2018年全國統(tǒng)一高考數學試卷

1、2021 年全國統(tǒng)一高考數學試卷理科新課標 n、選擇題：此題共 12 小題,每題 5 分,共 60 分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.1+211-212.5 分集合 A=x,y|x2+y2W3,xCZ,yCZ,那么 A 中元素的個數為4.5 分向量 3,匕滿足|可=1,：3Fb=-1,貝 U3?23-b=A.4B.3C.2D.01.5 分A.9B.8C.5D.45.5 分 雙曲線A.y=二 xB,22為上工=1a0,b0的離心率為 V3,那么其漸近線方程為6.5 分在ABC 中,co 畸=,BC=1,AC=5,貝 UAB=12:|5A.4.：?B.IC.一 JD.2.

2、三8. 5 分我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是每個大于 2 的偶數可以表示為兩個素數的和,如 30=7+23.在不超過 30 的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于 30 的概率是9. 5 分在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AAI=/3,那么異面直線 ADI與 DBI所成角的余弦值為C.=cosx-sinx 在-a,a是減函數,那么 a 的最大值是11.5 分fx是定義域為-巴+oo的奇函數,滿足 f1-x=f1+x,假設 f(1)=2,貝 Uf(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=()A.-50B.0C.2D.50=1

3、ab0的左、右焦點,A 是 C 的左頂點,7.5 分為計算 S=199100,設計了如圖的程序框圖,那么在空白框中應AJ-12B.C.10.(5 分)假設 f(x)A.4B.C.D.兀12.5 分Fi,F2是橢圓C:A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4填入點 P 在過 A 且斜率為胃的直線上,PF1F2為等腰三角形,/FiF2P=120,那么 C 的離心率為A.B.工 C.D.上3234、填空題：此題共 4 小題,每題 5 分,共 20 分.曲線 y=2lnx+1在點0,0處的切線方程為“2 廠 5.假設 x,y 滿足約束條件,乳-2y+3,0,那么 z=x+y 的最大值為

4、*-5 式 0sin+cos3=lcos+sin3=0 貝 Usina+0=.為 45,假設SAB 的面積為寸氐那么該圓錐的側面積為三、解做題：共 70 分.解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題,考生根要求作答.一必考題：共 60分.17.12 分記 S 為等差數列an的前 n 項和,a1二-7,S3=-15.1求an的通項公式；2求 S,并求&的最小值.18.12 分如圖是某地區(qū) 2000 年至 2021 年環(huán)境根底設施投資額 y單位：億元的折線圖.13.5 分14.5 分15.5 分16.5 分 圓錐的

5、頂點為 S,母線 SA,SB 所成角的余弦值為,SA 與圓錐底面所成角籌資額*240200020012002200200420032006200720212021202120212Q12202120212Q15201年份為了預測該地區(qū) 2021 年的環(huán)境根底設施投資額,建立了 y 與時間變量 t 的兩個線性回歸模型.根據 2000 年至 2021年的數據(時間變量 t 的值依次為 1,2,117)建立模型：；=-30.4+13.5t;根據 2021 年至 2021 年的數據(時間變量 t 的值依次為 1,2,7)建立模型：y=99+17.5t.(1)分別利用這兩個模型,求該地區(qū) 2021 年的

6、環(huán)境根底設施投資額的預測值;(2)你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由.19.(12 分)設拋物線 C:y2=4x 的焦點為 F,過 F 且斜率為 k(k0)的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點,|AB|=8.(1)求 l 的方程;(2)求過點 A,B 且與 C 的準線相切的圓的方程.20.12 分如圖,在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2/2,PA=PB=PC=AC=,4O 為 AC 的中點.(1)證實：POL 平面 ABC;(2)假設點 M 在BC 上,且二面角 M-PA-C 為 30,求 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值.21.(12 分)函數 f(x)=ex-ax2

7、.(1)假設 a=1,證實：當 x0 時,f(x)1;(2)假設 f(x)在(0,+8)只有一個零點,求 a.(二)選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計分.選彳 4-4:坐標系與參數方程(直二2rtg022.(10 分)在直角坐標系 xOy 中,曲線 C 的參數方程為,(.為參數),直線 ly=4sin6的參數方程為產 n,(t 為參數).(1)求 C 和 l 的直角坐標方程；(2)假設曲線 C 截直線 l 所得線段的中點坐標為(1,2),求 l 的斜率.選彳 4-5:不等式選講23.設函數 f(x)=5-|x+a|-|x-2|.(1)

8、當 a=1 時,求不等式 f(x)0 的解集；(2)假設 f(x)w1,求 a 的取值范圍.2021 年全國統(tǒng)一高考數學試卷(理科)(新課標 n參考答案與試題解析一、選擇題：此題共 12 小題,每題 5 分,共 60 分.在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的.-iB【分析】利用復數的除法的運算法那么化簡求解即可.解答解：=Q+2i)(LMi)=一良.1-21(1-20(1421)551應選：D.【點評】此題考查復數的代數形式的乘除運算,是根本知識的考查.2.(5 分)集合 A=(x,y)|x2+y2W3,xCZ,yCZ),那么 A 中元素的個數為()A.9B.8C.5D.4【

9、分析】分別令 x=-1,0,1,進行求解即可.【解答】解：當 x=-1 時,y22,得 y=T,0,1,當 x=0 時,y23,得 y=-1,0,1,當 x=1 時,y20,排除 D.ef(x)一+8,排除C,【點評】此題主要考查函數的圖象的識別和判斷,利用函數圖象的特點分別進行排除是解決判斷函數的奇偶性,函數 f(-x)A,225.5 分雙曲線工二 1a0,b0的離心率為 V3,那么其漸近線方程為a2b2A.y=f2xB.y=/3xC.y=亞 xD.y=x122【分析】根據雙曲線離心率的定義求出 a,c 的關系,結合雙曲線 a,b,c 的關系進行求解即可.【解答】解：二雙曲線的離心率為e=j

10、3,a【點評】此題主要考查雙曲線漸近線的求解,結合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決此題的關鍵.A.4V2B.k/30C.D.2Vl【分析】利用二倍角公式求出 C 的余弦函數值,利用余弦定理轉化求解即可.【解答】解：在ABC 中,co3 二；,cosC=2X假設2.1二一卷,BC=1,AC=5,貝 UAB=7Bc2+AC2-2BC-ACcosC=jl+25+2x1x5X-1=2=4.應選：A.【點評】此題考查余弦定理的應用,考查三角形的解法以及計算水平.75 分為計算 S,3+宗%.得盍,設計了如圖的程序框缸那么在空白框中應填入6.5 分在ABC 中,cosBC=1,AC=5,貝 UAB

11、=應選：A.累加步長是 2,那么在空白處應填入 i=i+2.應選：B.【點評】此題考查了循環(huán)程序的應用問題,是根底題.8. 5 分我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜測的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是每個大于 2 的偶數可以表示為兩個素數的和,如 30=7+23.在不超過 30 的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于 30 的概率是從中選 2 個不同的數有 C；45 種,【分析】模擬程序框圖的運行過程知該程序運行后輸出的S=NI-T,由此知空白處應填入的條件.【解答】解：模擬程序框圖的運行過程知,該程序運行后輸出的是S=NI-T=1二219g100；B.14C.115D.18利用列舉法先

12、求出不超過 30 的所有素數,利用古典概型的概率公式進行計算即可.解：在不超過 30 的素數中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 共 10 個,A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4和等于 30 的有(7,23),(11,19),(13,17),共 3 種,那么對應的概率 P=L=_!一,45應選：C.【點評】此題主要考查古典概型的概率的計算,求出不超過 30 的素數是解決此題的關鍵.9.5分在長方體 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=/3,那么異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值為A.jB.再 C.宰D.亨【分析】以 D 為原點,

13、DA 為 x 軸,DC 為 y 軸,DD1為 z 軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值.【解答】解：以 D 為原點,DA 為 x 軸,DC 為 y 軸,DD1為 z 軸,建立空間直角坐標系, .在長方體 ABCDA1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1二一, A1,0,0,D10,0,V3,D0,0,0,B11,1,心,7C4=-1,0,近,EIB=1,1,正,設異面直線 AD1與 DB1所成角為0, 異面直線 AD1與 DB1所成角的余弦值為應選：C.那么 cos0IADRDBJIAD【點評】此題考查異面直線所成角的余弦值的求法,考查空間中線線、

14、線面、面面間的位置關系等根底知識,考查運算求解水平,考查函數與方程思想,是根底題.10.(5 分)假設 f(x)=cosx-sinx 在-a,a是減函數,貝 Ua 的最大值是(B.D.兀【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡 f(x),由與_+2 卜冗工一_b0)的左、右焦點,A 是 C 的左頂點,12.(5 分)F1,F2是橢圓C:心率.【解答】解：由題意可知：A(-a,0),F1(-c,0),F2(c,0),直線 AP 的方程為：y=,(x+a),6由/FiF2P=120,|PF2|=|F1F2I=2c,那么 P(2c,Jc),代入直線 AP:/c=3(2c+a),整理得：a=4c,6,題意的

15、離心率 e=L.a4應選：D.【點評】此題考查橢圓的性質,直線方程的應用,考查轉化思想,屬于中檔題.二、填空題：此題共 4 小題,每題 5 分,共 20 分.13. (5 分)曲線 y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為 y=2x.【分析】欲求出切線方程,只須求出其斜率即可,故先利用導數求出在 x=0 處的導函數值,再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率.從而問題解決.【解答】解：y=2ln(x+1),當 x=0 時,v=2點 P 在過 A 且斜率為B.C.的直線上,PF1F2為等腰三角形,/F1F2P=120,那么 C 的離心率為D-7求得直線 AP 的方程：根據題意求得P 點坐標

16、,代入直線方程,即可求得橢圓的離曲線 y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為 y=2x.故答案為：y=2x.【點評】本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等根底知識,考查運算求解水平.屬于根底題.甜 2yL-5Qx-2y+30,那么 z=x+y 的最大值為 9.算-5 式 0【分析】由約束條件作出可行域,數形結合得到最優(yōu)解,求出最優(yōu)解的坐標,代入目標函數得答案.【解答】解：由 x,y 滿足約束條件,作出可行域如圖,TK-5C0化目標函數 z=x+y 為 y=-x+z,由圖可知,當直線 y=-x+z 過 A 時,z 取得最大值,由卜一 5,解得A(5,

17、4),目標函數有最大值,為 z=9.【點評】 此題考查了簡單的線性規(guī)劃,考查了數形結合的解題思想方法是中檔題.15.(5 分)sin+cos3=lcos+sin3=0 貝 Usin(a+3)=一【分析】把等式兩邊平方化簡可得 2+2(sinaco*cosasin)3=1,再利用兩角和差的正弦公式化簡為 2sin(a+3)=-1,可得結果.【解答】解：sin+cos3=l兩邊平方可得：sin2a+2sinaco+cOs23=1,cos+sin3=0兩邊平方可得：cos2a+2cosasin+sin23=0,由+得：2+2(sinaco 阱 cosasin)3=1,即 2+2sin(a+3)=1,

18、(故答案為：9.故答案為：4067t.【點評】此題考查圓錐的結構特征,母線與底面所成角,圓錐的截面面積的求法,想象水平以及計算水平.三、解做題：共 70 分.解容許寫出文字說明、證實過程或演算步驟.第 1721 題為必考題,每個試題考生都必須作答.第 22、23 題為選考題,考生根要求作答.一必考題：共 60分.17. 12 分記 Sn為等差數列an的前 n 項和,ai=-7,S3=-15.1求an的通項公式;2求 S,并求&的最小值.【分析】1根據 a1二-7,S3=-15,可得 a1=-7,3a1+3d=-15,求出等差數列an的公差,然后求出 an即可；2sin(a+3)=1.s

19、in(a+3)=-2故答案為:【點評】此題考查了兩角和與差的正弦函數公式的應用,三角函數的求值,屬于根本知識的考查,是根底題.16.5 分圓錐的頂點為 S,母線 SA,SB 所成角的余弦值為,SA 與圓錐底面所成角為 45,假設SAB 的面積為5/15,那么該圓錐的側面積為 404 三兀.【分析】利用條件求出圓錐的母線長,利用直線與平面所成角求解底面半徑,然后求解圓錐的側面積.【解答】解：圓錐的頂點為 S,母線SA,SB 所成角的余弦值可得 sin/AMB=SAB 的面積為 5715,可得;Sa2sin/AMB=5、序,即 9SA20)的直線 l 與 C 交于 A,B 兩點,|AB|=8.(1

20、)求 l 的方程；(2)求過點 A,B 且與 C 的準線相切的圓的方程.【分析】(1)方法一：設直線 AB 的方程,代入拋物線方程,根據拋物線的焦點弦公式即可求得 k 的值,即可求得直線 l 的方程；方法二：根據拋物線的焦點弦公式|AB|二一,求得直線 AB 的傾斜角,即可求得直線l 的斜率,求得直線 l 的方程；(2)根據過A,B分別向準線l作垂線,根據拋物線的定義即可求得半徑,根據中點坐標公式,即可求得圓心,求得圓的方程.【解答】解：(1)方法一：拋物線 C:y2=4x 的焦點為 F(1,0),當直線的斜率不存在時,|AB|=4,不滿足；設直線 AB 的方程為：y=k(x-1),設 A(x

21、i,yi),B(X2,y2),那么|三卜式,整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=o,那么 x+X2-2廣？)-xix2=1,yk由|AB|=xi+x2+p-2(+2=8,解得：k2=1,貝 Uk=1,k2直線 I 的方程 y=x-1;方法二：拋物線 C:y2=4x 的焦點為 F(1,0),設直線 AB 的傾斜角為 6,由拋物線的弦長公式|AB|=8,解得：sin2gisin26sin2?.?,那么直線的斜率 k=1,直線 I 的方程 y=x-1;(2)過 A,B 分別向準線 x=-1 作垂線,垂足分別為 Ai,B1,設 AB 的中點為 D,過 D 作DD準線 I,垂足為 D,那么|DDI

22、|二L(|AAi|+|BBI|)由拋物線的定義可知:|AAi|=|AF|,|BB|=|BF|,那么 r=|DDi|=4,以 AB 為直徑的圓與 x=-1 相切,且該圓的圓心為 AB 的中點 D,由(1)可知：XI+X2=6,yi+y2=xi+)Q-2=4,那么 D(3,2),過點 A,B 且與 C 的準線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.【點評】此題考查拋物線的性質,直線與拋物線的位置關系,的標準方程,考查轉換思想思想,屬于中檔題.20. (12 分)如圖,在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2/2,PA=PB=PC=AC=,4O 為 AC 的中點.(1)證實：POL 平面 A

23、BC;(2)假設點 M 在BC 上,且二面角 M-PA-C 為 30,求 PC 與平面 PAM 所成角的正弦值.拋物線的焦點弦公式,考查圓【分析】(1)利用線面垂直的判定定理證實 POXAC,POLOB 即可；(2)根據二面角的大小求出平面 PAM 的法向量,利用向量法即可得到結論.【解答】解：(1)證實：AB=BC=2/2,.是 AC 的中點,BOXAC,且 BO=2,又 PA=PC=PB=AC=2POXAC,PO=2s/3,那么 PB2=PO2+BO2,那么 P0OB,.OBnAC=O,.POL 平面 ABC;(2)建立以 O 坐標原點,OB,OC,OP 分另 1J 為 x,v,z 軸的空

24、間直角坐標系如圖:A(0,-2,0),P(0,0,2%),C(0,2,0),B(2,0,0),設窗=標=(2 入,2%0),0VK1那么媼=BBA|=(2 入,2 入,0)(2,-2,0)=(22%2H2,0),那么平面 PAC 的法向量為 IT=(1,0,0),【點評】此題主要考查空間直線和平面的位置關系的應用以及二面角,坐標系求出點的坐標,利用向量法是解決此題的關鍵.21. (12 分)函數 f(x)=ex-ax2.(1)假設 a=1,證實：當 x0 時,f(x)1;設平面 MPA 的法向量為n=(x,y,z),那么而=(0,-2,-2 次),那么花通二-2y-為&=0,而?箴=(

25、2-2X)x+(2H2)y=0令 z=1,貝 Uy=-Vs,x=(X,i-k即*(d.3,一有,1),1-A.二面角 M-PA-C 為 30,那么平面 MPA 的法向量 7=28,-心,1,PC=(0,2,-2-73),sin0|=cos|=|VTF7TT線面角的求解,建立解得入上或入=3舍,3PC 與平面 PAM 所成角的正弦值22.(10 分)在直角坐標系 xOy 中,曲線 C 的參數方程為K-2COS8y=4sin8,(0 為參數),直線 l(2)假設 f(x)在(0,+8)只有一個零點,求 a.【分析】(1)通過兩次求導,利用導數研究函數的單調性極值與最值即可證實,(2)別離參數可得

26、a=-在(0,+)只有一個根,即函數 y=a 與 G(x)=.一的圖象在(0,22XI+8)只有一個交點.結合圖象即可求得 a.【解答】證實：(1)當 a=1 時,函數 f(x)=ex-x2.那么 f(x)=ex-2x,令 g(x)=ex-2x,那么 g(x)=ex-2,令 g(x)=0,得 x=ln2.當 e(0,ln2)時,h(x)v0,當 C(ln2,+8)時,h,(x)0,1 .h(x)h(ln2)=eln22?ln2=22ln20,.f(x)在0,+8)單調遞增,f(x)f(0)=1,解：(2),f(x)在(0,+8)只有一個零點？方程 ex-ax2=0 在(0,+oo)只有一個根,

27、?a=孑在(0,+00)只有一個根,XZ即函數 y=a 與 G(x)今的圖象在(0,+oo)只有一個交點.當 xC(0,2)時,G(x)0,2 .G(x)在(0,2)遞減,在(2,+8)遞增,當一 0 時,G(x)一+8,當一+OO 時,G(x)一+8,3 .f(x)在(0,+8)只有一個零點時,a=G(2)【點評】此題考查了利用導數探究函數單調性,以及函數零點問題,考查了轉化思想、數形結合思想,屬于中檔題.(二)選考題：共 10 分.請考生在第 22、23 題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計分.選彳 4-4:坐標系與參數方程的參數方程為產 1+t 皿門,(t 為參數).(y=2+tsln虱(1)求 C 和 l 的直角坐標方程；(2)假設曲線 C