函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用

1、函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用寧波東錢湖旅游學(xué)校 施亞娜摘 要：函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本思想。其中，函數(shù)思想是用變化的觀點(diǎn)分析數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)、利用函數(shù)的性質(zhì)解題；方程思想是將問題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為方程模型來解題。它們還密切相關(guān), 有時(shí)需要互相轉(zhuǎn)化來解決問題。本文主要闡述函數(shù)與方程思想的地位和作用，函數(shù)與方程思想的概念及它們在解集合、不等式、數(shù)列等方面的應(yīng)用，包括運(yùn)用函數(shù)思想、方程思想，函數(shù)和方程統(tǒng)一思想。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；函數(shù)思想; 方程思想; 函數(shù)與方程思想數(shù)學(xué)知識可以記憶一時(shí)，但數(shù)學(xué)思想和方法卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用，使人受益終身。近年來我國許多考綱已明確提出

2、不僅要考察學(xué)生的數(shù)學(xué)知識和思維能力，還要考察學(xué)生思想方法的運(yùn)用能力。其中函數(shù)與方程的思想是眾多考試考查的最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一。學(xué)生僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程的知識是不夠的，應(yīng)通過解題和對解題過程的反思來領(lǐng)悟函數(shù)與方程的思想。一、函數(shù)與方程思想的地位和作用數(shù)學(xué)思想是人們對現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)認(rèn)識，它是思維加工的產(chǎn)物，比一般的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法具有更高的概括性和抽象性，因而更深刻，更本質(zhì)?？梢哉f，數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識的核心，是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂。目前高中階段主要數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、劃歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、有限與無限、或然與必然。函數(shù)與方程思想，既是函數(shù)思想與方程思想

3、的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想。函數(shù)與方程思想作為高中數(shù)學(xué)思想方法的重點(diǎn)，對學(xué)生的要求也越來越高。考試中心指出：“高考把函數(shù)與方程的思想作為七種思想方法的重點(diǎn)來考查，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相結(jié)合的角度進(jìn)行深入考查。” 我們僅僅學(xué)習(xí)了函數(shù)與方程知識，在解決問題時(shí)往往是被動的，而建立了函數(shù)與方程思想，才能主動地去思考一些問題。因此應(yīng)讓學(xué)生自己體會函數(shù)與方程的聯(lián)系，通過解題來領(lǐng)悟函數(shù)與方程的思想。二、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想，簡單地說，就是學(xué)會用函

4、數(shù)和變量來思考，學(xué)會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。在解題時(shí)，用函數(shù)思想做指導(dǎo)就需要把字母看作變量，把代數(shù)式看作函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)做工具進(jìn)行分析，或者構(gòu)造一個(gè)函數(shù)把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題。用方程思想做指導(dǎo)就需要把含字母的等式看作方程，研究方程的根有什么要求。 它們是兩個(gè)不同的概念：1函數(shù)的思想，是用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問題。就中學(xué)數(shù)學(xué)而言，函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是借助有關(guān)初等

5、函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把所研究的問題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化繁為簡，化難為易的目的。2方程的思想，是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，經(jīng)過一定的數(shù)學(xué)變換或構(gòu)造，把已知和未知通過相等關(guān)系統(tǒng)一在方程中，使非方程問題轉(zhuǎn)化為方程的形式，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決。方程的思想是對方程概念的本質(zhì)認(rèn)識，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問題。方程思想是動中求靜，研究運(yùn)動中的等量關(guān)系。它們還有著密切的聯(lián)系：方程f(x)0的解就是函數(shù)yf(x)的圖像

6、與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)yf(x)也可以看作二元方程f(x)-y0通過方程進(jìn)行研究。因此，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決，如解方程f(x)0，就是求函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)；反之，許多函數(shù)問題也可以用方程的方法來解決，如函數(shù)yf(x)，當(dāng)y0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)0，也可把函數(shù)式y(tǒng)f(x)看做二元方程yf(x)0?？傊?，可以通過互相轉(zhuǎn)化、接軌來解決問題。三、函數(shù)與方程思想在解題中的幾個(gè)應(yīng)用一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可看成是一個(gè)方程。一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個(gè)方程可以看成是一個(gè)函數(shù)，一個(gè)一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解

7、即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，許多有關(guān)方程的問題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關(guān)函數(shù)的問題可以用方程的方法解決?？傊I(lǐng)悟蘊(yùn)含在知識和解題過程中函數(shù)和方程的思想，用它來指導(dǎo)解題。在解題中，還要從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。經(jīng)常利用的性質(zhì)有函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、圖像變換等。用方程思想解題的關(guān)鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結(jié)論構(gòu)造方程(組)。（一）函數(shù)、方程思想1在集合方面的運(yùn)用集合是數(shù)學(xué)研究的基本對象之一。函數(shù)思想本身也是集合對應(yīng)的思想，它用運(yùn)

8、動變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化、解決問題。函數(shù)又與方程思想緊密相連，即通過分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，從而建立方程（組），通過解方程（組）或運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化、解決問題。因此函數(shù)和方程思想在解集合相關(guān)題目時(shí)具有一定的指導(dǎo)作用，下面舉例說明。例1. 50名學(xué)生報(bào)名參加A、B兩項(xiàng)課外興趣小組，報(bào)名參加A組的人數(shù)是全體學(xué)生數(shù)的五分之三，報(bào)名參加B組的人數(shù)比報(bào)名參加A組的人數(shù)多3人，兩組都沒有報(bào)名的人數(shù)是同時(shí)報(bào)名參加兩組的人數(shù)的三分之一多1人，求同時(shí)報(bào)名參加A、B兩組的人數(shù)和兩組都沒有報(bào)名的人數(shù)?？梢钥闯龃祟}是道應(yīng)用題

9、，若尋求集合與集合交集借助符合題意的文氏圖，再利用方程思想就可很容易解決。因此可設(shè)AB的元素為x個(gè)，則（30x）x（33x）（x1）50，解出x21，從而得到答案。一般的，如果問題中變量間的關(guān)系可以用解析式表示出來，則可把關(guān)系式看作一個(gè)方程,通過對方程的分析使問題獲解。特別的，當(dāng)問題出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)造一元二次方程的明顯信號，如遇到, ,可知道b、c是關(guān)于x的一元二次方程的兩根。2在不等式方面的運(yùn)用不等式反映的是不等量的關(guān)系，往往用等量關(guān)系去解決，這就是方程。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對于函數(shù)，當(dāng)0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式0，借助于函數(shù)的圖像與性質(zhì)可以解決不等式的有關(guān)問題，而研究函數(shù)的性

10、質(zhì)，也離不開解不等式。例2解不等式 本題如果直接將左邊通分,然后采用解高次不等式的思維來做運(yùn)算比較麻煩。我們注意到且題中出現(xiàn) , 啟示我們可以構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3+5x去解決問題。因此可把不等式化為，然后令f(x)=x3+5x，則不等式化為，這樣利用函數(shù)單調(diào)性就很容易解決問題。因此，一些表面上看來與函數(shù)、方程無關(guān)的問題,我們?nèi)粲煤瘮?shù)與方程思想去思考,往往能收到意想不到的效果。特別的，在解含參不等式恒成立問題時(shí)會經(jīng)常用到。下面這題就從多個(gè)角度運(yùn)用了函數(shù)與方程思想。例3：求最大的常數(shù)c，使得對滿足0t的實(shí)數(shù)，恒有3t+ct-10成立。分離參數(shù)法。我們觀察到此題中含有兩個(gè)變量c及t，其中t的范圍已

11、知，另一變量c的范圍即為所求。故可考慮將c及t分離，把原不等式化為：c = -3t + , (0t）。顯然要使它恒成立，只需c（-3t + ）的最小值，故上述問題轉(zhuǎn)化為求f(t)= -3t + 的最值問題。分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，方向明確，方法簡潔，巧妙地運(yùn)用了函數(shù)思想。圖像法。要使ct- 3t+1，直接利用函數(shù)y= - 3t+1與y=ct的圖像就可解決。這種方法也是巧妙利用了函數(shù)的性質(zhì)。根的分布理論。設(shè)f(t)= 3t+ct-1,則f(0)0且f()0，解之，最大常數(shù)c為。求解法。利用求根公式解出3t+ct-1=0的根，再根據(jù)小根0，大根可得出c的最大值。這恰當(dāng)運(yùn)用了方

12、程思想，用等量關(guān)系解決了不等量關(guān)系?？梢钥闯?，以上方法都離不開函數(shù)與方程思想的指導(dǎo)。在解決含參不等式恒成立問題時(shí)，可以利用不等式與相應(yīng)函數(shù)的聯(lián)系，從函數(shù)的角度看待條件，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域問題。同樣，在解決函數(shù)的值域時(shí)也可利用函數(shù)的圖象、基本不等式等各種常用方法。一般的，應(yīng)用函數(shù)與方程思想處理不等式問題，關(guān)鍵在于構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和用好方程理論，弄清函數(shù)、方程及不等式的內(nèi)在聯(lián)系，樹立相互轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)。3在數(shù)列方面的運(yùn)用數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，它的定義域是正整數(shù)集或其子集，數(shù)列的通項(xiàng)或前n項(xiàng)和就是以自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問題十分重要。在運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決數(shù)列問題的同時(shí)，也是對

13、數(shù)列概念的本質(zhì)理解。例4. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，這個(gè)數(shù)列從第幾項(xiàng)起，各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大？從第幾項(xiàng)起各項(xiàng)的數(shù)值均為正？數(shù)列中是否存在數(shù)值與首項(xiàng)相同的項(xiàng)？易見，數(shù)列的點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，如右圖通過圖象根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，這個(gè)數(shù)列從第5項(xiàng)開始，各項(xiàng)的數(shù)值逐漸增大，從第9項(xiàng)起，各項(xiàng)的數(shù)值均為正數(shù)，第9項(xiàng)是與首項(xiàng)相同的項(xiàng)。等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式都可看成n的函數(shù)。因此，某些等差(比)數(shù)列問題常可用函數(shù)思想來分析，用函數(shù)方法來解決。下面再舉一例。 例5設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，。求（1）公差d的取值范圍（2）指出、中哪個(gè)值最大，并說明理由。通過分析，對于（1），可考慮由，建立關(guān)于d的

14、不等式組。對于（2）可根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的表達(dá)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)的形式，簡化求最值的過程，減少運(yùn)算量。因?yàn)槠鋱D象必過原點(diǎn)，又由于，故圖象與x軸的另一交點(diǎn)橫坐標(biāo)，滿足，故對稱軸為，因此時(shí)最大?？梢娨陨纤季S過程更為簡潔。一般的，數(shù)列問題都可將其轉(zhuǎn)化為自變量n的函數(shù)，再利用函數(shù)思想來解決，就很方便。（二）函數(shù)與方程統(tǒng)一思想函數(shù)與方程思想是密切相關(guān)的，函數(shù)y=f(x)，當(dāng) y=0時(shí)，就轉(zhuǎn)化為方程 f(x)=0或看作方程y-f(x)=0；而方程f(x)=0的解正是函數(shù)y=f(x) 圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例6. 已知三次方程恰有三個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的范圍。根據(jù)題意，方程f(x)=0的根，即函y=f(x

15、)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，所以函數(shù)應(yīng)與x軸有三個(gè)不同交點(diǎn)，故只需函數(shù)極大值與極小值異號即可。即，。此題通過方程函數(shù)互相轉(zhuǎn)化，觀察函數(shù)圖象特點(diǎn)，直觀又準(zhǔn)確地看到了方程根的情況。特別用導(dǎo)數(shù)法求得極值點(diǎn)，用限制極值的方法使圖象穿x軸三次，問題得到了解決。一般的，利用函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)位置，使方程滿足其根的某限制條件，是最常見的方程與函數(shù)統(tǒng)一的思想。四、結(jié)束語函數(shù)思想是用函數(shù)的概念、性質(zhì)去分析和轉(zhuǎn)化問題。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題；有關(guān)不等式、方程、最值之類的問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系；實(shí)際應(yīng)用問題，

16、翻譯成數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識解答；等差、等比數(shù)列中，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式，都可看成n的函數(shù)。方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系分析入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型(方程或方程組)。在解析幾何中的許多問題，例如直線和二次曲線的位置關(guān)系問題，需要通過解二元方程組才能解決，這涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論。立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用布列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決。函數(shù)與方程屬于代數(shù)領(lǐng)域，但實(shí)際上它們貫穿于高中數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在高等數(shù)學(xué)、其它學(xué)科及現(xiàn)實(shí)生活中都有著廣泛的應(yīng)用。善于根據(jù)題意構(gòu)造并抽象出函數(shù)、方程關(guān)系式是用函數(shù)與方程思想解題的關(guān)鍵。由以上解題過