各科課件及大一數(shù)學(xué)第2章

1、2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算2.3 微分微分2.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二章第二章 一元函數(shù)微分學(xué)一元函數(shù)微分學(xué) 第二章 微分學(xué)發(fā)展史微積分學(xué)的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學(xué)家 Leibniz 微分學(xué)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的工具 (從微觀上研究函數(shù))導(dǎo)數(shù)思想最早由法國數(shù)學(xué)家 Ferma 在研究極值問題中提出.英國數(shù)學(xué)家 Newton2.1.1 引例引例2.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義2.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義2.1.4 函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性的關(guān)系機(jī)動(dòng) 目錄 上

2、頁 下頁 返回 結(jié)束 2.1 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 第二章 變速直線運(yùn)動(dòng)的速度變速直線運(yùn)動(dòng)的速度描述物體下落位置的函數(shù)為則 到 的平均速度為0tt v)()(0tsts0tt 而在 時(shí)刻的瞬時(shí)速度為0t lim0ttv)()(0tsts0tt 221)(tgts自由落體運(yùn)動(dòng)t0t 改變量之比的極限稱為導(dǎo)數(shù)，v 路程路程對對時(shí)間時(shí)間的的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)就是就是速度速度。v00()()s tts tsvtt 2200011()( )122(2)2g ttg tgttt lim0ttv)()(0tsts0tt 000)2(21limgtttgtttt0其中;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xx

3、xy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:則稱函數(shù)若的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點(diǎn)0 x處可導(dǎo)可導(dǎo), 在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(xf在點(diǎn)0 x處不可導(dǎo)或說可導(dǎo)或說 在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在.由導(dǎo)數(shù)定義可知，導(dǎo)數(shù)是函數(shù) )(xfyx對自變量的變化率.導(dǎo)數(shù)的等價(jià)定義：右可導(dǎo)與左可導(dǎo)： lim)(000 xxxxxf)()(0 xfxf

4、0 xx lim)(00 xxxf)()(0 xfxf0 xx lim)(000 xxxxxf)()(0 xfxf0 xx 若函數(shù))(xf在開區(qū)間 內(nèi)處處可導(dǎo),則稱),(ba它在 上可導(dǎo).),(ba若函數(shù))(xf)(af)(bf與則稱)(xf在開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo),),(ba在閉區(qū)間 上可導(dǎo).,ba且都存在，對應(yīng)于),(ba內(nèi)的每一點(diǎn) xfx,都有一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)值，于是x和其對應(yīng)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值之間便構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱此函數(shù)為)(xf的,y, )(xf ,ddxy.d)(dxxf記為導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)，)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(xxylim02.算比值算比值3.取極限取極限1.求增量求

5、增量對于),(ba內(nèi)的每一點(diǎn)x有)(xf xyx0limxxfxxfx)()(lim00)()(0 xxxfxf而 xfy 在0 x處的導(dǎo)數(shù)即為)(xf 在0 x處的函數(shù)值，即例1.求函數(shù)2xy 在2, 1xx處的導(dǎo)數(shù)解：xxxxxxy222xxxxxxxy2)2( xxxxxfxx22limylim00所以， 2211xxf 4222xxf例2.求函數(shù)bkxy為常數(shù))解：xkbkxbxxky)(kxxkxykkxxx00limylim所以，ky bkk, 0( 的導(dǎo)數(shù).例3.0)(xxxf在xxxxxfxfxxx000lim0lim)0()0(lim處的導(dǎo)數(shù).求函數(shù)解：1lim100 xxx

6、x，有時(shí)，當(dāng)1lim100 xxxx，有時(shí)，當(dāng)不存在所以，xfxfx)0()0(lim0處不可導(dǎo)在即，函數(shù)0)(xxxfxo)(xfy CNR0 xM0 xx導(dǎo)數(shù)是曲線上過點(diǎn)x0處切線的斜率0 x 當(dāng)時(shí),亦即N無限靠近M時(shí),如果0limxyx 存在,那么割線就將趨向于曲線上過點(diǎn)00(,)M xy的曲線的切線,即有0 x 時(shí),于是1.有切線可導(dǎo)切線存在( )fx為無窮大2.切線不存在不可導(dǎo)注意:x曲線)(:xfyC割線 M N 的斜率00()()f xxf x tanyxtanyxtanyxtanyxtanyx動(dòng)畫演示例例4 求過點(diǎn)求過點(diǎn)(0，-1)且與且與相切的直線方程相切的直線方程.2xy

7、解：由例1知xy2設(shè)切點(diǎn)為),(00yx則該直線的斜率為,20 x又知200 xy 從而有,0) 1(20200 xxx解得, 1, 10201xx從而知過點(diǎn)(0，-1)可作兩條直線與可作兩條直線與2xy 相切，相切，其斜率分別為, 2, 221kk二直線方程分別為.21,21xyxy處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(注意注意: 函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)不一定可導(dǎo)連續(xù)不一定可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).xyxfxxfyx000lim,)(則處可導(dǎo)在點(diǎn)函數(shù) 00limlim)(limlim00000 xfxxyxxyyxxxx2.2.1 幾個(gè)基本初等函數(shù)

8、的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.2.2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 2.2.3 復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)和隱函數(shù)求導(dǎo)法則2.2.4 對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.2 2.2 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 第二章 2.2.5 反函數(shù)求導(dǎo)法反函數(shù)求導(dǎo)法 2.2.6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) .)()(yccxfy，求為常數(shù)設(shè)2.2.12.2.1幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 一、常數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、常數(shù)的導(dǎo)數(shù)0limlim)(00 xccxyxfxx解：11210)(! 2) 1(limnnnnxnxxxxnnnx1)(nnnxx.)()(ynxxfyn，

9、求為自然數(shù)設(shè)二、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxxxyxfnnxx)(limlim)(00解：xxxxnnxnxnnnx)()(! 2) 1(lim2210因而三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxsin)(cos同理可得.,cos,sinzyxzxy，求設(shè)xxxxxyyxxsin)sin(limlim00解：xxxxxxxxxxxxcos22sinlim)2cos(lim2sin)2cos(2lim000四、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).),0, 1, 0(logyxaaxya求設(shè)xxea1ln 時(shí)，當(dāng)xxxxxyyaaxxlog)(loglimlim00解：ax

10、exxxxxxxxxxxxaxxaxxaxaxln1log1)1 (loglim1lim)1 (log1lim)1 (loglim0000法則法則具有導(dǎo)數(shù)都在及函數(shù)xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 積、 商 (除分母為 0的點(diǎn)外) 都在點(diǎn) x 可導(dǎo), 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu下面對（3）加以證明,并同時(shí)給出相應(yīng)的推論和例題 .)0)(xv機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()( lim0 xvhxvh2vvuvuvu證證: 設(shè))(

11、xf則有hxfhxfxfh)()(lim)(0hh lim0,)()(xvxu)()(hxvhxu)()(xvxuhhxu )( )(xu)(xvhhxv )( )(xu)(xv故結(jié)論成立.)()()()()(2xvxvxuxvxu機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 推論推論1:uCCu( C為常數(shù) )推論推論2:wvuwvuwvuwvu 例5. 已知.,lnsin2yxxxxy求解：)ln()sin()lnsin(22xxxxxxxxy)(lnln)()(sinsin)(22xxxxxxxxxxxxxxx1ln2cossin2xxxxxxln2cossin例6. 已知.),0(1yxxy求解

12、： 22111)1(xxxxxy例7. .,),(csc),2(seczykxxzkxxy求 xxxxxy2coscos1cos1)cos1(sec解：xx sectanxxxcsccot)(csc同理例8. .,),cot,tanyxxy求xxxxxxxxy2coscossincossin)cossin(tan解：xxxx2222seccossincosxx2csc)(cot同理一、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法在點(diǎn) x 處也可導(dǎo),且定理1.)(xu)( xdxdu)(ufy )(xu)( ufdudy)(xfydxdududydxdy)( )( )( xufxf設(shè)函數(shù) 在 處有導(dǎo)數(shù) ,函數(shù) 在 的對應(yīng)點(diǎn)

13、處可導(dǎo), , 則或或 xx復(fù)合函數(shù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可推廣到多層復(fù)合函數(shù)上述復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可推廣到多層復(fù)合函數(shù))(xvx)(vgu x)(xv)(ufy v)(vgu )(xgfyxdxdvdvdududydxdy在 處可導(dǎo), 在 的對應(yīng)點(diǎn) 處可導(dǎo)處可導(dǎo),而而 在 的對應(yīng)點(diǎn) 處也可導(dǎo),則 在 處也可導(dǎo),且42)1 (xy.dxdyxy3sin.dxdy例9. 已知,求例10 .已知,求解：令)1 (4,1,2324xudxdududydxdyxuuy3232)1 (82)1 (4xxxx解：令xudxdududydxdyxuuy3cos33cos,3,sin,2tan11xy.dxdy例1

14、1 .已知求解：令 2222tan12sec22tan12tan112tan11xxxxxdxdy2coslnxey .dxdy)(uf.),(tandxdyxfy求例12. 已知,求例13 .設(shè)為可導(dǎo)函數(shù),且解：cos1sincoscos122222xxxxxeeeeey解：設(shè)注意：注意：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵是搞清符合關(guān)系，從外層復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)關(guān)鍵是搞清符合關(guān)系，從外層到里層一層一層地求導(dǎo)，不要漏層到里層一層一層地求導(dǎo)，不要漏層 。22222tan2cossin2xxxxxeexxeeexufxufdxdududydxdyxu2sec)()(tan)(,tan0),(yxF, 0, 122xy

15、exeyxy與x的函數(shù)關(guān)系隱含在 中，這種形式的例如如果我們把y看成中間變量，則可運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)函數(shù)稱為隱函數(shù)。等等。法則求出y對x的導(dǎo)數(shù)。例14. y是由 1cossinxy所確定的關(guān)于x的函數(shù)，求y解：設(shè)1cos)(sin),(xxfxfy則兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，則0sin)(cos)(xxfxf即0,sincosxyy最后得.cossinyxy 二、隱函數(shù)求導(dǎo)法2exyey例15 .求函數(shù)y是由 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：等式兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得解得.0 xyy 和,yxyyey,xeyyy當(dāng)0 x時(shí)，, 2y故.22002exeyyxyyx, 0y例16. 已知 y是由yxycos21cos

16、.32xy 所確定的x 的函數(shù)，試求解：方程兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得,sin21sinyyxy從而,sin211sinyxy又由函數(shù)方程知,32時(shí)x所以.230sin21132sin32xy由原方程得) 1(cos21yy解出對數(shù)求導(dǎo)法適用于冪指數(shù)函數(shù)或連乘函數(shù)(1)(2)(1)(3)(4)xxyxx(2)(yx(3)(0,1)xyaaa(4)xyx(5)xxyx(6)(1)(2)xyxx例17 .已知下列各函數(shù)，分別求其導(dǎo)數(shù)y為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)) 解: (1)兩邊同時(shí)取對數(shù)，得1lnln(1)ln(2)ln(3)ln(4)2yxxxx兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得11111121234yyxxxx 因而

17、111121234yyxxxx 1(1)(2)11112(3)(4)1234xxxxxxxx (2)兩邊同時(shí)取對數(shù)，得lnlnyx兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得11yyx 因而111yyxxxx 即對任意實(shí)數(shù)，有1()xx (3)兩邊同時(shí)取對數(shù)，得lnlnyxa兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得1lnyay 所以lnlnxyyaaa 即lnxxaaa特別地，當(dāng)xxeeae時(shí)，(4)(ln1)xyxx 2(5)(12ln )xyxx x 21111(6)(1)(2)ln(1)ln(2)12xyxxxxxxxx )(yx0y, 00yydydx)(xfy )(0yx001yyxxdydxdxdy2.2.5 反函數(shù)求導(dǎo)法反

18、函數(shù)求導(dǎo)法在在處可導(dǎo)，且處可導(dǎo)，且則則 在對應(yīng)點(diǎn)在對應(yīng)點(diǎn) 處也可導(dǎo)，處也可導(dǎo)，證略證略定理定理2 對于函數(shù)對于函數(shù)( )yf x它在某個(gè)開區(qū)間嚴(yán)格單它在某個(gè)開區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，它的反函數(shù)調(diào)、連續(xù)，它的反函數(shù)且且.,arccos,arcsinzyxzxy及求例18 .已知 解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且)2,2(sin在yx, 0cosydydx由定理2知在x所對應(yīng)的區(qū)間(-1,1)內(nèi),有2211sin11cos11xyydydxdxdy即211)(arcsinxx類似可得.11)(arccos2xx.,cot,arctanzyxarczxy及求例19 .已知 解：內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)、連續(xù)，且)2,2(ta

19、n在yx, 0sec2ydydx22211tan11sec11xyydydxdxdy即211)(arctanxx類似可得.11)cot(2xxarc由定理2知在x所對應(yīng)的區(qū)間 內(nèi),(,) 導(dǎo)數(shù)的基本公式： )(1 (c) 1, 0(ln1aaax )(sin3(xxcos )(sec7(xxx sectan )(9(xa) 1, 0(lnaaaax )(tan5(xx2sec )(log11(xa0 )(2(ax為任意實(shí)數(shù),1x )(cos4(xxsin )(cot6(xx2csc )(csc8(xxx csccot xe )(10(xex1 )(ln12(x211x )(arccos14(x

20、211x )(arcsin13(x211x )(arctan15(x211x )cot)(16(xarc2.2.6 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))( xfy 函數(shù)的二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為y 的高階導(dǎo)數(shù)。 如果)( xfy的導(dǎo)數(shù)也存在，則稱其為的二階導(dǎo)數(shù)，記為.)()(2222dxxfddxydxfy或或或 三階導(dǎo)數(shù)或三階以上導(dǎo)數(shù)可類似定義。.),0()(naxyaey求例20 .已知 解：axaxaxeaaxeeyaxaxaxeaeaeay 2axnneay)(xyey例21 . y是由 所確定的x的函數(shù)，求解：兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)，得.y ,yxyyey,xeyyy所以對上述等式兩邊再對x求導(dǎo)，得,)(

21、2yxyyyeyeyy 整理并將 代入得y.) 1()22()()(232232 yxyyyxeyexeyyyyy2.3.1 微分的定義微分的定義2.3.2 微分的幾何意義微分的幾何意義 2.3.3 微分的計(jì)算微分的計(jì)算機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.3 2.3 微微 分分 第二章 問題提出：x xx x x x 2xxx面積增量為22()Sxxx22()x xx x的高階無窮小正方形邊長為x,給邊長增量x ，面積的增量為2.3.1微分的定義微分的定義)(xfy )()(xfxxfy)( xxAyx)( x0 x定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在x 的某個(gè)臨域內(nèi)有定義，的某個(gè)臨域內(nèi)有定

22、義， 可以表示為可以表示為其中其中 A是不依賴于是不依賴于 的的x 的函數(shù)，的函數(shù)， 是當(dāng)是當(dāng) 時(shí)比時(shí)比高階的無窮小，則稱函數(shù)高階的無窮小，則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x處可微，并稱處可微，并稱 為函數(shù)為函數(shù) 在在x 處的微分，記作處的微分，記作如果函數(shù)的增量如果函數(shù)的增量x)(xfy xA )(xfy xAdy,dy即xxAxy)(如果如果 在點(diǎn)在點(diǎn) x處可微，在處可微，在 兩端同除以兩端同除以 ，得，得)(xfy )( xxAyx兩邊同時(shí)求極限得Axf)(即有dxxfxxfdy)()(xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時(shí),xyyd時(shí)，當(dāng)xy 則有xxfyd)(

23、d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.3.2微分的計(jì)算微分的計(jì)算dvduvud )() 1 (udvvduvud )()2(2)()3(vudvvduvud一、微分的四則運(yùn)算法則二、一階微分的形式不變性x設(shè)函數(shù)和可導(dǎo)，即則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)的微分為)(xgu ，)()(xgufdxdy)(ufy )(xgfy ，)()(xgufdxdy，dxxgufdy)()(對于)(xgu 而言，dxxgdu)( 因此duufdxxgufdy)()()(例22 求2yx在1 ,2 ,0 .1xxx且時(shí)的微分.

24、解：22dyxdxxx10.12 1 0.10.2;xxdy 20.12 2 0.10.4;xxdy 例23 已知tan,.xyedy求解：tantan2(tan )secxxdyedxexdx一、函數(shù)值的誤差估計(jì)0,x, xyyy設(shè)是x的函數(shù)，x的測量值為且測量誤差為計(jì)算y時(shí)將產(chǎn)生誤差00.yf xxf x 把xy與分別稱為x和y的絕對誤差， 而把xx與分別稱為x和y的相對誤差。當(dāng)x很小時(shí)，有如下近似公式0yfxx 00()()fxyxyf x 利用以上兩式可以計(jì)算實(shí)際應(yīng)用中常遇到的兩類誤差估計(jì)問題。的誤差(1)已知測量x所產(chǎn)生的誤差，估計(jì)由x所引起的y的誤差。(2)根據(jù)y所允許的誤差，近似

25、地確定測量x時(shí)所允許的誤差。例24 設(shè)已測得一圓的半徑r為21.5厘米，且測量的絕對誤差不超過0.1厘米，求計(jì)算圓面積S時(shí)所產(chǎn)生的絕對誤差。解：已知0.1r的測量值為021.5r 厘米，絕對誤差厘米，因此S的絕對誤差為r00( )2SS rrrr 2221.5 0.14.3 ()厘米例25 從一批密度均勻的藥丸中，把所有直徑等于0.1厘米的膠丸挑出來，如果挑出來的膠丸在半徑上允許有3%的相對誤差，并且選擇的方法以重量為依據(jù)，試問在挑選時(shí)稱量重量的相對誤差應(yīng)不超過多少？解：設(shè)膠丸的密度為,半徑為r(單位為厘米)，重量為W，則有34W =g3r由于2dW=4,grr因而23dW4=3,4W3g r

26、rrrg r從而11,33rdWWrWW要使3%,rr只要13%,3WW即可9%.WW因而二、函數(shù)值的近似計(jì)算很小時(shí)，x000()()()f xxf xfxx0()f xx0 x附近的近似值。上式可用于計(jì)算在當(dāng)例26 計(jì)算sin44o的近似值。解：設(shè)22( )sin ,( )cos ,(),(),4242yf xx fxx ff所以22sin44()()()41804180421802offf例27 求3的近似值。解：設(shè) yf xx則1,2yx 取03.0276,x 有0()3.02761.74,f x011(),2 1.7423.0276fx所以3(3.02760.0276)f(3.0276

27、)(3.0276) ( 0.0276)ff 11.74( 0.0276)2 1.74 1.740.0081.7322.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理2.4.2 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2.4.3 函數(shù)增減性和函數(shù)的極值函數(shù)增減性和函數(shù)的極值機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.4 2.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第二章 2.4.4 函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)函數(shù)凹凸性及拐點(diǎn)2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)(xfy )( )()(fabafbf)(ba定理定理3 如果函數(shù)如果函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，在上連續(xù)，在 使得使得 開區(qū)間開區(qū)間(a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，

28、則在開區(qū)間(a,b) 內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)拉格朗日簡介2.4.1 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。拉格朗日，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。1736年年1月月25日日生于意大利西北部的都靈，生于意大利西北部的都靈，1813年年4月月10日卒于巴黎。日卒于巴黎。19歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討歲就在都靈的皇家炮兵學(xué)校當(dāng)數(shù)學(xué)教授。在探討“等周問題等周問題”的過程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐的過程中，他用純分析的方法發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。他的論著使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。論

29、著使他成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請說，在“歐歐洲最大的王洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他于是他應(yīng)邀去柏林，居住達(dá)二十年之久。在此期間他完成了完成了分析力學(xué)分析力學(xué)一書，建立起完整和諧的力學(xué)體一書，建立起完整和諧的力學(xué)體系。系。1786年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴年，他接受法王路易十六的邀請，定居巴黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就黎，直至去世。近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于

30、拉格朗日的工作。都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。 )(xfy 0)( xf)(xfy )(x)(x)(x)(x推論推論3 如果函數(shù)如果函數(shù) 在區(qū)間（在區(qū)間（a,b） 上每一點(diǎn)的上每一點(diǎn)的 ，則函數(shù)，則函數(shù) （a,b）上恒等于一個(gè)常數(shù)。）上恒等于一個(gè)常數(shù)。與與點(diǎn)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都相等，則的導(dǎo)數(shù)都相等，則 與與上僅相差一個(gè)常數(shù)。上僅相差一個(gè)常數(shù)。導(dǎo)數(shù)都為零，即導(dǎo)數(shù)都為零，即在區(qū)間在區(qū)間推論推論4 如果兩個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)在在 （a,b）上每一）上每一在區(qū)間在區(qū)間 （a,b）1212sinsinxxxx21,xx例例28 證明證明對一切對一切都成立。都成立。證：證： 設(shè)設(shè)xysin區(qū)間區(qū)間2121)

31、,(xxxx不妨設(shè)應(yīng)用定理則應(yīng)用定理則),(,)(cossinsin21121212xxxxxxxx,21時(shí)當(dāng)xx 等號成立，因而對于一切等號成立，因而對于一切 命題成立命題成立21,xx.1 , 1,2arccosarcsinxxx例例29 試證試證證： 設(shè)xxyarccosarcsin 則0111122xxy由推論3知y在(-1,1)內(nèi)恒為常數(shù)，即cxxarccosarcsin又由于y在-1,1上連續(xù)，因而上式在-1,1內(nèi)成立，令, 0 x即得,2c從而結(jié)論成立。2.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則 洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家家.1661年生于巴黎；年生于巴黎； 1704年年2月月2日卒

32、于巴黎日卒于巴黎. 洛必達(dá)洛必達(dá)出生于法國貴族家庭，青年出生于法國貴族家庭，青年時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼時(shí)期一度任騎兵軍官，因眼睛近視而自行告退，轉(zhuǎn)向從睛近視而自行告退，轉(zhuǎn)向從事學(xué)術(shù)研究事學(xué)術(shù)研究. 15歲時(shí)解決了帕斯卡所提出的一個(gè)擺線歲時(shí)解決了帕斯卡所提出的一個(gè)擺線難題難題.他是萊布尼茨微積分的忠實(shí)信徒，并且他是萊布尼茨微積分的忠實(shí)信徒，并且是約翰伯努利的高徒，法國科學(xué)院院士是約翰伯努利的高徒，法國科學(xué)院院士. )()(limxgxf函數(shù)之商的極限函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化00( 或或 型型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)

33、法則洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則2.4.2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則可以多次使用直到不再是不洛必達(dá)法則可以多次使用直到不再是不定式時(shí)為止定式時(shí)為止( )( )( )( )( )( )limlimlim.lim( )( )( )( )nnf xfxfxfxAg xg xgxgx例例30 求求20cos1limxxx 型00 xxx2sinlim0 211coslim210 xx解解:原試原試注意: 不是不定式不能用洛必達(dá)法則 !例例31求求).0(lim aaxxaaxax解解:1lnlim1 axaxxaaaaxxaaxax lim)1(ln aaa型00例例32求求）為自然數(shù)

34、，0(limnexxnx型xnxexn1lim.) 1(lim22xnxexnnxnnnxexn!lim0 xnxexlim解解:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例33 求求)(),1sin1(lim0型xxx將上試通分后即可化為將上試通分后即可化為 型型xxxxxsinsinlim0 xxxxxcossincos1lim0 xxxxxsincos2sinlim0000)1sin1(lim0 xxx例例34. 求求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim

35、0nxnx例例35求求xxx20lim)0(0型xxxe2ln0limxxxeln20lim1ln20limxxxe2102limxxxee1)(lim20 xxexxx20lim型例例36求求xxx)arctan2(lim型）1 (xxx)arctan2(lim)arctan2ln(limxxxe1)arctan2ln(limxxxe221limarctan1limxxxxxe2 etan01limxxx例37求xxxxyxyxcotlnlntanln,)1(tan 則則令令xxxxyxxx2000csc1limcotlnlimlnlim 1lim, 0sinlim0020 eyxxxx所以

36、所以一、 函數(shù)單調(diào)性的判定法二二、函數(shù)的極值及其判定方法若若定理定理 1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf0)( xf則則 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增)(xf, )0)( xf(遞減遞減) .證證: 無妨設(shè)無妨設(shè),0)(Ixxf任取任取)(,2121xxIxx由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得)()()(1212xxfxfxf ),(21xxI0故故. )()(21xfxf這說明這說明 在在 I 內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增.)(xf在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),證畢證畢例例38 試證當(dāng)試證當(dāng)xxxarctan0 時(shí)時(shí)，證：設(shè)證：設(shè))()()(,arctan)(,)(xgxfxGxxgxxf )(

37、 )( )( xgxfxG 則則2111x 221 xx 0)( ), 0( xGx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)上為增函數(shù)上為增函數(shù)在在因此因此), 0()(xG例例38 試證當(dāng)試證當(dāng)xxxarctan0 時(shí)，證：證：, 0)0(,0 Gx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)0()(, GxG總有總有所以所以0arctan xx即即xxxarctan0 時(shí)時(shí)，總總有有因因此此當(dāng)當(dāng)證畢證畢31292)(23xxxxf的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解:12186)(2xxxf)2)(1(6xx令,0)( xf得2, 1xxx)(xf )(xf) 1,(2001)2,1 (),2(21故)(xf的單調(diào)增單調(diào)增區(qū)間為, ) 1,();,2()(x

38、f的單調(diào)減單調(diào)減區(qū)間為).2,1 (12xoy12yxo例例40的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間確定確定,32xy 332xy 不存在不存在0 xy32xy 1) 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)除 外外,也也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 駐點(diǎn)駐點(diǎn)駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn)駐點(diǎn)：使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做駐點(diǎn).二、二、函數(shù)的極值及其判定方法函數(shù)的極值及其判定方法定義定義3:,),()(內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxf, ),(0bax ，的的一一個(gè)個(gè)鄰鄰域域若若存存在在0 x在其中當(dāng)在其中當(dāng)0 xx 時(shí)時(shí), )()(0 xfxf(1) 則稱則稱 為為 的極大點(diǎn)的極大點(diǎn) ,0 x)(xf稱稱

39、為函數(shù)的極大值為函數(shù)的極大值 ;)(0 xf, )()(0 xfxf(2) 則稱則稱 為為 的極小點(diǎn)的極小點(diǎn) ,0 x)(xf稱稱 為函數(shù)的極小值為函數(shù)的極小值 .)(0 xf極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn) .41,xx為極大點(diǎn)為極大點(diǎn)52,xx為極小點(diǎn)為極小點(diǎn)3x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn)1) 函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).31292)(23xxxxf例如例如 例例391x為極大點(diǎn)為極大點(diǎn) , 2) 1 (f是極大值是極大值 1)2(f是極小值是極小值 2x為極小點(diǎn)為極小點(diǎn) , 12xoy123x1x4x2x5xxaboy)(xfy 0 x0)( ox

40、f定理定理7（必要條件）如果函數(shù)（必要條件）如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 可導(dǎo)，且取極值，則可導(dǎo)，且取極值，則 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做函數(shù)的使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)叫做函數(shù)的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值必定是它的駐點(diǎn)，反之可導(dǎo)函數(shù)的極值必定是它的駐點(diǎn)，反之則不一定。則不一定。 判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)要判斷該點(diǎn)判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)要判斷該點(diǎn)左右的導(dǎo)數(shù)符號是否發(fā)生變化，此外導(dǎo)左右的導(dǎo)數(shù)符號是否發(fā)生變化，此外導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)。證：僅就 取極大值做出證明，取極小值 時(shí)仿此證明0()( )f xf x0()( )f xf x當(dāng) 時(shí)，所以0000( )() ()lim0 xxf xf xfxxx0(

41、 )()f xf x0 xx當(dāng) 時(shí)0000( )() ()lim0 xxf xf xfxxx所以0()0fx因此 ，證畢,)(0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf,0時(shí)時(shí)由小到大通過由小到大通過當(dāng)當(dāng)xx0)( 0 xf且且(1) )(xf “左正右負(fù)左正右負(fù)” ,;)(0取極小值取極小值在在則則xxf(2) )(xf “左負(fù)右正左負(fù)右正” ,.)(0取極大值取極大值在在則則xxf)( xf)(xf0 x(3)若若不變號，則函數(shù)不變號，則函數(shù) 在在 處無極值處無極值證：若 是 鄰域內(nèi)的一點(diǎn)，由拉格朗日中值定理，可知必在 與 之間存在一點(diǎn) ，使x0 xx0 x00( )()( )(

42、)f xf xfxx對于條件(2)，當(dāng) 時(shí)， 有 ；當(dāng) 時(shí)， ，有 ，所以當(dāng) 由負(fù)變正時(shí)， 為極小值0 xx0( )()f xf x( )0f0 xx( )0f0( )()f xf x( )fx0()f x對于條件(1)，當(dāng) 時(shí)， 有 ；當(dāng) 時(shí)， ，有 ，所以當(dāng) 由正變負(fù)時(shí)， 為極大值如果滿足條件(3)，則在的某個(gè)鄰域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，所以不是極值，也不是極值點(diǎn)( )f x0 x0()f x0 x由定理由定理7和定理和定理8給出求函數(shù)極值的步驟如下：給出求函數(shù)極值的步驟如下：1、求導(dǎo)數(shù)、求導(dǎo)數(shù)2、找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)、找出駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3、用定理、用定理8判定這些點(diǎn)是否為極值點(diǎn)判定這些點(diǎn)

43、是否為極值點(diǎn)例例41 求函數(shù)求函數(shù)32) 1() 1()(xxxf 的極值的極值解：解：)2 . 0()1)(1(5)( . 12 xxxxf12 . 01, 0)( . 2、得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)令令 xf根根據(jù)據(jù)駐駐點(diǎn)點(diǎn)情情況況判判定定極極值值.3)1,( )2 . 0 , 1( )1 , 2 . 0(), 1( 由表可知極值由表可知極值xoy32)1()1()( xxxf例例42 已知直線方程已知直線方程 , 是是直線外的一點(diǎn)直線外的一點(diǎn), 試求試求A到直線到直線 的距離的距離),(00yxA)0( kbkxybkxy 解解:設(shè)設(shè) 為直線方程為直線方程 上的任一點(diǎn)上的任一點(diǎn),設(shè)設(shè)A到到B的距離為的

44、距離為 z,則則),(yxBbkxy 2020002)()()()1(ybkxxxkyxkbxkz 2020)()(ybkxxxz 令 得到唯一駐點(diǎn)0 z2001 kkbkyxxd 例例42 已知直線方程已知直線方程 , 是是直線外的一點(diǎn)直線外的一點(diǎn), 試求試求A到直線到直線 的距離的距離),(00yxA)0( kbkxybkxy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)時(shí), ,從而從而 為為dbkxy Azdxx dxx 0 zdxx 0 z2020)()(ybkxxxz 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn),此時(shí)的此時(shí)的 就是就是到直線到直線 的距離的距離 ,將駐點(diǎn)值代入將駐點(diǎn)值代入 中的中的 ,zx化簡得化簡得20

45、01kbkxyd 0)( 0 xf)(0 xf3、若、若，則不能確定，則不能確定 是否為是否為0 x)(xf0)( 0 xf定理定理9 (第二充分條件第二充分條件)設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處具有二階導(dǎo)數(shù)，且處具有二階導(dǎo)數(shù)，且 ，則：，則：0)( 0 xf)(0 xf)(xf1、若、若，則，則 是是 的極大值的極大值0)( 0 xf)(0 xf)(xf2、若、若，則，則 是是的極小值的極小值0 x的極值，仍需判斷一階導(dǎo)數(shù)在的極值，仍需判斷一階導(dǎo)數(shù)在左右的符號變化情況，然后再得出結(jié)論。左右的符號變化情況，然后再得出結(jié)論。)(xf0 x例例43 應(yīng)用第二充分條件求函數(shù)應(yīng)用第二充分條件求函數(shù) 31292)(2

46、3 xxxxf的極值的極值解解:)2)(1(612186)( 2 xxxxxf)32(61812)( xxxf12( )0,1,2;fxxx令得駐點(diǎn). 06) 2( , 06)( fxf處處取取得得極極大大值值在在知知由由定定理理1)(9 xxf; 2max f處取得極小值處取得極小值在在2)( xxf. 1min f1)1()(32 xxf解解:22)1()1(6)( xxxxf1 ,0 ,1,0)( xxf得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)令令)15)(1)(1(6)( 2 xxxxf則則6)0(, 0)1()1( fff因此因此, ,由定理由定理9 9判定判定, ,函數(shù)在函數(shù)在x=0 x=0時(shí)有時(shí)有極小值極小

47、值0,0,在在x=1,-1x=1,-1時(shí)由定理時(shí)由定理8 8判定判定例例45 血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血液由細(xì)胞和血漿構(gòu)成，血細(xì)胞的比重高于血漿構(gòu)成，血液在血管中迅速流動(dòng)時(shí)，血細(xì)胞有集血漿構(gòu)成，血液在血管中迅速流動(dòng)時(shí)，血細(xì)胞有集中于血管中軸附近的傾向，而在靠近血管內(nèi)膜的邊中于血管中軸附近的傾向，而在靠近血管內(nèi)膜的邊緣部位則主要是一層血漿。邊緣部位由于血管壁的緣部位則主要是一層血漿。邊緣部位由于血管壁的摩擦力而流速較慢，愈近中軸，流動(dòng)越快，此現(xiàn)象摩擦力而流速較慢，愈近中軸，流動(dòng)越快，此現(xiàn)象在流速相當(dāng)高的洗血管中最為顯著，稱為軸流問題。在流速相當(dāng)高的洗血管中最為顯著，稱為軸流問題。軸

48、流理論認(rèn)為：血細(xì)胞速度與血漿速度的相對值軸流理論認(rèn)為：血細(xì)胞速度與血漿速度的相對值 依賴于血細(xì)胞的直徑與它通過小血管直徑依賴于血細(xì)胞的直徑與它通過小血管直徑 之比，其關(guān)系式為之比，其關(guān)系式為rDrv213.33(1)0.67rrvD其中其中0rD（血細(xì)胞直徑（血細(xì)胞直徑/小血管直徑）小血管直徑）1,rv （血細(xì)胞速度（血細(xì)胞速度/血漿速度）血漿速度）rvrD試求試求 關(guān)于關(guān)于 的一階導(dǎo)數(shù)的極值的一階導(dǎo)數(shù)的極值解：解：223.332(1)rrrrdvDdDD2221 36.66(1)rrrDvD 令 ，得 因?yàn)?0rv 3 3rD 22 4(1 3)12 6.660(1)rrrrDDvD所以 時(shí)

49、 取極小值。由于 ，3 3rD rrdvdD0rrdvdD所以他的絕對值 在 處達(dá)到極大值rrdvdD3 3rD 例例46 求求 當(dāng)當(dāng) 時(shí)得最大值與最小值時(shí)得最大值與最小值3)( xexf 5 , 5 x解解:該函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)該函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù),可寫成如下形式可寫成如下形式 35,53 ,)(33xexexfxx該函數(shù)在該函數(shù)在-5,5內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù),但在但在x=3處不可導(dǎo)處不可導(dǎo) 因?yàn)橐驗(yàn)?3lim, 13lim033033 xeexeexxxx當(dāng)當(dāng) 時(shí)函數(shù)可導(dǎo)時(shí)函數(shù)可導(dǎo)3 x例例47 求求 當(dāng)當(dāng) 時(shí)得最大值與最小值時(shí)得最大值與最小值3)( xexf 5 , 5 x的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為35,

50、53 ,)( 33xexexfxx)(xf)(xf在討論的區(qū)間內(nèi)無駐點(diǎn)在討論的區(qū)間內(nèi)無駐點(diǎn),因此最大值和最小值因此最大值和最小值只可能在只可能在 及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)x=3處取得處取得,在這些點(diǎn)處的函數(shù)值分別為在這些點(diǎn)處的函數(shù)值分別為:5 x由此知函數(shù)由此知函數(shù) 在在-5,5的最大值為的最大值為1)3(,)5(,)5(28 fefef3)( xexf最小值為最小值為 .8)5(ef 1)3( f)(xf)(af)(bf)(xf定義定義4 設(shè)設(shè) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上連續(xù)，上連續(xù)，與與 比較，其數(shù)值最大與最比較，其數(shù)值最大與最在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b上的最大與最小值。上的最大與最

51、小值。將區(qū)間內(nèi)所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值將區(qū)間內(nèi)所有極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值小者分別稱為函數(shù)小者分別稱為函數(shù)例例48 48 在給定容積在給定容積V V的條件下，做一個(gè)有蓋的條件下，做一個(gè)有蓋圓柱形罐頭，問當(dāng)高和底半徑取多少時(shí)用圓柱形罐頭，問當(dāng)高和底半徑取多少時(shí)用料最省料最省解解: 設(shè)底面半徑為設(shè)底面半徑為r,r,高高h(yuǎn),h,表面積為表面積為S,S,則則rhrS 222 22,rVhhrV 則則且且), 0(,22)(S2 rrVrr 帶入得帶入得所以所以S S的最小值的最小值3222VVrShrr當(dāng)時(shí)， 有最小值，且322( )4,( )0,2VVS rrS rrr令得將將S對對r求導(dǎo)得求導(dǎo)得044

52、)( ,3 rVrS 又因?yàn)橛忠驗(yàn)橐?、函?shù)曲線的凹凸性一、函數(shù)曲線的凹凸性二、曲線的拐點(diǎn)二、曲線的拐點(diǎn)三、曲線的漸近線三、曲線的漸近線定義定義5 5 如果一段曲線位于它上面任如果一段曲線位于它上面任意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這段意一點(diǎn)的切線上方，我們就稱這段曲線是向上凹的，如果一段曲線位曲線是向上凹的，如果一段曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱這段曲線是向上凸的稱這段曲線是向上凸的一、函數(shù)曲線的凹凸性一、函數(shù)曲線的凹凸性)(xf)( xf0)( xf0)( xf如果函數(shù)如果函數(shù)定理定理1010在區(qū)間在區(qū)間(a,b) (a,b) 內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)則在

53、該區(qū)間上，當(dāng)則在該區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，曲線向上凸，稱時(shí)，曲線向上凸，稱 為凸函數(shù)為凸函數(shù)時(shí)，曲線向上凹，并稱時(shí)，曲線向上凹，并稱 為凹函數(shù)；為凹函數(shù)；)(xf)(xf當(dāng)當(dāng)二、函數(shù)的拐點(diǎn)二、函數(shù)的拐點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù) )(xf 在某點(diǎn)的凹凸性發(fā)生了在某點(diǎn)的凹凸性發(fā)生了變化，那么該點(diǎn)就稱為曲線的拐點(diǎn)。變化，那么該點(diǎn)就稱為曲線的拐點(diǎn)。需要注意的是：拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)為需要注意的是：拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；反之二階導(dǎo)數(shù)為反之二階導(dǎo)數(shù)為0或者二階導(dǎo)數(shù)不存在的或者二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)卻不一定是拐點(diǎn)。點(diǎn)卻不一定是拐點(diǎn)。判斷函數(shù)曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的步驟

54、如下：判斷函數(shù)曲線的凹凸性及拐點(diǎn)的步驟如下：0)( xf2、令令)(xf求出其在定義域的根，同時(shí)找到在函數(shù)求出其在定義域的根，同時(shí)找到在函數(shù)定義域內(nèi)部存在的二階導(dǎo)數(shù)定義域內(nèi)部存在的二階導(dǎo)數(shù)；)( xf1 1、求、求0 x)( xf0 x0 x0)( xf0)( xf3、對每個(gè)實(shí)根（或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)），如、對每個(gè)實(shí)根（或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)），如判斷判斷在在 左右的符號，如果變號，則左右的符號，如果變號，則是拐點(diǎn)，否則不是拐點(diǎn)；使是拐點(diǎn)，否則不是拐點(diǎn)；使的那段區(qū)間為上凹區(qū)間，使的那段區(qū)間為上凹區(qū)間，使的那段區(qū)間為上凸區(qū)間。的那段區(qū)間為上凸區(qū)間。35)1( xy的凹凸性及拐點(diǎn)的凹凸性及拐點(diǎn)解解:

55、 :)1()1(910 ,)1(353132 xxyxy在定義域內(nèi)無零點(diǎn)在定義域內(nèi)無零點(diǎn))1 ,(), 1( 例例50 討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)212xxy 22222)1()1)(1(2)1()1(2xxxxxy 解解:令令y=0,得得x=-1,1,列表如下列表如下) 1,( ), 1( )1, 1( 例例50 討論函數(shù)討論函數(shù) 的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)的單調(diào)性極值及拐點(diǎn)212xxy 322)1()3(4 xxxy 解解:列表列表得得令令,3, 0 ,3, 0 xy)3,0(), 3( )3,( )0 , 3( 3 3三、曲線的漸近線三、曲線的漸近線bxfx )(li

56、m)(xfy by )(lim0 xfxx)(xfy 0 xx 定義定義6 如果動(dòng)點(diǎn)沿某一條曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)沿某一條曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)到一定直線的距離趨于零，這條直線就動(dòng)點(diǎn)到一定直線的距離趨于零，這條直線就稱為該曲線的漸近線稱為該曲線的漸近線 則曲線則曲線 有水平漸近線有水平漸近線如果如果 ，則曲線，則曲線有垂直漸近線有垂直漸近線如果如果例例51 51 討論討論 的漸近線的漸近線xexy1)2( xxex/10)2(lim由由1)2(lim/1 xexxx解解: :知知x=0 x=0是垂直漸近線是垂直漸近線3)2(lim)(lim/1 xexxyxxx所以所以,y=x+3,y=x+3是