數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)整理(新課標(biāo))

1、數(shù) 學(xué) 必 修 1 知 識(shí) 點(diǎn) 總 結(jié)第一章 集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義互異性； 3. 元素的無序性說明： (1) 對(duì)于一個(gè)給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個(gè)對(duì)象是或者不是這個(gè)給定的集合的元素。(2) 任何一個(gè)給定的集合中，任何兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象，相同的對(duì)象歸入一個(gè)集合時(shí)，僅算一個(gè)元素。(3) 集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個(gè)集合是否一樣，僅需比擬它們的元素是否一樣，不 需考查排列順序是否一樣。(4) 集合元素的三個(gè)特性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示：如我校的籃球隊(duì)員, 太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋1、用拉丁字母表示集合：A=我校

2、的籃球隊(duì)員,B=1,2,3,4,52集合的表示方法：列舉法與描述法。注意啊：常用數(shù)集及其記法： 非負(fù)整數(shù)集即自然數(shù)集 記作： N 正整數(shù)集 N* 或 N+ 整數(shù)集 Z 有理數(shù)集 Q 實(shí)數(shù)集 R 關(guān)于“屬于的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a A ,相反，a不屬于集合 A 記作 aA列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個(gè)大括號(hào)括上。 描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對(duì)象 是否屬于這個(gè)集合的方法。 語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例：不

3、等式x-3>2的解集是x&#61646;R| x-3>2 或x| x-3>24、集合的分類：1 有限集 含有有限個(gè)元素的集合2無限集 含有無限個(gè)元素的集合3 空集 不含任何元素的集合例：x|x2= 5二、集合間的根本關(guān)系1 . “包含關(guān)系子集注意： 有兩種可能1A是B的一局部，；2A與B是同一集合。反之：集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A2 “相等關(guān)系(5 > 5,且5< 5,那么5=5)實(shí)例：設(shè) A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同結(jié)論：對(duì)于兩個(gè)集合 A與B,如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，同時(shí)，集合B的任

4、何一個(gè)元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B,即：A=B 任何一個(gè)集合是它本身的子集。 A&#61645;A 真子集：如果A&#61645;B,且A&#61625; B那就說集合 A是集合B的真子集，記作 A B(或B A) 如果 A&#61645;B, B&#61645;C , 那么 A&#61645;C 如果 A&#61645;B 同時(shí) B&#61645;A 那么 A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 ： 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運(yùn)算1 交集的定義：一般地，由所有屬于A且

5、屬于B的元素所組成的集合，叫做A,B的交集.記作 AA B(讀作"A 交 B")，即 AA B=x|x A,且 x B.2、 并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：AU B(讀作"A并 B")，即 AU B=x|x A,或 x B.3、 交集與并集的性質(zhì)：An a = a, a =©, a n b = b n a, au a = a,AU© = A ,A U B = B U A.4、全集與補(bǔ)集1補(bǔ)集：設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集即 丨，由S中所有不屬于 A的元素組成的集合，叫做

6、S中子集A的補(bǔ)集或余集記作： CSA 即 CSA =x &#61564; x&#61646;S 且 x&#61647;A 2全集：如果集合 S 含有我們所要研究的各個(gè)集合的全部元素，這個(gè)集合就可以看作一個(gè)全集。通常用U來表示。3 丨性質(zhì)： CU(C UA)=A (C UA) n A=Q (CUA) U A=U二、函數(shù)的有關(guān)概念1 函數(shù)的概念：設(shè) A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù) f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f(x), xA其中，x叫做自變量，x的取

7、值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值 的集合f(x)| x A 叫做函數(shù)的值域.注意：O 2如果只給出解析式 y=f(x)，而沒有指明它的定義域，那么函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義 的實(shí)數(shù)的集合；O 3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.定義域補(bǔ)充能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3) 對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4) 指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底 必須大于零且不等于 1. (5) 如果函數(shù)是由一些根本函數(shù)通過四那么運(yùn)算結(jié)合而成的 . 那么,它

8、的定義域是使各部 分都有意義的 x 的值組成的集合 . 6指數(shù)為零底不可以等于零 (6) 實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí) 際問題有意義 .( 又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。 ) 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域再注意： 1構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以, 如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等或?yàn)橥缓瘮?shù) 2兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)( 見課本 21 頁相關(guān)例 2)值域補(bǔ)充(1)

9、 、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法那么,不管采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域. (2). 應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的根底。3. 函數(shù)圖象知識(shí)歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x) , (x A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值 y為縱坐標(biāo)的點(diǎn) P(x, y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x , y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì) x、y為坐標(biāo)的 點(diǎn)(x , y)，均在 C上.即記為 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 圖象

10、C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線 (或直線),也可能是由與任意平行與 Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的假設(shè) 干條曲線或離散點(diǎn)組成。(2) 畫法A、 描點(diǎn)法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對(duì)應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng) 的點(diǎn) P(x, y) ,最后用平滑的曲線將這些點(diǎn)連接起來 .B、 圖象變換法請(qǐng)參考必修4三角函數(shù) 常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對(duì)稱變換(3) 作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯(cuò)誤。4快去了解區(qū)間的概念 1區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；2無窮區(qū)間； 3區(qū)間的數(shù)軸表示5什

11、么叫做映射一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法那么f,使對(duì)于集合 A中的任意一個(gè)元素 x,在集合B中都有唯一確定的元素 y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f : AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“ f : A B給定一個(gè)集合 A到B的映射，如果a A,b B.且元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么，我們把元素 b叫做元素a的象， 元素a叫做元素b的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對(duì)應(yīng)，集合A、B及對(duì)應(yīng)法那么f是確定的；對(duì)應(yīng)法那么有“方向性，即強(qiáng)調(diào)從集合 A到集合B的對(duì)應(yīng)，它與從 B到A的對(duì)應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對(duì)于映射f : AtB來說，那么應(yīng)滿足：I集合A中的每一個(gè)元素，

12、在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合 B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；川不要求集合 B中的每一個(gè)元素在集合 A中都有原象。 常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點(diǎn):01函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖 象的依據(jù)；O 2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；O 3圖象法：描點(diǎn)法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化 簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；0 4 列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征 注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補(bǔ)充一：分段函數(shù) 參見課本 P24-25 在定義域的不同局部

13、上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時(shí)必須把自變量代入相應(yīng)的表 達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個(gè)不同的方程,而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個(gè)左大括號(hào)括起 來,并分別注明各局部的自變量的取值情況 1分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù)；2分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集補(bǔ)充二：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u),(u M),u=g(x),(x A),那么 y=fg(x)=F(x), (x A)稱為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。例如 : y=2sinX y=2cos(X2+1)7函數(shù)單調(diào)性1增函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間 D內(nèi)

14、的任意兩個(gè)自變量 x1 , x2，當(dāng)x1<x2時(shí)， 都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)。區(qū)間 D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間 睇清楚課本單調(diào) 區(qū)間的概念如果對(duì)于區(qū)間 D上的任意兩個(gè)自變量的值x1 , x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1) >f(x2)，那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：0 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),是函數(shù)的局部性質(zhì)；O2必須是對(duì)于區(qū)間 D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量 x1 , x2;當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)。 2 圖象的特點(diǎn)如果函數(shù) y=f

15、(x) 在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù) y=f(x) 在這一區(qū)間上具有 (嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單 調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3). 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法：01任取x1 , x2 D,且x1<x2；O2作差f(x1) f(x2) ； O3變形通常是因式分解和配方；O4定號(hào)即 判斷差f(x1) f(x2)的正負(fù)；O5下結(jié)論指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性.(B) 圖象法(從圖象上看升降 )_(C) 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性復(fù)合函數(shù) fg(x) 的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù) u=g(x) , y=f(u) 的單調(diào)性密切相關(guān),

16、其規(guī)律如下： 函數(shù) 單調(diào)性u(píng)=g(x) 增 增 減 減 y=f(u) 增 減 增 減y=fg(x) 增 減 減 增注意： 1、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間, 不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集 . 2 、還記得我們?cè)谶x修里學(xué)習(xí)簡單易行的導(dǎo)數(shù)法判定單調(diào)性嗎？8函數(shù)的奇偶性 1偶函數(shù) 一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) X,都有f( x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù). 2奇函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè) X,都有f( x)= f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù). 注意：O 1函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；

17、函數(shù)可能沒有奇 偶性 , 也可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。O2由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，那么x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 .3具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征 偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 總結(jié)：禾U用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：O1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; O 2確定f( x)與f(x)的關(guān)系；O 3作出相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)f( x) = f(x)或f( x) f(x) = 0,那么f(x)是偶函數(shù)；假設(shè) f( x) = f(x) 或 f( x) f(x) = 0 ，那

18、么 f(x) 是奇函數(shù).注意?。汉瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 假設(shè)不對(duì)稱那么函數(shù)是非奇非偶函數(shù) . 假設(shè)對(duì)稱， (1) 再根據(jù)定義判定 ; (2) 有時(shí)判定 f(-x)= ±f(x) 比擬困難，可 考慮根據(jù)是否有 f(-x) ±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 來判定 ; (3) 禾用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .9、函數(shù)的解析表達(dá)式1. 函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系時(shí)，一是要求出它們之間的對(duì)應(yīng) 法那么，二是要求出函數(shù)的定義域 .2. 求函數(shù)的解析式的主要方法有：

19、待定系數(shù)法、換元法、消參法等，如果函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí)，可 用待定系數(shù)法；復(fù)合函數(shù) fg(x) 的表達(dá)式時(shí)，可用換元法，這時(shí)要注意元的取值范圍；當(dāng)表達(dá)式較 簡單時(shí)，也可用湊配法；假設(shè)抽象函數(shù)表達(dá)式，那么常用解方程組消參的方法求出f(x)10. 函數(shù)最大小值定義見課本p36 頁01利用二次函數(shù)的性質(zhì)配方法求函數(shù)的最大小值O2利用圖象求函數(shù)的最大小值O 3禾U用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大小值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減那么函數(shù) y=f(x) 在 x=b 處有最大值 f(b) ；如果函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 a ， b 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 b ， c 上單調(diào)遞

20、增 那么函數(shù) y=f(x) 在 x=b 處有最小值 f(b) ；第二章 根本初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù) 一指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算1 .根式的概念：一般地，如果 ，那么 叫做的次方根n th root ，其中>1，且 * .當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的 次方根是一個(gè)負(fù)數(shù).此時(shí)， 的 次方根用符號(hào) 表示.式 子 叫做根式 radical ，這里 叫做根指數(shù) radical exponent ， 叫做被開方數(shù) radicand 當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)此時(shí)，正數(shù) 的正的 次方根用符號(hào) 表示，負(fù)的 次方根用符號(hào) 表示正的 次方根與負(fù)的 次方根可以合并成

21、77; >0由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根； 0 的任何次方根都是 0，記作 。注意：當(dāng) 是奇數(shù)時(shí)， ，當(dāng) 是偶數(shù)時(shí)，2 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義 指出：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算 性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪 3實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) 1 &#8226; ； 2 ； 3 二指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù) 叫做指數(shù)函數(shù) exponential function，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底

22、數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1 0<a<1圖象特征 函數(shù)性質(zhì)向 x、 y 軸正負(fù)方向無限延伸 函數(shù)的定義域?yàn)?R 圖象關(guān)于原點(diǎn)和 y 軸不對(duì)稱 非奇非偶函數(shù) 函數(shù)圖象都在 x 軸上方 函數(shù)的值域?yàn)?R+ 函數(shù)圖象都過定點(diǎn) 0，1 自左向右看，圖象逐漸上升 自左向右看，圖象逐漸下降 增函數(shù) 減函數(shù) 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1 在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于 1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1 在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于 1圖象上升趨勢(shì)是越來越陡 圖象上升趨勢(shì)是越來越緩 函數(shù)值開始增長較慢，到了某一值后增長速度極快； 函 數(shù)值開始減小極快，到了某一值

23、后減小速度較慢；注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：1 在 a ， b 上，值域是 或 ；2假設(shè) ，那么 ；取遍所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3對(duì)于指數(shù)函數(shù)，總有 ；4當(dāng) 時(shí)，假設(shè)，那么；、對(duì)數(shù)函數(shù)一對(duì)數(shù)1對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果，那么數(shù) 叫做以 為底 的對(duì)數(shù)，記作： 底數(shù)， 真數(shù)， 對(duì)數(shù)式說明：O 1注意底數(shù)的限制，且；O 2注意對(duì)數(shù)的書寫格式.兩個(gè)重要對(duì)數(shù)：O1 常用對(duì)數(shù)：以 10 為底的對(duì)數(shù) ；O2 自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù) 為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化 二對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 ，且 ， ，那么：注意：換底公式 ，且 ； ，且 ；利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論 二對(duì)數(shù)函數(shù)1、 對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù) ，且 叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中 是自變量，函數(shù)的定義域是0, +8 注意：O 1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意區(qū)分。如：，都不是對(duì)數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).O 2對(duì)數(shù)函