C251平面幾何中向量方法

1、12.5 2.5 平面向量應(yīng)用舉例平面向量應(yīng)用舉例 2.5.1 2.5.1 平面幾何中的向量方法平面幾何中的向量方法2 問(wèn)題提出問(wèn)題提出1.1.用有向線段表示向量，使得向量可以進(jìn)用有向線段表示向量，使得向量可以進(jìn)行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，并具有鮮明的行線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，并具有鮮明的幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾幾何背景，從而溝通了平面向量與平面幾何的內(nèi)在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量何的內(nèi)在聯(lián)系，在某種條件下，平面向量與平面幾何可以相互轉(zhuǎn)化與平面幾何可以相互轉(zhuǎn)化. .32.2.平行、垂直、夾角、距離、全等、相似平行、垂直、夾角、距離、全等、相似等，是平面幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，而這些問(wèn)等，是平

2、面幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題，而這些問(wèn)題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示題都可以由向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積表示出來(lái)出來(lái). . 因此，平面幾何中的某些問(wèn)題可以用向因此，平面幾何中的某些問(wèn)題可以用向量方法來(lái)解決，但解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想、量方法來(lái)解決，但解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、方法和技能，需要我們?cè)趯?shí)踐中去探究、領(lǐng)會(huì)和總結(jié)領(lǐng)會(huì)和總結(jié). .45 探究（一）：推斷線段長(zhǎng)度關(guān)系探究（一）：推斷線段長(zhǎng)度關(guān)系 思考思考1 1：如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中中, ,已知已知AB=2AB=2，AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么對(duì)角線，那么對(duì)角線ACAC的長(zhǎng)的長(zhǎng)是否

3、確定？是否確定？A AB BC CD D,ACab DBab 思考思考2 2：如上圖，設(shè)向如上圖，設(shè)向 , ,則則向量向量 等于什么等于什么? ?向量向量 等于什么等于什么? ?,ABa ADb AC DB 6思考思考3 3：AB=2,AD=1,BD=2,AB=2,AD=1,BD=2,用向量語(yǔ)言怎樣表述用向量語(yǔ)言怎樣表述? ?12a b 2,1,2abab A AB BC CD Da b 思考思考4 4：利用利用 , ,若求若求 需要解決什么需要解決什么 問(wèn)題問(wèn)題? ? 22ACAC AC 思考思考5 5：利用利用 , ,如何求如何求 ? ? 等于多少？等于多少？2,1,2abab AC a

4、b 6AC 7思考思考6 6：根據(jù)上述思路，你能推斷平行四根據(jù)上述思路，你能推斷平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間具有什么關(guān)系嗎？之間具有什么關(guān)系嗎？ 平行四邊形平行四邊形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和等等于于兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍兩條鄰邊長(zhǎng)的平方和的兩倍. . 思考思考7 7：如果不用向量方法，你能證明上如果不用向量方法，你能證明上述結(jié)論嗎？述結(jié)論嗎？ 8 探究（二）：推斷直線位置關(guān)系探究（二）：推斷直線位置關(guān)系 思考思考1 1：三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系三角形的三條高線具有什么位置關(guān)系? ? 交于一點(diǎn)交于一點(diǎn)思考思考2 2：

5、如圖如圖, ,設(shè)設(shè)ABCABC的兩條高的兩條高ADAD與與BEBE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P,P,要說(shuō)明要說(shuō)明ABAB邊上的高邊上的高CFCF經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,P,你有哪些辦法你有哪些辦法? ?A AB BC CD DE EF FP P證明證明 PCABPCAB9思考思考4 4：對(duì)于對(duì)于PABCPABC，PBAC,PBAC,用向量觀點(diǎn)用向量觀點(diǎn)可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？可分別轉(zhuǎn)化為什么結(jié)論？()0cab ()0,()0acbbac 思考思考3 3：設(shè)向量設(shè)向量 , ,那么那么PCBAPCBA可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？可轉(zhuǎn)化為什么向量關(guān)系？ ,PAa PBb PCc D DA AB BC CE EF FP Pa

6、b c 10思考思考6 6：你能用其它方法證明三角形的三條你能用其它方法證明三角形的三條高線交于一點(diǎn)嗎？高線交于一點(diǎn)嗎？A AB BC CD DE EF FP P思考思考5 5：如何利用如何利用 這兩個(gè)結(jié)論這兩個(gè)結(jié)論推出推出 ？ ()0()0acbbac ()0cab 11 探究（三）：計(jì)算夾角的大小探究（三）：計(jì)算夾角的大小 思考思考1 1：如圖，在等腰如圖，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分別分別是兩條腰是兩條腰ABAB、ACAC的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若CDBECDBE，你認(rèn)，你認(rèn)為為A A的大小是否為定值？的大小是否為定值？A AB BC CD DE E12 探究（三）：計(jì)算夾角的大

7、小探究（三）：計(jì)算夾角的大小 思考思考1 1：如圖，在等腰如圖，在等腰ABCABC中，中，D D、E E分別分別是兩條腰是兩條腰ABAB、ACAC的中點(diǎn)，若的中點(diǎn)，若CDBECDBE，你認(rèn)，你認(rèn)為為A A的大小是否為定值？的大小是否為定值？13思考思考2 2：設(shè)向量設(shè)向量 , ,可以利可以利用哪個(gè)向量原理求用哪個(gè)向量原理求A A的大小？的大??？,ABa ACb cos|a bAab A AB BC CD DE Ea b 1412BEba 12CDab 思考思考4 4 將將CDBECDBE轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算可得什么結(jié)論? ?A AB BC CD DE Ea b 思考思考3

8、3 以以 為基底為基底, ,向量向量 如何表示如何表示? ?,a b ,BE CD 2225()a bab154cos5|a bAab 思考思考5 5：因?yàn)橐驗(yàn)锳BCABC是等腰三角形，則是等腰三角形，則 , ,結(jié)結(jié)合上述結(jié)論合上述結(jié)論 等于多少等于多少? ?2225,cos()a baAb ab A AB BC CD DE Ea b 16 理論遷移理論遷移例例1 1 如圖，在平行四邊形如圖，在平行四邊形ABCDABCD中中, ,點(diǎn)點(diǎn)E E、F F分別是分別是ADAD、DCDC的中點(diǎn)的中點(diǎn),BE,BE、BFBF分別與分別與ACAC相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)M M、N,N,試推斷試推斷AMAM、MNMN、

9、NCNC的長(zhǎng)度具有什么關(guān)系的長(zhǎng)度具有什么關(guān)系, ,并證明并證明你的結(jié)論你的結(jié)論. .結(jié)論結(jié)論:AM=MN=NC :AM=MN=NC 17例例2 2 如圖，如圖，ABCABC的三條高分別為的三條高分別為AD,BE, AD,BE, CF,CF,作作DGBE,DHCFDGBE,DHCF，垂足分別為，垂足分別為G G、H H，試推斷試推斷EFEF與與GHGH是否平行是否平行. .A AB BC CD DE EF FP PG GH H 結(jié)論結(jié)論:EFGH :EFGH 18 小結(jié)作業(yè)小結(jié)作業(yè)1.1.用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的基本思路：路：幾何問(wèn)題向量化幾何問(wèn)題向量化 向量運(yùn)算關(guān)系向量運(yùn)算關(guān)系化化 向量關(guān)系幾何化向量關(guān)系幾何化. .2.2.用向量方法研究幾何問(wèn)題，需要用向量用向量方法研究幾何問(wèn)題，需要用向量的觀點(diǎn)看問(wèn)題，將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)的觀點(diǎn)看問(wèn)題，將幾何問(wèn)題化歸為向量問(wèn)題來(lái)解決題來(lái)解決. .它既是