人教版高中數(shù)學(xué)《數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念》教案

1、.教案說明 1、教學(xué)要求 在最新修訂的全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中對本節(jié)課的要求是了解數(shù)系擴(kuò)充的必要性，理解復(fù)數(shù)有關(guān)概念。在國家新課程標(biāo)準(zhǔn)下，對本節(jié)課的要求為：(1)在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。因此在講解本節(jié)課時(shí)既要通過復(fù)數(shù)概念的理解體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)還要通過數(shù)系的擴(kuò)充展現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。 2、教材處理：本節(jié)課包含兩個(gè)內(nèi)容：數(shù)系擴(kuò)充、復(fù)數(shù)的概念。就數(shù)系擴(kuò)充的內(nèi)容而言，本節(jié)課是一節(jié)介紹數(shù)學(xué)史的課程，希望學(xué)生體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)

2、內(nèi)部矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，感受人類理性思維的作用與現(xiàn)實(shí)的關(guān)系。 就復(fù)數(shù)內(nèi)容而言，本節(jié)課是一堂概念課，因此如何讓學(xué)生理解相關(guān)的概念顯得很重要；同時(shí)本節(jié)課也是一堂全新內(nèi)容的課介紹之前從未接觸的“虛數(shù)”，因此 “虛”的理解就成為復(fù)數(shù)概念理解的難點(diǎn)，但同時(shí)也是本節(jié)課的重點(diǎn)。對此，本節(jié)課由方程無實(shí)數(shù)解引入，從而引出最開始的形式上的“虛數(shù)”；通過與方程在有理數(shù)域與實(shí)數(shù)域解情況的類比，指出擴(kuò)展數(shù)域的必要性。其后由卡爾丹諾的形式虛數(shù)，順勢介紹復(fù)數(shù)系擴(kuò)充史，進(jìn)而得到虛數(shù)的單位“i”。在引入復(fù)數(shù)之后，根據(jù)研究問題的一般思路：新概念的理解新舊概念的對比新概念的系統(tǒng)化。自然引出復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)虛數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)大小、復(fù)數(shù)的

3、相等等問題。其間做一些辨析與鞏固練習(xí)，以此對學(xué)過的知識加深理解。 3、教法說明： 1、數(shù)系擴(kuò)充這個(gè)內(nèi)容，采取問題引入，教師講解的方式。采取問題引入，是為了讓學(xué)生體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾在數(shù)系擴(kuò)充中的作用，進(jìn)一步的感受到人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值。在數(shù)學(xué)史的介紹中，讓學(xué)生體會創(chuàng)新，要敢于突破，敢于質(zhì)疑，敢于提出新的看法，進(jìn)而滲透德育教育。通過對復(fù)數(shù)系的擴(kuò)張，理解“i”的形成過程，有助于學(xué)生了解虛數(shù)單位的實(shí)質(zhì)，更深入的了解復(fù)數(shù)、虛數(shù)的概念，從而避免數(shù)學(xué)的形式化。 2、復(fù)數(shù)的概念，為本節(jié)課的重點(diǎn)。本著以人為本的原則，結(jié)合學(xué)生的理解能力與思維方式采取引導(dǎo)的方法，讓

4、學(xué)生自主思考，以引導(dǎo)思路、規(guī)范過程為主，采取探究式教學(xué)，更多的注重課堂教學(xué)的生成性。在學(xué)習(xí)過程中通過歸納（歸納出復(fù)數(shù)的一般形式）、類比（虛數(shù)、實(shí)數(shù)的對比）、特殊化（復(fù)數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)的關(guān)系）等，讓學(xué)生體會開拓性研究的思路，了解處理新問題的方法。3、例題與練習(xí)，以教材為藍(lán)本，學(xué)生練習(xí)為主，老師巡堂、指出問題并規(guī)范過程。 例題與練習(xí)相結(jié)合，難度上由淺入深，逐層深入，讓學(xué)生的對復(fù)數(shù)的概念形成一個(gè)理性感性理性的一個(gè)螺旋上升的過程，從而在概念理解上更加透徹。 在巡堂過程中，對個(gè)別的問題單獨(dú)指導(dǎo)，對普遍出現(xiàn)的問題在課堂上可以進(jìn)行探究。課題:數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念教材:人教A版1、教學(xué)目標(biāo)（1）在問題情境中了

5、解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件【教學(xué)目標(biāo)說明】德育方面：1、通過對探究題的設(shè)置，讓學(xué)生能夠自然的了解研究問題的一般方法，能夠自然的提出問題，并在老師的引導(dǎo)下逐步達(dá)到自主解決問題。接下來讓學(xué)生清楚研究新問題的一般流程：新概念 新舊概念的聯(lián)系與區(qū)別 新概念的新性質(zhì)研究 2、對數(shù)學(xué)發(fā)展史的了解和數(shù)系的擴(kuò)充，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。希望通過數(shù)系的擴(kuò)充，讓學(xué)生體會研究過程中有辛酸的挫折也有欣喜的成果，滲透研究精神。能力方面： 1、

6、類比推理能力。數(shù)系擴(kuò)充類比；復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)類比；運(yùn)算規(guī)則類比；大小比較類比。 2、歸納整理能力。新舊知識的梳理與歸納；復(fù)數(shù)形式的歸納。知識方面： 1、復(fù)數(shù)概念理解：關(guān)鍵在于“i”的理解。“i”可以看作一個(gè)單位，作為純虛數(shù)部分的度量；也可以看成一個(gè)方向；“i”也可以類似基底進(jìn)行理解。即復(fù)數(shù)在（1，i）上分解。 2、復(fù)數(shù)相等的充要條件：從分解上講，就比較容易理解。2、教學(xué)重點(diǎn)（1）數(shù)系的擴(kuò)充過程（2）復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等的充要條件3、教學(xué)難點(diǎn)（1）虛數(shù)單位的理解（2）復(fù)數(shù)的大小比較。3、教學(xué)方法：講解式、啟發(fā)式、探究式【教學(xué)方法說明】對于復(fù)數(shù)的概念采取引導(dǎo)的方法，讓學(xué)生自主的思考，采取探索

7、式教學(xué)，更多的注重生成性。 復(fù)數(shù)的概念主要3個(gè)方面：復(fù)數(shù)的形式、“i”的理解、復(fù)數(shù)相等的充要條件。 復(fù)數(shù)的形式：歸納為主，將實(shí)數(shù)、虛數(shù)“一網(wǎng)打盡”，可以寫作“a+bi”的形式。可以由教師引導(dǎo)，學(xué)生歸納的方式。 “i”的理解：教師引導(dǎo)，學(xué)生討論，教師總結(jié)的方式。一方面能提高學(xué)生的課堂參與度，另一方面也能夠讓學(xué)生對新概念認(rèn)識深刻。 復(fù)數(shù)相等的充要條件：由學(xué)生自己體會并提出來，不需要證明。但是需要讓學(xué)生去結(jié)合“i”的理解，進(jìn)行類比思考。注意要強(qiáng)調(diào)實(shí)部虛部必須為實(shí)數(shù)。教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)4、教學(xué)過程:(一)引入新課.問題1：能否尋找兩個(gè)數(shù)，使得它們的和為10，乘積為40。利用設(shè)元的方法，轉(zhuǎn)化為一個(gè)

8、一元二次方程求解，可以發(fā)現(xiàn)判別式小于0。工作無法繼續(xù)！ 怎么辦？（學(xué)生回答）問題2：（學(xué)生回答）考慮下列問題，你能否得到新的思路： 方程在已知數(shù)系中的解集探究：(1) 在有理數(shù)集中。（無有理數(shù)解）(2) 在實(shí)數(shù)集中。() (二)講授新課.1、數(shù)系擴(kuò)充引入：問題2表明,對于同一個(gè)方程在不同的數(shù)系中其解的情況是不一樣的。對于問題2中的方程在有理數(shù)中不可解但在實(shí)數(shù)集卻是可解得，由此得到啟發(fā)：對于問題1在實(shí)數(shù)集不可解，但是是非存在一個(gè)新的數(shù)集，使得在新的數(shù)集上問題1可以得到解決？如果存在，那又是一個(gè)什么樣的數(shù)集呢？2、數(shù)系擴(kuò)充史簡述： 最早于到涉及到問題1并提出形式解決的是1545年意大利數(shù)學(xué)怪杰卡爾

9、丹諾在解決三次方程的根是遇到了一個(gè)問題：求兩個(gè)數(shù)使得他們的和為10，乘積為40?？ǖさ玫搅诵问缴系慕鉀Q：，。但是對于沒有給出任意的解釋，在此只是作為一個(gè)形式與開方的記號出現(xiàn)。直到解析幾何的開山始祖笛卡爾才開始給出了一個(gè)和實(shí)數(shù)(real number)對應(yīng)的名稱虛數(shù)（imaginary number）。實(shí)際上：從形式上，或者對任意的負(fù)數(shù)開方都可以寫成：（a<0）的形式，所以搞清楚負(fù)數(shù)開方的問題也就等價(jià)于搞清楚。對此，偉大的數(shù)學(xué)家歐拉第一個(gè)提出“i”作為一個(gè)虛數(shù)單位（類似于力的單位是N，虛數(shù)的單位規(guī)定是i）。規(guī)定：。而真正對復(fù)數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)化、嚴(yán)密化、邏輯化的工作出自數(shù)學(xué)王子高斯的手下，高斯正式

10、的提出“復(fù)數(shù)”一詞，并對復(fù)數(shù)進(jìn)行的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)范圍內(nèi)多項(xiàng)式方程的解等進(jìn)行了一系列研究。 從此，虛數(shù)也就不“虛”，正式進(jìn)入數(shù)學(xué)的大家庭并在信號處理、航空航天、函數(shù)處理等領(lǐng)域發(fā)揮出巨大的威力。3、復(fù)數(shù)的引入和數(shù)系的擴(kuò)充因此，在歐拉引入虛數(shù)單位i之后， 卡爾丹諾的方程的解在實(shí)數(shù)系中無解，但在在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解存在， ，可以寫成。一般的，如果，則稱為復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位。所有的復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱為復(fù)數(shù)集。一般的復(fù)數(shù)通常用字母表示，即。其中a稱為實(shí)部，b稱為虛部。從此，世界上就一種新的數(shù)系復(fù)數(shù)系登上了數(shù)學(xué)的舞臺，并為解決很多的實(shí)際問題提供了一種新的有力的工具。至此，我們對數(shù)系的發(fā)展有了比較完整的了解，回顧

11、從幼兒園到現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了那些數(shù)呢？能不能做一個(gè)表？ 復(fù)數(shù)自然數(shù)：計(jì)數(shù)負(fù)數(shù)：不夠減分?jǐn)?shù)：不夠除無理數(shù)：不夠開方有理數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)：負(fù)數(shù)不能開方從這個(gè)表中我們也可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的發(fā)展的動力來自于問題，為解決矛盾而進(jìn)行數(shù)域的拓展。4、復(fù)數(shù)的進(jìn)一步探討： 我們學(xué)習(xí)了那么多的數(shù)集，有必要對此進(jìn)行一個(gè)分類，進(jìn)行整理，了解他們的相互關(guān)系：探究1：討論特殊的復(fù)數(shù)：1） 如果時(shí), 是什么數(shù)？（實(shí)數(shù)）2） 如果時(shí)，是什么數(shù)？（虛數(shù)）3） 如果，是什么數(shù)？（純虛數(shù)）4）總結(jié)虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)之間關(guān)系，并畫出集合韋恩圖。 練習(xí)：判斷各是什么數(shù)？具體回答：實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)。如果是虛數(shù)指出其實(shí)部和虛部。 練習(xí)2、判斷下列

12、命題是否正確：（1）若a、b為實(shí)數(shù)，則Z=a+bi為虛數(shù)（2）若b為實(shí)數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù)（3）若a為實(shí)數(shù)，則Z= a一定不是虛數(shù)1）、復(fù)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的關(guān)系和判斷原則。 例：復(fù)數(shù)何時(shí)為實(shí)數(shù)，何時(shí)為虛數(shù)？何時(shí)為純虛數(shù)？ 答案： 練習(xí)1：復(fù)數(shù)何時(shí)為實(shí)數(shù)，何時(shí)為虛數(shù)？何時(shí)為純虛數(shù)？答案：答案：；探究2：1）、實(shí)數(shù)可否比較大??？那么復(fù)數(shù)呢？可否比較大??？能否判斷兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。2）、給出復(fù)數(shù)相等的條件： 如果則的充要條件是 a=c, b=d 。注：此問題本質(zhì)上歸結(jié)于對虛數(shù)單位“i”的理解?？梢詮?個(gè)角度理解：1）單位角度理解（理解i的本質(zhì)）。2）基底角度理解（思考角度拓展）。3）方向類比理解（可

13、以為后面的幾何意義（向量類比）做伏筆）答案：例3：如果，求實(shí)數(shù)x,y的值。 解：由復(fù)數(shù)相等的條件知： 解之： 所以x=4,y=-2。 分析：先計(jì)算x、y，然后計(jì)算a、b。 答案：a=1,b=27：課堂小節(jié)：1)數(shù)學(xué)的發(fā)展來源于問題事物在矛盾中前進(jìn)。2)復(fù)數(shù)有關(guān)概念。3)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)的關(guān)系。4)復(fù)數(shù)相等的條件。8、分層作業(yè)（略）9、教學(xué)反饋本節(jié)課學(xué)生的問題集中在虛數(shù)不能比較大小，他們表示不可以理解為何實(shí)數(shù)能夠比較虛數(shù)不可以。問題主要?dú)w結(jié)為兩種類型：純虛數(shù)的比較，與虛部相同虛數(shù)的比較。(1)純虛數(shù)的比較：他們認(rèn)為5i>3i.理由是5>3。這個(gè)理由是不成立的。一個(gè)通俗的、不嚴(yán)密的解釋：因?yàn)椴坏仁絻蛇呁瑫r(shí)乘一個(gè)數(shù)，不等號變向問題依賴于所乘數(shù)的正負(fù)，而顯然