數(shù)學(xué)物理方程(很好的學(xué)習(xí)教材)

1、物理量物理量 u(Y,E,B,P)空間分布（空間分布（x,y,z）時間演化（時間演化（t）邊界條件邊界條件初始條件初始條件物理規(guī)律物理規(guī)律u(x,y,z,t)分析問題分析問題定解問題定解問題（確定系數(shù)）（確定系數(shù)）定界條件定界條件由牛頓第二定律由牛頓第二定律dxutt=T2sin2- T1sin10 = T2 cos2- T1 cos1微振動條件微振動條件cos1 = cos2= 1sin1 = tan1 = ux(x,t)sin2= tan2 = ux(x+dx,t)于是有于是有T2 =T1=Tuttdx=Tux(x+dx,t)-ux(x,t)化簡后得到化簡后得到 utt = T uxx u

2、tt = a2 uxxBCA12uxxdxa2 = T/)(),(zzyyxxttuuuTtzyxu，uatruuTtrutttt2),(),(zyxdxdydzodxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDdxdydzxqdydzqqxxxxdxxx222222:)(:)(0)(22222222DauaudxdydzzuyuxuDdxdydztut由能量守恒定律 c du=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有c ut = -qx由熱傳導(dǎo)定律q(x,t) = -k ux(x,t)代入前面的式子，得到c ut = k uxxut = a2 ux

3、xa2 = k/(c)0022uauuautxxt三維：一維：fuaut2源的強(qiáng)度源的強(qiáng)度PoissonLaplacezyxfutzyxfuautzyxfuauttt有外界無外界穩(wěn)定場方程：有外源無外源輸運(yùn)方程：有外力無外力波動方程：),(0),(0),(022作業(yè)：作業(yè)：P152 3,47.2 定解條件定解條件n方程 ut(t) = 0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？該怎么辦？n方程 uxx(x) = 0n能不能求解？解是什么？n能不能定解？該怎么辦？n由此可歸納出n數(shù)學(xué)物理方程的通解含有任意常數(shù)，要完全確定這些常數(shù)需要附加條件。一、定解問題的提出一、定解問題的提出二、初始條件二、初始

4、條件n意義意義n反映系統(tǒng)的特定歷史n分類分類n初始狀態(tài)（位置），用 u |t=0 = (x,y,x)表示；n初始變化（速度），用 ut|t=0 = (x,y,z)表示。n典型例子典型例子n一維熱傳導(dǎo)n未知函數(shù)對時間為一階，只需一個初始條件n一端溫度為a，均勻增加到另一端溫度為bnu |t=0 = a+(b-a)x/L初始條件初始條件n一維弦振動一維弦振動n未知函數(shù)對時間為二階，需要兩個初始條件n初始位移初始位移n處于平衡位置： u|t=0 = 0n兩端固定，在c點(diǎn)拉開距離h： u|t=0 = hx/c， 0 xc; u|t=0 = h(L-x)/(L-c)，cxL;n初始速度初始速度n處于靜止

5、狀態(tài)： ut|t=0 = 0n在c點(diǎn)受沖量I： ut|t=0 = I(x-c)/三、邊界條件三、邊界條件n意義意義n反映特定環(huán)境對系統(tǒng)的影響n分類分類n按條件中未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的次數(shù)：n線性邊界條件和非線性邊界條件；n線性邊界條件中n按給出的是函數(shù)值或?qū)?shù)值：n第一、二、三類邊界條件；n按所給數(shù)值是否為零：n齊次邊界條件和非齊次邊界條件。),(),(),(),(000,000,000,000000000tzyxfnuHutzyxfnutzyxftzyxuzyxzyxzyx邊界邊界邊界第三類邊界條件：第二類邊界條件：第一類邊界條件：定解條件定解條件初始條件初始條件邊界條件邊界條件第二類或者第三類

6、邊界條件：第一類或者位移”和初始“速度”初始條件：包含初始“定解條件方程形式：fuautt2第二類或者第三類邊界條件：第一類或者始時刻的值初始條件：物理量在初定解條件方程形式：fuaut2第二類或者第三類邊界條件：第一類或者初始條件：不需要定解條件方程形式：fu邊界條件舉例邊界條件舉例n典型線性邊界條件n一維弦振動一維弦振動n固定端 u |x=0 =0 n受力端 ux|x=0 = F/n一維桿振動一維桿振動n固定端 u |x=0 = 0n自由端 ux|x=0 = 0n受力端 ux|x=0 = F/YSn一維熱傳導(dǎo)一維熱傳導(dǎo)n恒溫端 u |x=0 = a n絕熱端 ux|x=0 = 0n吸熱端

7、ux|x=0 = F/k注注 意意 事事 項(xiàng)項(xiàng)n注意區(qū)分邊界條件與泛定方程中的外力或者外源。比如一維擴(kuò)散問題中，在邊界x=a上有粒子流注入，此時不能看做是有外源；n注意銜接條件。有些問題中存在躍變點(diǎn)，在躍變點(diǎn)處，泛定方程失去意義，需要考慮的問題是躍變點(diǎn)處的物理量是連續(xù)的；n注意隱含條件。比如泛定方程解得分母中含有自變量時，在x=0處是沒有意義的，此時分母中含有自變量的解前面的系數(shù)應(yīng)該取0 ；n注意沒有邊界條件的問題。一、科學(xué)分類方法一、科學(xué)分類方法7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類二、數(shù)學(xué)物理方程的一般分類二、數(shù)學(xué)物理方程的一般分類n一般分類一般分類n按自變量的個數(shù)，分為二元二元和多

8、元方程多元方程；n按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的冪次，分為線性微分方程線性微分方程和非線性微分方程非線性微分方程；n按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階一階、二二階階和高階微分方程高階微分方程。n線性偏微分方程的分類線性偏微分方程的分類n按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)常系數(shù)和變系數(shù)變系數(shù)微分方程；n按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程齊次方程和非齊次方程。非齊次方程。0),(),(2111121321nknixkinjnixxkijnxxxfcuubuaxxxuniji式元二階偏微分方程的形一般的例：l 如果aij是自變量的函數(shù)，則稱為變系數(shù)微分方程； 如果aij與自變量無關(guān)，則稱為常系數(shù)微分方

9、程；l 如果k1=k2=k3=1(or 0)，且k1，k2中至少有一個的值為1， 稱為線性微分方程；如果k1，k2，k3中至少有一個的值 不等于1和0，則稱為非線性微分方程；l 如果f=0，則稱為齊次微分方程；如果f0，則稱為非 齊次微分方程。02yyyxyxxcuauauau062yxxyxxuuyuuyuuuyxyxxsin5202yyxyxxxuuuuuuuyyxyxxsin23判斷：判斷：推導(dǎo)過程推導(dǎo)過程n關(guān)于自變量 x，y的二階線性偏微分方程（系數(shù)都是x，y的函數(shù)）0221221211fcuububuauauayxyyxyxx作自變量代換),(),(),(),(yxyxyyxxyyy

10、yyyyyyyxyxyyxxyxxyxxyxxxxxxxxxxyyyxxxuuuuuuuuuuuuuuuuuuanduuuuuu22222)(20221221211FCuuBuBuAuAuAfFcCbbaaaBbbaaaBaaaAaaaAaaaAyxyyxyxxyxyyxyxxyyxxxyxyyxxxyyxx2122121122122121112221221122221211122221221111222)(2于是，方程化為：n取特解做新的自變量，使A11和A22為零，方程可以簡化。特解滿足的方程為：0)(2)(02221221122212211azzazzazazzazayxyxyyxx把z

11、(x,y)=常數(shù)當(dāng)做定義隱函數(shù)y(x)的方程，則dy/dx = -zx/zy，于是得到二階線性偏微分方程的特征方程：0)(2)(2212211adxdyadxdya三、疊加原理三、疊加原理n原理原理：n線性方程的解可以分解成幾個部分的線性疊加，只要這些部分各自滿足的方程的相應(yīng)的線性疊加正好是原來的方程n如：L u1 = f1n L u2 = f2n則：L (au1+ bu2)= af1 + bf2n應(yīng)用應(yīng)用：n齊次方程的兩個解的線性組合仍為原方程的解；n非齊次方程的特解加對應(yīng)的齊次方程的解，結(jié)果為非齊次方程的解；n兩個非齊次方程的解的線性組合，為一個新的非齊次方程的解，新方程的自由項(xiàng)為原方程自

12、由項(xiàng)的同樣組合。7.4 達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式 定解問題定解問題n定解問題的求解思路定解問題的求解思路n原則：由已知猜未知n方法：類比法n步驟：由泛定方程求通解，由條件定特解。n泛定方程的求解泛定方程的求解n達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)n達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用一、泛定方程的求解一、泛定方程的求解n常微分方程常微分方程n方程方程：u = 2a x n通解：u = a x2 + Cn偏微分方程偏微分方程n方程方程：ux = 2y x n通解：u = y x2 + C(y)n二階方程二階方程：uxy = 0n對y偏積分： ux = C(x)n通解： u = C(x) dx +

13、 D(y) = f(x) + g(y) 二、達(dá)朗貝爾二、達(dá)朗貝爾(D Alembert )公式公式n以均勻弦的橫振動為例來推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式以均勻弦的橫振動為例來推導(dǎo)達(dá)朗貝爾公式xuauxxtt, 02方程形式：方程形式：定解條件：定解條件：無界，不存在邊界條件邊界條件：初始條件：)(),(00 xuxuttt推導(dǎo)步驟：推導(dǎo)步驟： 1）由方程求通解2）由初始條件確定通解中的待定系數(shù)1）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)（求通解）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)（求通解）0022222uxatxatuxat示為：波動方程的形式可以表xtaxxttxtaxxtt21212121于是：atxatxatx即作變換：)(21)(210

14、2u是任意函數(shù)。其中，偏積分得：對)()(ffu)()()()()()(21212atxfatxffffdfu偏積分得：再對下波動方程的形式。就是在變換txaau1102通解的物理意義：以速度通解的物理意義：以速度a沿沿x軸正負(fù)方向移動的行波。軸正負(fù)方向移動的行波。負(fù)方向移動的行波沿正方向移動的行波沿xatxfxatxf: )(: )(21達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)（求特解）達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)（求特解）)()( )( )()()(2121xxafxafxxfxf由初始條件得：xaxadxxfdxxf)()()()()()(2121221211由此解得：atxatxadatxatxxu)()()()(2

15、121代入通解得：xadxfxf)()()(121對第二式積分：確定。由初始條件：通解中的任意函數(shù)可以)()(),(00 xxuxuttt達(dá)朗貝爾公式達(dá)朗貝爾公式2）達(dá)朗貝爾公式的物理意義）達(dá)朗貝爾公式的物理意義n若初始條件為：若初始條件為：0)(22, 022),cos()(xxxxxx或)(21)(21),(atxatxtxu則達(dá)朗貝爾公式給出：初始位移分為兩半，分別向左右兩個方向以速度初始位移分為兩半，分別向左右兩個方向以速度a移動。移動。這兩個行波的和給出各個時刻的波形這兩個行波的和給出各個時刻的波形n若初始條件為：若初始條件為：),(, 0),(,)(0)(21210 xxxxxxx

16、x常數(shù))()()(21)(21),(atxatxdadatxuatxatx達(dá)朗貝爾公式給出：atxatxxxxxaxxxxxaxxdax20221011,)(21)(,)(21)(, 0)(21)(這里：3）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用）達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用)0(),(|),(|0|0, 00002xxuxuuxuautttxxxtt問題附加邊界條件后的定解a) 半無限長弦的自由振動：半無限長弦的自由振動：初始條件只是在x0才有意義，在x0的區(qū)域上弦并不存在。因此，若時間增加到x-at0，達(dá)朗貝爾公式中(x-at)和積分項(xiàng)就失去了意義，公式也不能應(yīng)用了。|)(|)sgn(|),(|)sgn(|, 0002

17、xxuxxuxuautttxxtt方法方法：把半無限長弦當(dāng)做無限長弦的x0的部分。無限長弦在振動過程中，點(diǎn)x=0保持不動。因此，無限長弦的位移u(x,t)應(yīng)當(dāng)是奇函數(shù)，初始位移和初始速度也都是必須是奇函數(shù)，)0()()0()()()0()()0()()(xxxxxxxxxx這樣，通過奇“延拓”的方式，把方程和初始條件從半無界區(qū)間延拓到整個無界區(qū)間現(xiàn)在就可以應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式進(jìn)行求解。和無界區(qū)間的解相比，端點(diǎn)的影響表現(xiàn)為反射波反射波，即存在半波損失半波損失。b) 無限長自由振動無限長自由振動222|,|, 0002xttxtxxttaxeueuxuauatxatxsaatxatxdsaseeexu

18、2222)(21)()(21解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式atxatxsatxatxdseee221)()(21222atxatxsatxatxeee22221)()(212)(atxe-224680.81-224680.81-224680.81-224680.81-224680.81c) 邊界條件舉例邊界條件舉例n任意給定初始條件 u|t=0 = 2 exp(-x2), ut|t=0 = 0n附加邊界條件1.u|x=0 = 02.ux|x=0 = 03.u|x=0 = u04.u|x

19、=0 = 0, u|x=L = 05.三、定解問題是一個整體三、定解問題是一個整體 一般情況下，不可能先求偏微分方程的通解，然后再考慮定解條件，必須同時考慮這兩方面。四、定解問題的適定性四、定解問題的適定性 1）有解 2）解是唯一的 3）解是穩(wěn)定的？本本章章小小結(jié)結(jié)波動方程輸運(yùn)方程拉普拉斯方程泊松方程第一類第二類第三類周期性有界性 演化方程 穩(wěn)定方程線性邊界條件自然邊界條件初始狀態(tài)初始速度泛定方程邊界條件初始條件定解問題n先求泛定方程的通解的方法只適用于很少數(shù)的某些定解問題。n是否存在一種基本的解法適用于大量的各種各樣的定解問題呢？n能否把偏微分方程變換成常微分方程，再求解呢？Chap.8 分

20、離變數(shù)法分離變數(shù)法n齊次方程的分離變數(shù)法n非齊次問題的求解n非齊次邊界條件的處理n泊松方程n本章小結(jié)8.1 齊次方程的分離變數(shù)法齊次方程的分離變數(shù)法一、分離變數(shù)法介紹一、分離變數(shù)法介紹)0()(),(|0|, 0|00002LxxuxuuuuautttLxxxxtt兩個固定的端點(diǎn)會引起波的反射，從而在(0,L)之間存在兩列反向進(jìn)行的同頻率的波形成駐波。波腹波腹波節(jié)波節(jié)n駐波的特點(diǎn)駐波的特點(diǎn)：駐波沒有形成波形傳播，相鄰波節(jié)之間各點(diǎn)振動相位相同，表示為T(t)，但是這些點(diǎn)的振幅卻隨位置的變化而變化，振幅隨位置的變化可以表示為X(x)。n于是，駐波的一般表示式具有分離變數(shù)的形式：)()(),(tTx

21、Xtxu把駐波的分離變數(shù)的形式代入振動方程和邊界條件中 0)()(0)()0(02tTLXtTXTXaTX1） 定解問題的分離變數(shù)定解問題的分離變數(shù)n 未知函數(shù)分離：)()(),(tTxXtxu0)()0(0)()()()0(LXXtTLXtTX XXTaTTXaTX022n 泛定方程分離：n 邊界條件分離：n 分離結(jié)果：00)()0(02 TaTLXXXX00000)(021212121uCCeCeCCCeCeCxXLLxx由邊界條件：，方程的解：222212121), 2 , 1(0sin00sin0sincos)(0LnnnLLCCLCCxCxCxX由邊界條件：，方程的解：0)()0(0

22、LXXXXn 空間方程：空間方程：00000)(02121221uCCCLCCCxCxX由邊界條件：，方程的解：構(gòu)成所謂本征值問題稱為本征函數(shù)；征值；取特定的正數(shù)，稱為本 )()0(0,sin)(:2LXXXXLxnCxXLatnBLatnAtTTLnaTsincos)(02222 n 時間方程：時間方程：), 2 , 1(sinsincossinsincos),(2nLxnLatnBLatnALxnCLatnBLatnAtxunnnnlnltxulxnnnknklxn/2/0),(0)/sin(1), 2 , 1 , 0(/所以波長，相鄰節(jié)點(diǎn)間隔為這些點(diǎn)就是駐波的節(jié)點(diǎn)個點(diǎn)上，共在1sinsi

23、ncos),()3/21)2/2, 0, 1, 01) 1nnnLxnLatnBLatnAtxuLannLnnnLaLLxkn一般解邊界條件的加就是滿足波動方程和所有各次諧波的線性疊，角頻率為次諧波的波長為次諧波，時，各個駐波分別稱為，這個駐波稱為基波角頻率，振動的波長為節(jié)點(diǎn)有兩個：時，：討論3）系數(shù)的確定）系數(shù)的確定n把方程的一般解代入到初始條件中，)0()(sin)(sin11LxxLxnLanBxLxnAnnnnn上兩式的左邊是傅里葉正弦級數(shù)，把右邊的函數(shù)展開為傅里葉正弦級數(shù)，比較兩邊的系數(shù)就可以確定An和BnLnnLnndLnananLBdLnLA00sin)(2sin)(2傅里葉系數(shù)

24、傅里葉系數(shù)分離變量過程小結(jié)分離變量過程小結(jié)偏微分偏微分方方 程程分離變數(shù)本征值方程1 解1常微分方程2 解2解1解2線性 組合所求解所求解初始條件確定系數(shù)分離變數(shù)法（傅里葉級數(shù)法）分離變數(shù)法（傅里葉級數(shù)法）n我們以兩端固定的均勻弦的自由振動為例介紹了分離變數(shù)法的基本思想和求解過程。n用分離變數(shù)法得到的定解問題的解一般是無窮級數(shù)。在實(shí)際的問題中，級數(shù)里常常只有前若干項(xiàng)比較重要，后面的項(xiàng)則迅速減小，從而可以略去。二、典型問題的求解（波動方程）二、典型問題的求解（波動方程）n 例題例題1：兩端自由的棒的縱振動：兩端自由的棒的縱振動初始條件第二類邊界條件)0()(),(0, 000002lxxuxuu

25、uuautttlxxxxxxtt00)()0(00)()()()0(0)()(),(22 TaTandlXXXXtTlXtTXTXaTXtTxXtxu分離變數(shù)的試探解：l 寫出定解問題的方程：寫出定解問題的方程：l 分離變數(shù)：分離變數(shù)：l 求解本征值問題：求解本征值問題： 0)()0(0lXXXX)()(0)(00)(000000為任意常數(shù)由邊界條件得，解為，得到無意義的平凡解CCxXDxDCxXxXlxnCxXnlnClClCCxCxCxXcos)(), 2 , 1(00)cossin(0sincos)(01222221221定：積分常數(shù)由邊界條件確，方程的解為：), 2 , 1 , 0(c

26、os)(), 2 , 1 , 0(001222nxlnCxXnln征函數(shù)合在一起：兩種情況的本征值和本和把 ), 2 , 1(sincos)()()0(0000002222ntlanBtlanAtTtBAtTnTlanTTnnn其解為：時，時間方程為當(dāng)100000cossincos),(), 2 , 1(cossincos),(),(nnnnnnxlntlanBtlanAtBAtxunxlntlanBtlanAtxutBAtxu是方程的一般解：所有本征函數(shù)的疊加就解，得到本征振動由本征函數(shù)和時間演化l 求解時間方程：求解時間方程：l 代入初始條件，確定系數(shù)：代入初始條件，確定系數(shù)：，得，然后比

27、較兩邊的系數(shù)展開為傅里葉余弦級數(shù)和把右邊的)()()0()(cos)(cos1010 xxlxxxlnBlanBxxlnAAnnnnlnlnlldlnanBdlnlAanddlBdlA000000cos)(2cos)(2)(1)(1兩端自由。存在整體移動是因?yàn)闂U真正描寫桿的縱振動。，其余部分才是描寫的是桿的整體移動一般解中，：討論tBA00三、典型問題的求解（輸運(yùn)方程）三、典型問題的求解（輸運(yùn)方程）n例題例題2：研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題。初始時刻桿的一端溫度為零：研究細(xì)桿導(dǎo)熱問題。初始時刻桿的一端溫度為零度，另一端溫度為度，另一端溫度為u0，桿上溫度梯度均勻，零度的一端溫，桿上溫度梯度均勻，零度的一端

28、溫度保持不變，另一端絕熱，求桿上溫度的變化。度保持不變，另一端絕熱，求桿上溫度的變化。00)( )0(0)()(),(2TaTandlXXXXtTxXtxul 分離變量：分離變量：l 分析：一端為第一類齊次、另一端為第二類齊次邊界。分析：一端為第一類齊次、另一端為第二類齊次邊界。)0(/|0|, 0|/, 000022lxlxuuuuckauautlxxxxxtl 定解方程：定解方程：xlkCxXklklXXXX2) 12(sin)(), 2 , 1 , 0(4) 12(00)( )0(0*2222本征函數(shù)：本征值：解：時，方程存在有意義的當(dāng)本征值方程：l 方程求解：方程求解：22224)12

29、(2222)(04) 12(ltakCetTTlkaT其解為：時間方程：只能是奇數(shù)。則限制了正整數(shù)條件是正整數(shù)，第二類邊界，其中條件決定了本征函數(shù)是，兩個第一類邊界增加了上。延拓后，邊界條件間偶延拓到區(qū)從區(qū)間表明，應(yīng)當(dāng)把導(dǎo)熱細(xì)桿邊界條件。界條件的又不同于第二類齊次邊，界條件的既不同于第一類齊次邊本征函數(shù)：討論nnlxnulllulxnlxnlxklxlxx2sin0)2 ,(), 0(0cossin2) 12(sin204)12(2) 12(sin),(2222kltakklxkeCtxu形式為：這樣，方程的一般解的l 代入初始條件，確定系數(shù)：代入初始條件，確定系數(shù)：)0(2) 12(sin0

30、0lxxlulxkCkk22000) 12(8) 1(2) 12(sin2kludlklulCklk較系數(shù)得葉正弦級數(shù)的形式，比把等式右邊展開為傅里04)12(2202) 12(sin) 12(4) 1(2),(2222ktlakklxkekutxu具體形式為：于是，方程的一般解的溫度分布。卻不能反推早先時刻的，算以后時刻的溫度分布所以可以從某個時刻推趨于同一個平衡狀態(tài)，分布是怎樣的，總是件相同，不管初始溫度狀態(tài)，而且只要邊界條于某種平衡為桿上溫度分布總是趨發(fā)散，無意義。這是因從而的增大而急劇增大，隨），則如果考慮早先的時刻（：討論),(022224)12(txuketltaklxeutxuk

31、kaltttxukettlaltak2sin8),(%100/18. 0),(02222222420224)12(，的項(xiàng)，其誤差不超過的項(xiàng)而略去只保留時，可以越大，收斂得越快。當(dāng)收斂得很快，從而而的增大而急劇減小，從隨），則對于以后的時刻（），（溫度分布不同時刻鐵桿上的溫度1576. 011000amlu），（上的溫度分布時，鐵桿、鋁桿和銅桿3425. 03244. 01576. 01100200CuAlFeaaamlus思思 考考 題題n如何求解第三類邊界條件的波動問題和輸運(yùn)問題？)0(|,|)0(|,|0320100byuuuuaxuuuuuubyyaxxyyxxn如何用分離變數(shù)法求解穩(wěn)定

32、場問題？)(|),(|0|,0|0,000002xuxuhuuhuuLxuautttlxxlxxxxxxtt四、穩(wěn)定場問題的分離變數(shù)法四、穩(wěn)定場問題的分離變數(shù)法n拉普拉斯方程拉普拉斯方程n矩形區(qū)域問題n圓形區(qū)域問題1 1）拉普拉斯方程（矩形區(qū)域）拉普拉斯方程（矩形區(qū)域）n例題例題3：散熱片的橫截面為矩形，它的一邊y=b處于較高的溫度U，其它三邊y=0，x=0和x=a處于冷卻介質(zhì)中因而保持較低的溫度u0，求解橫截面上的穩(wěn)定溫度分布u(x,y)。0abyxUu0u0u0)0(|,|)0(|,|000000byUuuuaxuuuuuubyyaxxyyxxl 定解問題定解問題l分析分析：這是二維拉普拉

33、斯方程的第一類邊值問題。邊界條件不可能全部是齊次的，通常的做法是把一些邊界條件化為齊次。條件，且各有一組齊次邊界分別滿足拉普拉斯方程和其中令：),(),(),(),(),(yxwyxvyxwyxvyxuUwuwwwwwvvuvuvvvbyyaxxyyxxbyyaxxyyxx,0, 000, 0,00000000把v和w滿足的泛定方程和邊界條件分別疊加起來就是u滿足的方程和邊界條件。因此分別求v和w的方程就可以得到未知函數(shù)u的解。l 根據(jù)本例的實(shí)際情況，有一個特殊的簡單方法：根據(jù)本例的實(shí)際情況，有一個特殊的簡單方法：00000, 000),(),(),(),(uUvvvvvvyxvyxvuyxv

34、uyxubyyaxxyyxx滿足的定解方程為：的零點(diǎn)，作為新溫標(biāo)相當(dāng)于把原來的令：可以用分離變數(shù)法求解，只需要把關(guān)于可以用分離變數(shù)法求解，只需要把關(guān)于y的的邊界條件看做是分離變數(shù)法中的初始條件邊界條件看做是分離變數(shù)法中的初始條件的地位。的地位。00)(, 0)0(0)()(),( YYandaXXXXyYxXyxvaxnCxXnansin)(), 3 , 2 , 1(222本征函數(shù)：本征值：yanyanBeAeyYYanY )(02221sin)(),(naynnaynnxaneBeAyxv011sin)(0sin)(uUxaneBeAxanBAnabnnabnnnnn為奇數(shù)）（為偶數(shù)為奇數(shù)）

35、（為偶數(shù)：弦級數(shù)，比較系數(shù)，得把右邊展開為傅里葉正neenuUnBAnuUnneBeABAabnabnnnabnnabnnnn)()(4)(0)(4)(0000000) 12(sin) 12() 12(121)(4),(kaxkabkshaykshkuUuyxu2 2）拉普拉斯方程（圓形區(qū)域）拉普拉斯方程（圓形區(qū)域）n例題例題3：勻強(qiáng)電場中，有半徑為a，電勢為零的圓柱導(dǎo)體，求導(dǎo)體外的穩(wěn)定的電勢分布。)(cos|, 0|011022222aEuuuuual 定解問題（極坐標(biāo)下）定解問題（極坐標(biāo)下）l 分析：分析：導(dǎo)體外的電勢具有軸對稱性，做垂直導(dǎo)體 線方向的橫截面，則可以在極坐標(biāo)下研究問題。oa

36、El 分離變數(shù)：分離變數(shù)：)()2(),()2,(00)()(),(2 uuRRRRu注意：)0(sincos)0()(), 2 , 1 , 0(2mmBmAmAmml 求解本征值問題：求解本征值問題：l 求解徑向方程：求解徑向方程：)0()0(ln)(0ln02222222mDCmDCRRmdtRdtRmddRdRdmm其解為：做代換l 方程的一般解：方程的一般解：1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu)0(0),1(0) 1(0, 00,cos)sincos()2,ln0, 0, 0ln0)sincos()sincos(ln) 120211

37、101012200001100mDmCaEaACmBABEAEmBmAaBDaACaDCDaBaCaAaaDCmDmCamBmAaaDCmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmml 帶入邊界條件，帶入邊界條件， 確定系數(shù)：確定系數(shù)：coscosln),(2000aEEaDucoscosln),(2000aEEaDu：各項(xiàng)的物理意義討論導(dǎo)體帶電荷導(dǎo)體帶電荷產(chǎn)生的電勢產(chǎn)生的電勢原勻強(qiáng)電場原勻強(qiáng)電場導(dǎo)體對周圍導(dǎo)體對周圍電場的影響電場的影響8.2 非齊次振動方程和輸運(yùn)方程非齊次振動方程和輸運(yùn)方程一、傅里葉級數(shù)法一、傅里葉級數(shù)法n 分離變數(shù)法的結(jié)果顯示，方程的解可以展開為 傅里葉級數(shù)，

38、傅里葉級數(shù)的形式?jīng)Q定于邊界條件。n 對于非齊次振動方程和輸運(yùn)方程，如果邊界條件 依然是齊次的，可以先把所求的解展開為傅里葉 級數(shù)，級數(shù)的形式取決于該問題齊次方程在所給 定的齊次邊界條件下的本征函數(shù)。nnnxXtTtxu)()(),(n 傅里葉級數(shù)的系數(shù)是時間t的函數(shù)。)0()(),(0, 0sincos0002lxxuxuuutlxAuautttlxxxxxxtt), 3 , 2 , 1 , 0(cosnlxn數(shù)是齊次邊界條件的本征函對應(yīng)的齊次方程第二類齊次的。程，邊界條件是第二類這是一個非齊次振動方：分析tlxAlxnTlanTnnnsincoscos*02222 程中，把試探解代入到泛定方

39、) 1(0,sin)(222212221nTlanTtATlaTtTnnn的常微分方程，數(shù)的系數(shù)，分離出比較兩邊傅里葉余弦級0cos)(),(nnlxntTtxu葉余弦級數(shù)的形式：試探解可以表示為傅里)0(cos)(2)0(cos)(2)0()(1)0()(1)0(00000000ndlnlTdlnlTdlTdlTlnnlnnll，實(shí)現(xiàn)了初始條件的分離個傅里葉系數(shù)。傅里葉余弦級數(shù)的分別是其中，件中，把試探解代入到初始條nxxxlnxxlnTxlnxxlnTnnnnnnnnnn)(),(,cos)(cos)0(cos)(cos)0(0000) 1 , 0(sincos)(sincossinsin

40、/1)()()(1122221000nlatnanllatntTlatallattlalatlaaAltTttTxTnnnn的初始條件下的解為，的常微分方程在分離后1222200210cossincoscossinsin/1cos)(cos)()(),(nnnnnlxnlatnanllatnlxtlalatlaaAltlxntTlxtTtTtxu所求的解為，二、沖量定理法二、沖量定理法n對于非齊次泛定方程，如果邊界條件和初始條件都是齊次的，則可以用沖量定理法進(jìn)行求解。n如果初始條件是非齊次的，可以轉(zhuǎn)化為齊次后，再運(yùn)用沖量定理求解。0, 00, 0),()(),(0, 00),(),(),()(

41、),(0, 0),(02022022220101101121210002tttlxxxxtttttlxxxxtttttlxxxxttuuuutxfuauxuxuuuuautxutxutxuxuxuuutxfuau沖量定理法的物理思想沖量定理法的物理思想n沖量定理法的基本物理思想是把持續(xù)作用力看成許許多多前后相繼的“瞬時”力，把持續(xù)作用引起的振動看作所有“瞬時”力引起的振動的疊加。的瞬時力上而沖量為間為作用在很短的時間區(qū)其中，dxFddtxFdtxfdtxFtxFtt),(),()(),()(),()(),(),(00n“瞬時”力引起的振動記為u()(x,t)，其定解問題為：0, 00, 0)(

42、),()(),(0)(0)()(0)()(2)(tttlxxxxttuuuudtxfdtxFuau(1)dxfuddxFudddddtxFdttdt),(),(00),()(),()()(速度不為零，導(dǎo)致在時刻時沖量，而瞬位移依然為零，刻不及”位移，因此在時很短，弦上各點(diǎn)還“來結(jié)束，由于力開始作用，至?xí)r刻，該瞬時然是靜止的，時刻，它尚未起作用，弦仍時刻直到上，從零作用的時間區(qū)間為由于瞬時力問題變成，定解用過了，弦上不受外力，由于該瞬時力已經(jīng)作以后引起的振動在時刻時力作為初始時刻，考察瞬如果改時刻),()(),()(txuddtxFddxfuuuuuaudttdtlxxxxtt),(, 00,

43、00)()()(0)()(2)(2)定解問題（定解問題（1）和（）和（2）是等價的。）是等價的。n從定解問題（2）的初始條件可以看出，u()必含有因子d，因此可以令： u()(x,t) = v(x,t,)d，則定解問題變?yōu)椋?,(, 00, 0002xfvvvvvavtttlxxxxttn現(xiàn)在可以用分離變數(shù)法或者傅里葉級數(shù)法萊求解這個定解問題，唯一要注意的問題是，前面講的兩種方法的初始時刻是零，這里的初始時刻為，因此前兩種方法解中的t，在這里應(yīng)該換成t-。n原定解問題的解應(yīng)該是所有瞬時力引起的振動的疊加，ttdtxvtxutxu00)(), ,(),(),(例題例題2：求解定解問題)0(0,

44、00, 0sincos0002lxuuuutlxAuautttlxxxxxxtt解：應(yīng)用沖量定理，先求解)0(sincos, 00, 000002lxlxAvvvvvavtttlxxxxxxttn參照邊界條件，把v展開為傅里葉余弦級數(shù)0cos),(),(nnlxntTtxvn代入泛定方程，分離出Tn的常微分方程00cos222202222nnnnnTlanTlxnTlanTnTn的解是)0()(sin)()(cos)(),()()(),(000nltanBltanAtTtBAtTnnn100cos)(sin)()(cos)()()(),(nnnlxnltanBltanAtBAtxvnv的解為n

45、系數(shù)由初始條件確定sincoscos)()(0cos)()(1010lxAlxnlanBBlxnAAnnnnn比較兩邊系數(shù)，得比較兩邊系數(shù)，得) 1(0)(,sin)(0)(1nBalABAnnnv的解最終為的解最終為lxltaalAtxvcos)(sinsin),(n所求的解為所求的解為lxtlatlalaaAldltalxaAldtxvtxuttcossinsin/1)(sinsincos),(),(222200回顧：非齊次方程的求解回顧：非齊次方程的求解n傅里葉級數(shù)法傅里葉級數(shù)法nnnxXtTtxu)()(),(試探解：對應(yīng)齊次方程齊次邊對應(yīng)齊次方程齊次邊界條件的本征函數(shù)族界條件的本征函

46、數(shù)族分離出關(guān)于分離出關(guān)于T的的方程和初始條件方程和初始條件n沖量定理法沖量定理法0, 00, 0),(0002tttlxxxxttuuuutxfuau),(, 00, 0002xfvvvvvavtttlxxxxttttdtxvtxutxu00)(), ,(),(),(例題例題3：求解定解問題：求解定解問題0|0|, 0|)0(,sin002tlxxxxxtuuulxtAuaun 解法解法1：（傅里葉級數(shù)法）：（傅里葉級數(shù)法）02) 12(sin)(),(unnxlntTtx令：tAlxnTlanTnnnsin2) 12(sin4) 12(02222定方程中，把這個試探解代入到泛) 12(sin

47、42) 12(sinsin24) 12(02222ntAdlntAlTlanTlnn得：葉正弦級數(shù)，比較系數(shù)把方程右邊展開為傅里0)0(nT件中，得：把試探解代入到初始條tlannettlanlanAtT22224)12(222224445cossin4) 12(/) 12(322)(解關(guān)于解關(guān)于T的常微分方程，得：的常微分方程，得：最后得到所求的解：最后得到所求的解：tlannettlanlanlxnAtxu22224)12(2222244450cossin4) 12(/) 12(322) 12(sin2),(n解法解法2：（沖量定理法）：（沖量定理法）sin|0|, 0|)0(, 0002

48、Auuulxuautlxxxxxttdtxvtxu0),(),(首先，令：則原定解問題變?yōu)榍蠼鈩t原定解問題變?yōu)榍蠼鈜的定解問題：的定解問題：運(yùn)用分離變量法或者傅里葉級數(shù)法均可求解，運(yùn)用分離變量法或者傅里葉級數(shù)法均可求解，最后，得到與解法一相同的結(jié)果。（過程略）最后，得到與解法一相同的結(jié)果。（過程略）8.3 非齊次邊界條件的處理非齊次邊界條件的處理n運(yùn)用分離變數(shù)法、傅里葉級數(shù)法或沖量定理法求運(yùn)用分離變數(shù)法、傅里葉級數(shù)法或沖量定理法求解的定解問題只是解的定解問題只是齊次邊界條件問題齊次邊界條件問題。n在實(shí)際問題中，常常有在實(shí)際問題中，常常有非齊次邊界條件非齊次邊界條件出現(xiàn)，這出現(xiàn)，這樣的問題又如何

49、求解呢？能不能運(yùn)用我們學(xué)過的樣的問題又如何求解呢？能不能運(yùn)用我們學(xué)過的這幾個方法求解呢？這幾個方法求解呢？n方法：利用疊加原理，把非齊次邊界條件問題轉(zhuǎn)方法：利用疊加原理，把非齊次邊界條件問題轉(zhuǎn)化為另一個未知函數(shù)的齊次邊界條件問題，再進(jìn)化為另一個未知函數(shù)的齊次邊界條件問題，再進(jìn)行求解。行求解。n例題例題1：求解定解問題)(),(|)(|),(|)0(, 00002xuxututulxuautttlxxxxtt選取一個函數(shù)v(x,t)，使其滿足非齊次邊界條件，不妨取v(x,t)為x的線性函數(shù)，即)()()(),()()()()(),(txltttxvtBtAtBxtAtxv，于是，和去，得到把它代

50、入到邊界條件中滿足的定解問題為則得到函數(shù)代入到定解問題中去，利用疊加原理，令),(),(),(),(txwtxwtxvtxu)0()0()0()()()0()0()0()()(0, 0)()()(0000022 lxxvxwlxxvxwwwtttlxvavwawttttttlxxxxttxxttl 盡管這個定解問題的泛定方程是非齊次的，但邊界條件 是齊次的。因此可以利用傅里葉級數(shù)法求解。l 如果是第二類非齊次邊界條件，則v(x,t)的形式可以設(shè)為xtBxtAtxv)()(),(2n例題例題2：弦的x=0端固定，x=l端受迫做諧振動 Asint，弦的初始位移和初始速度都是零，求弦的振動。0, 0

51、|sin|, 0|)0(, 00002tttlxxxxttuutAuulxuau定解問題為：更簡單的方法呢？求解比較麻煩，有沒有，泛定方程變成非齊次的但是，這樣做的結(jié)果使級數(shù)法求解。的，可以利用傅里葉，則邊界條件變成齊次一般地，?。悍治鰐lxAvavwawxltAtxvxxttxxttsin)()/sin(),(222txXtxvsin)(),(代入到定解問題中去，可分離出關(guān)于X(x)的方程和定解條件， AlXXXaX)(, 0)0(022求解這個常微分方程的定解問題，最后可以得到特解v為taxalAtxvsinsinsin),(的定解問題為：，得到，代入到原定解問題中于是令),(),(),(

52、),(txwtxwtxvtxualaxAwwwwvavwawtttlxxxxttxxtt/sin/sin, 00, 00)(00022這個定解問題是齊次方程、齊次邊界條件，可用分離變數(shù)法求解，其解為：xlntlanBtlanAtxwnnnsinsincos),(1222220/12) 1(sin)/sin()/sin(20*lnaalAdlnalaAanBABAnlnnnn可由初始條件得到：和其中系數(shù)最后，所求的解為：最后，所求的解為：122222sinsin/12sin)/sin()/sin(),(),(),(nlxnlatnlnaalAtalaxAtxwtxvtxu回顧拉普拉斯方程的求解回

53、顧拉普拉斯方程的求解n矩形區(qū)域矩形區(qū)域000, 000uUuuuuuubyyaxxyyxxxaneBeAyxunaynnaynnsin)(),(1n圓形區(qū)域圓形區(qū)域)(, 0|01122222auuuua1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCu8.4 泊松方程泊松方程n泊松方程是有外源的穩(wěn)定場方程，它的形式為：),(zyxfu n由于泊松方程與時間無關(guān)，顯然不能用沖量定理來求解。n求解的思路是：采用特解法，即先不管邊界條件，任取泊松方程的一個特解v，然后令u=v+w，把問題轉(zhuǎn)化為求w，而w滿足拉普拉斯方程。cuyxbau0)(1220問題上求解泊

54、松方程的邊值：在圓域例2cos124)(124)(12)(4)12/(,)12/()2/(,)2/(42222224422242422bayxyxbayxbyxavbybybxbxaayaax：程的一個特解可以取為因此，滿足泛定泊松方解，先設(shè)法找方程的一個特程。根據(jù)外源的特點(diǎn)，這是一個二維的泊松方：分析),(2cos124),(),(),(42wbawvu 令：2cos1240420bacwww的定解問題，為條件中，就把問題轉(zhuǎn)化代入到泊松方程和邊界1100)sincos()sincos(ln),(mmmmmmmmmDmCmBmADCw* 在極坐標(biāo)中運(yùn)用分離變數(shù)法求解拉普拉斯方程在極坐標(biāo)中運(yùn)用分

55、離變數(shù)法求解拉普拉斯方程 可以得到一般解：可以得到一般解：0, 0, 0ln0mmmCDDww，即無限大，所以應(yīng)當(dāng)排除在圓心為和的一般解中，但在圓內(nèi)部應(yīng)當(dāng)處處有限：討論0)sincos(),(mmmmmBmAww的一般解可以表示為：于是，0),2, 0(012,42cos124)sincos(202200402000mmmmmmBmAbAacAbacmBmA比較兩邊系數(shù)得到：代入邊界條件，有2cos)(12)(42022202bacwvu所求的解為：0, 00, 020,02002byyaxxuuuuubyax問題上求解泊松方程的邊值：在矩形域例)(),(0,21212xaxyxvvcaccx

56、cxvv為，因此特解件有，方程，根據(jù)齊次邊界條滿足泛定，顯然解先找泊松方程的一個特解：)(),(0, 00)(),(00axxwaxxwwwwwwxaxwvyxubyyaxx的定解問題：則定解問題轉(zhuǎn)化為令：這是一個拉普拉斯方程的定解問題，可以利用分離變數(shù)法求解。1sin)(),(naynnaynnaxneBeAyxww的一般解為次邊界條件的滿足拉普拉斯方程和齊13321332) 12(sin2/) 12cosh() 12(/ )2/() 12cosh(8)(),(),(),() 12(sin2/) 12cosh() 12(/ )2/() 12cosh(8),(kkaxkabkkabykaxax

57、yxwyxvyxuaxkabkkabykayxww的解為中，確定系數(shù)，最后代入到非齊次邊界條件本章小結(jié)本章小結(jié)n基本方法n齊次問題：分離變量法；n非齊次問題：特解法。n常用本征方程n齊次邊界條件n第一類齊次邊界條件n第二類齊次邊界條件n第三類齊次邊界條件In第三類齊次邊界條件IIn自然邊界條件n周期性邊界條件n有界性邊界條件xwXkLkwwLXXXXkksin, 2 , 1,/,0)()0(0 2xwXkLkwwLXXXXkksin, 2 , 1 , 0,/)(,0)( ) 0 (0 212xwXkLkwwLXXXXkkcos, 2 , 1 , 0,/)(,0)() 0 ( 0 212xwXk

58、LkwwLXXXXkkcos, 2 , 1 , 0,/,0)( )0( 0 2mxBmxAXmmxXxXXXmmmsincos, 2 , 1 , 0,)2()(0 2Chap. 10 球函數(shù)球函數(shù)軸對稱球函數(shù)軸對稱球函數(shù)n 連帶勒讓德函數(shù)連帶勒讓德函數(shù)n 一般的球函數(shù)一般的球函數(shù)n 本章小結(jié)本章小結(jié)n球坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程球坐標(biāo)系下的拉普拉斯方程0sin1sinsin112222222ururrurrrn球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系cossinsincossinrzryrx直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)：n球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解球坐標(biāo)系下拉普拉斯方程的求解)()(),()(),(YrRYrRru探解表示為：運(yùn)用

59、分離變數(shù)法，把試0) 1(sin1sinsin10) 1(2222YllYYRlldrdRrdrd和角度部分的方程到徑向系拉普拉斯方程中，得把試探解代入到球坐標(biāo)球函數(shù)方程球函數(shù)方程歐拉型常歐拉型常微分方程微分方程11)(llrDCrrRn球函數(shù)方程的求解球函數(shù)方程的求解0sin) 1(sinsin0)()(),(*2 llddddY得到：分離變數(shù)對球函數(shù)方程繼續(xù)進(jìn)行 mBmAmmsincos)(), 2 , 1 , 0()()2(0*2值和本征函數(shù)為：構(gòu)成本征值問題，本征結(jié)合周期性邊界條件方程。階勒讓德方程情況下，稱為，在，其中階連帶勒讓德方程稱為的方程可以表示為關(guān)于lmxlxmlldxdxd

60、xdx0cos01) 1(2)1 (*2222210.1 軸對稱球函數(shù)軸對稱球函數(shù)0) 1(2)1 (222lldxdxdxdx在在m=0情況下，連帶勒讓德方程簡化為勒讓德方程情況下，連帶勒讓德方程簡化為勒讓德方程勒讓德方程結(jié)合自然邊界條件（在球坐標(biāo)系的極軸上有限）勒讓德方程結(jié)合自然邊界條件（在球坐標(biāo)系的極軸上有限）構(gòu)成本征值問題，定解稱為勒讓德多項(xiàng)式構(gòu)成本征值問題，定解稱為勒讓德多項(xiàng)式)(2/ ) 1()(2/2/2/2/)!2()!( !2)!22() 1()(2/02loddllevenllllxklklkklxPlkkllkl的最大整數(shù)，表示不超過其中記號一、勒讓德多項(xiàng)式的性質(zhì)一、勒讓