現(xiàn)代控制理論-第6章-多變量輸出反饋控制和解耦控制

1、第六章 多變量輸出反饋控制和解耦控制 狀態(tài)反饋控制的確是線性系統(tǒng)綜合的有力工具，但通常需用狀態(tài)觀測(cè)器解決狀態(tài)變量測(cè)量問(wèn)題，這并非是簡(jiǎn)單的事，而輸出變量一般是可測(cè)量的，設(shè)計(jì)人員遇到的大多數(shù)系統(tǒng)可用輸出量至輸入的反饋信息來(lái)改善系統(tǒng)性能。倒立擺控制點(diǎn)擊觀看 倒立擺穩(wěn)定控制就是通過(guò)測(cè)量倒立擺的擺桿的角度、角速度和其位移和速度來(lái)設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制系統(tǒng)的。 導(dǎo)彈的姿態(tài)控制是通過(guò)彈上的傳感器測(cè)得導(dǎo)彈的姿態(tài)角和角速度來(lái)設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制系統(tǒng)。 航天器控制 點(diǎn)擊觀看 導(dǎo)彈控制 點(diǎn)擊觀看 航天器的姿態(tài)控制是通過(guò)航天器上的敏感器測(cè)得航天器的姿態(tài)角和角速度來(lái)設(shè)計(jì)穩(wěn)定控制系統(tǒng)。 基本思想： 而對(duì)于一個(gè)多變量控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，無(wú)論采用狀

2、態(tài)反饋還是輸出反饋，其反饋矩陣諸元的選擇均包含了很大的自由度，為了簡(jiǎn)單有效地配置多變量系統(tǒng)的極點(diǎn)，可以人為地限制反饋矩陣的結(jié)構(gòu)形式。6.3 PID輸出反饋的設(shè)計(jì) 在經(jīng)典控制理論中，閉環(huán)反饋形式都是輸出反饋形式。水箱PID控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)PID控制系統(tǒng) 對(duì)于許多單輸入-單輸出系統(tǒng)，為滿足極點(diǎn)配置需求，基本上都可采用PID輸出反饋；而現(xiàn)在對(duì)于多輸入-多輸出系統(tǒng)，同樣為滿足極點(diǎn)配置需求，是否也可以采用PID輸出反饋來(lái)設(shè)計(jì)控制規(guī)律呢？設(shè)能控能觀測(cè)線性多變量受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為 xAxBuEdyCxFd，(6-65) 式中 為 維狀態(tài)向量， 為 維輸入控制向量， 為 維輸出向量， 為 維擾動(dòng)向量。采用下列PI

3、D輸出反饋控制規(guī)律：xnupyqd tee tuvPyQdtRyevy，(6-66) 式中 為 維指令向量， 分別為比例、誤差積分、微分輸出反饋矩陣，其中 位于反饋通路中， 位于前向通路中。 設(shè)計(jì)要求是：1.閉環(huán)極點(diǎn)處于復(fù)平面規(guī)定位置，以滿足瞬態(tài)響應(yīng)需求；2.穩(wěn)態(tài)時(shí)，輸出向量 準(zhǔn)確跟蹤指令向量 ；3.對(duì)于終值是常數(shù)的任意擾動(dòng) ，不影響穩(wěn)態(tài)輸出。PD輸出反饋可滿足第一項(xiàng)要求，而為滿足第二、三項(xiàng)要求，需引入積分項(xiàng)。但積分項(xiàng)的引入將增加系統(tǒng)階數(shù)，定義積分器輸出 為 vpPQR、 、PR、Qyv d tz00edtttdtzvy(6-67) 選擇 為附加的狀態(tài)向量 ，或(6-65)與式(6-67)聯(lián)立

4、構(gòu)成 階增廣受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為*0*xA xB uI vE dyC xFdq維znq(6-68) *0 xA0B0ExABIECC0zC00IF，式中 為了配置極點(diǎn)，增廣對(duì)象 應(yīng)具有能控能觀測(cè)性，這就要求原受控對(duì)象具有能控能觀測(cè)性，以及矩陣 具有滿秩 ，后一條件包含著 （即輸入向量維數(shù)至少與輸出向量維數(shù)相等）及 。 *0,ABCABC0nqpqqrankC為了工程設(shè)計(jì)的方便，PID控制器設(shè)計(jì)通常分三步進(jìn)行。 第一步：施加初始控制規(guī)律 cuQzu(6-69) 作用于增廣對(duì)象 ， 為任意的滿秩 矩陣，結(jié)果得到新的增廣系統(tǒng) *0,A B CQpq*1*cxA xB uI vE dyC xFd(6-7

5、0) 式中 應(yīng)具有相異特征值，于是保證了 是循環(huán)的。對(duì)于系統(tǒng) ， 至 的傳遞函數(shù)矩陣 為*1ABQAC0*1A*1,A B Ccuy 1sG *11*111*11adjadjssssssCIABWGCIABHIA (6-71) 式中 *11sdetHsIA *11sdetWCsIAB(6-73) (6-72) 若原受控對(duì)象 是循環(huán)的，則令 。QIA第二步：以單位秩反饋控制規(guī)律 cc uqkzu(6-74) 作用于系統(tǒng) ，將 個(gè)極點(diǎn)配置在希望的規(guī)定位置，式中 為 向量， 為 向量， 為 向量。所得閉環(huán)系統(tǒng) 為*1,A B C1qq1qk1qcu1p*2,A B C*2*cxA xB uI vE

6、dyC xFd(6-75) *2 AB Q qkAC0 或由式(6-67)及式(6-70)導(dǎo)出閉環(huán)系統(tǒng)為 *2*cxA xB uI vE dyC xFd(6-76) 式中*12* xBAB qkxABz0C0IECC0IEIF， 具有相同的特征值 。*12AA與11,q 至 的傳遞函數(shù)矩陣 為 2sGcuy 11*22222sssssWGCIABCIABH(6-77) 式中 *222detdetsssHIAIA *222adjadjsssWCIABCIAB(6-78) (6-79) 其閉環(huán)特征多項(xiàng)式 可由分塊矩陣的行列式恒等關(guān)系 2Hs1112111222111122122detdetdetA

7、AAAA A AAA(6-80) *12*1*111*111*1111sdetdetdet1detdet1det11sqqqqqqsssssss sIAB qkHCsIsIAsICsIAB qksIAICsIAB qksIAkCsIAB qHkWq展開為(6-81) 由于 是循環(huán)的，故可任取 使 能控，根據(jù) 個(gè)希望閉環(huán)極點(diǎn)位置應(yīng)滿足*1Aq*1qAB1q 1111,1iiiiqHkWq0(6-82) 來(lái)確定 。k第三步：以單位秩反饋控制規(guī)律 c upkyqkzrky(6-83) 作用于系統(tǒng) ，將其余 個(gè)極點(diǎn)配置在希望位置，并保持已配置的 個(gè)極點(diǎn)不可改變。式中 均為 向量， 為 向量。所得閉環(huán)系

8、統(tǒng)為 *2,ABC3p1qpqr、 、1pk1q*33*xA xI vE dF dyC xFd(6-84) 式中*3 R ABpkCRB Q qkqkAC0*3R EBpkFRBrkFEFF0，1RIBrkC閉環(huán)特征多項(xiàng)式為 *332222sdet11ss1ssrsHsIAHkWpkWqskWrkCB(6-85) 為保持個(gè)極點(diǎn)位置不變，需令 201,1iiqkW(6-86) 以便選擇 而與 無(wú)關(guān)。kpqr、 、驗(yàn)證可知 ，其秩為1，故 只含一個(gè)獨(dú)立的列向量，設(shè)以 表示，故式(6-86)又可表為 *2det1,1qiqIA， 2iWiw01,1iiqkw(6-87) 值得指出，這樣選擇 將使單輸

9、出系統(tǒng) 變成不能觀測(cè)的，這是由于在函數(shù)向量 中產(chǎn)生了零極點(diǎn)對(duì)消，對(duì)消的極點(diǎn)即 。 k*2,AB kC 22ssWkH11,q一個(gè)旦確定 以后，其余 希望極點(diǎn)可通過(guò)求解下列 個(gè)線性方程k3p3p22221,31jjjjjjjqpqHkWpkWqkWr0(6-88) 確定 來(lái)實(shí)現(xiàn)配置。pqr、 、原受控系統(tǒng) 所需的PID輸出反饋控制規(guī)律為 , ,A B C0edtt uPyQRy (6-89) 式中 分別為 單位秩比例輸出反饋矩陣與微分輸出反饋矩陣， 為 滿秩 的積分反饋矩陣，將 個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)配置在規(guī)定位置。對(duì)于 的多變量系統(tǒng)，利用上述方法所設(shè)計(jì)的PID控制器能任意配置全部 個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)；對(duì)于 的多變

10、量系統(tǒng)，則有 個(gè)極點(diǎn)位于未加規(guī)定的位置，與設(shè)計(jì)中所取的 有關(guān)。實(shí)際上通常是 個(gè)小的數(shù)目，通過(guò)重復(fù)設(shè)計(jì) 及 ，從而重新設(shè)計(jì)PID控制器，能夠得到滿意結(jié)果。某些 的系統(tǒng)，利用PID控制器可能得不到一個(gè)穩(wěn)定的閉環(huán)系統(tǒng)，這意味著將需要一個(gè)更加復(fù)雜的控制器。 PpkQQ qk qkRrkPR， 與pqQpqq31pq3npnq3np31npQq、31npQ3np為配置極點(diǎn)所需的PID控制器也可以完全位于前向通路中，即 0edtt uPeQRe (6-90) 現(xiàn)在來(lái)考慮式(6-84)所示閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性。只要閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，對(duì)于階躍指令向量 ，穩(wěn)態(tài)時(shí)有 ，即穩(wěn)態(tài)輸出向量 ，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。另外，對(duì)于終值為

11、常數(shù)的任意擾動(dòng)d，也有 ，即 ，故穩(wěn)態(tài)時(shí)輸出向量不受d的影響。值得指出，在系統(tǒng)參數(shù)有大的變化而閉環(huán)系統(tǒng)仍能穩(wěn)定，上述穩(wěn)態(tài)特性得以保持的意義上來(lái)說(shuō)，PID控制具有魯棒性。 1ttvv0z yv0z yv 為了改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，可將求得的PID控制器矩陣 修改為 ，這里 稱為調(diào)諧參數(shù)。獨(dú)立地改變 ，可分別研究比例項(xiàng)、積分項(xiàng)、微分項(xiàng)對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)的影響。一般情況下，通過(guò)合適地選擇極點(diǎn)位置及調(diào)諧參數(shù)，總能獲得滿意的瞬態(tài)響應(yīng)。 上述PID控制器的設(shè)計(jì)方法、能滿足許多實(shí)際多變量系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)特性需求。PQR、 、PQR、, , 01000010010000100000001002010000000

12、100124155311xxuyx試設(shè)計(jì)PID控制器，將閉環(huán)極點(diǎn)配置在 。1, 2, 3, 4, 5, 1j 例6-3 設(shè)能控能觀測(cè)、循環(huán)的多變量受控對(duì)象動(dòng)態(tài)方程為解 該受控對(duì)象為雙輸入-雙輸出系統(tǒng)， 2pq543242det3515412353433 (1)122ssssssssssssssssIA故不穩(wěn)定。 已知 能控能觀測(cè)，且引入積分器以后的增廣系統(tǒng)矩陣 , ,A B Crank7ABnqC0故可用 任意配置極點(diǎn)。由于 ，PID控制器可任意配置 個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，其設(shè)計(jì)步驟如下：第一步：令 ，已知 是循環(huán)的，取 。增廣受控對(duì)象傳遞函數(shù)矩陣 為PQR、 、356npnqcuQzuA1Q 1sG

13、*111*1126543225432765432adjdet3395269123513103111sssssssssssssssssssssssssCIABWGHIA式中*1 BABQABCC00C0， 第二步：令 ，將 個(gè)即1個(gè)極點(diǎn)配置在希望位 置 處，任意選擇 ，由式(6-82)有 ccqkuzu1q11 1rq1122111113301211121Hkkkk kWq任取 ，故 。所得系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣 為 1214kk ，則14k 2sG *222*2226543235432765432adjdet33395426912234181726332sssssssssssssssssssssss

14、ssssCIABWGHIA式中 ，它將一個(gè)極點(diǎn)配置在規(guī)定位置 。*2 AB Q qkAC01 第三步：令 ，使極點(diǎn) 得以保持且配置另外 個(gè)極位于 處。為保持極點(diǎn) ，需滿足式(6-87)，即 c upkyqkzrky 13p2, 3, 4, 5, 1j 11222202i12kkkk kW任取 ，故 。閉環(huán)特征多項(xiàng)式由式(6-85)給出為1211kk ，則11k 654322221232222122121212221222691299s11115992231229112221pqrprrsssssrrrppqrrppqqssrrqqr H該式表明有一閉環(huán)極點(diǎn)位于 而與 無(wú)關(guān)。為了適當(dāng)選擇 以配置其余六個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)，可令中括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式與六個(gè)希望極點(diǎn)的特征多項(xiàng)式pqr、 、1pqr、 、26542223452216101324570548240ssssssssssss相等，即求解下列線性方程組：12121201000161400010110107090013153361909257256522190