數(shù)列放縮技巧

1、精品文檔數(shù)列放縮技巧證明數(shù)列型不等式，因其思維跨度大、構(gòu)造性強，需要有較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰(zhàn)性，能全面而綜合地考查學生的潛能與后繼學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命題的極好素材。這類問題的求解策略往往是：通過多角度觀察所給數(shù)列通項的結(jié)構(gòu)，深入剖析其特征，抓住其規(guī)律進行恰當?shù)胤趴s；其放縮技巧主要有以下幾種：一、裂項放縮例 1.(1)求n2的值 ;(2)求證n15 .:k14k 21k1 k 23解析 :(1) 因為2211,所以n2112n4n 21(2n1)( 2n1)2n12n11 4k 212n12n1k(2)因為 11411, 所以1121111152n2212k

2、 1 k23 52n 1 2n13 3nn24n12n12n14奇巧積累 :(1)144211(2)1211n24n24n2112n112( n1)n( n1)n( n1)n( n1)2nCn 1Cn(3)r1n!11111Tr 1Cnn rr!( nr )!nrr!r ( r1)r 1r (r2)(4)(11 ) n1113115n212n(n1)2(5)111(6)1n2n2 n (2 n1) 2n1 2 nn 2(7)2(n1n )12(nn1)(8)21131(2n12 n 1(2n12nn2 n2n2n1)3)(9)1111,1111k (n1k)n1kknk1nn1k1 n(n 1

3、 k )(10)n11(11)1222(n 1) !n ! (n 1) !2( 2n 12n 1)n2n12n111nn22(11)2 n2n2 n2n111(n2 )(2n1)2(2n1)( 2n1)(2 n1)( 2 n2)(2 n1)(2n 11)2n 11 2 n1(12)111111n3nn2n (n1)(n1)n(n1)n(n1)n1n111n1n111n1n12 nn1n1(13)(14)2 n 12 2n(3 1) 2n3 3(2 n1) 2n2n 12n12 n32n1 3k211(15)1nn 1(n 2)k! ( k1)!(k 2)!(k 1) ! (k2 ) !n(n1

4、)(15)i21j 21i2j2ij1ij(ij)( i 21j 21)i 2 1j 2 1例 2.(1)求證: 111( 2n11) 271( n2)325262( 2n1)(2)求證 :111111416364n 224n。1歡迎下載精品文檔(3)求證 :1131 3 51 35( 2n 1)2n112242462462n(4)求證： 2(n1 1)11112 (2n11)23n解析 :(1)因為11111, 所以n11111111()1()1)2(2i1) 22n(2n(2n1)(2 n1)22n1 2n1i 1231232n 1(2)11111111(1 11416362(122)4n

5、42n4n(3)先運用分式放縮法證明出1 3 5(2n1)1, 再結(jié)合2 4 62 n2n11進行裂項 , 最后就可n2nn2以得到答案(4)首先 12, 所以容易經(jīng)過裂項得到2( n 1n)nnn 11112 ( n 1 1) 13n2再證1222而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以2 (2n12n1)n2n12n111nn2211112(2n11)23n例 3.求證 :6n11115(n1)( 2n1)49n23解析:一方面:因為 114211,所以n 214n212n 1 2n 12n4n1121111125k 1 k 23 52n 1 2n 13 3另一方面 :111111111n4

6、 9n22334n( n 1)1n 1 n 1當 n3 時 ,n1(n6n, 當 n1 時 ,(n6n11 11 ,n1)( 2n1)1)(2n1)4 9n2當 n2 時 ,6n1111 , 所以綜上有(n1)( 2n1)49n 26n11115(n 1)(2n1)49n 23例 4.(2008年全國一卷 )設函數(shù) f ( x)xx ln x . 數(shù)列滿足0 a 1. a n 1 f (an ) . 設 b(a ，1) ，整數(shù)an11k a1b . 證明 : ak 1b .a1 ln b解析 : 由數(shù)學歸納法可以證明a是遞增數(shù)列 , 故存在正整數(shù) m k , 使 amb , 則na k 1ak

7、b,否則若 amb(mk) ,則由 0aamb1知1a m ln ama1 ln ama1 ln b0 , ak 1a ka k ln aka1kam ln am , 因為 kam ln amk( a1 ln b ) ,m 1m 1于是 ak 1a1k | a1 ln b | a1(b a1 ) b。2歡迎下載精品文檔例 5. 已知 n, m N , x1, S1m2m3 mn m , 求證 : n m 1(m 1)S(n 1)m 1 1 .mn解析 : 首先可以證明 : (1x)n1nxn1)m 1 所以要證nm 1n m 1(n1)m1(n1) m 1( n2)m11m10 k m 1(k

8、k1nm 1(m1)Sn( n1) m 11只要證 :nnn k m 1(k 1)m 1(m 1)km(n 1)m 11 (n 1) m 1nm 1n m 1(n 1)m 12m 1 1 m 1( k 1)m 1 km 1 k 1k1k 1故只要證nnnkm 1 , 即等價于 km1 (k1) m 1 ( m1)km( k1) m 1k1k1k1k m 1( k1) m 1(m1) km(k1)m 1k m , 即等價于 1m1(11 )m1 ,1mk1(11) m 1kkk而正是成立的 , 所以原命題成立 .例 6. 已知 an4n2n ,2n,求證:T1T2T3Tn3 .Tna1a2an2

9、解析: T414 24 34n( 21222 n )4 (14 n )2(12n )4 (4 n1)2(12n )n14123所以2n2n2n3 2 n32nTn4 ( 4n1)2(12n )4 n 1422n14n122n 14 n 132 n 1222 ( 2n ) 232n13333332n3112 (2 2 n1)( 2n1)2 2n1 2n 11從而T T2TT3 11 1 111313n23 3 72n12 n 112例 7.已知 x1,xnn(n 2k1,kZ),求證:1112 ( n 1 1)(n N*)1n1(n2k ,kZ )4x2x34 x4x54 x2 n x2 n1證

10、明 :111112 ,因為4 x2 n x2n 14 ( 2n 1)(2n 1)4 4 n214 4n 22 n 2 n2 nnn1 ,所以1222 (n1n )4 x2n x2n 12 nnn 1所以1112(n11)(nN*)4 x2 x34 x4 x54 x2nx2n 1二、函數(shù)放縮例 8.求證： ln 2ln 3ln 4ln 3nn5n6*).234n36( nN3解析 : 先構(gòu)造函數(shù)有 ln xx 1ln x11, 從而 ln 2ln 3ln 4ln 3n3n1( 111 )xx2343n2 33n因為 111111111111112 33n2 34567892 n2 n13n53

11、3993n 13n 15n66 918 272 3n 13n6所以 ln 2ln 3ln 4ln 3n3n15n3n5n62343n66例 9.求證 :(1)2, ln 2ln 3ln n2n 2n1(n2)23n2(n1)。3歡迎下載精品文檔解析 : 構(gòu)造函數(shù) f ( x )ln x , 得到 ln nln n,再進行裂項ln n211, 求和后可以得到答案211xnn2n 2n2n(n1)函數(shù)構(gòu)造形式 :ln xx 1, ln nn1(2)例 10.求證: 111ln( n1) 11123n12n解析 : 提示 : ln( n1)ln n1 n12ln n1lnn1ln 2nn1nn函數(shù)構(gòu)

12、造形式 :ln xx, ln x11xy當然本題的證明還可以運用積分放縮如圖 , 取函數(shù) f (x)1 ,x首先 :SABCFn 1 , 從而 ,1in 1nln n ln(n i )Dn i xnn i xln x |n iEC1有 ,F取 i11)ABln n ln( nOnn-inx所 以 有1ln 2,1ln 3 ln 2, ,23111ln( n1)23n1另一方面SABDEn1, 從而有1ixnn ii1,1,相加后可以得到:ln n ln( n 1)ln( n 1) ln nnn 1n1ln n ln(n i ) 取 i1有 ,1,ln x |nniln n ln( n 1)ni

13、 xn 1所以有1)111 ,所以綜上有111ln(n1)111ln(n2n23n12n例11.求證:(1)(11)(11)e 和 (11)(11 )(11)e .12!3!n!98132n解析 : 構(gòu)造函數(shù)后即可證明例 12.求證 : (112)(123)1n(n 1)e 2n3解析 :1)123, 疊加之后就可以得到答案ln n(nn (n1)1函數(shù)構(gòu)造形式 :1)23( x 0 )1ln( 1 x )3( x( 加強命題 )ln( xx0)1xx1例 13. 證明 : ln 2ln 3ln 4ln nn(n1) (nN*, n1)345n14解析 : 構(gòu)造函數(shù) f (x )ln( x 1

14、)( x1)1( x 1) , 求導 , 可以得到 :'112x ,令 f '( x)0 有 1x2 , 令 f '(x)0 有 x2,f (x)xx11所以 f ( x)f (2)0 , 所以 ln( x1)x2 , 令 xn21 有 ,ln n2n21所以 ln nn1,所以 ln 2ln 3ln 4ln nn(n1)(nN*, n1)n 12345n 14例 14.已知a11,an1(11) an1證明 ane2 .22n .nn解 析 :1111,然后兩邊取自然對數(shù),可以得到an 1(1)an(11)ann(n1)2 nn (n2 n。4歡迎下載精品文檔11ln

15、 an 1 ln(1n( n 1)2 n )ln an然后運用 ln( 1x)x 和裂項可以得到答案) 放縮思路：a n 1(111 ) a nln an 1ln(111)ln a nn 2n2nn2n2nln an11 。于是11 ，1( 1) n 1n2 n2 nln an 1 ln a nn 2n 2 nn 1(ln ai 1 ln ai )n 1(11 )ln a nln a11 122112.i 1i 1i 2i2 in1n 2 n12即 ln a nln a12a ne 2.注：題目所給條件當然，本題還可用結(jié)論ln(1x)x（ x0）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作

16、用；2nn(n1)( n2) 來放縮：111an 1(1)ana n 1 1 (1n( n 1)( an 1)n(n1)n( n 1)11n1n1ln( an 11) ln( an1) ln(1). ln( ai 1 1) ln( ai 1)n( nn(n 1)1)i2i2121)11，ln( a n 1) ln( an1i (i 1)即 ln( an 1)1 ln 3an3e1e2 .例 15.(2008年廈門市質(zhì)檢 )已知函數(shù) f ( x) 是在 (0,) 上處處可導的函數(shù), 若 x f '(x)f ( x) 在 x 0上恒成立 . (I)求證：函數(shù)f ( x) 在 (0,上是增函

17、數(shù)；g (x)x(II)當 x10, x20時, 證明 : f ( x1 )f ( x2 )f (x1x2 ) ；(III)已知不等式 ln(1x)x在x1且x0 時恒成立，求證： 12121212n*22 ln 23 2 ln 34 2 ln 4(n1)2ln( n 1)2(n 1)( n2)(n N).解析 :(I)g' ( x)f ' (x) xf (x)0, 所以函數(shù) g (x ) f ( x)在(0,) 上是增函數(shù)x2x(II)因為f ( x)上是增函數(shù) , 所以g( x)在(0,)xf ( x1 )f ( x1x2 )f (x1 )x1f (x1x2 )x1x1x2

18、x1x2f (x 2 )f (x1x2 )f ( x 2 )x 2f ( x1x 2 )x2x1x2x1x 2兩式相加后可以得到f ( x1 )f (x2)f ( x1x2 )(3)f ( x1 )f (x1x2xn )f ( x1 )x1f ( x1 x2xn )x1x1x2xnx1x2xnf ( x2 )f (x1x2xn )f ( x2 )x2f ( x1x2x2x1x 2x nx1x2xnf ( xn )f ( x1x2xn )f ( x n)xnf ( x1x 2xnx1x 2xnxnx1 x 2相加后可以得到 :f (x1 )f ( x 2 )f ( xn )f (x1x2xn )所 以x1 ln x1x2 ln x