高中數(shù)學(xué)面面垂直的判定與性質(zhì)面面垂直的判定與性質(zhì)新人教A版必修

1、平面與平面垂直的判定平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理定理和性質(zhì)定理 二二 面面 角角1問(wèn)問(wèn) 題題1、在平面幾何中、在平面幾何中“角角”是怎樣定義的？是怎樣定義的？答：從平面內(nèi)答：從平面內(nèi)一點(diǎn)一點(diǎn)出發(fā)的兩條出發(fā)的兩條射射線線所組成的圖形叫做角。所組成的圖形叫做角。2、等角定理？、等角定理？o答：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)答：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊角的兩邊分別平行分別平行，并且，并且方向相方向相同同，那么這兩個(gè)角相等。，那么這兩個(gè)角相等。AB 一個(gè)一個(gè)平面平面內(nèi)的一條內(nèi)的一條直線直線把這個(gè)把這個(gè)平面平面分成分成兩個(gè)部分兩個(gè)部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做半平面半平面。 一條

2、一條直線直線上的一個(gè)上的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)把這條把這條直線直線分成兩分成兩個(gè)部分個(gè)部分，其中的每一部分都叫做其中的每一部分都叫做射線射線。2AB 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做圖形叫做二面角二面角。 這條直線叫做這條直線叫做二面角的棱二面角的棱。這兩個(gè)半平面叫做這兩個(gè)半平面叫做二面角的面二面角的面。3二面角二面角: : 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做所組成的圖形叫做二面角二面角。l面面這條直線叫做這條直線叫做二面角的二面角的棱棱。這兩個(gè)半平這兩個(gè)半平面叫做二面面叫做二面角的角的面面。l AB 二面角二面角 AB l二面角

3、二面角 l 二面角二面角CAB DABCD5二面角的記法二面角的記法: :如何度量二面角的大?。咳绾味攘慷娼堑拇笮?？能否轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理？能否轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)處理？你能在教室內(nèi)找到二面角的例子嗎？你能在教室內(nèi)找到二面角的例子嗎？緩慢打開(kāi)教室的門(mén)，門(mén)打開(kāi)的角度可以用哪個(gè)角來(lái)表示？緩慢打開(kāi)教室的門(mén)，門(mén)打開(kāi)的角度可以用哪個(gè)角來(lái)表示？二面角的平面角二面角的平面角 過(guò)二面角過(guò)二面角棱上任一點(diǎn)棱上任一點(diǎn)在兩個(gè)在兩個(gè)半平面內(nèi)半平面內(nèi)分別作分別作垂直于棱垂直于棱的射線，的射線，則這兩條射線所成的角叫做則這兩條射線所成的角叫做二面角二面角的平面角的平面角。 lOAB二面角的平面角二面角的平面角二面角的平面角應(yīng)

4、注意什么？ 注意：二面角的平面角必須滿足：注意：二面角的平面角必須滿足： （1）、角的頂點(diǎn)在棱上。）、角的頂點(diǎn)在棱上。 （2）、角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)。）、角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)。 （3）、角的兩邊都要垂直于二面角的棱。）、角的兩邊都要垂直于二面角的棱。 lOAB答：二面角的平面角與其頂答：二面角的平面角與其頂點(diǎn)點(diǎn)的位置無(wú)的位置無(wú)任何關(guān)系任何關(guān)系, ,只與二面角的張角大小有關(guān)。只與二面角的張角大小有關(guān)。問(wèn)問(wèn): :二面角平面角的大二面角平面角的大小與平面角的頂點(diǎn)的位小與平面角的頂點(diǎn)的位置是否有關(guān)系？置是否有關(guān)系？等角定理等角定理 若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角若一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行且方

5、向相同，則這兩個(gè)的兩邊分別平行且方向相同，則這兩個(gè)角相等。角相等。B。OAB1。O1A1平面角是平面角是直角直角的二的二面角叫做面角叫做直二面角直二面角平面角的范圍是平面角的范圍是0 , 180 當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí),平面角為平面角為0 , 當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí),平面角為平面角為180 二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：1、定義法：、定義法：根據(jù)定義作出來(lái)。根據(jù)定義作出來(lái)。2、作垂面：、作垂面：作與棱垂直的平面與兩半平面作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到。的交線得到。3、應(yīng)用三垂線：、應(yīng)用三垂線：應(yīng)用三垂線定理或其逆定理作應(yīng)用三垂線定

6、理或其逆定理作出來(lái)。出來(lái)。oABoAoABBllll創(chuàng)新37頁(yè) 一般地，兩個(gè)平面相交，一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互兩個(gè)平面互相垂直相垂直. .面面垂直的定義：面面垂直的定義：除了定義之外除了定義之外, ,如何判定兩個(gè)平面互相垂直呢如何判定兩個(gè)平面互相垂直呢? ?aAb圖形表示圖形表示記作記作垂直的畫(huà)法：垂直的畫(huà)法：與平面與平面平面平面 .互互相相垂垂直直的的橫橫邊邊畫(huà)畫(huà)成成與與水水平平平平面面的的豎豎邊邊注注意意把把直直立立平平面面 建筑工人砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線來(lái)檢查所砌建筑工人砌墻時(shí)，常用一端系有鉛錘的線

7、來(lái)檢查所砌的墻面是否和地面垂直，如果系有鉛錘的線和墻面緊貼，的墻面是否和地面垂直，如果系有鉛錘的線和墻面緊貼，那么所砌的墻面與地面垂直。那么所砌的墻面與地面垂直。 大家知道其中的理論根據(jù)嗎？大家知道其中的理論根據(jù)嗎？ 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)了另一如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)了另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直個(gè)平面互相垂直. 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。則這兩個(gè)平面垂直。l ll l面面垂直的判定定理面面垂直的判定定理符號(hào)表示：符號(hào)表示： lAB線面線面垂直垂直面面面面垂直垂直線線線線垂直垂直簡(jiǎn)記：線面垂直，簡(jiǎn)記：線面垂直，則面面

8、垂直則面面垂直判斷是非3.若平面 內(nèi)有一條直線垂直于平面 內(nèi)的兩條相交直線，則一定有 . ( ) 2.若平面 內(nèi)有一條直線垂直于平面 內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，則一定有 . ( ) 4.若平面 與 不垂直,則平面 內(nèi)所有直線與 都不垂直. ( )1.二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系. ( )探究一探究一：如圖，一本書(shū)垂直放在桌面上，書(shū)如圖，一本書(shū)垂直放在桌面上，書(shū)的頁(yè)面所在平面的頁(yè)面所在平面 與桌面垂與桌面垂直嗎？試說(shuō)明理由直嗎？試說(shuō)明理由.,例例3、如圖，、如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，PA垂直于垂直于 O所所在的平面，在的平面，C是是 圓周上不同于圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，的任

9、意一點(diǎn)，求證：平面求證：平面PAC平面平面PBC. 證明證明: :設(shè)已知O平面為,PABC面面BCPA為圓的直徑又ABBCAC PAACAPACBC面PACPBC面面BCPBC面,PAPAC ACPAC面面例例1 1：如圖，：如圖，AB是是 O的直徑，的直徑，PA垂直于垂直于 O所在的平所在的平面，面，C是圓周上不同于是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC平面平面PBCABOCP1.你還能發(fā)現(xiàn)哪些面互相垂直？你還能發(fā)現(xiàn)哪些面互相垂直？2.三棱錐三棱錐P-ABC的四個(gè)面的四個(gè)面的形狀是怎樣的？的形狀是怎樣的？3.你能找到二面角你能找到二面角P-BC-A的一個(gè)平面角

10、嗎？的一個(gè)平面角嗎？探究二探究二：面面PAC 面面ABC; 面面PAB 面面ABC都是直角三角形都是直角三角形PCA如圖，正方形如圖，正方形SG1G2G3中，中，E，F(xiàn)分別是分別是G1G2，G2G3的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，D是是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF及及EF把這個(gè)正方形把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使折成一個(gè)四面體，使G1，G2，G3三點(diǎn)重合，重合后記三點(diǎn)重合，重合后記為為G- SEF，則四面體，則四面體SEFG中必有中必有( )(A)SGEFG所在平面所在平面 (B) SDEFG所在平面所在平面(C) GFSEF所在平面所在平面 (D)GDSEF所在平面所在平面SG1G2G3EFD

11、SEFGDA課本課本P69 創(chuàng)新36頁(yè)活頁(yè)規(guī)范訓(xùn)練5如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，截面C1D1AB與底面ABCD所成二面角C1-AB-C的大小為_(kāi)解析ABBC，ABBC1，C1BC為二面角C1ABC的平面角，大小為45.答案457若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，那么這兩個(gè)二面角()A相等 B互補(bǔ)C相等或互補(bǔ) D關(guān)系無(wú)法確定解析如圖所示，平面EFDG平面ABC，當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，平面HDG始終與平面BCD垂直，所以?xún)蓚€(gè)二面角的大小關(guān)系不確定，因?yàn)槎娼荋DGF的大小不確定答案D8如圖，設(shè)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA平面ABCD，則平面PAB與

12、平面PBC、平面PAD的位置關(guān)系是()A平面PAB與平面PBC、平面PAD都垂直B它們兩兩垂直C平面PAB與平面PBC垂直，與平面PAD不垂直D平面PAB與平面PBC、平面PAD都不垂直A求證：平面COD平面AOB.證明由題意：COAO，BOAO，BOC是二面角B-AO-C的平面角，又二面角B-AO-C是直二面角，COBO，又AOBOO，CO平面AOB，CO平面COD，平面COD平面AOB.11如圖所示，在RtAOB中，ABO ，斜邊AB4，RtAOC可以通過(guò)RtAOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B-AO-C是直二面角，D是AB的中點(diǎn)6b. 觀察實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察兩垂直平面中,一個(gè)平面內(nèi)的直

13、線與另一個(gè)平面的有哪些位置關(guān)系?.概括結(jié)論概括結(jié)論lllb 平面與平面垂直的性質(zhì)定理平面與平面垂直的性質(zhì)定理bb兩個(gè)平面垂直兩個(gè)平面垂直, ,則一個(gè)平面則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直個(gè)平面垂直. .簡(jiǎn)述為：簡(jiǎn)述為：面面垂直面面垂直線面垂直線面垂直bb該命題正確嗎？該命題正確嗎？符號(hào)表示：符號(hào)表示：例例4,aaa判斷 與 位置關(guān)系解：解：設(shè)設(shè)ball在在內(nèi)作直線內(nèi)作直線bllbblba又/abba/a練習(xí)：課本73頁(yè)1,2練習(xí)：課本73頁(yè)A 1,2創(chuàng)新39頁(yè)活頁(yè)規(guī)范訓(xùn)練1若平面平面，平面平面，則()A BC與相交但不垂直 D以上都有可能答案D2已知l，m，n

14、為兩兩垂直的三條異面直線，過(guò)l作平面與直線m垂直，則直線n與平面的關(guān)系是()An Bn或nCn或n與不平行 Dn答案A3已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1，在平面AB1上任取一點(diǎn)M，作MEAB于E，則()AME平面AC BME 平面ACCME平面AC D以上都有可能答案A4若a，b表示直線，表示平面，下列命題中正確的有_個(gè)a，bab; a，abb；a，abb； a，bab.答案26如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA垂直于四邊形ABCD所在的平面，過(guò)點(diǎn)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AESB，AGSD.證明因?yàn)镾A平面ABCD，所以SABC.又BCAB，SA

15、ABA，所以BC平面SAB，又AE平面SAB，所以BCAE.因?yàn)镾C平面AEFG，所以SCAE.又BCSCC，所以AE平面SBC，所以AESB.同理可證AGSD.8(2012鎮(zhèn)海高一檢測(cè))如圖，在正方形SG1G2G3中 ，E，F(xiàn)分別是G1G2，G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE，SF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給出下列關(guān)系：SG平面EFG；SE平面EFG；GFSE；EF平面SEG.其中成立的有()A B C D答案B9將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角ABDC，有如下四個(gè)結(jié)論：ACBD；ACD是等邊三角形；AB與平面BCD成60的角；AB與CD所成的角為60.其中真命題的編號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的編號(hào))答案解析取AB的中點(diǎn)E，連接DE，CE，因?yàn)锳DB是等邊三角形，所以DEAB.當(dāng)平面ADB平面ABC時(shí)，因?yàn)槠矫鍭DB 平面ABCAB，所以DE平面ABC. 可知DECE.由已知可得DE ，EC1，在RtDEC中，CD 2.答案210如圖，A、B、C、D為空間四點(diǎn)，在ABC中，