二次函數(shù)競(jìng)賽題

1、二次函數(shù)競(jìng)賽題1 .二次函數(shù)y x2 bx c的圖象的頂點(diǎn)為 D,與x軸正方向從左至右依次交于A, B兩點(diǎn)，與y軸正方向交于C點(diǎn)，若4 ABD和OBC均為等腰直角三角形(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則b 2c .2 .在直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A (0,1), B (1,3),C (2,6);已知直線y axb上橫坐標(biāo)為0、1、2的點(diǎn)分別為D、E、F.試求a,b的值使得AD2+BE2+CF2達(dá)到最小值.3 . (2004年“TRULY而利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)實(shí)數(shù)x、y、z滿足x+y+z=5, xy+yz+zx=3,則z的最大值是.4 .已知直線y 2x 3與拋物線y x2相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那

2、么 OAB的面積等于 5 . (2003年“TRULY言利杯”全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (其中a是正整數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (-1 , 4)與點(diǎn)B (2, 1),并且與x?軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 b+c的最大值為.6.設(shè)拋物線y x2 2a 1 x2a芻的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，(1)求a的值；求a18 323a 6的值.47.通過(guò)實(shí)驗(yàn)研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學(xué)生聽(tīng)課的注意力指標(biāo)數(shù)是隨著老師講課時(shí)間的變化而變化的，講課開(kāi)始.學(xué)生注意力指標(biāo)數(shù) y隨時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)的狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散時(shí)間x (分鐘)變化的函數(shù)圖象如圖所示(y越大表示

3、學(xué)生注意力越集中)一部分，當(dāng)10 x 20和20 x 40時(shí)，圖象是線段.(1)當(dāng)0 x 10時(shí)，求注意力指標(biāo)數(shù) y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 一道數(shù)學(xué)競(jìng)賽題需要講解 24分鐘.問(wèn)老師能否經(jīng)過(guò)適當(dāng)安排，使學(xué)生在聽(tīng)這道題時(shí)，注意力的指標(biāo)數(shù)都不低于36.8.課題研究：現(xiàn)有邊長(zhǎng)為120厘米的正方形鐵皮， 準(zhǔn)備將它設(shè)計(jì)并制成一個(gè)開(kāi)口 的水槽，使水槽能通過(guò)的水的初三(1)班數(shù)學(xué)興趣小組經(jīng)討論得出結(jié)論：在水流速度一定的情況下，？水槽的橫截面面積越大，則通過(guò)水槽的水的流量越大.為此，？他們對(duì)水槽的橫截面進(jìn)行了如下探索：(1)方案：把它折成橫截面為直角三角形的水槽(如圖a).若/ACB=90。，設(shè)AC=x厘

4、米，該水槽的橫截面面積為y厘米2,請(qǐng)你寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出x的取值范圍)，并求出當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大，最大值又是多少？方案：把它折成橫截面為等腰梯形的水槽(如圖b).若/ ABC=120。，？請(qǐng)你求出該水槽的橫截面面積的最大值，并與方案中的 y的最大值比較大小.(2)假如你是該興趣小組中的成員，請(qǐng)你再提供兩種方案，？使你所設(shè)計(jì)的水槽的橫截面面積更大.畫出你設(shè)計(jì)的草圖，標(biāo)上必要的數(shù)據(jù)(不要求寫出解答過(guò)程)2. k9 .如圖，拋物線 y ax bx(a 0)與雙曲線y 相交于點(diǎn) x三象限內(nèi)，且 AOB的面積為3 (O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求實(shí)數(shù)a, b, k的值；(2)過(guò)拋物線上點(diǎn)

5、 A作直線AC/x軸，交拋物線于另一點(diǎn)足 EOCs aob的點(diǎn)e的坐標(biāo).10 .如圖，拋物線y mx2 2mx 3mm 0與x軸交于 A B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)(1)請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn) M的坐標(biāo)(用含 m的代數(shù)式表示)，A B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)經(jīng)探究可知， 4BCM與 ABC的面積比不變，試求出這個(gè)比值；(3)是否存在使 4BCM為直角三角形的拋物線？若存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明 理由.11 .已知拋物線yx2與動(dòng)直線y (2t 1)x c有公共點(diǎn)(xl),卜其)，且x；x2t2 2t 3.(1)求實(shí)數(shù)t的取值范圍；歡迎下載3（2）當(dāng)t為何值時(shí)，c取到最小值，并求出 c的最小值.12.已知

6、 a 0, b 0, c 0,且 bb2 4ac b2一一 一2ac,求b 4ac的最小值.13 .在自變量x的取值范圍59WxW60內(nèi)，二次函數(shù)yA.59B.120C.11821 ,x x 的函數(shù)值中整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）2D.6014 .在直角坐標(biāo)系中，拋物線 y x211分別為OA, OB,且滿足OB OA32,mx -m （m 0）與x軸父于A, B的兩點(diǎn).右A, B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 42 nrt一,則 m= .315. RtAABC的三個(gè)頂點(diǎn) A, B, C均在拋物線y x2上，并且斜邊AB平行于x軸.若斜邊上的高為 5則（）(A) h<1(B) h=1(C) 1<h<2

7、(D) h>216.設(shè)0v kv 1,關(guān)于x的一次函數(shù) y/、, 、1(A) k(B) 2k k1 、.kx (1 x),當(dāng)1WxW2時(shí)的最大值是( k1一 ,1(C)(D)kkkx 1217 .平面直角坐標(biāo)系中，如果把橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)，那么函數(shù)y 的圖象上整點(diǎn)的2x 1個(gè)數(shù)是 （）（A） 2 個(gè)（B） 4 個(gè)（C） 6 個(gè)（D） 8 個(gè)18 .函數(shù)y 2x2 4x 1的最小值是219.對(duì) ab 0, a.2.一b ,二次函數(shù)y （x a）（x b）的最小值為A.(貸)2B.(貸)2c.號(hào))2D.(9220.兩拋物線y22 -22 .x 2ax b和y x 2cx b與

8、x軸交于同一點(diǎn)（非原點(diǎn)），且a、b、c為正數(shù)，awc,則以a、b、c為邊的三角形一一定是()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰或直角三角形21 .當(dāng) n=1, 2, 3,2003, 2004 時(shí)，二次函數(shù) y長(zhǎng)度之和為（）A 2002B 2003 C 2004.2003. 2004. 200522 .已知二次函數(shù) y ax2 bx c圖象如圖6-2所示,(n2 n)x2 (2n 1)x 1的圖象與x軸所截得的線段a- b+c, 2a+b, 2a-b中，其值為正的式子共有23 .如果當(dāng)m取不等于0和1的任意實(shí)數(shù)時(shí)，拋物線y 定點(diǎn)，那么這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離為m 1 22 m 3

9、一x x 在平面直角坐標(biāo)系上都過(guò)兩個(gè)m m m224 .已知拋物線y x (k 1)x 1與x軸兩個(gè)交點(diǎn)A、B不全在原點(diǎn)的左側(cè)，拋物線頂點(diǎn)為C,要使 ABC恰為等邊三角形，那么 k的值為25 .設(shè)x為實(shí)數(shù)，則函數(shù) y 3x6x 5的最小值是12彳x x 12226.設(shè)一次函數(shù)y x px q的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-1),且與x軸父于不同的兩點(diǎn) A (x1, 0) B (x2, 0), M為二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)，求使AMB面積最小時(shí)的二次函數(shù)的解析式.27.已知：3x2+2y2=6x, x和y都是實(shí)數(shù)，求：x2+y2的最大、最小值28. ABC中，/ B=60 , AC=1 ,求BA+BC的最大值及這

10、時(shí)三角形的形狀歡迎下載929.如圖，點(diǎn) G、D、C在直線a上，點(diǎn)E、F、A、 B在直線b上，若a / b , Rt GEF從如圖所示 的位置出發(fā)，沿直線 b向右勻速運(yùn)動(dòng)，直到EG與BC重合.運(yùn)動(dòng)過(guò)程中GEF與矩形ABCD重合部分的面積隨時(shí)間t變化的圖象大致是（DA30.（南京）如圖,E、F分別是邊長(zhǎng)為4的正方形 ABCD的邊BC , CD上的點(diǎn)，ce i , cf4 ,、一，直線EF交3AB的延長(zhǎng)線于 G ,過(guò)線段FG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) H作HMXAG , HNXAD ,垂足分別為 M , N ,設(shè)HM x,矩形AMHN的面積為y 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時(shí)，矩形 AMHN的面積最大，最

11、大面積為多少?31.已知某種水果的批發(fā)單價(jià)與批發(fā)量的函數(shù)關(guān)系如圖（1）所示.（1）請(qǐng)說(shuō)明圖中、兩段函數(shù)圖象的實(shí)際意義.m （kg）之間的函數(shù)關(guān)系式；在下圖的坐標(biāo)系中畫出該函（2）寫出批發(fā)該種水果的資金金額w （元）與批發(fā)量 數(shù)圖象；指出金額在什么范圍內(nèi)，以同樣的資金可以批發(fā)到較多數(shù)量的該種水果.2）所示，該經(jīng)銷商擬每日（3）經(jīng)調(diào)查，某經(jīng)銷商銷售該種水果的日最高銷量與零售價(jià)之間的函數(shù)關(guān)系如圖（售出60kg以上該種水果，且當(dāng)日零售價(jià)不變， 請(qǐng)你幫助該經(jīng)銷商設(shè)計(jì)進(jìn)貨和銷售的方案，使得當(dāng)日獲得的利潤(rùn)最大.A批發(fā)單價(jià)（元）O 2060批發(fā)量（kg）32.函數(shù)y x2 2（2k 1）x 3k2 2k 6的

12、最小值為m,則當(dāng)m達(dá)到最大時(shí), （2004年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）33.設(shè)a, b為實(shí)常數(shù)，k取任意實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù) y （k2 k 1）x2 2（a k）2x交于點(diǎn)A （1, 0） （1）求a, b的值（2）若函數(shù)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為 B,當(dāng)k變化時(shí)，求AB的最大值34. （2007年福州）如圖所示，二次函數(shù)2y ax bx c （aw。）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,2）,且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,其中一2Vxi v1, 0vx2v1,下列結(jié)論：4a 2b c 0 ；2a b0;av1;b2 8a>4ac.其中正確的有：（）A、1個(gè) B、2個(gè)C、3個(gè) D、4個(gè)6米，寬度OM為12米，現(xiàn)在O

13、35. （2007年天門）施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖所示）（1）直接寫出點(diǎn) M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）求出這條拋物線的函數(shù)解析式；（3）施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”ABCD,使A、D點(diǎn)在拋物線上，B、C點(diǎn)在地面OM上.為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿 AB、AD、DC的長(zhǎng)度之和的最大值是多少？請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下.36. (2009年天津市)已知函數(shù)yx,y x2 bxc, 為方程y1y20的兩個(gè)根，點(diǎn)M1,T在函數(shù)y2的圖象上.411(i)若，一，求函數(shù)y2的解析式；321 -(n)在(I)的條件下，若函數(shù)與y2的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)為 A, B,當(dāng)4ABM的面積為一時(shí)，求t的值；12(出)若01 ,當(dāng)0 t 1時(shí)，試確定T,三者之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.37.已知點(diǎn)A(0,3) , B(-2,-1) , C(2,-1) P(t, t2)為拋物線y=x2上位于三角形 ABC內(nèi)(包括邊界)的一動(dòng)點(diǎn)，BP所在的直線交 AC于E, CP所在的直線交 AB于F。將 變 表示為自變量t的函數(shù)。CE38.在直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y kxb (k 0)的圖象與x軸、y軸的正半軸分別交于 A, B兩點(diǎn)，且使得 OAB的面積值等于OA OB 3.(1)用b表小k;(2)求 O