2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷理科新課標(biāo)ⅱ史上解析

1、2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1（5分）=（）AiBCD2（5分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A9B8C5D43（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）ABCD4（5分）已知向量，滿足|=1，=1，則（2）=（）A4B3C2D05（5分）雙曲線=1（a0，b0）的離心率為，則其漸近線方程為（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±x6（5分）在ABC中，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（

2、）A4BCD27（5分）為計(jì)算S=1+，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+48（5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）ABCD9（5分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）ABCD10（5分）若f（x）=cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是（）ABCD11（5分）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?）

3、的奇函數(shù)，滿足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D5012（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P=120°，則C的離心率為（）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為 14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為 15（5分）已知sin+cos=l，cos+sin=0，則sin（+）= 16（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA

4、，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17（12分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值18（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年

5、的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由19（12分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程20（12分）如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)（1）證明：PO平面ABC；（2）

6、若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值21（12分）已知函數(shù)f（x）=exax2（1）若a=1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求l的斜率選修4-5：不等式選講23設(shè)函數(shù)f（x）=5|x+a|x2|（1）

7、當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）0的解集；（2）若f（x）1，求a的取值范圍2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1（5分）=（）AiBCD【分析】利用復(fù)數(shù)的除法的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可【解答】解：=+故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基本知識(shí)的考查2（5分）已知集合A=（x，y）|x2+y23，xZ，yZ），則A中元素的個(gè)數(shù)為（）A9B8C5D4【分析】分別令x=1，0，1，進(jìn)行求解即可【解答】解：當(dāng)x=1時(shí)，y22，得y=1，0，1，當(dāng)x=0時(shí)，y2

8、3，得y=1，0，1，當(dāng)x=1時(shí)，y22，得y=1，0，1，即集合A中元素有9個(gè)，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合元素個(gè)數(shù)的判斷，利用分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵3（5分）函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）ABCD【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，利用函數(shù)的定點(diǎn)的符號(hào)的特點(diǎn)分別進(jìn)行判斷即可【解答】解：函數(shù)f（x）=f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除A，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=e0，排除D當(dāng)x+時(shí)，f（x）+，排除C，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)圖象的特點(diǎn)分別進(jìn)行排除是解決本題的關(guān)鍵4（5分）已知向量，滿足|=1，=1，則（2）=（）A4B3C2D0【分

9、析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式計(jì)算即可【解答】解：向量，滿足|=1，=1，則（2）=2=2+1=3，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積公式，屬于基礎(chǔ)題5（5分）雙曲線=1（a0，b0）的離心率為，則其漸近線方程為（）Ay=±xBy=±xCy=±xDy=±x【分析】根據(jù)雙曲線離心率的定義求出a，c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線a，b，c的關(guān)系進(jìn)行求解即可【解答】解：雙曲線的離心率為e=，則=，即雙曲線的漸近線方程為y=±x=±x，故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線漸近線的求解，結(jié)合雙曲線離心率的定義以及漸近線的方程是解決本題的關(guān)鍵6（5分）在ABC中

10、，cos=，BC=1，AC=5，則AB=（）A4BCD2【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函數(shù)值，利用余弦定理轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：在ABC中，cos=，cosC=2×=，BC=1，AC=5，則AB=4故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，考查三角形的解法以及計(jì)算能力7（5分）為計(jì)算S=1+，設(shè)計(jì)了如圖的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入（）Ai=i+1Bi=i+2Ci=i+3Di=i+4【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后輸出的S=NT，由此知空白處應(yīng)填入的條件【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程知，該程序運(yùn)行后輸出的是S=NT=（1）+（）+（）；累加步長是2，則在空白處應(yīng)填

11、入i=i+2故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)程序的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題8（5分）我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如30=7+23在不超過30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是（）ABCD【分析】利用列舉法先求出不超過30的所有素?cái)?shù)，利用古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：在不超過30的素?cái)?shù)中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10個(gè)，從中選2個(gè)不同的數(shù)有=45種，和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3種，則對(duì)應(yīng)的概率P=，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要

12、考查古典概型的概率的計(jì)算，求出不超過30的素?cái)?shù)是解決本題的關(guān)鍵9（5分）在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）ABCD【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線AD1與DB1所成角的余弦值【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），=（1，0，），=（1，1，），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為，則

13、cos=，異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題10（5分）若f（x）=cosxsinx在a，a是減函數(shù)，則a的最大值是（）ABCD【分析】利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)f（x），由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一個(gè)減區(qū)間為，結(jié)合已知條件即可求出a的最大值【解答】解：f（x）=cosxsinx=（sinxcosx）=，由，kZ，得，kZ，取k=0，得f（x）的一個(gè)減區(qū)間為，由f（x）在a，a是減函數(shù)，得，則a的最大值是故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考

14、查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題11（5分）已知f（x）是定義域?yàn)椋ǎ?）的奇函數(shù)，滿足f（1x）=f（1+x），若f（1）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=（）A50B0C2D50【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期是4，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可【解答】解：f（x）是奇函數(shù)，且f（1x）=f（1+x），f（1x）=f（1+x）=f（x1），f（0）=0，則f（x+2）=f（x），則f（x+4）=f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，f（1）=2，f（2）=f（0）=0，f（3）

15、=f（12）=f（1）=f（1）=2，f（4）=f（0）=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+02+0=0，則f（1）+f（2）+f（3）+f（50）=12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）=f（1）+f（2）=2+0=2，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，根據(jù)函數(shù)奇偶性和對(duì)稱性的關(guān)系求出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵12（5分）已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：=1（ab0）的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P=120°，則C的離心率為（）ABCD【分析】求得直線AP的方程：根據(jù)題意求得P

16、點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程，即可求得橢圓的離心率【解答】解：由題意可知：A（a，0），F(xiàn)1（c，0），F(xiàn)2（c，0），直線AP的方程為：y=（x+a），由F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，則P（2c，c），代入直線AP：c=（2c+a），整理得：a=4c，題意的離心率e=故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，直線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x【分析】欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求

17、出切線的斜率從而問題解決【解答】解：y=2ln（x+1），y=，當(dāng)x=0時(shí)，y=2，曲線y=2ln（x+1）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y=2x故答案為：y=2x【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力屬于基礎(chǔ)題14（5分）若x，y滿足約束條件，則z=x+y的最大值為9【分析】由約束條件作出可行域，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案【解答】解：由x，y滿足約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)z=x+y為y=x+z，由圖可知，當(dāng)直線y=x+z過A時(shí)，z取得最大值，由，解得A（5，4），目標(biāo)函數(shù)有最大值，為z=

18、9故答案為：9【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題15（5分）已知sin+cos=l，cos+sin=0，則sin（+）=【分析】把已知等式兩邊平方化簡(jiǎn)可得2+2（sincos+cossin）=1，再利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)為2sin（+）=1，可得結(jié)果【解答】解：sin+cos=l，兩邊平方可得：sin2+2sincos+cos2=1，cos+sin=0，兩邊平方可得：cos2+2cossin+sin2=0，由+得：2+2（sincos+cossin）=1，即2+2sin（+）=1，2sin（+）=1sin（+）=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩角和與差的

19、正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的求值，屬于基本知識(shí)的考查，是基礎(chǔ)題16（5分）已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為40【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積【解答】解：圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sinAMB=SAB的面積為5，可得sinAMB=5，即×=5，即SA=4SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：=2則該圓錐的側(cè)面積：=40故答案為：40【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成

20、角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根要求作答。（一)必考題：共60分。17（12分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1=7，S3=15（1）求an的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【分析】（1）根據(jù)a1=7，S3=15，可得a1=7，3a1+3d=15，求出等差數(shù)列an的公差，然后求出an即可；（2）由a1=7，d=2，an=2n9，得Sn=n28n=（n4）216，由此可求出Sn以及Sn的最小值【解答】解：（1）等差數(shù)列an

21、中，a1=7，S3=15，a1=7，3a1+3d=15，解得a1=7，d=2，an=7+2（n1）=2n9；（2）a1=7，d=2，an=2n9，Sn=n28n=（n4）216，當(dāng)n=4時(shí)，前n項(xiàng)的和Sn取得最小值為16【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)的和公式，屬于中檔題18（12分）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y（單位：億元）的折線圖為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，17）建立模型：=30.4+13.5t；根據(jù)2010年至20

22、16年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1，2，7）建立模型：=99+17.5t（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并說明理由【分析】（1）根據(jù)模型計(jì)算t=19時(shí)的值，根據(jù)模型計(jì)算t=9時(shí)的值即可；（2）從總體數(shù)據(jù)和2000年到2009年間遞增幅度以及2010年到2016年間遞增的幅度比較，即可得出模型的預(yù)測(cè)值更可靠些【解答】解：（1）根據(jù)模型：=30.4+13.5t，計(jì)算t=19時(shí)，=30.4+13.5×19=226.1；利用這個(gè)模型，求出該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是226.1億元；根據(jù)模型

23、：=99+17.5t，計(jì)算t=9時(shí)，=99+17.5×9=256.5；利用這個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值是256.5億元；（2）模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠；因?yàn)閺目傮w數(shù)據(jù)看，該地區(qū)從2000年到2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額是逐年上升的，而從2000年到2009年間遞增的幅度較小些，從2010年到2016年間遞增的幅度較大些，所以，利用模型的預(yù)測(cè)值更可靠些【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題19（12分）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k（k0）的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8（1）求l的方程；（2）求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相

24、切的圓的方程【分析】（1）方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|=，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；（2）根據(jù)過A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程【解答】解：（1）方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k（x1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，整理得：k2x22（k2+2）x+k2=0，則x1+x2=，x1x

25、2=1，由|AB|=x1+x2+p=+2=8，解得：k2=1，則k=1，直線l的方程y=x1；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長公式|AB|=8，解得：sin2=，=，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x1；（2）過A，B分別向準(zhǔn)線x=1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過D作DD1準(zhǔn)線l，垂足為D，則|DD1|=（|AA1|+|BB1|）由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D，由（1）可知：x1+x2=6，y1+y2=x1

26、+x22=4，則D（3，2），過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程（x3）2+（y2）2=16【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題20（12分）如圖，在三棱錐PABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)（1）證明：PO平面ABC；（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角MPAC為30°，求PC與平面PAM所成角的正弦值【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明POAC，POOB即可；（2）根據(jù)二面角的大小求出平面PAM的法向量，利用向量法即可得到結(jié)論【解答】（1）證明：連接BO，AB=

27、BC=2，O是AC的中點(diǎn)，BOAC，且BO=2，又PA=PC=PB=AC=2，POAC，PO=2，則PB2=PO2+BO2，則POOB，OBAC=O，PO平面ABC；（2）建立以O(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖：A（0，2，0），P（0，0，2），C（0，2，0），B（2，0，0），=（2，2，0），設(shè)=（2，2，0），01則=（2，2，0）（2，2，0）=（22，2+2，0），則平面PAC的法向量為=（1，0，0），設(shè)平面MPA的法向量為=（x，y，z），則=（0，2，2），則=2y2z=0，=（22）x+（2+2）y=0令z=1，則y=，x=，即=（，1）

28、，二面角MPAC為30°，cos30°=|=，即=，解得=或=3（舍），則平面MPA的法向量=（2，1），=（0，2，2），PC與平面PAM所成角的正弦值sin=|cos，|=|=【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間直線和平面的位置關(guān)系的應(yīng)用以及二面角，線面角的求解，建立坐標(biāo)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵21（12分）已知函數(shù)f（x）=exax2（1）若a=1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一個(gè)零點(diǎn)，求a【分析】（1）通過兩次求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可證明，（2）分離參數(shù)可得a=在（0，+）只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+）只有一個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖象即可求得a【解答】證明：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=exx2則f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，則g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2當(dāng)x（0，ln2）時(shí)，g（x）0，當(dāng)x（ln2，+）時(shí)，g（x）0，g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）單調(diào)遞增，f（x）f（0）=1，解：（2），f（x）在（0，+）只有一個(gè)零點(diǎn)方程exax2=0在（0，+）只有一個(gè)根，a=在（0，+）只有一個(gè)根，即函數(shù)y=a與G（x）=的圖象在（0，+）只有一個(gè)交點(diǎn)G，當(dāng)x（0，2）時(shí)，G（x）0，當(dāng)（2，+）時(shí)，G（x）