CD_L平面PAD,ACD±PD.(2)取PD的中點G連接AG,FG.又TG、F分別是PD,PC的中點,AGF又AE，GFAE,/.四邊形AEFG是平行四邊形,AGEF.VPA=A