物理—振動與波動

1、第四章物體在一定的位置附近作來回往復(fù)的運動。物體在一定的位置附近作來回往復(fù)的運動。機械振動：機械振動：振動：振動：任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作任何一個物理量在某個確定的數(shù)值附近作周期性的變化周期性的變化。波動：波動：振動狀態(tài)在空間的傳播。振動狀態(tài)在空間的傳播。1、 物體的來回往物體的來回往復(fù)運動（彈簧振子、復(fù)運動（彈簧振子、單擺等）單擺等）2、電流、電壓的、電流、電壓的周期性變化周期性變化機械振動的原因：機械振動的原因： 物體所受的物體所受的回復(fù)力回復(fù)力和物體所具有的和物體所具有的慣性慣性 可以證明任何復(fù)雜的振動都可以認(rèn)為是由若干個簡單而又基本振動的合成。這種簡單而又基本的振動形式稱為

2、簡諧振動簡諧振動。一般機械振動（曲線）一般機械振動（曲線） 分解分解 直線振動直線振動 付里葉級數(shù)展開付里葉級數(shù)展開 簡諧振動簡諧振動4-1-1 簡諧運動的基本特征 位移與時間的關(guān)系位移與時間的關(guān)系： 凡質(zhì)點的運動遵從余弦（或正弦）凡質(zhì)點的運動遵從余弦（或正弦） 規(guī)律時，其規(guī)律時，其運動形式為運動形式為簡諧振動簡諧振動。)cos(tAy動力學(xué)描述動力學(xué)描述 物體（質(zhì)點）在彈性力（符合虎克定律物體（質(zhì)點）在彈性力（符合虎克定律F = - kx）或準(zhǔn)彈性力（與彈性力性質(zhì)相似的力）的作用下的振動。或準(zhǔn)彈性力（與彈性力性質(zhì)相似的力）的作用下的振動。即力的大小總是與質(zhì)點位移成正比，方向與位移相反。即力的

3、大小總是與質(zhì)點位移成正比，方向與位移相反。makxfxmka運動學(xué)描述運動學(xué)描述 物體的加速度的大小總是與位移成正比，方向物體的加速度的大小總是與位移成正比，方向與位移相反。（總是指向平衡位置）與位移相反。（總是指向平衡位置）運動方程及解運動方程及解kxxm 0 xmkx mk202xx 令：令：簡諧振動的運動方程簡諧振動的運動方程微分方程的解：微分方程的解： A、 為積分常數(shù)，由初始條件確定。為積分常數(shù)，由初始條件確定。tAxcosxo1. 彈簧振子：彈簧振子： 一根輕彈簧和一個剛體構(gòu)成的一個一根輕彈簧和一個剛體構(gòu)成的一個 振動系統(tǒng)。振動系統(tǒng)。Fx根據(jù)胡可定律：根據(jù)胡可定律：（k為為勁勁度系

4、數(shù)）度系數(shù)）xkF（1 1） 在彈性限度內(nèi)，彈性力在彈性限度內(nèi)，彈性力F 和位移和位移x 成正比。成正比。（2 2） 彈性力彈性力F F和位移和位移x 恒反向，始終指向平衡位置。恒反向，始終指向平衡位置。由牛頓第一定律：由牛頓第一定律：xkdtxdmF22xmkdtxd22得:令mkxdtxd222 （1）彈簧振子的振動為彈簧振子的振動為簡諧振動簡諧振動 。 （2）周期：周期：角頻率：角頻率：（3）彈簧振子的振動頻率和周期僅與振子彈簧振子的振動頻率和周期僅與振子本身的性質(zhì)（本身的性質(zhì)（k和和m）有關(guān)，而與其它因素?zé)o）有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。關(guān)。固有頻率：固有頻率： 振動頻率只取決于諧振系統(tǒng)本身

5、的振動頻率只取決于諧振系統(tǒng)本身的各個參量，而與其它因素?zé)o關(guān)。各個參量，而與其它因素?zé)o關(guān)。Ol mgT22ddsintsmmgls 很小又22ddsintmlmg2 2、單擺、單擺 sinlgt22dd 單擺的振動是單擺的振動是簡諧振動簡諧振動 。lgglT20dd22lgttcos00（1） 為振動角位移，不是相位。為振動角位移，不是相位。 為振幅。為振幅。（2） 、T與與m無關(guān)，但無關(guān)，但T與與l成正比、與成正比、與g成反比。成反比。tAxcos簡諧運動表達(dá)式：簡諧運動表達(dá)式：簡諧運動：簡諧運動：物體的運動遵從余弦（或正弦）規(guī)律。物體的運動遵從余弦（或正弦）規(guī)律。xkFxdtxd222tAx

6、cos簡諧運動的三項基本特征：簡諧運動的三項基本特征： 歸納簡諧運動的速度：簡諧運動的速度：簡諧運動的加速度：簡諧運動的加速度：)cos()cos(2tatAdtdvamOTAtxax,vAAavOA24-1-2 描述簡諧運動的物理量 tAxcosA ：振幅振幅 ，（最大位移，（最大位移，x =A ） 變量變量 x離離平衡位置的最平衡位置的最大位移量的絕大位移量的絕對值。對值。 周期周期 T：完成一次全振動所經(jīng)歷的時間完成一次全振動所經(jīng)歷的時間。 ：角頻率角頻率 ， （圓頻率）（圓頻率）2頻率頻率 ：單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)單位時間內(nèi)完成全振動的次數(shù)。T2TtAtAcoscosTttcosc

7、os2,2TT余弦函數(shù)的周期為余弦函數(shù)的周期為21T2彈簧振子的頻率彈簧振子的頻率: mk21彈簧振子的周期彈簧振子的周期: kmT22結(jié)論：結(jié)論：彈簧振子的振動頻率和周期僅與振子本身的性彈簧振子的振動頻率和周期僅與振子本身的性質(zhì)（質(zhì)（k 和和 m）有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。）有關(guān)，而與其它因素?zé)o關(guān)。 由振動系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周由振動系統(tǒng)本身的固有屬性所決定的頻率和周期稱為期稱為固有頻率固有頻率和和固有周期固有周期。 ：振動的：振動的“初相位初相位 ”。（ t + ) ：振動的：振動的“相位相位 ”。決定了諧振動的運動狀態(tài)決定了諧振動的運動狀態(tài) t = 0時的相位時的相位 稱為稱為

8、速度幅速度幅。 速度相位比位移相位超前速度相位比位移相位超前 /2/2。Avm)cos()cos(2tatAdtdvam 稱為稱為加速度幅加速度幅。 加速度與位移反相位。加速度與位移反相位。Aam2比較：比較：tAacos2tAxcos結(jié)論結(jié)論：作簡諧運動的質(zhì)點，其加速度與位移恒作簡諧運動的質(zhì)點，其加速度與位移恒成正比，而方向相反成正比，而方向相反。 xa2即xdtxd2224-1-3 簡諧運動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A在在 x 軸上軸上的投影點的投影點 M 的運動規(guī)律：的運動規(guī)律：)cos(tAx結(jié)論：結(jié)論： 投影點投影點M的運的運動為簡諧振動。動為簡諧振動。yxotAPM 旋轉(zhuǎn)矢

9、量旋轉(zhuǎn)矢量A旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)一周，M點完成一次全振動。點完成一次全振動。 旋轉(zhuǎn)矢量的模旋轉(zhuǎn)矢量的模A：振幅振幅 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A的角速度的角速度 ：角頻率角頻率 t = 0 時，時， A與與x 軸軸的夾角的夾角 ：初相位初相位。 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量A與與 x 軸軸的的夾角夾角( t+ )： 相位相位2T周期：周期：必須是逆時必須是逆時針方向旋轉(zhuǎn)針方向旋轉(zhuǎn)（1）曲線反映的是質(zhì)）曲線反映的是質(zhì)點的振動情況。一個點的振動情況。一個質(zhì)點的運動方向（速質(zhì)點的運動方向（速度方向）如圖。峰值度方向）如圖。峰值v = 0，其余點看后。，其余點看后。（2）圖上反映出周期）圖上反映出周期T、振幅、振幅A、初位相、初

10、位相、位相。位相。（3）時間與位移的關(guān)系：）時間與位移的關(guān)系：tAxcos如質(zhì)點從平衡點如質(zhì)點從平衡點到峰值點所需時間到峰值點所需時間t；位相差與時間的關(guān)系：位相差與時間的關(guān)系：t以上的討論在單位圓上較為方便。以上的討論在單位圓上較為方便。x（4）質(zhì)點的受力方向及加速度的方向）質(zhì)點的受力方向及加速度的方向f = - kx 質(zhì)點受力質(zhì)點受力f方向與位移方向相反；加速度方向與位移方向相反；加速度a的方向與的方向與f 相同。相同。（5）質(zhì)點的動能及勢能的最大點和最小點位置。）質(zhì)點的動能及勢能的最大點和最小點位置。動能的最大點在平衡位置，最小點在峰值；勢能的最動能的最大點在平衡位置，最小點在峰值；勢能

11、的最大點在峰值位置，最小點在平衡位置。大點在峰值位置，最小點在平衡位置。x解題方法由初始條件求解振幅和初相位：設(shè) t = 0時，振動位移：x = x0 振動速度：v = v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg 不唯一不唯一具體分析：具體分析：0, 000vx在第四象限0, 000vx在第一象限0, 000vx0, 000vx在第三象限cosAxosinAvoy或者直接從矢量圖上分析?；蛘咧苯訌氖噶繄D上分析。 定后，定后，可能處在二個象限可能處在二個象限之之一，再利用一，再利用 的方

12、向的方向0 x0v0, 000vv還是最后定出的最后定出的 象限。象限。tAxcoscosAkA coskkAx 0（2）若已知）若已知t = 0時，時，k為常數(shù)，則再已知質(zhì)點的為常數(shù)，則再已知質(zhì)點的運動方向即可得運動方向即可得有二個值，從矢量圖上，利用有二個值，從矢量圖上，利用v的方向可定出的方向可定出 。總之，不管怎樣，只要知道初始條件，即可利用方程（一總之，不管怎樣，只要知道初始條件，即可利用方程（一般為位移方程和速度方程）來求得積分常數(shù)般為位移方程和速度方程）來求得積分常數(shù)A、 。ttvy ,AvmaxAa2max（3）有時，已知的不是）有時，已知的不是t = 0時的時的x、v，同樣可

13、以利用位移，同樣可以利用位移方程，速度方程、加速度方程求方程，速度方程、加速度方程求A， 。如已知。如已知t時刻的時刻的 等。特別要注意利用等。特別要注意利用 、 一質(zhì)點沿一質(zhì)點沿x 軸作簡諧振動，振幅為軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為，周期為2s。當(dāng)。當(dāng)t = 0時時, , 位移為位移為6 cm，且向，且向x 軸正方向運動。求軸正方向運動。求1 1、振動方程。振動方程。2 2、t = 0.5 s時，質(zhì)點的位置、速度和加速度。時，質(zhì)點的位置、速度和加速度。3 3、如果在某時刻質(zhì)點位于、如果在某時刻質(zhì)點位于x = -6 cm，且向，且向 x 軸負(fù)方向軸負(fù)方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要

14、的時間。運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：設(shè)簡諧振動表達(dá)式為設(shè)簡諧振動表達(dá)式為已知：已知：A =12 cm , T = 2 s ，12sT初始條件：初始條件：t = 0 時， x0 = 0.06 m , v0 0)(costAxtxcos12. 00.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振動方程： )3cos(12.0txyx3315 . 05 . 05 . 0189. 0)3sin(12. 0smtdtdxvttt25 . 025 . 05 . 0103. 0)3cos(12. 0smtdtdvattt設(shè)在某一時刻 t1， x = - 0.06 m)3(

15、cos12. 006. 01t代入振動方程：21)3(cos1t343231或tstt132311x3234stt61123322sttt651611126565653223tt用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量解解x322/3例例2 2 兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當(dāng)質(zhì)點當(dāng)質(zhì)點1 1在在 x1= A/2 處，處，且向左運動時，另一個質(zhì)點且向左運動時，另一個質(zhì)點2在在 x 2= -A/2 處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的相位處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的相位差。差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin11tAv3

16、1tA-AoA/2/2- -A/2/2322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2/2- -A/2/20sintx用旋轉(zhuǎn)矢量解用旋轉(zhuǎn)矢量解例例3 3 一輕彈簧一端固定，另一端連一定質(zhì)量的物體。一輕彈簧一端固定，另一端連一定質(zhì)量的物體。整個振動系統(tǒng)位于水平面內(nèi)。今將物體沿平面向右拉整個振動系統(tǒng)位于水平面內(nèi)。今將物體沿平面向右拉長到長到 x0 = 0.04 m 處釋放，試求：處釋放，試求：1 1、 簡諧振動方程；簡諧振動方程；2 2、 物體從初始位置運動到第一次經(jīng)過物體從初始位置運動到第一次經(jīng)過A/2A/2處時的速度。處時的速度。svmx0.6

17、,0,04.000mxvxA04.00202020振幅：mtx)0.6(cos04.0得：000 xvarctg解：AxttAxarccos)cos()3(sin0.604.0sintAv)35(321arccos2arccos或AAt3,2:tAxAx按題意1208.0sm先求位相先求位相3t)3(sin0 . 604. 0sintAv1208. 0sm用用矢矢量量圓圓解解2:AxAx按題意51226523cos403cos42T例例4：一簡諧振動曲線如圖所示，則振動周期一簡諧振動曲線如圖所示，則振動周期x（m）t（s）421（A）2.62 s（B）2.40 s（C）0.42 s（D）0.3

18、82 sKey：B質(zhì)量為質(zhì)量為m的比重計，放在密度為的比重計，放在密度為 的液體中。已的液體中。已知比重計圓管的直徑為知比重計圓管的直徑為d。試證明，比重計推動后，。試證明，比重計推動后，在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期在豎直方向的振動為簡諧振動。并計算周期。解：解：取平衡位置為坐標(biāo)原點取平衡位置為坐標(biāo)原點平衡時：平衡時：0 Fmg浮力：浮力： VgF其中其中V 為比重計的排水體積為比重計的排水體積0mgF2222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0 xxmgd2gmdT42例題例題6 6 證明圖示系統(tǒng)的振動為簡諧振動。其頻率為證明圖示系統(tǒng)的振

19、動為簡諧振動。其頻率為mkkkk21212121212121111kkkkfkfkffffxxx21212121212122kkkkmTkkmkkmkkkkkkmkkkk212121是否為簡諧振動，振動周期怎樣計算是否為簡諧振動，振動周期怎樣計算mXFO例例7 7：如圖有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)如圖有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)k k=24N/m=24N/m，重物，重物的質(zhì)量的質(zhì)量m m= 6 kg= 6 kg，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力F F=10 N=10 N向左作用于物體（不計摩擦），使之由平衡位置向左運向左作用于物體（不計摩擦），

20、使之由平衡位置向左運動了動了0.05m0.05m，此時撤去力，此時撤去力F F。當(dāng)重物運動到左方最遠(yuǎn)位置時開始。當(dāng)重物運動到左方最遠(yuǎn)位置時開始計時，求物體的運動方程。計時，求物體的運動方程。)(204. 02405. 01022212121222mkFSAkAkSmvFS解：AyttAy0)cos(12624smk)(). 2cos(204. 0SIty 例例8. 一勁度系數(shù)為一勁度系數(shù)為 k 的輕彈簧，在水平面作振幅為的輕彈簧，在水平面作振幅為 A 的諧振動時，有一粘土（質(zhì)量為的諧振動時，有一粘土（質(zhì)量為 m ，從高度，從高度 h 自自由下落），正好落在彈簧所系的質(zhì)量為由下落），正好落在彈簧

21、所系的質(zhì)量為 M 的物體上，的物體上，求（求（1）振動周期有何變化？（）振動周期有何變化？（2）振幅有何變化？）振幅有何變化？設(shè)（設(shè)（a）粘土是在物體通過平衡位置時落在其上的；）粘土是在物體通過平衡位置時落在其上的；（b）粘土是當(dāng)物體在最大位移處落在其上的。）粘土是當(dāng)物體在最大位移處落在其上的。kMmh解：解：（1）下落前下落前kMT22下落后下落后TkmMT22（2 2）（）（a a）在平衡位置落下）在平衡位置落下下落前：下落前：A，v222121vMkA 下落后：下落后：v，A222121vmMAk由機械能守恒：由機械能守恒：水平方向動量守恒：水平方向動量守恒：vvmMM得得AAmMMA（

22、b）在最大位移處落下）在最大位移處落下下落前：下落前：A，v = 0下落后：下落后：0v，A所以振幅不變：所以振幅不變：AA4-1-4 簡諧運動的能量)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子動能：振子動能：振子勢能：振子勢能：xxovtxEkEtpEOO諧振系統(tǒng)的總機械能：pkEEE)(costAxtAmEk222sin21tkAEp22cos21km22222212121mmvAmkAE（1 1） 振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間振子在振動過程中，動能和勢能分別隨時間變化，但任一時刻總機械能保持不變。變化，但任一時刻總機械能保持不變。（2 2） 動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻動能和勢能的變化頻率是彈簧振子振動頻率的兩倍。率的兩倍。（3 3）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方）頻率一定時，諧振動的總能量與振幅的平方成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）成正比。（適合于任何諧振系統(tǒng)）結(jié)論結(jié)論： 位移最大，勢能最大，但動能最小。在振位移最大，勢能最大，但動能最小。在振動曲線的峰值。動曲線的峰值。 位移為位移為0 0，勢能為，勢能為0 0，但動能最大。在振動，但動能最大。在振動曲線的平衡位置曲線的平衡位置。kEEpExOpEAA2p21kxE 彈性勢能彈性勢能pkEEE平均值的計