五種輔助線助你證全等解題指導(dǎo)

1、.五種輔助線助你證全等在證明三角形全等時(shí)有時(shí)需添加輔助線，對學(xué)習(xí)幾何證明不久的學(xué)生而言往往是難點(diǎn)下面介紹證明全等時(shí)常見的五種輔助線，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考一、截長補(bǔ)短一般地，當(dāng)所證結(jié)論為線段的和、差關(guān)系，且這兩條線段不在同一直線上時(shí)，通?？梢钥紤]用截長補(bǔ)短的辦法：或在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等例1如圖1，在ABC中，ABC=60，AD、CE分別平分BAC、ACB求證：AC=AE+CD分析：要證AC=AE+CD，AE、CD不在同一直線上故在AC上截取AF=AE，則只要證明CF=CD證明：在AC上截取AF=AE，連接OFAD、CE分別平分BAC、ACB，ABC=

2、601+2=60，4=6=1+2=60顯然，AEOAFO，5=4=60，7=180（4+5）=60在DOC與FOC中，6=7=60，2=3，OC=OCDOCFOC， CF=CDAC=AF+CF=AE+CD二、中線倍長三角形問題中涉及中線（中點(diǎn)）時(shí)，將三角形中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形是常用的解題思路例2已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（ ）分析：要求第三邊上中線的取值范圍，只有將將中線與兩個(gè)已知邊轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中，然后利用三角形的三邊關(guān)系才能進(jìn)行分析和判斷解：如圖2所示，設(shè)AB=7，AC=5，BC上中線AD=x延長AD至E，使DE = AD=xAD是BC邊上

3、的中線，BD=CDADC=EDB（對頂角）ADCEDBBE=AC=5在ABE中 AB-BEAEAB+BE即7-52x7+5 1x6三、作平行線當(dāng)三角形問題中有相等的角或等腰等條件時(shí)，可通過作平行線將相等的角轉(zhuǎn)換到某一個(gè)三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，從而為證明全等提供條件例3如圖3，在等腰ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE=BD連接DE交BC于F求證：DF=EF分析：要證DF=EF，必須借助三角形全等而現(xiàn)有圖形中沒有全等三角形由等腰三角形條件，可知B=ACB，作DHAE，可得DHB=ACB則DBH為等腰三角形證明：作DHAE交BC于HDHB=ACB

4、，AB=AC，B=ACBDHB=B，DH=BDCE=BD DH= CE又DHAE，HDF=E DFH=EFC（對頂角） DFHEFC（AAS） DF=EF四、補(bǔ)全圖形在一些求證三角形問題中，延長某兩條線段（邊）相交，構(gòu)成一個(gè)封閉的圖形，可找到更多的相等關(guān)系，有助于問題的解決例4如圖4，在ABC中，AC=BC，B=90，BD為ABC的平分線若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長分析：題設(shè)中只有一條已知線段AD，且為直角邊，而要求的BE為斜邊要找到它們之間的關(guān)系，需設(shè)法構(gòu)造其他的全等三角形證明：延長AD、BC相交于F由BD為ABC的平分線，BDAF易證ADBFDB FD= AD=a AF=2a F=BAD 又BAD+ABD=90，F(xiàn)+FAC=90ABD=FAC BD為ABC的平分線 ABD=CBEFAC=CBE，而ECB=ACF=90，AC=BCACFBCE（ASA） BE=AF=2a五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等角的平分線是角的對稱軸，在證明全等過程中不僅提供了兩個(gè)相等的角，還有一條公共邊，利用角的平分線在角的兩邊上截取相等的線段，或向兩邊作垂線，對稱構(gòu)造出全等三角形是常用的證明方法例5如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分ABC，A+C=180證明：AD=CD分析：由角的平分線條件，在BC上截取BE=BA，可構(gòu)造ABDEBD，從而AD=DE則只要證明DE=CD證明：在BC