新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式

1、新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式二次函數(shù)與一元二次方程、不等式最新課程標(biāo)準(zhǔn)：(1)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程會(huì)結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實(shí)根的存在性及實(shí)根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系(2)從函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次不等式經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式的過(guò)程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實(shí)意義能借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系.知識(shí)點(diǎn)二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系000)的圖象ax2bxc0(a0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x10(a0)的解集x

2、|xx2x|xRax2bxc0)的解集x|x1x0時(shí)，解形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)的一元二次不等式，一般可分為三步：確定對(duì)應(yīng)方程ax2bxc0的解；畫(huà)出對(duì)應(yīng)函數(shù)yax2bxc的圖象簡(jiǎn)圖；由圖象得出不等式的解集對(duì)于a0時(shí)的解題步驟求解；也可以先把它化成二次項(xiàng)系數(shù)為正的一元二次不等式，再求解(2)代數(shù)法：將所給不等式化為一般式后借助分解因式或配方求解，當(dāng)p0，則xq或xp；若(xp)(xq)0，則px0表示二次函數(shù)yax2bxc的函數(shù)值大于0，圖象在x軸的上方；一元二次不等式ax2bxc0的解集即二次函數(shù)圖象在x軸上方部分的自變量的取值范圍方程的角度：一元二次不等式ax2bxc

3、0的解集的端點(diǎn)值是一元二次方程ax2bxc0的根基礎(chǔ)自測(cè)1下列不等式中是一元二次不等式的是()Aa2x220 0解析：選項(xiàng)A中，a20時(shí)不符合；選項(xiàng)B是分式不等式；選項(xiàng)D中，最高次數(shù)為三次；只有選項(xiàng)C符合答案：C2不等式x(x1)0的解集為()A1，) B1,0)C(，1 D1,0解析：解不等式得1x0，故選D.答案：D3函數(shù)y的定義域?yàn)?)A7,1 B(7,1)C(，71，) D(，7)(1，)解析：由76xx20，得x26x70，即(x7)(x1)0，所以7x0的解集(2)求不等式9x26x10的解集(3)求不等式x22x30的解集【解析】(1)對(duì)于方程x25x60，因?yàn)?，所以它有兩個(gè)實(shí)

4、數(shù)根解得x12，x23.畫(huà)出二次函數(shù)yx25x6的圖象(圖1)，結(jié)合圖象得不等式x25x60的解集為x|x3(2)對(duì)于方程9x26x10，因?yàn)?，所以它有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解得x1x2.畫(huà)出二次函數(shù)y9x26x1的圖象(圖2)，結(jié)合圖象得不等式9x26x10的解集為(3)不等式可化為x22x30.因?yàn)?0，所以方程x22x30無(wú)實(shí)數(shù)根畫(huà)出二次函數(shù)yx22x3的圖象(圖3)結(jié)合圖象得不等式x22x30的解集教材反思我們以求解可化成ax2bxc0(a0)形式的不等式為例，用框圖表示其求解過(guò)程跟蹤訓(xùn)練1解下列不等式：(1)x27x120；(2)x22x30；(3)x22x10；(4)2x23x20的

5、解集為x|2x3，求關(guān)于x的不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知5，6.由a0知c0，故不等式cx2bxa0，即x2x0，解得x，所以不等式cx2bxa0的解集為x|2x3可知，a0，且2和3是方程ax2bxc0的兩根，所以ax2bxca(x2)(x3)ax25ax6ab5a，c6a，故不等式cx2bxa0，即6ax25axa06a0，故原不等式的解集為.方法歸納一元二次不等式與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)與方程之間存在著密切的聯(lián)系，在解決具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意三者之間的相互聯(lián)系，并在一定條件下相互轉(zhuǎn)換(1)若一元二次不等式的解集為區(qū)間的

6、形式，則區(qū)間的端點(diǎn)值恰是對(duì)應(yīng)一元二次方程的根，要注意解集的形式與二次項(xiàng)系數(shù)的聯(lián)系(2)若一元二次不等式的解集為R或，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，此時(shí)可以根據(jù)二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況確定判別式的符號(hào)，進(jìn)而求出參數(shù)的范圍跟蹤訓(xùn)練2已知一元二次不等式x2pxq0的解集解析：因?yàn)閤2pxq0即為x2x10，整理得x2x60，解得2x0的解集為x|2x0.【解析】對(duì)于方程2x2ax20，其判別式a216(a4)(a4)當(dāng)a4或a0，方程2x2ax20的兩根為x1(a)，x2(a)原不等式的解集為.當(dāng)a4時(shí)，0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x1x21，原不等式的解集為x|x1當(dāng)a4時(shí)，0，方程有兩個(gè)相等實(shí)根，x

7、1x21，原不等式的解集為x|x1當(dāng)4a4時(shí)，0時(shí)，討論相應(yīng)一元二次方程兩根的大?。?4)最后按照系數(shù)中的參數(shù)取值范圍，寫(xiě)出一元二次不等式的解集跟蹤訓(xùn)練3解關(guān)于x的不等式x2(aa2)xa30.解析：原不等式可變形為(xa)(xa2)0，則方程(xa)(xa2)0的兩個(gè)根為x1a，x2a2，(1)當(dāng)a0時(shí)，有aa2，xa2，此時(shí)原不等式的解集為x|xa2；(2)當(dāng)0aa2，即xa，此時(shí)原不等式的解集為x|xa；(3)當(dāng)a1時(shí)，有a2a，即xa2，此時(shí)原不等式的解集為x|xa2；(4)當(dāng)a0時(shí)，有x0；原不等式的解集為x|xR且x0；(5)當(dāng)a1時(shí)，有x1，此時(shí)原不等式的解集為x|xR且x1；綜

8、上可知：當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|xa2；當(dāng)0a1時(shí)，原不等式的解集為x|xa；當(dāng)a0時(shí)，原不等式的解集為x|xR且x0；當(dāng)a1時(shí)，原不等式的解集為x|xR且x1題型四一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用經(jīng)典例題例4某工廠的固定成本為3萬(wàn)元，該工廠每生產(chǎn)100臺(tái)某產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元，設(shè)生產(chǎn)該產(chǎn)品x(百臺(tái))，其總成本為g(x)萬(wàn)元(總成本固定成本生產(chǎn)成本)，并且銷(xiāo)售收入r(x)滿足r(x)假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷(xiāo)平衡，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律求：(1)要使工廠有盈利，產(chǎn)品數(shù)量x應(yīng)控制在什么范圍？(2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大？【解析】(1)依題意得g(x)x3，設(shè)利潤(rùn)函數(shù)為f(x)，則f(x)r(x)g(x)，所

9、以f(x)要使工廠有盈利，則有f(x)0，因?yàn)閒(x)0或或或則3x7或7x，即3x，所以要使工廠盈利，產(chǎn)品數(shù)量應(yīng)控制在大于300臺(tái)小于1 050臺(tái)的范圍內(nèi)(2)當(dāng)3x7時(shí)，f(x)(x6)2，故當(dāng)x6時(shí)，f(x)有最大值，而當(dāng)x7時(shí)，f(x)7，所以當(dāng)工廠生產(chǎn)600臺(tái)產(chǎn)品時(shí)盈利最大.(1)求利潤(rùn)函數(shù)f(x)解不等式f(x)0回答實(shí)際問(wèn)題(2)根據(jù)第(1)題所求范圍，分類(lèi)討論求函數(shù)最值回答實(shí)際問(wèn)題方法歸納解不等式應(yīng)用題的四步驟(1)審：認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系(2)設(shè)：引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系(3)求：解不等式(4)答：回答實(shí)際問(wèn)題特別提醒：確定答案時(shí)應(yīng)注意變量具有

10、的“實(shí)際含義”跟蹤訓(xùn)練4某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)(1)寫(xiě)出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的%，試確定x的取值范圍解析：(1)降低稅率后的稅率為(10x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(12x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為200a(12x%)依題意得，y200a(12x%)(10x)%a(1002x)(10x)(0x10)(2)原計(jì)劃稅收為200a10%20a(萬(wàn)元)依題意得，

11、a(1002x)(10x)20a%，化簡(jiǎn)得x240x840，42x2.又0x10，0x2.x的取值范圍是x|0x2根據(jù)題意，列出各數(shù)量之間的關(guān)系表，如下：原計(jì)劃降稅后價(jià)格(元/擔(dān))200200稅率10%(10x)%(0x0的解集為() C DR解析：因?yàn)?2)243180恒成立，即不等式3x22x10的解集為R.答案：D2設(shè)mn0，則關(guān)于x的不等式(mx)(nx)0的解集是()Ax|xm Bx|nxmCx|xn Dx|mx0可化為(xm)(xn)0，得mn，則不等式(xm)(xn)0的解集是x|nx0的解集為，則a，c的值分別為()Aa6，c1 Ba6，c1Ca1，c1 Da1，c6解析：由題

12、意知，方程ax25xc0的兩根為x1，x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2，x1x2.解得a6，c1.答案：B4若不等式x2mx0的解集為R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A(2，) B(，2)C(，0)(2，) D(0,2)解析：由題意知原不等式對(duì)應(yīng)方程的0，即m2410，即m22m0，解得0m2，故答案為D.答案：D二、填空題5不等式(2x5)(x3)0的解集為_(kāi)解析：方程(2x5)(x3)0的兩根為x1，x23，函數(shù)y(2x5)(x3)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)和，所以不等式(2x5)(x3)0的解集為.答案：6不等式0的解集為_(kāi)解析：原不等式可以化為(2x1)(2x1)0，即0，故原不等

13、式的解集為.答案：7用一根長(zhǎng)為100 m的繩子能?chē)梢粋€(gè)面積大于600 m2的矩形嗎？若“能”，當(dāng)長(zhǎng)_ m，寬_ m時(shí)，所圍成的矩形的面積最大解析：設(shè)矩形一邊的長(zhǎng)為x m，則另一邊的長(zhǎng)為(50x)m,0x600，即x250x6000，解得20x30.所以，當(dāng)矩形一邊的長(zhǎng)在(20,30)的范圍內(nèi)取值時(shí)，能?chē)梢粋€(gè)面積大于600 m2的矩形用S表示矩形的面積，則Sx(50x)(x25)2625(0x0；(2)x23x50；(3)4(2x22x1)x(4x)解析：(1)x22x150(x5)(x3)0x3，所以不等式的解集是x|x3(2)因?yàn)?3)2415114xx2.原不等式等價(jià)于9x212x40.解方程9x212x40，得x1x2.結(jié)合二次函數(shù)y9x212x4的圖象知，原不等式的解集為.9若關(guān)于x