大學(xué)物理(上)機(jī)械能守恒

1、1一、功一、功描述力在描述力在空間空間上的積累作用上的積累作用1、恒力的功：、恒力的功： cosrFrFA abrdF3、合力的功、合力的功: bardFA banbabardFrdFrdF21nAAA 212、變力的功、變力的功元功元功rdFdA 總功總功 bardFA baFdr cosdsFba 24、功率：、功率：平均功率：平均功率：tAP 瞬時(shí)功率：瞬時(shí)功率： FdtdAP二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理2122122121 mmEEAkk 動(dòng)能是動(dòng)能是狀態(tài)量狀態(tài)量；功是；功是過(guò)程量過(guò)程量。三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理三、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理初初末末內(nèi)內(nèi)外外kkEEAA 一切外力與一切內(nèi)力做

2、功的代數(shù)和，等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的一切外力與一切內(nèi)力做功的代數(shù)和，等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量。增量。3一、一、常見(jiàn)力的功常見(jiàn)力的功二、保守力和非保守力二、保守力和非保守力三、勢(shì)能三、勢(shì)能四、功能原理四、功能原理五、機(jī)械能守恒定律五、機(jī)械能守恒定律六、能量守恒定律六、能量守恒定律2.3 2.3 功能原理和機(jī)械能守恒定律功能原理和機(jī)械能守恒定律4一、一、常見(jiàn)力的功常見(jiàn)力的功1. 重力的功重力的功xygmrd1y2ydy rdgmdA cosmgdr mgdy badAA)(12mgymgyA ab 21yymgdy重力作功的特點(diǎn)：重力作功的特點(diǎn)：只與只與運(yùn)動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)物體的始末位置有關(guān)始末位置有關(guān)，而與而與運(yùn)

3、動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的運(yùn)動(dòng)物體所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)路徑無(wú)關(guān)。0 LrdgmA物體沿任意閉合路徑繞行物體沿任意閉合路徑繞行一周時(shí)，一周時(shí)，重力作的功為零重力作的功為零 。52.萬(wàn)有引力作功的特點(diǎn)萬(wàn)有引力作功的特點(diǎn) Lldf0Moab1r2rcrld cfdr r2rMmGf l dfdA fdl cos )cos(dl fdrdA drdl cosdrrMmG2 badAAdrrMmGrr221 m)()(12rMmGrMmGA dr 特點(diǎn)特點(diǎn)：萬(wàn)有引力萬(wàn)有引力作作功與路徑無(wú)關(guān)，只功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)。與始末位置有關(guān)。63. 彈性力的功彈性力的功 badAAFxdFdA kxdx mx0lxkF

4、kaob1x2xx 21xxkxdx)2121(2122kxkx xd彈性力彈性力作功僅作功僅由由物體的物體的始末位置決定始末位置決定，與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān)。0 rdFA若物體沿任意閉合路徑繞一周，則若物體沿任意閉合路徑繞一周，則)(21222121kxkxA 7二、保守力和非保守力二、保守力和非保守力作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān)作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末位置有關(guān) LrdF0特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一特點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一周保守力作功為周保守力作功為0非保守力非保守力作功與路徑有關(guān)，作功與路徑有關(guān)，摩擦力，拉力摩擦力，拉力 LrdF0)(12mgymgyA 重重)()(12rMmGrMmGA 引引)2121

5、(2122kxkxA 彈彈保守力保守力8摩擦力做功不但與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)摩擦力做功不但與始末位置有關(guān)，而且與路徑有關(guān)2.非保守力非保守力-摩擦力做功摩擦力做功水平面水平面 ABCORfsdgmf 方向與方向與 方向相反方向相反sdsdfdA mgds RACBdsmgA 0mgR RAOBdsmgA20 mgR 2 ACBAOBAA m9)(12mgymgyA 重重)()(12rMmGrMmGA 引引)2121(2122kxkxA 彈彈保守力的功等于保守力的功等于和始末位置有關(guān)和始末位置有關(guān)的兩個(gè)函數(shù)之差的兩個(gè)函數(shù)之差勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能函數(shù)勢(shì)能勢(shì)能三、勢(shì)能三、勢(shì)能)(pE1.保守力作功與

6、勢(shì)能增量的關(guān)系保守力作功與勢(shì)能增量的關(guān)系保保守守力力A ) ( 2pE1pE 保守力所作的功等于與這種保保守力所作的功等于與這種保守力相對(duì)應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值守力相對(duì)應(yīng)的勢(shì)能增量的負(fù)值1011pE2pE2參考參考位置位置勢(shì)能勢(shì)能零點(diǎn)零點(diǎn)0 （2）當(dāng)選擇）當(dāng)選擇2 位置勢(shì)能為位置勢(shì)能為0 A1-2= EP1系統(tǒng)某位置的勢(shì)能系統(tǒng)某位置的勢(shì)能 = 系統(tǒng)從該位置變到勢(shì)能為系統(tǒng)從該位置變到勢(shì)能為 0 位置保守力作的功位置保守力作的功 0 xxprdFE11221kxEP 彈性勢(shì)能彈性勢(shì)能mghEP 重力勢(shì)能重力勢(shì)能rMmGEP 萬(wàn)有引力勢(shì)能萬(wàn)有引力勢(shì)能xPE0PE0r2.幾種保守力所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能幾種保守力所

7、對(duì)應(yīng)的勢(shì)能PE0h0 地地面面PE0 PE0 原原長(zhǎng)長(zhǎng)PE地面勢(shì)能為地面勢(shì)能為 0 ，地面以上為正地面以上為正無(wú)限遠(yuǎn)處勢(shì)能無(wú)限遠(yuǎn)處勢(shì)能 0， 任意點(diǎn)為負(fù)任意點(diǎn)為負(fù)平衡位置勢(shì)能為平衡位置勢(shì)能為 0 ，任意點(diǎn)為正任意點(diǎn)為正123.幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明 （1）勢(shì)能概念的引入是以物體處于保守力場(chǎng)）勢(shì)能概念的引入是以物體處于保守力場(chǎng)這一事實(shí)為依據(jù)的這一事實(shí)為依據(jù)的（2）勢(shì)能也是一種狀態(tài)量，勢(shì)能與動(dòng)能區(qū)別）勢(shì)能也是一種狀態(tài)量，勢(shì)能與動(dòng)能區(qū)別動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的函數(shù)動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度的函數(shù)勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù)勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)的函數(shù))(vEEkk ),(zyxEEpp （3）勢(shì)能具有）勢(shì)能具有相對(duì)性相對(duì)性，

8、其值與勢(shì)能零點(diǎn)的，其值與勢(shì)能零點(diǎn)的選取有關(guān)選取有關(guān) （4）勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的。實(shí)質(zhì)上勢(shì)能是一種相互作）勢(shì)能是屬于系統(tǒng)的。實(shí)質(zhì)上勢(shì)能是一種相互作用能，對(duì)于單獨(dú)一個(gè)物體是談不上勢(shì)能的用能，對(duì)于單獨(dú)一個(gè)物體是談不上勢(shì)能的 。勢(shì)能差具有勢(shì)能差具有絕對(duì)性絕對(duì)性，與勢(shì)能零點(diǎn)的，與勢(shì)能零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)選取無(wú)關(guān)如：重力勢(shì)能是物體和地球所組成系統(tǒng)的如：重力勢(shì)能是物體和地球所組成系統(tǒng)的（5）由于非保守力所作的功將隨所經(jīng)的路徑不同而異，即）由于非保守力所作的功將隨所經(jīng)的路徑不同而異，即其值是不確定的，所以不能引入與其相關(guān)的勢(shì)能。其值是不確定的，所以不能引入與其相關(guān)的勢(shì)能。13系統(tǒng)受力系統(tǒng)受力外力外力內(nèi)力內(nèi)力保守內(nèi)力保守

9、內(nèi)力非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力四、功能原理四、功能原理非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力保保守守內(nèi)內(nèi)力力內(nèi)內(nèi)力力AAA 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理0kkEEAA 內(nèi)內(nèi)力力外外力力0kkEEAAA 非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力)(0ppEEA 保保守守內(nèi)內(nèi)力力非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力AA 0EE 0EEAA 非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力)()(00pkpkEEEE 機(jī)械能機(jī)械能E外力與非保守內(nèi)力所做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量外力與非保守內(nèi)力所做的功等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量-功能原理功能原理00kkPPEEEEAA )(非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力14五、機(jī)械能守恒定律五、機(jī)械能守恒定律0EEAA 非

10、非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力0 非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力AA0EE 幾點(diǎn)說(shuō)明：幾點(diǎn)說(shuō)明：（1）系統(tǒng)機(jī)械能守恒，是指機(jī)械能的總量不變。系統(tǒng)內(nèi)各）系統(tǒng)機(jī)械能守恒，是指機(jī)械能的總量不變。系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間的動(dòng)能與勢(shì)能可以相互交換和轉(zhuǎn)化。質(zhì)點(diǎn)間的動(dòng)能與勢(shì)能可以相互交換和轉(zhuǎn)化。2211pkpkEEEE )(1212ppkkEEEE pkEE （2）機(jī)械能守恒定律的條件）機(jī)械能守恒定律的條件沒(méi)有外力、非保守內(nèi)力作用沒(méi)有外力、非保守內(nèi)力作用有外力、非保守內(nèi)力作用，但都不作功有外力、非保守內(nèi)力作用，但都不作功系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力不等于系統(tǒng)內(nèi)非保守內(nèi)力不等于0時(shí)機(jī)械能不守恒時(shí)機(jī)械能不守恒例：炮彈爆炸例：炮彈爆炸（3）

11、機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系機(jī)械能守恒定律只適用于慣性系常常量量即即 pkEE15在運(yùn)用功能原理、機(jī)械能守恒定律解題注意：在運(yùn)用功能原理、機(jī)械能守恒定律解題注意：1.應(yīng)指明應(yīng)指明系統(tǒng)系統(tǒng)的范圍，以便區(qū)分的范圍，以便區(qū)分內(nèi)力內(nèi)力和和外力外力，對(duì)于，對(duì)于內(nèi)力還要分清內(nèi)力還要分清保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力保守內(nèi)力和非保守內(nèi)力，并判明守恒，并判明守恒條件是否成立：對(duì)于保守內(nèi)力，可引入相關(guān)的勢(shì)能。條件是否成立：對(duì)于保守內(nèi)力，可引入相關(guān)的勢(shì)能。2.列方程之前必須將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各物理量統(tǒng)一到列方程之前必須將質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各物理量統(tǒng)一到同一同一慣性系慣性系中，以便正確計(jì)算每個(gè)力的功和每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的中，以便正確計(jì)算每個(gè)力的功和每個(gè)

12、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能動(dòng)能3.交代各相關(guān)勢(shì)能的交代各相關(guān)勢(shì)能的零勢(shì)能位置零勢(shì)能位置，然后明確系統(tǒng)，然后明確系統(tǒng)始始末狀態(tài)末狀態(tài)的機(jī)械能。的機(jī)械能。16在自然界中，任何系統(tǒng)都具有能量，能量有各種不同在自然界中，任何系統(tǒng)都具有能量，能量有各種不同的形式，可以從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式，從一個(gè)的形式，可以從一種形式轉(zhuǎn)換為另一種形式，從一個(gè)物體傳遞給另一個(gè)物體（或系統(tǒng)），在轉(zhuǎn)換和傳遞的物體傳遞給另一個(gè)物體（或系統(tǒng)），在轉(zhuǎn)換和傳遞的過(guò)程中，能量不會(huì)消失，也不能創(chuàng)造。過(guò)程中，能量不會(huì)消失，也不能創(chuàng)造。這一結(jié)論稱為這一結(jié)論稱為能量守恒定律能量守恒定律0EEAA 非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力如果系統(tǒng)存在著非保守內(nèi)力，并且

13、這種非保守性內(nèi)力如果系統(tǒng)存在著非保守內(nèi)力，并且這種非保守性內(nèi)力（例如摩擦力）作負(fù)功，則系統(tǒng)的機(jī)械能將減少。（例如摩擦力）作負(fù)功，則系統(tǒng)的機(jī)械能將減少。但是大量事實(shí)證明，在機(jī)械能減少的同時(shí)，必然有其他但是大量事實(shí)證明，在機(jī)械能減少的同時(shí)，必然有其他形式的能量增加。形式的能量增加。例如，因克服摩擦力作功而機(jī)械能減少時(shí)，必然有熱產(chǎn)例如，因克服摩擦力作功而機(jī)械能減少時(shí)，必然有熱產(chǎn)生，生，熱熱也是一種能量，即所謂也是一種能量，即所謂熱能熱能。不過(guò)，它是。不過(guò)，它是一種超出機(jī)械能范圍的另一種形式的能量。一種超出機(jī)械能范圍的另一種形式的能量。實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，能量間可以相互轉(zhuǎn)化，但總量不變。實(shí)驗(yàn)事實(shí)證明，能量間

14、可以相互轉(zhuǎn)化，但總量不變。六、能量守恒定律六、能量守恒定律17 兩木塊質(zhì)量分別為兩木塊質(zhì)量分別為mm1 1和和mm2 2 , ,且且mm2 2 =3 m =3 m1 1 ，兩者用，兩者用一一輕輕彈簧連接后靜止于一彈簧連接后靜止于一光滑光滑水平面上水平面上, ,如圖所示如圖所示. .今用外力將兩今用外力將兩木塊壓近使彈簧被壓縮木塊壓近使彈簧被壓縮x x0 0, ,然后撤去外力然后撤去外力, ,找出此后過(guò)程中的守恒找出此后過(guò)程中的守恒量量1m2mk從原長(zhǎng)從原長(zhǎng)最大伸長(zhǎng)：最大伸長(zhǎng)：思考題思考題1：從放手從放手原長(zhǎng)：原長(zhǎng)：只有彈力（保守內(nèi)力）只有彈力（保守內(nèi)力）作功，機(jī)械能守恒作功，機(jī)械能守恒2222

15、021212121kxmvMvkxAB 彈簧的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，此時(shí)彈簧的勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，此時(shí)1木塊剛要?jiǎng)?。所以只有木塊剛要?jiǎng)印Ｋ灾挥?的動(dòng)能。的動(dòng)能。 1木塊動(dòng)后系統(tǒng)仍無(wú)外力，動(dòng)量守恒木塊動(dòng)后系統(tǒng)仍無(wú)外力，動(dòng)量守恒ABBmvMvMv 020202121BMvkx 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒18 一一輕輕彈簧勁度系數(shù)為彈簧勁度系數(shù)為k k, ,一端固定在地面，另一端一端固定在地面，另一端與質(zhì)量為與質(zhì)量為MM 的物體相連，一質(zhì)量為的物體相連，一質(zhì)量為mm的泥球從正上方高度為的泥球從正上方高度為h h處自由下落到處自由下落到MM上，求上，求mm與與MM粘在一起粘在一起運(yùn)動(dòng)的最大位移？運(yùn)動(dòng)的最大位移？hm

16、M從從m靜止靜止落在落在M上：上：從從mM一起動(dòng)一起動(dòng)最大壓縮：最大壓縮：碰撞碰撞(完全非彈性完全非彈性)過(guò)程：過(guò)程：加上加上M與彈簧初始平衡條件與彈簧初始平衡條件思考題思考題2：機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒2021mvmgh VMmmv)( 0221VMm)( 選彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)。選圖中位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)。選彈簧原長(zhǎng)為勢(shì)能零點(diǎn)。選圖中位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)。2021kx m mg gx x) )x xk k( (x x2 21 12 20 00 0k kx xM Mg g 19例例1 .一個(gè)質(zhì)量為一個(gè)質(zhì)量為m的珠子系在線的一端，線的另一端綁在墻的珠子系在線的一端，線

17、的另一端綁在墻上的釘子上，線長(zhǎng)為上的釘子上，線長(zhǎng)為l . 先拉動(dòng)珠子使線保持水平靜止，然后先拉動(dòng)珠子使線保持水平靜止，然后松手使珠子下落松手使珠子下落. 求線擺下求線擺下角時(shí)這個(gè)珠子的速率角時(shí)這個(gè)珠子的速率解解:o d lTgm dr 取珠子和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)取珠子和地球?yàn)橐幌到y(tǒng)以線的懸點(diǎn)以線的懸點(diǎn)O所在高度為重力勢(shì)能零點(diǎn)所在高度為重力勢(shì)能零點(diǎn)，機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒。221 mmgl sin sin2gl 說(shuō)明：說(shuō)明：地球質(zhì)量遠(yuǎn)大于珠子的質(zhì)量地球質(zhì)量遠(yuǎn)大于珠子的質(zhì)量地球的速度地球的速度0地球的動(dòng)能地球的動(dòng)能00 20mk解解:(1) 用功能原理求解用功能原理求解例例2 .光滑平面上的一個(gè)彈簧系統(tǒng)，

18、彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)光滑平面上的一個(gè)彈簧系統(tǒng)，彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k=24牛頓牛頓/米米，物體的質(zhì)量，物體的質(zhì)量m=4千克千克?，F(xiàn)用恒力?，F(xiàn)用恒力P=10牛頓牛頓把物體從平衡把物體從平衡位置位置(彈簧的原長(zhǎng)處彈簧的原長(zhǎng)處)由靜止拉開(kāi)，如圖所示。求：由靜止拉開(kāi)，如圖所示。求： (1)力力P作用下物體運(yùn)動(dòng)了作用下物體運(yùn)動(dòng)了S1=0.5米米處時(shí)的速度；處時(shí)的速度； (2)拉到拉到0.5米處時(shí)撤去恒力米處時(shí)撤去恒力 ，此物體還能前進(jìn)多遠(yuǎn)，此物體還能前進(jìn)多遠(yuǎn)?Po0 P?1 121EESP 21212121kSm 以物體在彈簧的原長(zhǎng)以物體在彈簧的原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)0 1PSmkSPS21112 )

19、(1秒秒米米 / 1S2Sx0EEAA 非非保保守守內(nèi)內(nèi)力力外外力力21mko0 P?1 1S2Sx物體和彈簧看作整物體和彈簧看作整體，機(jī)械能守恒體，機(jī)械能守恒21212121kSm 2221kS kmkSS21212 )(645.0米米 物體還能前進(jìn)物體還能前進(jìn))(145. 012米米 SSS (2)拉到拉到0.5米處時(shí)撤去恒力米處時(shí)撤去恒力 ，此物體還能前進(jìn)多遠(yuǎn)，此物體還能前進(jìn)多遠(yuǎn)?22例例3：質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的小球在外力作用下，由靜止開(kāi)始從的小球在外力作用下，由靜止開(kāi)始從 A 點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)出發(fā)作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá) B 點(diǎn)時(shí)撤消外力，小球無(wú)摩點(diǎn)時(shí)撤消外力，小球無(wú)摩擦地

20、沖上一豎直半徑為擦地沖上一豎直半徑為 R 的半圓環(huán)，的半圓環(huán)，恰好恰好能到達(dá)最高點(diǎn)能到達(dá)最高點(diǎn) C，而后又剛好落到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn)而后又剛好落到原來(lái)的出發(fā)點(diǎn) A 處，如圖所示，試求小球處，如圖所示，試求小球在在 AB 段運(yùn)動(dòng)的加速度為多大？段運(yùn)動(dòng)的加速度為多大？ABCoR解：解：)2(212122RmgmmCB 因小球在因小球在C點(diǎn)恰能作圓周運(yùn)動(dòng)，故點(diǎn)恰能作圓周運(yùn)動(dòng)，故 RmmgC2 以小球、地為系統(tǒng)，以小球、地為系統(tǒng)， BCBC段機(jī)械能守恒。段機(jī)械能守恒。 RgC RgB52 asB22 選地面為勢(shì)能零點(diǎn)選地面為勢(shì)能零點(diǎn)23ABAB 的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為tsC 小球在小球在ABAB段作勻加速直線運(yùn)段

21、作勻加速直線運(yùn)動(dòng)動(dòng) asB22 saB22 R2 2sm5 .12 ABCoRgRRg4 g45 小球從小球從 C C 到到 A A 是平拋運(yùn)是平拋運(yùn)動(dòng)，以動(dòng)，以 v vc c 為初速度，小為初速度，小球從球從 C C 到到A A 所需時(shí)間為所需時(shí)間為 t t 2212gtR gRt4 asB22 RgC RgB52 24有一質(zhì)量有一質(zhì)量m=2kg的物塊在一個(gè)有四分之一圓弧滑槽上從的物塊在一個(gè)有四分之一圓弧滑槽上從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，已知點(diǎn)，已知vA=0，vB=6m/s，R=4m，g=10m/s2，求求AB，Af=？解：解：方法方法1：利用功的一般定義式利用功的一般定義式tmafmg cosdtdmmg