考研數(shù)學(xué)第一講

1、考試時(shí)間考試時(shí)間180分鐘分鐘試卷滿分試卷滿分150分分題型：選擇題（每題題型：選擇題（每題4分）分） 填空題（每題填空題（每題4分）分） 解答題（每題解答題（每題10分左右）分左右）考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)一（工學(xué)大部分）考研數(shù)學(xué)一（工學(xué)大部分） 數(shù)學(xué)三（經(jīng)濟(jì)管理大部分）數(shù)學(xué)三（經(jīng)濟(jì)管理大部分）高等數(shù)學(xué)：高等數(shù)學(xué)：82分分 8小小5大大線性代數(shù)：線性代數(shù)：34分分 3小小2大大概率統(tǒng)計(jì)：概率統(tǒng)計(jì)：34分分 3小小2大大大學(xué)數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)內(nèi)容考試性質(zhì)考試難度重過程、輕結(jié)果重過程、輕結(jié)果 重結(jié)果、輕過程重結(jié)果、輕過程以教學(xué)大綱為中心以教學(xué)大綱為中心 以考試大綱為中心以考試大綱為中心各自

2、為政各自為政 全國統(tǒng)一全國統(tǒng)一水平性測(cè)試水平性測(cè)試 選拔性測(cè)試選拔性測(cè)試劃重點(diǎn)、難度低劃重點(diǎn)、難度低 綜合性強(qiáng)、難度高綜合性強(qiáng)、難度高1.大學(xué)數(shù)學(xué)與考研數(shù)學(xué)的區(qū)別大學(xué)數(shù)學(xué)與考研數(shù)學(xué)的區(qū)別重基礎(chǔ)重基礎(chǔ)重計(jì)算重計(jì)算 重復(fù)率高重復(fù)率高綜合性強(qiáng)綜合性強(qiáng) 2 2、命題規(guī)律、命題規(guī)律STATISTICSPROBABILITYPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITYSTATISTICS STATISTICS PROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTI

3、CSPROBABILITYPROBABILITY & STATISTICS-4-2024PROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITYSTATISTICS 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第一章第一章 事件與概率事件與概率 第二章第二章 一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布 第三章第三章 二維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量及其分布 第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 第五章第五章 大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理 第六章第六章

4、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念 第七章第七章 參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)一、主要考點(diǎn)一、主要考點(diǎn)二、內(nèi)容與例題二、內(nèi)容與例題1、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算、隨機(jī)事件的關(guān)系與運(yùn)算 2、古典概型的概率計(jì)算方法、古典概型的概率計(jì)算方法 3、條件概率和乘法公式的應(yīng)用、條件概率和乘法公式的應(yīng)用 4、全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用、全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用 5、事件的獨(dú)立性、事件的獨(dú)立性隨機(jī)隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象隨機(jī)隨機(jī)試驗(yàn)試驗(yàn)事件的事件的獨(dú)立性獨(dú)立性隨隨 機(jī)機(jī) 事事 件件基本事件基本事件必然事件必然事件對(duì)立事件對(duì)立事件概概 率率古典古典概型概型幾何幾何概型概型乘法乘法定理定理事件的關(guān)系和運(yùn)算事件的關(guān)系

5、和運(yùn)算全概率公式與貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式性質(zhì)性質(zhì)定義定義條件條件概率概率不可能事件不可能事件復(fù)合事件復(fù)合事件 在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性，在大量在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)不確定性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象稱為重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行; 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),并且能事并且能事 先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果; 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果 會(huì)出現(xiàn)會(huì)出現(xiàn). 在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試

6、驗(yàn)稱在概率論中，把具有以下三個(gè)特征的試驗(yàn)稱為為隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn). o1o2o3 樣本空間的元素樣本空間的元素 ,即試驗(yàn)即試驗(yàn)E 的每一個(gè)結(jié)果的每一個(gè)結(jié)果, 稱為稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn). 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱的所有可能結(jié)果組成的集合稱為為樣本空間樣本空間,記為記為 S. o1o2不可能事件不可能事件 每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事情，即不每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事情，即不 包含任何樣本點(diǎn)的事件，記為包含任何樣本點(diǎn)的事件，記為 ?；臼录臼录?由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集. 必然事件必然事件 全體樣本點(diǎn)組成的事件全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為記為S ,每次每次 試驗(yàn)必定發(fā)

7、生的事件。試驗(yàn)必定發(fā)生的事件。 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn) E 的樣本空間的樣本空間 S 的子集稱為的子集稱為 E 的的隨機(jī)事件隨機(jī)事件, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱事件事件. 組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生點(diǎn)發(fā)生, 則稱這個(gè)事件發(fā)生。則稱這個(gè)事件發(fā)生。.), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的樣本空間為的樣本空間為設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)SkABASEk (1) 包含關(guān)系包含關(guān)系若事件若事件 A 出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件出現(xiàn)，必然導(dǎo)致事件 B 出現(xiàn)，則稱出現(xiàn)，則稱事件事件 B 包含事件包含事件 A，記作，記作.BAAB 或或圖示圖示 B 包含包含 A . SBA(2) A等于等于B (3) 事件事件A與與B的并的并

8、(和事件和事件) .和和事事件件的的事事件件與與稱稱為為事事件件或或事事件件BABxAxxBA 圖示事件圖示事件A與與B的并的并. SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A, 則稱事件則稱事件 A 與事件與事件 B 相等相等,記作記作 A=B. (4) 事件事件A與與B的積事件的積事件 圖示事件圖示事件A與與B的積事件的積事件. .積事件的的事事件件與與稱稱為為事事件件且且事事件件BABxAxxBA SBA圖中圖中A和和B重疊部分重疊部分.(5) 事件事件A與與B互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出現(xiàn)必然導(dǎo)致事件的出現(xiàn)必然

9、導(dǎo)致事件 B 不出現(xiàn)不出現(xiàn) , B 出現(xiàn)也必然導(dǎo)致出現(xiàn)也必然導(dǎo)致 A 不出現(xiàn)不出現(xiàn),則稱事件則稱事件 A 與與 B互不相互不相容容,即即 . ABBA圖示圖示 A 與與 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） . SAB (6) 事件事件A與與B的差的差 由事件由事件A出現(xiàn)而事件出現(xiàn)而事件B不出現(xiàn)所組成的事件稱不出現(xiàn)所組成的事件稱為事件為事件A與與B的差的差.記作記作 A- B. 圖示圖示 A 與與 B 的差的差. SABSABAB AB BA BA 設(shè)設(shè) A 表示表示 “事件事件A出現(xiàn)出現(xiàn)” , 則則 “事件事件A不出不出現(xiàn)現(xiàn)” 稱為事件稱為事件 A 的對(duì)立事件或逆事件的對(duì)立事件或逆事件. 記

10、作記作 .A圖示圖示 A 與與 B 的對(duì)立的對(duì)立 . SBA 若若 A 與與 B 互逆互逆, 則有則有 . ABSBA且且A (7) 事件事件A的對(duì)立事件的對(duì)立事件 說明說明對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別對(duì)立事件與互斥事件的區(qū)別 SSABABA A，B 對(duì)立對(duì)立 A，B 互斥互斥 . ABSBA且且 AB互斥互斥 對(duì)立對(duì)立 事件運(yùn)算的性質(zhì)事件運(yùn)算的性質(zhì) .,1oBAABABBA 交換律交換律. )()(, )()(2oBCACABCBACBA 結(jié)結(jié)合合律律. )()()()(,)()()(3oCBCACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:4oBABABABA 摩摩根根律律德德則有

11、則有為事件為事件設(shè)設(shè),CBA;)()1(1B品品只只有有第第一一個(gè)個(gè)零零件件是是合合格格;)()2(2B件件是是合合格格品品三三個(gè)個(gè)零零件件中中只只有有一一個(gè)個(gè)零零;)(,)3(3B個(gè)次品個(gè)次品一一但后兩個(gè)零件中至少有但后兩個(gè)零件中至少有第一個(gè)是合格品第一個(gè)是合格品:)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1(,3表表示示下下列列事事件件試試用用個(gè)個(gè)零零件件是是合合格格品品生生產(chǎn)產(chǎn)的的第第表表示示他他以以事事件件個(gè)個(gè)零零件件一一個(gè)個(gè)工工人人生生產(chǎn)產(chǎn)了了 iAiiAii例例0 0.)()5(5B三三個(gè)個(gè)零零件件都都是是次次品品;)()4(4B個(gè)個(gè)合合格格品品三三個(gè)個(gè)零零件件中中最最多多只只有有

12、兩兩:)(, )(,.,滿足下列條件滿足下列條件如果集合函數(shù)如果集合函數(shù)的概率的概率稱為事件稱為事件記為記為賦予一個(gè)實(shí)數(shù)賦予一個(gè)實(shí)數(shù)每一事件每一事件的的對(duì)于對(duì)于是它的樣本空間是它的樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè) PAAPAESE;0)(,:10 APA 有有對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)事事件件非非負(fù)負(fù)性性;1)(,:20 SPS 有有對(duì)于必然事件對(duì)于必然事件規(guī)范性規(guī)范性則則有有即即對(duì)對(duì)于于件件是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事設(shè)設(shè)可可列列可可加加性性, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性 .0)(10 P概率的有限可加性

13、概率的有限可加性則則有有是是兩兩兩兩互互不不相相容容的的事事件件若若,2210nAAA. )()()()(2121nnAPAPAPAAAP . )()()(, )()(,30APBPABPBPAPBABA 則則且且為兩個(gè)事件為兩個(gè)事件設(shè)設(shè).)(0,140 APA對(duì)對(duì)于于任任一一事事件件. )(1)(,50APA PAA 則則的的對(duì)對(duì)立立事事件件是是設(shè)設(shè). )()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有對(duì)于任意兩事件對(duì)于任意兩事件加法公式加法公式n 個(gè)事件和的情況個(gè)事件和的情況 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAP

14、AAAP o7()( )()()P ABP AP ABP AB（減法公式）對(duì)任意的事件（減法公式）對(duì)任意的事件A，B 有有,BA若若()( )( )P ABP AP B 例例1 1 （0909三）三） ,( )0( ) ()( ) ( )( ) ( )1( )() ()1A BAP ABB P ABP A P BC P AP BD P AB 事件互不相容 則( ). (.)2(;)1(概概型型典典驗(yàn)驗(yàn)稱稱為為等等可可能能概概型型或或古古具具有有以以上上兩兩個(gè)個(gè)特特點(diǎn)點(diǎn)的的試試生生的的可可能能性性相相同同試試驗(yàn)驗(yàn)中中每每個(gè)個(gè)基基本本事事件件發(fā)發(fā)有有限限個(gè)個(gè)元元素素試試驗(yàn)驗(yàn)的的樣樣本本空空間間只只

15、包包含含定義定義 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間由的樣本空間由n 個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成, A為為E 的任意一個(gè)事件的任意一個(gè)事件,且包含且包含 m 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn), 則事件則事件 A 出現(xiàn)出現(xiàn)的概率記為的概率記為: 古典概型中事件概率的計(jì)算公式古典概型中事件概率的計(jì)算公式 ,)(樣本點(diǎn)總數(shù)樣本點(diǎn)總數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)所包含樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)AnmAP .)(SSAPA .,幾幾何何概概型型定定的的概概率率稱稱為為量量來來合合理理規(guī)規(guī)這這樣樣借借助助于于幾幾何何上上的的度度區(qū)區(qū)域域的的度度量量的的子子是是構(gòu)構(gòu)成成事事件件是是樣樣本本空空間間的的度度量量其其中中ASSA當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域

16、當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個(gè)區(qū)域,并且任意并且任意一點(diǎn)落在度量一點(diǎn)落在度量 (長度長度, 面積面積, 體積體積) 相同的子區(qū)域是相同的子區(qū)域是等可能的等可能的,則事件則事件A的概率可定義為的概率可定義為 ,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得為在事件為在事件 B 發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件 A 發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率. .)()()(,0)(,條件概率條件概率發(fā)生的發(fā)生的發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件為在事件為在事件稱稱且且是兩個(gè)事件是兩個(gè)事件設(shè)設(shè)BAAPABPABPAPBA (1) 條件概率的定義條件概率的定義 ; )()()()(32121210BAAPBAPBAPB

17、AAP ;)(1)(40BAPBAP ;0)(,1)(:20 BPBSP規(guī)規(guī)范范性性則則有有是是兩兩兩兩不不相相容容的的事事件件設(shè)設(shè)可可加加可可列列性性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP;0)(:10 ABP非負(fù)性非負(fù)性(2) 條件概率的性質(zhì)條件概率的性質(zhì) ,0)(121 nAAAP且且個(gè)個(gè)事事件件為為設(shè)設(shè)推推廣廣,2,21 nnAAAn則則有有且且為為事事件件設(shè)設(shè),0)(, ABPCBA. )()()()(APABPABCPABCP . )()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn . )()()(,0)(APABPABPAP

18、則則有有設(shè)設(shè)則則有有 例例2 1,( )( )()1,2( )( )( )()1() ()0A BP AP BP ABAABSB ABCP ABD P AB 事件滿足和則( ). 例例3 ( )0.4()0.5,()_P BP ABP A B已知，則. 例例4 4 甲、乙兩同學(xué)約定星期天上午甲、乙兩同學(xué)約定星期天上午9點(diǎn)到點(diǎn)到10點(diǎn)在圖書館點(diǎn)在圖書館門口見面，先到者等門口見面，先到者等15分鐘便離開，求兩人能會(huì)面的分鐘便離開，求兩人能會(huì)面的概率。概率。22215(, ) 060,060 ,60457=6016XYAXY XYDX YXYAP AD、 分別表示兩人到達(dá)的時(shí)刻，事件 ：“甲乙兩人見

19、面”等價(jià)于“”、 所有可能的取值范圍的面積則 ( )的面積., )()()(,獨(dú)立獨(dú)立簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是兩事件是兩事件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 說明說明 事件事件 A 與與 B 相互獨(dú)立是指事件相互獨(dú)立是指事件 A 發(fā)生的概率發(fā)生的概率與事件與事件 B 是否出現(xiàn)無關(guān)是否出現(xiàn)無關(guān). (1)兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立 AB( )()( )()()()P BP B AP BP B AP B AP B A等價(jià)說法：若0P(A)1,則事件 ， 獨(dú)立(2)三事件兩兩相互獨(dú)立三事件兩兩相互獨(dú)立 ., )()()(, )()()(, )()()(,兩兩相

20、互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個(gè)事件是三個(gè)事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三個(gè)事件相互獨(dú)立三個(gè)事件相互獨(dú)立 三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立三個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 (3)三事件相互獨(dú)立三事件相互獨(dú)立 .,),()()()(, )()()(, )()()(, )()()(,相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是三三個(gè)個(gè)事事件件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA , )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21為為相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的事事件件則則稱稱

21、nAAAn 個(gè)事件相互獨(dú)立個(gè)事件相互獨(dú)立 n個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立個(gè)事件兩兩相互獨(dú)立 有有等等式式具具任任意意意意如如果果對(duì)對(duì)于于任任個(gè)個(gè)事事件件是是設(shè)設(shè)推推廣廣,1,)1(,2121niiinkknAAAkn . )()(,. 0)(,反反之之亦亦然然則則立立相相互互獨(dú)獨(dú)若若且且是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BPABPBAAPBA 定理一定理一.,也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立與與與與與與事件事件則下列各對(duì)則下列各對(duì)是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件是相互獨(dú)立的兩個(gè)事件若若BABABABA定理二定理二兩個(gè)結(jié)論兩個(gè)結(jié)論 .1 12 2n n1 12 2n n( (2 2) )若若 n n 個(gè)個(gè)事事件件 A A , ,A A , ,

22、 , ,A A ( (n n2 2) )相相互互獨(dú)獨(dú)立立, ,則則將將A A , ,A A , ,. . . ., ,A A 中中任任意意一一部部分分事事件件，包包括括它它們們的的和和、差差、積積、逆逆等等運(yùn)運(yùn)算算的的結(jié)結(jié)果果必必與與其其他他一一部部分分事事件件或或它它們們的的運(yùn)運(yùn)算算結(jié)結(jié)果果都都相相互互獨(dú)獨(dú)立立. .)2(,)2(,)1(21個(gè)個(gè)事事件件也也是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立其其中中任任意意則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立若若事事件件nkknAAAn 例例5 5 0 ( )1,0 ( )1()+ ()1,)( )( )( )P AP BP A BP A BAABBABCABDAB設(shè)且則( ).（ 與

23、互不相容 與 互逆 與 相互獨(dú)立 與 不獨(dú)立 例例6 6 , ,0 ( )1,)C( )( )()A B CP CAABBACCCABCDABC設(shè)是三個(gè)相互獨(dú)立的事件則下列給定的四對(duì)事件中不一定獨(dú)立的是( ).（ 與 與 與 與.,.2;, 2 , 1,1,21210021的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分為樣本空間為樣本空間則稱則稱若若的一組事件的一組事件為為的樣本空間的樣本空間為試驗(yàn)為試驗(yàn)設(shè)設(shè)定義定義SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 樣本空間的劃分樣本空間的劃分 1B2B3B1 nBnB.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121稱稱為為全全概概率率公公式式則則且且的的一一個(gè)個(gè)劃劃分分為為的的事事件件為為的的樣樣本本空空間間為為設(shè)設(shè)試試驗(yàn)驗(yàn)定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE A1B2B3B1 nBnB說明說明 全概率公式的主要用處在于它可以將全概率公式的主要用處在于它可以將一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單事件的概率計(jì)算問題事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果最終結(jié)果. A1B2B3BnB1