材料力學(xué)-四章

1、第四章第四章 4.1 4.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 4.2 4.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖4.3 4.3 純剪切純剪切4.4 4.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形4.5 4.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算4.6 4.6 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概述非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概述4.1 4.1 扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例扭轉(zhuǎn)的概念和實(shí)例 一、扭轉(zhuǎn)的實(shí)例一、扭轉(zhuǎn)的實(shí)例對(duì)稱(chēng)扳手?jǐn)Q緊鏍帽對(duì)稱(chēng)扳手?jǐn)Q緊鏍帽承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件承受扭轉(zhuǎn)變形的構(gòu)件汽車(chē)方向盤(pán)轉(zhuǎn)軸發(fā)動(dòng)機(jī)的渦輪軸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn) 在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一些在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用一些力偶力偶，

2、致使桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞桿軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。致使桿件的任意兩個(gè)橫截面發(fā)生繞桿軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。受力特征：受力特征：橫截面上作用的外力的合力為一力偶橫截面上作用的外力的合力為一力偶變形特征：變形特征：橫截面發(fā)生繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)橫截面發(fā)生繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)ABOMM OBA二、扭轉(zhuǎn)的外力特征和變形特征二、扭轉(zhuǎn)的外力特征和變形特征軸軸 工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。其橫截工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。其橫截面大都是圓形的。面大都是圓形的。（如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中（如：機(jī)器中的傳動(dòng)軸、石油鉆機(jī)中的鉆桿、汽車(chē)方向盤(pán)下的轉(zhuǎn)向軸等。）的鉆桿、汽車(chē)方向盤(pán)下的轉(zhuǎn)向軸等。）ABOMM OBA扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角( )：任意兩橫截

3、面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。任意兩橫截面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。切應(yīng)變切應(yīng)變( )：縱向線的傾角?？v向線的傾角。本章主要介紹本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)。4.2 4.2 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖 一、外力偶矩的計(jì)算一、外力偶矩的計(jì)算直接計(jì)算直接計(jì)算eMFd按傳遞功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按傳遞功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算軸所傳遞的功率軸所傳遞的功率P、軸的轉(zhuǎn)速、軸的轉(zhuǎn)速n 外力偶矩外力偶矩Me 9549ePMnkWr/minN m二、扭矩和扭矩圖二、扭矩和扭矩圖1.1.扭矩扭矩 構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作構(gòu)件受扭時(shí)，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。2.2.扭矩的符號(hào)規(guī)定扭矩的符號(hào)規(guī)定 “ “T”的

4、轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則右手螺旋規(guī)則為正，反之為負(fù)。為正，反之為負(fù)。MMMTx0:0 xMTMTM3.3.截面法求扭矩截面法求扭矩xTM4.4.扭矩扭矩圖圖 表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。扭矩變化規(guī)律扭矩變化規(guī)律確定確定|T|max值及其截面位置值及其截面位置 強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）強(qiáng)度計(jì)算（危險(xiǎn)截面）nA B C DM2 M3 M1 M4解：解： 計(jì)算外力偶矩計(jì)算外力偶矩1150095499549300 15.9(kN m)PMn223150954995494.78 (kN m)300PMMn442

5、00954995496.37 (kN m)300PMn例例4-14-1 已知一傳動(dòng)軸已知一傳動(dòng)軸, 軸的轉(zhuǎn)速軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動(dòng)輪輸入主動(dòng)輪輸入 P1=500kW,從動(dòng)輪輸出從動(dòng)輪輸出P2=150kW,P3=150kW,P4=200kW,試?yán)L制扭矩圖。試?yán)L制扭矩圖。nA B C DM2 M3 M1 M4112233求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）120:0 xMTM2230: 0 xMTMM340:0 xM-TM1 4.78kN mT 36.37kN mT 2 9.56kN mT 繪制扭矩圖繪制扭矩圖mkN 569max .TBCBC段為危險(xiǎn)截面段為危險(xiǎn)截面6.3

6、7xTm)(kNnA B C DM2 M3 M1 M4突變值突變值 = = 集中載荷集中載荷特點(diǎn)：特點(diǎn)：自左向右，自左向右， 遇到向上的外力偶矩，扭矩遇到向上的外力偶矩，扭矩T 增量為正；增量為正；遇到向下的外力偶矩，扭矩遇到向下的外力偶矩，扭矩T增量為負(fù)。增量為負(fù)。4.789.56討論：討論：nA B C DM2 M3 M4 M11 4.78kN mT 315.9kN mT 2 9.56kN mT xTm)(kN4.789.5615.9 傳動(dòng)軸上主、傳動(dòng)軸上主、從動(dòng)輪安裝的位置從動(dòng)輪安裝的位置不同，軸所承受的不同，軸所承受的最大扭矩也不同。最大扭矩也不同。思考題：思考題：4.3 4.3 純剪

7、切純剪切 一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力一、薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒：薄壁圓筒：壁厚壁厚0tr（r0：為平均半徑）為平均半徑）L扭轉(zhuǎn)后扭轉(zhuǎn)后結(jié)論結(jié)論：橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力；橫截面上沒(méi)有正應(yīng)力；與軸線平行的縱向截面上也與軸線平行的縱向截面上也沒(méi)有正應(yīng)力。沒(méi)有正應(yīng)力。橫截面上只有切應(yīng)力。橫截面上只有切應(yīng)力。MML扭轉(zhuǎn)前扭轉(zhuǎn)前變形規(guī)律試驗(yàn)：變形規(guī)律試驗(yàn)：L 繪縱向平行線，圓周線；繪縱向平行線，圓周線； 桿件兩端施加一對(duì)大小相桿件兩端施加一對(duì)大小相 等、方向相反的外力偶。等、方向相反的外力偶。各圓周線的形狀、大小和各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；作了

8、相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向平行線仍為直線且相互縱向平行線仍為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)角度。平行，只是傾斜了一個(gè)角度。MMLTd得得薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上的切應(yīng)力 20 02 2eeMMr tA t22000000022eAMr dArtr drr trt由由A0：平均半徑所作圓的面積 橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)橫截面上各點(diǎn)處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力力 ，方向與該截面的扭矩方向一致；沿周向大小不變。，方向與該截面的扭矩方向一致；沿周向大小不變。 與與 的關(guān)系：的關(guān)系：RLLRL 為桿件的長(zhǎng)度，R 為桿件橫截面半徑MML切應(yīng)變切應(yīng)變( ( ) )：縱向

9、線的傾角。縱向線的傾角。（即原矩形（即原矩形abcd的的直角改變量。）直角改變量。）微單元體微單元體(直角六面體直角六面體)acdb 左右兩截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。左右兩截面上無(wú)正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。前后兩個(gè)面上沒(méi)有任何應(yīng)力。前后兩個(gè)面上沒(méi)有任何應(yīng)力。 MML20 02 2eeMMr tA t 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體單元體只有只有四個(gè)側(cè)面上作用著四個(gè)側(cè)面上作用著切應(yīng)力切應(yīng)力 二、切應(yīng)力互等定理二、切應(yīng)力互等定理 通過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)處兩個(gè)互相垂直的截面上，切應(yīng)通過(guò)物體內(nèi)一點(diǎn)處兩個(gè)互相垂直的截面上，切應(yīng)力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直兩截面的力必然成對(duì)存在，且數(shù)值相等；兩者都垂直兩

10、截面的交線，方向則共同指向或背離此交線。交線，方向則共同指向或背離此交線。dxdz dydydz dx 切應(yīng)力互等定理不僅對(duì)純剪切應(yīng)力狀態(tài)適用，對(duì)切應(yīng)力互等定理不僅對(duì)純剪切應(yīng)力狀態(tài)適用，對(duì)一般的情形也適用。一般的情形也適用。acdb dxdydz左、右兩側(cè)面上切力各為左、右兩側(cè)面上切力各為dydz構(gòu)成一力偶，力偶矩為構(gòu)成一力偶，力偶矩為()dydz dx 單元體平衡，則其上、下兩面必有單元體平衡，則其上、下兩面必有切應(yīng)力切應(yīng)力 ，且，且 三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限當(dāng)切應(yīng)力不超過(guò)材料的剪切比例極限(p)時(shí)，時(shí)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比關(guān)系，即切應(yīng)力與切應(yīng)變成正

11、比關(guān)系，即G OpG: :切變模量切變模量p: :剪切比例極限剪切比例極限 彈性模量、切變模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常彈性模量、切變模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個(gè)常數(shù)。數(shù)。對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間有如下關(guān)系：對(duì)各向同性材料，這三個(gè)彈性常數(shù)之間有如下關(guān)系：)1 ( 2EG4.4 4.4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、一、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系、靜力學(xué)條件變形幾何關(guān)系、物理關(guān)系、靜力學(xué)條件等徑圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)：等徑圓軸扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)：扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的表面變形與薄壁圓筒表面變形相似。扭轉(zhuǎn)時(shí)圓軸的表面變形與薄壁圓筒表面變形相

12、似。 原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，其形狀和大小均原為平面的橫截面變形后仍保持為平面，其形狀和大小均不改變，半徑仍為直線不改變，半徑仍為直線；且相鄰兩橫截面間的距離保持不變。；且相鄰兩橫截面間的距離保持不變。圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：圓軸扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)：1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系各圓周線的形狀、大小和各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線間距均未改變，只是繞軸線作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；作了相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)；縱向平行線仍為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)角度?？v向平行線仍為直線且相互平行，只是傾斜了一個(gè)角度。d xO2O1dab bCCdd xO2O1daCbCbEHFGFGrdddFFx ddx d d

13、x微段兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角微段兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角距軸線為距軸線為 的的任一點(diǎn)處的切應(yīng)變?nèi)我稽c(diǎn)處的切應(yīng)變ddx 扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率扭轉(zhuǎn)角沿軸線的變化率 橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變與該點(diǎn)到軸線的距離成正比。橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)變與該點(diǎn)到軸線的距離成正比。2. 物理關(guān)系物理關(guān)系 GxGxGGddddddGxdd xTmaxmaxmaxmax橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力與該點(diǎn)到軸線的距離成正比與該點(diǎn)到軸線的距離成正比3.靜力學(xué)條件靜力學(xué)條件TddPTxGIdATAdA2dPAIAddPTGIx極慣性矩極慣性矩 IP圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上任一點(diǎn)處的切應(yīng)力計(jì)算公

14、式切應(yīng)力計(jì)算公式PTIdddAGAx 2dddAGAx單位單位 mm4 m4公式討論：公式討論：僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等徑圓截面僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時(shí)的等徑圓截面直軸。直軸。PTIT橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。橫截面上的扭矩，由截面法通過(guò)外力偶矩求得。 該點(diǎn)到圓心的距離。該點(diǎn)到圓心的距離。 Ip截面極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。截面極慣性矩，純幾何量，無(wú)物理意義。盡管由實(shí)心圓截面軸推出，但盡管由實(shí)心圓截面軸推出，但同樣適用于空心圓截面軸同樣適用于空心圓截面軸，只，只是是IP值不同。值不同。24P220d232dDAADI a. 實(shí)心圓截面軸

15、實(shí)心圓截面軸DdOd DOdb. 空心圓截面軸空心圓截面軸2P222d2dDdAAI )(Dd4444()=(1)3232DDd應(yīng)力分布應(yīng)力分布TmaxmaxmaxmaxTmaxmaxmaxmax（實(shí)心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：工程上采用空心截面構(gòu)件： 提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。提高強(qiáng)度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。PTI確定最大切應(yīng)力確定最大切應(yīng)力max2/()2PPPTT DTDIII抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)WP()2PPDWImaxPTWWP為幾何量，單位為幾何量，單位mm3 m3實(shí)心圓截面軸：實(shí)心圓截面軸：3Pp()162DWID空心圓截

16、面軸：空心圓截面軸：34PP()(1) 162DWIDPTI,ddx ,dGdx,PdTdxGI,PTImaxPTW綜上綜上實(shí)心軸與空心軸實(shí)心軸與空心軸 與與 對(duì)比對(duì)比pIpW4P32DI4444P()=(1)3232DIDd)(Dd3Pp1()216DWID34PP1()(1)216DWID實(shí)心軸實(shí)心軸空心軸空心軸二、二、圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形計(jì)算變形計(jì)算ddPTxGIddPTxGI0ddllPTxGIPTlGI( (弧度弧度) )當(dāng)當(dāng)T為常量時(shí)為常量時(shí),距離距離l 的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為GIp 稱(chēng)為圓軸的稱(chēng)為圓軸的抗扭剛度抗扭剛度。1ni iiPiTlGI當(dāng)各段

17、內(nèi)扭矩不同，或各段截面極慣性矩不同，則兩當(dāng)各段內(nèi)扭矩不同，或各段截面極慣性矩不同，則兩端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為端截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為4.5 4.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算一、強(qiáng)度計(jì)算一、強(qiáng)度計(jì)算強(qiáng)度條件：強(qiáng)度條件：對(duì)于等截面圓軸：對(duì)于等截面圓軸：maxmaxmaxPTW強(qiáng)度計(jì)算三方面：強(qiáng)度計(jì)算三方面： 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度 設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸 計(jì)算許可載荷計(jì)算許可載荷maxPTW PmaxWT）（空：實(shí)：433P116 16 DDWPmaxWT對(duì)于變截面軸（如階梯圓軸）：對(duì)于變截面軸（如階梯圓軸）：maxmaxmax()pTW9549150954915.4 60155

18、0(N m)1.55(kN m)BCNTMn解：解：求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算并校核切應(yīng)力強(qiáng)度此軸滿足強(qiáng)度要求。此軸滿足強(qiáng)度要求。D3 D2D1ABCMMT1.55（kNm）x3max31.55 1023MPa 0.07 16PTW例例4-24-2 功率為功率為150kW，轉(zhuǎn)速為，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸秒的電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子軸如圖，如圖，D3 =135mm，D2=75mm，D1=70mm，許用切應(yīng)力許用切應(yīng)力 =30M Pa, 試校核其強(qiáng)度。試校核其強(qiáng)度。二、剛度計(jì)算二、剛度計(jì)算1. 單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角d (ra d/m d)pT xGI d180 d

19、 ( /m)pT xGI 或2. 剛度條件剛度條件或?yàn)樵S用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角maxmax () (rad/m )pT GI maxmax( /180 () mpT GI 剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度校核剛度 設(shè)計(jì)截面尺寸設(shè)計(jì)截面尺寸 計(jì)算許可載荷計(jì)算許可載荷 max max pT IG max p TGI有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。例例4-34-3 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用的作用如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用剪，許用剪應(yīng)力應(yīng)力 =30MPa，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若，試設(shè)計(jì)桿的外徑；若 =2/m ，試校，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。 13max4160.0226m1 TD（）40NmxT2. 設(shè)計(jì)桿的外徑設(shè)計(jì)桿的外徑max PTW34D 1 16PW（）解：解：1.1.求扭矩及扭矩圖求扭矩及扭矩圖0:(2)0 xxMmxT4020 xTx4.4.右端面轉(zhuǎn)角右端面轉(zhuǎn)角弧度）( 0330 4102040202200.)xx(GIdxGIxdxGITPPLP3.